UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO FACULTAD DE INGENIERÍA ESTADÍSTICA E INFORMÁTICA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ESTADÍSTICA E INFORMÁTICA MODELOS UNIVARIANTES PARA DESCRIBIR PREDECIR LA SERIE DE NACIMIENTOS DEFUNCIONES DEL DISTRITO DE ACORA, PERIODO TESIS PRESENTADA POR: Bach. FUAN SADA RAMOS AROCUTIPA PARA OPTAR EL TÍTULO PROFESIONAL DE: INGENIERO ESTADÍSTICO E INFORMÁTICO PUNO PERÚ 07

2 UNIVERSIDAD NACIONAL DEL ALTIPLANO FACULTAD DE INGENIERÍA ESTADÍSTICA E INFORMÁTICA ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA ESTADÍSTICA E INFORMÁTICA "MODELOS UNIVARIANTES PARA DESCRIBIR PREDECIR LA SERIE DE NACIMIENTOS DEFUNCIONES DEL DISTRITO DE ACORA, PERIODO " TESIS PRESENTADA POR: Bach. FUAN SADA RAMOS AROCUTIPA PARA OPTAR EL TITULO PROFESIONAL DE: INGENIERO ESTADÍSTICO E INFORMÁTICO APROBADA POR: PRESIDENTE: PRIMER MIEMBRO: SEGUNDO MIEMBRO: DIRECTOR I ASESOR: Área Tema Fecha de Susenación Esadísica Series de Tiempo 7//7

3 DEDICATORIA Al Divino creador por darme la vida, juno a mis queridos padres y guiarme día a día, que hace más liviano a mi camino. A mis hermanos, por mosrarme lo diverida, problemáica y enendible que llega a ser la vida. A Juan Guido y Lucia mis padres, por su infinio amor, esfuerzo, comprensión y apoyo moral consane en mi formación profesional. A mis compañeros esudianes de la Escuela Profesional de Ingeniería Esadísica e Informáica del área de esadísica quienes podrían leerlo, el presene rabajo de invesigación. A los docenes de la faculad de Ingeniería Esadísica e Informáica, por apoyarme en mi formación profesional y humanísica.

4 AGRADECIMIENTOS A Dios, guía y compañero incondicional hasa en los momenos sesgados de mi vida. Quiero agradecer a mi familia, por comprenderme, apoyarme y moivarme en cada insane de mi vida. A la Universidad Nacional del Aliplano y a la Faculad de Ingeniería Esadísica e Informáica, Escuela Profesional Esadísica e Informáica, por acogerme en sus aulas. A mi direcor y asesor de la esis, por guiarme a lo largo de esa avenura llamada invesigación. A los docenes de la faculad, por cuyas enseñanzas pude enender que cada día se puede mejorar. A mis compañeros de la carrera, por odos los momenos inolvidables. por úlimo a odas aquellas personas que han conribuido con esa esis.

5 ÍNDICE GENERAL RESUMEN... 0 ABSTRACT... CAPÍTULO I INTRODUCCIÓN..... Formulación y Definición del Problema Objeivos Objeivo general Objeivos específicos Hipóesis... 5 CAPÍTULO II REVISIÓN DE LITERATURA Anecedenes de la invesigación Base eórica Pronosicos Series de Tiempo Serie emporal Análisis de Series de Tiempo Uilización de series de iempo Definición de Términos Básicos Operacionalización de variables... 5 CAPÍTULO III MATERIALES MÉTODOS Población Muesra Méodos de Recopilación de Daos Méodos de Traamieno de Daos Meodologia de BOX-JENKINS CAPÍTULO IV RESULTADOS DISCUSIÓN Análisis de la Serie Mensual del Número de Nacimienos del Disrio de Acora Análisis de la Serie Mensual del Número de Defunciones del Disrio de Acora CAPÍTULO V CONCLUSIONES CAPÍTULO VI RECOMENDACIONES CAPÍTULO VII REFERENCIAS ANEXOS... 88

6 INDICE DE FIGURAS Figura N 0: Coeficienes de Auocorrelación y de Auocorrelación Parcial de los Modelos AR() y AR() Figura N 0: Coeficienes de Auocorrelación y de Auocorrelación Parcial de los Modelos MA() y MA() Figura N 03: Coeficienes de Auocorrelación y de Auocorrelación Parcial de un Modelo ARIMA(,) Figura N 04: Procedimieno de Meodo... 56

7 INDICE DE GRAFICOS Grafico N 0: Serie de número de nacimienos mensuales del año Grafico N 0: Auocorrelaciones esimadas Grafico N 03: Auocorrelaciones parciales esimadas Grafico N 04: Serie ransformada del número de nacimienos mensuales... 6 Grafico N 05: Auocorrelaciones esimadas de la serie... 6 Grafico N 06: Auocorrelaciones parciales esimadas de la serie... 6 Grafico N 07: Probabilidad normal Grafico N 08: Auocorrelaciones residuos para ajuse de Grafico N 09: Auocorrelaciones parciales de residuos para el ajuse Grafico N 0: Predicción del número de nacimienos para el año Grafico N : Serie de número de defunciones mensuales del año Grafico N : Auocorrelaciones esimadas... 7 Grafico N 3: Auocorrelaciones parciales esimadas Grafico N 4: Serie ransformada del número de nacimienos mensuales Grafico N 5: Auocorrelaciones esimadas de la serie Grafico N 6: Auocorrelaciones parciales esimadas de la serie Grafico N 7: Probabilidad Normal Grafico N 8: Auocorrelaciones residuos para ajuse de Grafico N 9: Auocorrelaciones parciales de residuos para ajuse de Grafico N 0: Predicción del número de nacimienos para el año

8 ÍNDICE DE TABLAS Tabla N 0: Operacionalización de variables... 5 Tabla N 0: Serie del número de Nacimienos del Disrio de Acora, periodo Tabla N 03: Resumen de los parámeros del Modelo ARIMA (0,, ) Tabla N 04: Serie del número de defunciones del Disrio de Acora, periodo Tabla N 05: Resumen de los parámeros del Modelo ARIMA (0,, )... 76

9 ÍNDICE DE ACRÓNIMOS ARIMA: acrónimo del inglés auoregressive inegraed moving average SARIMA EWMA AR MA: Medias Moviles ARMA : Error aleaorio o residuo. También conocido como ruido blanco. : Variable dependiene. W : Primera diferencia d : Número de diferenciaciones M: Número máximo de rezagos a analizar. T: Número oal de observaciones. Rj: La función de auocorrelación de los errores del proceso

10 RESUMEN Acualmene la municipalidad de Acora no cuena con una documenación que nos permia omar referencias sobre pronósicos de nacimienos y defunciones debido a que no se han realizado rabajos de series emporales(modelos ARIMA de Box-Jenkins) sobre esas variables demográficas limiane significaiva para la realización del presene rabajo. Por esa razón se hace imprescindible descomponer a la serie hisórica con el propósio de obener mayor confianza en la realización de pronósicos de dichas variables demográficas. Se realizó con el fin de cumplir el objeivo de deerminar los modelos univarianes que mejor se ajusan a la serie de nacimienos y defunciones, bajo la hipóesis de que los modelos univarianes inegrados de Box Jenkins proporcionan un mejor ajuse que los modelos univarianes no inegrados de Box Jenkins en las series de nacimienos y la serie de defunciones de la población, los daos mensuales fueron obenidos de la oficina de Regisro Civil y Esadísica de la Municipalidad Disrial de Acora, correspondienes a los periodos Para respecivo análisis de los daos se realizó con la meodología Box Jenkins. Para la serie del número de nacimienos mensuales el modelo es ARIMA (0,, ), su ecuación de pronósico esimado es: = e, Para la serie del número de defunciones mensuales el modelo es ARIMA (0,, ), su ecuación de pronósico esimado es: = 0.73 e e. Se obuvieron las predicciones del número de nacimienos mensuales para el año 06, 07 para los 4 meses enero a diciembre, así ambién se obuvieron las predicciones del número de nacimienos mensuales para el año 06, 07 para los 4 meses enero a diciembre. Palabras claves Nacimienos, defunciones, modelo, predecir, describir. 0

11 ABSTRACT Currenly he municipaliy of Acora does no have a documenaion ha allows us o ake references on birh and deah forecass due o he fac ha no ime series work has been done (ARIMA models of Box-Jenkins) on hese demographic variables, significan limiaion for he realizaion of he presen work. For his reason, i is essenial o decompose he hisorical series in order o obain greaer confidence in making predicions of said demographic variables. I was carried ou in order o mee he objecive of deermining he univariae models ha bes fi he series of birhs and deahs, under he hypohesis ha he Box-Jenkins inegraed univariae models provide a beer fi han he uninegraed models of non-inegraed Box - Jenkins in he series of birhs and he series of deahs of he populaion, he monhly daa were obained from he Civil Regisry and Saisics Office of he Disric Municipaliy of Acora, corresponding o he periods For respecive analysis of he daa was made wih he Box - Jenkins mehodology. For he series of he number of monhly birhs he model is ARIMA (0,, ), is esimaed forecas equaion is: = e For he series of he number of monhly deahs he model is ARIMA (0,, ), is esimaed forecas equaion is: = 0.73 e e Predicions were obained of he number of monhly birhs for he year 06, 07 for he 4 monhs from January o December, as well as he predicions of he number of monhly birhs for he year 06, 07 for he 4 monhs from January o December. Key Words Birhs, deahs, model, predic, describe.

12 CAPÍTULO I INTRODUCCIÓN La Municipalidad del Disrio de Acora carece de modelos de predicción por lo que se realizó el presene rabajo de invesigación con la finalidad de deerminar dicho modelo con el cual en la Municipalidad podrán hacer pronósicos con el fin de planear el mejoramieno de la calidad de vida y las necesidades de los que habian en el Disrio. Uilizando modelos Box-Jenkins, se obuvo el modelo de predicción ya que en la acualidad son muchos los campos en los que se pueden aplicar esos conocimienos, de manera que permie omar aceradas decisiones, pueso que se apoyan en écnicas para la acepación o rechazo de hipóesis y poder acuar inferencias a parir de las series observadas, de esa manera predecir el comporamieno de la variable en esudio, es así que permiirá el número de nacimienos y el número de defunciones en la población del Disrio de Acora, para el año 06. La presene invesigación consa de seis capíulos donde en el primer capíulo se especifica la formulación y definición del problema, los objeivos y la hipóesis, el segundo capíulo consise en la definición del marco eórico, el ercer capíulo raa de maeriales y méodos que se uilizaron en la presene invesigación, en el

13 cuaro capíulo se realiza el análisis de resulados y discusión, el quino capíulo presena las conclusiones que se obuvieron en el análisis de los daos y en el sexo capíulo se mencionan las recomendaciones y sugerencias de la presene invesigación... Formulación y Definición del Problema La Municipalidad del Disrio de Acora, es una de las localidades con mayor número de población en los úlimos años, pero que dicha insiución no cuena con una documenación que permia omar referencias sobre variaciones del número de nacimienos y del número de defunciones acuales, pueso que no se realizan rabajos sobre esas variables demográficas, debido a eso surge el inerés por ver el comporamieno de dichas variables. Además, diversas insiuciones requieren reconocer el comporamieno fuuro de cieros fenómenos con el fin de planificar y proveer el desarrollo de la población fuura, basándose en pronósicos de hechos pasados. En odo secor de la acividad humana, conar con su insrumeno que permia omar decisiones para el fuuro es una alernaiva de desarrollo y de mucha imporancia. La predicción es uno de los insrumenos que permie obener valores fuuros que ha de ocurrir, en función al pasado de las variables cuyo comporamieno ineresa describir a ravés del iempo, para omar precauciones sobre sucesos en el fuuro, para la población del disrio de Acora. 3

14 La razón del rabajo, es conseguir modelos uniecuacionales de series de iempo (Técnica BOX JENKINS), para las variables del número de nacimienos mensuales y del número de defunciones mensuales de la población del disrio de Acora, correspondiene a los periodos del año 994 hasa el año 06, que permian realizar pronósicos adecuados para periodos coros de iempo en función a hechos pasados correlacionados, ane odo eso se planea la siguiene inerrogane. Cuáles son los modelos de predicción del número de nacimienos y del número de defunciones en la población del Disrio de Acora, periodo ?.. Objeivos... Objeivo general Deerminar los modelos univarianes que mejor se ajusan a la serie de nacimienos y defunciones para describir y predecir el comporamieno de las variaciones de los nacimienos y las defunciones de la población del Disrio de Acora, periodo Objeivos específicos Esimar y validar los modelos idenificados que mejor se ajusan para las series de los nacimienos y las defunciones de la población del Disrio de Acora, periodo Deerminar el pronósico con los modelos alcanzados para las series de los nacimienos y las defunciones de la población del Disrio de Acora, periodo

15 .3. Hipóesis Los modelos univarianes no inegrados de Box Jenkins se ajusa mejor a la serie de nacimienos y la serie de defunciones de la población del Disrio de Acora, período

16 .. Anecedenes de la invesigación CAPÍTULO II REVISIÓN DE LITERATURA Se ha observado que las invesigaciones realizadas sobre nacimienos y defunciones, solamene uilizan niveles descripivos de esadísica, mas no realizan un esudio profundo y deallado de dichas series, uilizando la meodología BOX-JENKINS para una mejor oma de decisiones en lo referene a la descripción, análisis y predicción de las siguienes invesigaciones realizadas, los cuales se presenan las siguienes conclusiones:. Los modelos univarianes que mejor se ajusan para describir y predecir el comporamieno de las series de consumo de energía elécrica (KW/día) es ARIMA (0,,) y para el número de usuarios de energía elécrica periodo es ARIMA (0,,).. Para efecuar sus producciones es el modelo inegrado ARIMA (0,, 3). 3. El modelo enconrado para la producción y el consumo facurado de agua poable, resularon ser similares en cuano a su fórmula pero no a sus 6

17 valores, se deerminó un modelo inegral esacional y no esacional denominado SARIMA (0,,)(0,,). 4. Se llegó a la conclusión que el modelo Esacional Auo regresivo Inegrado de media móvil SARIMA(0,,)x(,,0) es confiable de pronósico para los raios de morosidad de la Caja Municipal de Ahorro y Crédio. 5. El modelo de pronosico univariane inegrado seleccionado que mejor se ajusa para predecir el número de nacimienos para el año 0, en la población del Disrio de Juliaca es ARIMA (,,0)x(,,3), el modelo de pronosico univariane inegrado seleccionado que mejor se ajusa para predecir el número de defunciones para el año 0, en la población del Disrio de Juliaca es ARIMA (,,0)x(,,3)... Base eórica... Pronosicos Los pronósicos son predicciones de lo que puede suceder o esperar, son premisas o suposiciones básicas en que se basan la planeación y la oma de decisiones. El propósio del pronósico consise en reducir el margen de inceridumbre, haciendo el mejor uso de la información que se iene para guiar las acividades de la empresa hacia el cumplimieno de sus meas y objeivos. De esa forma los pronósicos son paricularmene imporanes en la asignación del uso de los recursos de la empresa. Los pronósicos se basan en el uso de daos aneriores de una variable para predecir su desempeño fuuro. A ese respeco, los daos aneriores se dan generalmene en la forma de series de iempo. Una hipóesis básica en 7

18 la aplicación de las écnicas de pronósico es que el desempeño de los daos aneriores coninuará ocurriendo en el fuuro inmediao.... La necesidad de pronosicar Debido a que siempre ha sido cambiane el mundo en el que operan las organizaciones, siempre ha exisido la necesidad de hacer pronósicos. Sin embargo, en los úlimos años se ha incremenado la confianza en las écnicas que abarcan una compleja manipulación de daos. Las compuadoras, juno con las écnicas cuaniaivas que hacen posible, se han vuelo más que recomendables en las organizaciones modernas; se han vuelo esenciales. Quién requiere hacer pronósicos? Casi cualquier organización, grande y pequeña, pública y privada, uiliza el pronósico, debido a que casi odas las organizaciones deben planear cómo enfrenar las condiciones fuuras de las cuales iene un conocimieno imperfeco. Además, la necesidad de hacer pronósicos cruza odas las líneas funcionales, lo mismo que odo ipo de organizaciones.... Técnicas de pronósicos Se pueden emplear dos écnicas básicas de pronósicos: Las écnicas de pronósico cualiaivas y las écnicas de pronósico cuaniaivas. a) Técnicas de pronósico cualiaivas. Ese méodo es apropiado cuando los daos confiables son escasos o difíciles de emplear. Se basan en el juicio humano y en la inuición, más que en la manipulación de daos hisóricos aneriores. Las écnicas 8

19 cualiaivas comunes incluyen al méodo Delphi, curvas de crecimieno, escriura de escenarios, invesigación de mercado y grupos de enfoque. b) Técnicas de pronósico cuaniaivas. Las écnicas de pronósico cuaniaivas se uilizan cuando exisen suficienes daos hisóricos disponibles y cuando se juzga que esos daos son represenaivos de un fuuro desconocido. Trabajan con modelos cuaniaivos o modelos maemáicos que se basan en daos hisóricos, bajo el supueso de que son relevanes para el fuuro. Esos modelos se pueden uilizar con series de iempo Pronósicos según plazos Los pronósicos a largo plazo son necesarios para esablecer el curso general de la organización para un largo periodo, sirven para omar decisiones esraégicas y por lo general abarcan de res a cinco años. Los pronósicos a mediano plazo abarcan de uno a dos años. Los pronósicos a coro plazo se uilizan para diseñar esraegias inmediaas que ayuden en la oma de decisiones, sólo abarcan meses. Las écnicas más complejas de Box-Jenkins resulan apropiadas para pronósicos de coro y mediano plazos.... Series de Tiempo Es un conjuno de observaciones ordenadas según una caracerísica cuaniaiva de un fenómeno individual en diferenes momenos del iempo, en el cual las observaciones son realizadas. 9

20 Una serie de iempo consa de daos que se reúnen, regisran u observan sobre incremenos sucesivos de iempo. Una serie de iempo es una secuencia cronológica de observaciones de una variable en paricular. Una serie de iempo es un conjuno de observaciones producidas en deerminados momenos durane un periodo, semanal, mensual, rimesral o anual, generalmene a inervalos iguales. El primer paso para analizar una serie de iempo es graficarla, eso permie idenificar la endencia, la esacionalidad, las variaciones irregulares (componene aleaorio). Un modelo clásico para una serie de iempo, puede ser expresada como suma o produco de res componenes: endencia, esacional y un érmino de error aleaorio...3. Serie emporal Una serie emporal es una sucesión de observaciones de una variable omadas en varios insanes de iempo, nos ineresa esudiar los cambios en esa variable con respeo al iempo como ambién predecir sus valores fuuros, eniendo en cuena los siguienes componenes:..3.. Componenes de una serie emporal En el análisis de series de iempo de daos, una enación inmediaa consise en inenar explicar o conabilizar el comporamieno de las series. La descomposición clásica es un méodo que se basa en la suposición de que se pueden descomponer en componenes como endencia, ciclo, esacionalidad e irregularidad. Una predicción se hace mediane la combinación de las proyecciones de cada componene individual. 0

21 a) Tendencia La endencia es un movimieno de larga duración que muesra la evolución general de la serie en el iempo. Es un movimieno que puede ser esacionario o ascendene o descendene, y su recorrido, una línea reca o una curva. b) Componene cíclico o Variación cíclica El componene cíclico es un conjuno de flucuaciones en forma de onda o ciclos, de más de un año de duración. El ciclo sugiere la idea de que ese ipo de movimieno se repie cada ciero periodo con caracerísicas parecidas. c) Componene esacional o Variación esacional Se habla de ese ipo de variaciones usualmene cuando el comporamieno de la variable en el iempo en un periodo esá relacionado con la época o un periodo paricular, por lo general en el espacio cronológico presene. El componene esacional es un parón de cambio que se repie a sí mismo año ras año. Se encuenran ípicamene en los daos clasificados por rimesre, mes o semana. d) Componene aleaorio o Variación residual El componene aleaorio mide la variabilidad de las series de iempo después de que se reiran los oros componenes. Conabiliza la variabilidad aleaoria en una serie de iempo ocasionada por facores imprevisos y no recurrenes. La mayoría de los componenes irregulares se conforman de variabilidad aleaoria. Sin embargo, cieros sucesos a

22 veces impredecibles como huelgas, cambios de clima (inundaciones, sequías o erremoos), elecciones, conflicos armados o la aprobación de asunos legislaivos, pueden causar irregularidades en una variable...4. Análisis de Series de Tiempo El análisis de series de iempo esá dedicado al esudio de series; por lo general, los daos de dichas series son independienes, pero esán correlacionados; se puede decir que exise una relación enre observaciones coniguas. Es el análisis de una secuencia de medidas hechas a inervalos específicos. El iempo es usualmene la dimensión dominane de los daos. Sirven para esablecer la efecividad de medidas que afecan a grupos poblacionales eniendo en cuena las variaciones naurales que puede haber en el iempo. Son muy comunes en la evaluación de leyes en la población. Permien una visión parcial de la relación causa efeco, pero no pueden exrapolar los hallazgos de la población a individuos específicos. El análisis de series de iempo consise en una descripción (generalmene maemáica) de los movimienos y componenes presenes. De acuerdo a Chafield (978), son varios los objeivos por los cuales se desea analizar una serie de iempo: Descripción: Al ener una serie de iempo, el primer paso en el análisis es graficar los daos y obener medidas descripivas simples de las propiedades principales de la serie.

23 Explicación: Cuando las observaciones son omadas sobre dos o más variables, es posible usar la variación en una serie para explicar la variación en las oras series. Predicción: Dada una serie de iempo se inena predecir los valores fuuros de la serie. Ese es el objeivo más frecuene en el análisis de series de iempo. Conrol: Si una serie de iempo se genera por mediciones de calidad de un proceso, el objeivo del análisis puede ser el conrol del proceso...5. Uilización de series de iempo En años recienes, el análisis de iempo ha ido a la vanguardia de las herramienas esadísicas para uso en pronósicos de sucesos fuuros que esán, en alguna forma, enrelazados con la economía. Los fabricanes esán en exremo ineresados en los ciclos de alibajos de la propia economía así de las economías exranjeras de modo que puedan predecir mejor la demanda de sus producos, que a su vez impaca sus niveles de invenarios, requerimienos de personal, flujos de efecivo y casi odas las demás acividades de negocios denro de la empresa. Los cieníficos políicos esán ineresados en el uso de análisis de series de iempo para esudiar los parones de cambio del geso de gobierno en defensa y programas de bienesar social. Es obvio que esas endencias ienen un gran impaco en el fuuro de indusrias complejas Modelo Un modelo es una expresión formalizada de una eoría, o la 3

24 represenación maemáica de los daos observados. En el análisis esadísico un modelo es expresado en símbolos, en forma maemáica. Es un esquema eórico, generalmene en forma maemáica, de un sisema o de una realidad compleja, como la evolución económica de un país, que se elabora para faciliar su comprensión y el esudio de su comporamieno Modelos de series emporales Son formas eóricas deerminísicas y/o aleaorias o la combinación de ambas, para realizar el análisis de una serie de iempo. - Variables Temporales: Son variables que se observan a lo largo del iempo. Indica la variable en el momeno. - Serie Temporal: Es el conjuno de observaciones, una observación por cada una de las variables:,,...,. También es llamada serie cronológica. A las observaciones de una variable emporal se les denomina realizaciones Modelo Univariane Los modelos univarianes en una serie de iempo { }, son odos aquellos que solamene ienen una variable observada en el iempo. Esos ipos de modelos se expresan en forma polinomial. Son écnicas univarianes: el modelo auorregresivo de primer orden, el modelo de endencia lineal o exponencial, enre oros.las écnicas más rigurosas para la predicción univariane son las denominadas écnicas o modelos Box-Jenkins, o más 4

25 concreamene modelos ARIMA, pues las écnicas Box-Jenkins consiuyen un conjuno más amplio, denro del cual los modelos ARIMA univarianes son sólo una pare. a) Modelo Univariane No Inegrado. Los procesos Auoregresivos AR(p), de Medias Móviles MA(q) y procesos Mixos ARMA(p,q) son considerados como los modelos No Inegrados debido a que no inerviene el grado de diferenciación y la esacionalidad de la serie. b) Modelo Univariane Inegrado. Son aquellos modelos que se pueden obener mediane suma o inegración de un proceso esacionario. A esos modelos se les denomina ambién modelos no esacionarios homogéneos. Los procesos Mixos Inegrados ARIMA(p,d,q), los procesos Esacionales Mixos Inegrados SARIMA(p,d,q)*(P,D,Q), procesos de Medias Móviles Inegrado IMA, proceso de Medias Móviles Exponenciales EWMA, y los procesos de Auoagregación, son considerados como los modelos Inegrados debido a que si inerviene el Grado de Diferenciación y la Esacionalidad de la serie Operador de reardo y diferenciación de una serie. Inroduciremos a coninuación el operador polinomial de reardos L. El operador L deermina que: L = - 5

26 Es decir, el resulado de aplicar el operador L corresponde a la observación en el período anerior de la variable (serie). Aplicada dos veces sobre la variable es: L(L)=L =- En general: L k =-k La diferencia de una serie es: En general: ( L) k k k k ( ) ( L) Elaboración de modelos AR, MA, ARMA ARIMA Los modelos ARIMA o modelos de promedio móvil auorregresivo inegrado son un ipo general de los modelos de Box-Jenkins para series de iempo esacionarias. Una serie hisórica esacionaria es aquella cuyo valor promedio no cambia a ravés del iempo. Ese grupo incluye a los modelos AR sólo con érminos auorregresivos, los modelos MA sólo con érminos de promedio móvil y los modelos ARIMA que comprenden ano érminos auorregresivos como de promedio móvil. La meodología de Box-Jenkins permie al analisa seleccionar el modelo que mejor se ajuse a sus daos. Dado el concepo de proceso esacionario aneriormene definido, los modelos de pronósico se dividen en: MODELOS LINEALES ESTACIONARIOS A.. Modelos Auorregresivos: AR (p) A.. Modelos de Promedio Móvil MA(q) 6

27 A.3. Modelos Auorregresivos de promedio móvil: ARMA(p,q). MODELOS LINEALES NO ESTACIONARIOS B.. Modelos auorregresivos de promedio móvil inegrado: ARIMA (p,d,q). A. MODELOS LINEALES ESTACIONARIOS A.. MODELOS AUTORREGRESIVOS (AR) Los modelos auorregresivos (AR) expresan como una función lineal de ciero número de valores aneriores reales de. Modelo AR(p): Un modelo auorregresivo de orden p, o abreviadamene un modelo AR(p), se define de la siguiene forma: C... p p Donde: : Variable dependiene.,,..., p : Variables independienes que son variables dependienes desfasadas un número específico de periodos. C,,,..., p : Coeficienes de regresión. es el érmino de residuo que represena sucesos aleaorios no explicados por el modelo. También se le conoce como ruido blanco, y ~ (0, ). Usando el operador polinomial de reardos L, se denoa como: p C L L... L p Realizando algunas ransformaciones enemos: L L... p pl C ( p L L... pl ) C 7

28 La expresión enre parénesis como un polinomio en el operador de reardos L, se puede expresar de forma compaca: ( L) C ( L) L L... pl p Para que el proceso sea esacionario se requiere que las raíces de la ecuación polinomial esén fuera del círculo unidad. L L... pl p 0 Modelo AR(): El caso más sencillo corresponde a un modelo auorregresivo de primer orden, donde el parámero C es igual a cero. El modelo auorregresivo de primer orden, viene definido por: donde O, uilizando el operador de reardos, por ( L). Cada variable ruido blanco influye sobre los valores de correspondienes al mismo periodo, o a periodos poseriores, pero nunca ejerce influencia sobre los valores de correspondienes a periodos aneriores. Una consecuencia imporane es que 0 E, 0 Para que el proceso AR() definido, sea esacionario, la raíz del polinomio caracerísico L 0, debe caer fuera del círculo unidad. Es decir L /, lo que equivale a que Modelo AR(): Un modelo auorregresivo de segundo orden, viene definido por: O, uilizando el operador de reardos, 8

29 ( L L ) Para que el proceso anerior sea esacionario se requiere que las raíces de la ecuación esén siuadas fuera del círculo unidad, es decir: L L 0 Si se cumplen las condiciones de esacionariedad se verificará que E( ) 0 Condiciones de esacionariedad Para que un modelo AR de orden p,..., sea esacionario, se debe p p cumplir lo siguiene: Usando el operador polinomial de reardos L: p L L... L p Realizando algunas ransformaciones se iene: p L L... L p ( p L L... pl ) en forma compaca: ( L) ( L) p Para que el proceso sea esacionario se requiere que las raíces de la ecuación polinomial esén fuera del círculo unidad. L L... pl p 0 La esacionalidad de la serie requiere, enre oras condiciones una media que no varía; es decir que no debe exisir una endencia a lo largo del iempo. El polinomio auorregresivo usando el operador de reardo L, es: 9

30 ( L) L L... pl A.. MODELOS DE MEDIAS MÓVILES (MA) p Los modelos auorregresivos (AR) expresan como una función lineal de ciero número de valores aneriores reales de, mienras que los modelos de promedio móvil (MA) proporcionan pronósicos de con base en una combinación lineal de errores aneriores de. Un modelo de medias móviles explica el valor de una deerminada variable en un período en función de un érmino independiene y una sucesión de errores correspondienes a períodos precedenes, ponderados convenienemene. Se denoan normalmene con las siglas MA, como en el caso de los modelos auorregresivos, del orden enre parénesis. Así, un modelo con q érminos de error se denoa como MA(q). Modelo MA(q). Un modelo de medias móviles de orden q, MA(q), se define de la siguiene forma:... q q Donde : Variable dependiene.,,..., q : Peso específico. : Residuo o error. También conocido como ruido blanco., q : Valores previos de residuos.,..., Uilizando el operador polinomial de reardos, 30

31 ( L) L L... ql q, el modelo de medias móviles se puede expresar de forma compaca ( L) donde la media es cero, cualesquiera que sean los valores de i, es decir: E ( L) E( ) 0 Si en el modelo MA(q) se incluye un érmino consane... q q Donde : Variable dependiene.,,...,, q : Peso específico. : Error aleaorio o residuo. También conocido como ruido blanco., q : Valores previos de residuos.,..., Enonces al omar esperanzas maemáicas en la expresión anerior resula E Así pues, en los modelos de medias móviles, la media del proceso coincide con el érmino independiene, que aparece en el segundo miembro. Sin pérdida de generalidad se supondrá en lo sucesivo que 0. Para que un proceso MA(q) sea inverible se requiere que las raíces de la ecuación polinomial caigan fuera del círculo unidad. L L... ql q 0 Calculando los momenos del proceso, a parir del operador de reardo L se iene: 3

32 3 ) ( ) ( ) ( ) (... ) ( q q q q E L L E E L L L E E Respeco de la varianza, se iene:... ) ( ) ( q q E E V Modelo MA() Un modelo MA() viene definido por: Donde es un ruido blanco con las propiedades, ya definidas. Un modelo MA() omiiendo la consane viene definido por: L ) ( Donde es un ruido blanco. Para que la ecuación sea esable se requiere que la raíz del polinomio caracerísico caiga fuera del círculo unidad, es decir 0 L L O, de forma equivalene, que La condición de inveribilidad de un modelo MA() es equivalene en senido formal a la condición de esacionariedad de un modelo AR(). Un modelo MA() es siempre esacionario y la condición de inveribilidad se esablece para poder pasar a un modelo AR( ).

33 Modelo MA() Un modelo MA() omiiendo la consane viene definido por: ( L L ) Donde es un ruido blanco. Para que un proceso MA() sea inverible se requiere que las raíces del polinomio caracerísico caigan fuera del círculo unidad. L L 0 Condiciones de esacionariedad e inveribilidad en los Procesos MA Los modelos de medias móviles finios son siempre esacionarios. Como puede apreciarse de las deducciones aneriores, los momenos de los procesos (esperanza, varianza y auocovarianzas) son invarianes en el iempo. A diferencia de los procesos AR, para la deducción de los momenos no es necesario suponer la esacionariedad de la serie. Si las raíces del polinomio de medias móviles caen fuera del círculo unidad, el proceso será ambién inverible. Veamos el caso de un proceso MA() (omiiendo la consane para simplificar la exposición). Se iene: Susiuyendo la segunda expresión en la primera: [ y ] y 33

34 34 coninuando con la susiución recursiva: i i i i i i i Alernaivamene: i i i i L L L Es decir, en principio es posible expresar el modelo MA()como un AR(). Para que efecivamene ambos modelos sean equivalenes se requiere que el modelo AR sea esacionario, lo que impone la condición que De esa forma, cuando el polinomio de medias móviles ) (l q (L) iene sus raíces fuera del círculo unidad, el proceso de medias móviles puede ransformarse en un proceso AR esacionario. Ora forma de mosrar la inveribilidad para procesos MA(). - ) ( L L A.3. Modelos mixos auorregresivos - medias móviles (ARMA) La combinación de modelos Auorregresivos (AR) y de Medias Móviles (MA) da lugar al modelo ARMA. Un modelo ARMA (p,q) se define de la siguiene forma:

35 c... p p... q q Donde es un ruido blanco. Uilizando los operadores polinomiales de reardo, el modelo se expresará de forma compaca de la siguiene forma: ( L) ( L) Para que el modelo sea esacionario se requiere que las raíces de la ecuación polinomial caigan fuera del círculo unidad. p ( L) L... pl 0 Si se cumplen las condiciones de esacionariedad, el modelo ARMA(p,q) se puede expresar como un MA( ), pudiendo represenarse de la siguiene forma: ( L) ( L) ( L) Por ano los coeficienes del operador polinomial (L), que iene infinios elemenos, deben cumplir la siguiene idenidad: ( L) ( L) ( L) O, en noación más deallada, se esablece la siguiene idenidad: p q ( L... pl )( L L...) ( L... L ) A parir de la anerior idenidad, se pueden deducir un conjuno de q ecuaciones que nos permien obener los i, en función de los coeficienes h y j. Así en un modelo ARMA (,), la idenidad anerior sería 35

36 ( L)( L L...) ( L ) Para que un modelo ARMA (p,q) sea inverible, se requiere que las raíces de la ecuación polinomial caigan fuera del círculo unidad. q ( L) L... ql 0 Modelo ARMA(,) Un proceso ARMA (,) (excluyendo la consane) se define: i El proceso ARMA(,) es esacionario cuando, e inverible cuando. Muliplicando ambos miembros por k y omando esperanzas, enemos: k E[ k ] k E[ k ] E[ k ] Teniendo en cuena que: E [ ] E [ ] E[ ( )] ( ) La expresión se deduce a las siguienes expresiones: Para k=0 Para k= 0 ) 0 ( Susiuyendo ese valor en la expresión de la varianza ( 0 ) se iene: 0 36

37 0 ( 0 0 ) ( ) Que vuelve a susiuirse en la expresión de la covarianza de primer orden ( ) Para k> k k De esa forma, los coeficienes de auocorrelación quedan como: P k ( )( ) P k k k Es decir, los coeficienes de auocorrelación de un ARMA(I,q) se comporan como un AR() puro para k>. B. MODELOS LINEALES NO ESTACIONARIOS B.. Modelos de promedio móvil auorregresivo inegrado: ARIMA (p,d,q). Es un modelo que permie describir un valor como una función lineal de daos aneriores y errores debidos al azar. Se analiza sobre una serie esacionaria. Los modelos de promedio móvil auorregresivo inegrado (ARIMA: Auorregresive inegraed moving-average) son una clase especializada de écnicas de filración que ignoran por compleo a las variables independienes en la formulación de pronósicos. Esos modelos son disposiivos alamene refinados de ajuse de curvas que uilizan valores reales y aneriores de la variable dependiene, para producir pronósicos precisos de coro plazo. 37

38 En 970, Box y Jenkins desarrollaron un cuerpo meodológico desinado a idenificar, esimar y diagnosicar modelos dinámicos de series emporales en los que la variable iempo juega un papel fundamenal. Podemos decir que la consideración exclusiva de los valores pasados de una deerminada variable para explicar su evolución presene y fuura supone, al mismo iempo una venaja y un inconveniene: - La venaja radica en el hecho de no necesiar disinas series de daos (disinas variables) referida al mismo periodo de iempo (caracerísica común a odos los modelos univarianes) y, al mismo iempo, ahorramos la idenificación y especificación del modelo en el senido de la economería radicional. - El inconveniene es que, al renunciar a la inclusión de un conjuno más amplio de variables explicaivas, no aendemos a las relaciones que sin duda exisen enre casi odas las variables económicas perdiendo capacidad de análisis de iempo que renunciamos, implíciamene, al esudio eórico previo del fenómeno y a su indudable uilidad. Los modelos ARIMA (p,d,q) consiuyen una clase paricular de procesos no esacionarios y se define como: Donde: La mayor pare de las series económicas corresponden a procesos no esacionarios. Así, si se desea obener un raamieno de las series basado 38

39 en el análisis de series de iempo (modelo ARMA), es necesario discuir mecanismos de ransformación de las series a procesos esacionarios. En principio pueden presenarse disinas (infinias) formas por las que se inroduce la no esacionariedad en un proceso esocásico. Sin embargo, ineresa considerar solo algunas formas de la no esacionariedad que sean adecuados para describir el comporamieno de series económicas y, al mismo iempo, posibles de ser ransformados en procesos esacionarios. En primer lugar, analizaremos el proceso de "caminaa aleaoria". Caminaa aleaoria Es una serie de iempo esocásica en la que cada cambio sucesivo en, expresado como u es exraído en forma independiene de una disribución de probabilidad con media 0 y varianza σ. Por lo ano, esá deerminada por: Donde es un ruido blanco. CASO GENERAL Dada una serie, que evenualmene corresponde a los logarimos de los valores originales, si su diferencia de orden "d" puede ser represenada por un proceso ARMA(p,q) esacionario, se dice que la serie sigue un proceso ARIMA(p,d,q). La lera "I" en ARIMA corresponde a "Inegración", la operación inversa a la diferenciación. 39

40 Si Z d y Z sigue un proceso ARMA(p,q) esacionarios: p p q L L... L Z L L... L ( L) Z p ( L) q Enonces sigue un proceso ARIMA(p,d,q). También se escribe en la q variable original como: d p( L)( L) q( L) Generalmene, no son necesarias diferencias regulares de orden superior a, excepo en el caso de variables que presenan esacionalidad. Transformaciones Box Cox Box y Cox (964) definieron una ransformación insanánea en el senido de que no esán involucrados simuláneamene varios periodos de iempo de carácer más general que la ransformación logarímica. Esa ransformación se define por: ( ) / Ln 0 0 La ransformación Box Cox requiere definir el parámero de la ransformación. Cuando el parámero es, la ransformación Box Cox consise prácicamene en omar logarimos. Cuando el parámero es 0, se define por la segunda igualdad (ransformación logarímica). original. La primera igualdad vale ambién en el límie, el logarímico de la serie 40

41 MODELOS ARIMA ESTACIONALES Un modelo esacional puro se caraceriza porque sólo exise relación enre las observaciones que disan enre sí s periodos o múliplos de s. Son series con ciclos u oscilaciones esricamene periódicas, donde el periodo es igual o inferior al año. El periodo esacional se designa por s, así en daos rimesrales s=4, en daos anuales s=, ec. La elaboración de modelos ARIMA esacionales presenan caracerísicas análogas a las de los modelos ARIMA no esacionales. Los méodos que emplean modelos esacionales ó SARIMA(p,d,q)(P,D,Q) suponen que el componene esacional es generado por un proceso esocásico, cuya idenificación se realiza de manera similar a los modelos que represenan la esrucura regular de una serie, con la excepción de que para ello se examinan los valores esacionales de las funciones de auocorrelación (valores que corresponden a los rezagos 4,8,, si los daos son rimesrales y, 4, 36, si los daos son mensuales). De ese modo una serie podría requerir diferencias de orden esacional si los valores esacionales de la función de auocorrelación no ienden a cero rápidamene. Un proceso SARIMA(p,d,q)(P,D,Q) se define así, Donde: p q L L p s d s D s L PL ( L) ( L ) ql QL L L... L L L... L p q p q 4

42 P s s s Ps L L L L... Q s s s Qs L L L L... INTERVALOS DE CONFIANZA PARA LAS PREDICIONES P Q La varianza del error de predicción puede uilizarse para obener inervalos de confianza de las predicciones elaboradas, mediane la expresión: Pr ~ y T k e ( k ) T Donde, si se supone que la innovación sigue una disribución normal, el parámero se obendrá de las ablas de dicha disribución, al nivel de confianza elegido. 4

43 DISTRIBUCIONES TEÓRICAS DE LOS COEFICIENTES DE AUTOCORRELACION Figura N 0: Coeficienes de Auocorrelación y de Auocorrelación Parcial de los Modelos AR() y AR(). 43

44 Figura N 0: Coeficienes de Auocorrelación y de Auocorrelación Parcial de los Modelos MA() y MA(). 44

45 Figura N 03: Coeficienes de Auocorrelación y de Auocorrelación Parcial de un Modelo ARIMA(,). 45

46 Méodología de BOX - JENKINS El méodo de Box-Jenkins es uno de los méodos predicivos y se fundamena en la esimación eficiene de los parámeros por medio de los procesos ieraivos. De acuerdo a Box-Jenkins (970), el análisis de series de iempo implica las siguienes eapas: (i) Idenificación, (ii) Esimación, (iii) Verificación y, (iv) Pronósico (Predicción). Si la serie es débilmene esacionaria, se procede de inmediao con la eapa (i); caso conrario, la serie debe ser "pre-procesada" a fin de ser ransformada en realizaciones esacionarias. Asumiendo que se cuena con series esacionarias, la idenificación iene por objeo deerminar el ipo de modelo a aplicar (AR, MA ó ARMA) y el orden de los parámeros "p" y "q". El procedimieno de la elaboración de un modelo ARIMA mediane la meodología Box Jenkins se muesra y explica más adelane en la figura nº 04. Un aspeco imporane en la modelación ARIMA de una serie de iempo simple es el número de veces que ésa necesia de una diferencia anes de fijar el modelo DICKE FULLER Ampliado (Tes ADF) Sin duda alguna, el es más habiual a la hora de deerminar la esacionariedad de una serie emporal, consise en la aplicación del conocido como es de Dickey Fuller (Tes DF) o Dickey-Fuller Ampliado (Tes ADF). Ése es un conrase de No esacionariedad ya que la hipóesis nula es 46

47 precisamene la presencia de una raíz uniaria en el proceso generador de daos de la serie analizada. Como modelo de parida para el análisis de una deerminada serie, el de un proceso esacionario auorregresivo de orden uno: Como hipóesis nula H0, el modelo alernaivo de un paseo aleaorio no esacionario del ipo: El Tes de Dickey-Fuller Ampliado (DFA): conrasa la presencia de una raíz uniaria en una serie que sigue un proceso AR(p), deberá aplicarse el procedimieno expueso para el caso simple AR(), pero suponiendo ahora del modelo: a 0 B i B i i H0: = 0 raíz uniaria (proceso no esacionario). H: < 0 no exise raíz uniaria (proceso esacionario) Esadisico BOX PIERCE El conrase de "Q" propueso por Box-Pierce (970) analiza la hipóesis nula de que: H0 3=... M=0 Cuya expresión es: Q T M k k 47

48 La cual fue refinada a fin de disminuir el sesgo en pequeñas muesras, por Ljung y Box (978) que propusieron el siguiene esadísico: Q * T M T T k k k Donde M: Número máximo de rezagos a analizar. T: Número oal de observaciones. Rj: La función de auocorrelación de los errores del proceso. Que se disribuye con una M pq grados de liberad. Si Q * M pq (α) se acepa H0 Si Q * M pq (α) se rechaza H0 ó Si Prob(Q)> α, se acepa H0. Los residuos son ruido blanco. Si Prob(Q)< α, se rechaza H0.Los residuos no son ruido blanco..3. Definición de Términos Básicos a. Dao mensual Información obenida cada mes del número de nacimienos y del número de defunciones de la población. b. Defunción Cesación de la vida de un ser pereneciene a la sociedad o la separación de un inegrane de la población. c. Demografía Demografía se ocupa de la descripción esadísica de las poblaciones 48

49 humanas en las que respeca a su esado en una fecha dada; y a los hechos demográficos que se produce en esas poblaciones. d. Disrio Cada una de las demarcaciones en que se subdivide un erriorio o una población con el fin adminisraivo o jurídico. e. Deerminar Indicar con precisión o señalar un valor exaco para una solución de una deerminada prueba de los daos o cálculo de los daos. f. Funciones del Regisro Civil Los Regisros Civiles son de carácer Jurídica y Esadísica; Jurídica porque consise en producir una prueba legal plena y permanene de la ocurrencia de los hechos viales (Nacimienos, Marimonios y Defunciones) y que esablece la prueba formal de los vínculos del grupo familiar enre si y con el Esado y función Esadísica porque recoge y obiene información de los daos y caracerísicas necesarias de los hechos ocurridos para elaborar las esadísicas viales, que forman pare de las esadísicas demográficas. La Oficina de Regisro Civil es la encargada de la inscripción de nacimienos, marimonios y defunciones que ocurren denro de esa jurisdicción. g. Modelo Es la represenación maemáica de las variables en esudio y los parámeros que son esimados, con fines de predicción del comporamieno fuuro de la variable en esudio. 49

50 h. Modelo maemáico Es la represenación numérica de un problema básico, en el cual el comporamieno del sisema esá represenado por un conjuno de ecuaciones acompañadas de relaciones lógicas. i. Municipio Es una enidad adminisraiva que puede agrupar una sola localidad o varias y que puede hacer referencia a una ciudad, un pueblo o una aldea. j. Nacimienos Incorporación de un nuevo ser en una población, regisro de una unidad en los archivos de Regisro Civil. k. Naalidad La naalidad es el fenómeno demográfico que va unido al nacimieno, numero proporcional de nacimienos en una población en un iempo deerminado. l. Predicción Anunciar algo que ha de ocurrir en el fuuro en función de hechos pasados de la misma variable analizada, en serie de iempo los daos deben ser omadas en momenos sucesivo de iempo para su análisis. m. Pronosico Conocer con algunos indicios el fuuro de lo que puede suceder la variable en esudio en función de los hechos pasados del mismo. 50

51 n. Población Es el número de habianes ubicados geográficamene en una deerminada región o demarcados políicamene. o. Regisro Civil Es un grupo adminisraivo o servicio público, encargado de dejar consancia de los hechos o acos relaivos al esado civil de las personas físicas, así como oros que las leyes le encomienden. p. Tasa de moralidad Es la población enre los fallecidos de odas las edades, durane un periodo deerminado generalmene un año, la población media de ese periodo. q. Tasa de naalidad La asa de naalidad adolece de serias limiaciones, pueso que esá afecada por los cambios en la proporción de la población de edades no reproducivas, sin embargo, es la más imporane. 5

52 .4. Operacionalización de variables Por ser una variable direca en el siguiene cuadro se dealla: Tabla : Operacionalización de variables VARIABLE TIPO DE VARIABLE DEFINICION INDICADOR NIVEL DE MEDICION UNIDAD DE MEDIDA Número de nacimienos mensuales del disrio de Acora, correspondienes al periodo cuaniaiva Incorporación de un nuevo ser en una población, regisro de una unidad en los archivos de Regisro Civil. Número de personas nacidos Número de personas nacidos expresadas en cifras mensuales. Número de personas nacidos Número de defunciones mensuales del disrio de Acora, correspondienes al periodo cuaniaiva Cesación de la vida de un ser pereneciene a la sociedad o la separación de un inegrane de la población. Número de personas fallecidas Número de personas fallecidas expresadas en cifras mensuales. Número de personas fallecidas Tiempo Es la duración o separación de aconecimienos, permie ordenar los sucesos en Cuaniaiva secuencias, esableciendo un pasado, Tiempo que se realiza un fuuro y un ercer conjuno de evenos ni pasados ni fuuros respeco a oro. FUENTE: Elaboración propia Tiempo que realiza se Tiempo que se realiza 5

53 CAPÍTULO III MATERIALES MÉTODOS 3.. Población La población en esudio esá conformada desde el periodo de inicio de regisro de daos de la municipalidad disrial de Acora hasa la acualidad por la serie de nacimienos y defunciones en la población del Disrio de Acora. 3.. Muesra La muesra esará conformada por el número de nacimienos y del número de defunciones mensuales, elegida a crierio por la disponibilidad de los daos, el periodo de iempo comprendido desde el año 994 hasa el año 05, en daos mensuales n= Méodos de Recopilación de Daos La información esadísica para realizar el presene rabajo de invesigación fue exraída del archivo del Regisro Civil de la Municipalidad Disrial de Acora, en daos mensuales correspondiene enre el periodo 994 hasa

54 3.4. Méodos de Traamieno de Daos Para el presene rabajo de invesigación se hará uso de la meodología de Box Jenkins METODOLOGIA DE BOX-JENKINS La meodología de Box-Jenkins es uno de los méodos predicivos que se fundamena en la esimación de los parámeros por medio de procesos ieraivos, consa de cuaro fases, los cuales son: Paso. Idenificación del modelo Para deerminar si una serie es esacionaria se debe analizar primeramene el gráfico de la serie en un ploeo de dispersión. Si la serie no es esacionaria se puede converir a una serie esacionaria mediane el méodo de diferenciación, para lo cual se debe especificar el grado de diferenciación y el algorimo de BOX - JENKINS convieren los daos en una serie esacionaria y realiza los cálculos subsecuenes uilizando los daos ya converidos. Paso. Esimación y prueba de adecuación Habiendo idenificado los valores apropiados de p, d y q, la siguiene eapa es esimar los parámeros de los érminos auorregresivos y de media móvil incluidos en el modelo. Algunas veces, ese cálculo puede hacerse mediane mínimos cuadrados simples, pero oras se endrá que recurrir a méodos de esimación no lineal (en parámeros). Pueso que esa labor es llevada a cabo a ravés de ruinas en diversos paquees esadísicos, en la 54

55 prácica no es preciso preocuparse por los desarrollos maemáicos de la esimación. Paso 3. Verificación de diagnósico Después de seleccionar un modelo ARIMA paricular y de esimar sus parámeros, se raa de ver si el modelo seleccionado ajusa los daos en forma razonablemene buena, ya que es posible que exisa oro modelo ARIMA que ambién lo haga, es por eso que el diseño ARIMA de Box Jenkins es un are más que una ciencia; se requiere gran habilidad para seleccionar el modelo ARIMA correco. Paso 4. Predicción Una de las razones de la popularidad del proceso de modelación ARIMA es su éxio en la predicción. En muchos casos las predicciones obenidas por ese méodo son más confiables que aquellas obenidas de la elaboración radicional de modelos paricularmene para predicciones de coro plazo. eniendo el modelo definido se procede a realizare los pronósicos a fuuro haciendo uso del modelo obenido en el procedimieno. 55

56 Figura N 04: Procedimieno de Méodo 56

57 CAPÍTULO IV RESULTADOS DISCUSIÓN 4.. Análisis de la Serie Mensual del Número de Nacimienos del Disrio de Acora Se presena en el abla N 0 el consolidado de la serie mensual del número de nacimienos en la población del disrio de Acora, correspondienes a los periodos del año 994 hasa el año 05, obenidos de los archivos de la oficina de Regisro Civil y Esadísica de la Municipalidad del Disrio de Acora. 57

58 Tabla N 0: Serie del número de Nacimienos del Disrio de Acora, periodo ENE FEB MAR ABR MA JUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC En el abla N 0 de los daos de nacimienos, se puede observar e con mayor número de nacidos 35, correspondiene al mes Junio del año 996, con el menor número de nacidos en mes de Diciembre del año 05, enconrándose los promedios de cada mes de enero a diciembre:8, 9, 0, 8, 8, 9, 7, 7, 7, 0, 0, 8, promedios anuales del año 994 a 05: 4, 6, 7, 7, 3, 4, 9, 3, 9, 9, 0, 9, 4, 4,, 6,,,, 9, 0, 7. A coninuación se presena el análisis de la serie de nacimienos. 58

59 I. IDENTIFICACION DEL MODELO Como primer paso se quiere que la serie de inerés sea esacionaria. Una serie esacionaria es la que posee una media y una variancia consane. Gráfico N 0: Serie de número de nacimienos mensuales del año El gráfico N 0, Evolución de la serie del número de nacimienos del Disrio de Acora, periodo obenidos con el Sofware esadísico STATGRAPHICS, ha sido obenido del sofware libre. Los Modelos Univarianes para Describir y Predecir la Serie de Nacimienos y Defunciones del Disrio de Acora, periodo , del gráfico N 05, podemos visualizar una variabilidad de sus componenes, así como una endencia bien pronunciada descendene por lo que la serie no es esacionaria por lo cual debemos de diferenciarla. 59

60 Auocorrelaciones Esimadas Gráfico N 0: Auocorrelaciones esimadas Rezagos En el grafico N 0, muesra los coeficienes de auocorrelacion de la serie hisórica de los nacimienos del Disrio de Acora. Se observa ambién que exisen coeficienes significaivos ( al 0), endiendo a 0 dichos coeficienes a parir del. Por lo ano, ese grafico corrobora con el grafico anerior donde la serie no es esacionaria. Gráfico Auocorrelaciones N 03: Auocorrelaciones Parcial parciales Esimadas esimadas Rezagos En el grafico N 03 presena cuaro coeficienes significaivos es decir que sobre pasan el límie superior, pero a parir del coeficiene cinco ienden a cero. Eso nos da la idea de un modelo de media móvil. 60

61 Gráfico N 04: Diferencia Serie ransformada no del Esacional número de nacimienos mensuales Tiempo En el grafico N 04 se pude ver que los daos presenan oscilaciones con eso se presume que la serie es esacionaria. Se presena la primera diferencia de la serie hisórica no esacional, y iene la forma de un ruido blanco por lo que dicha serie hisórica puede decir que es esacionaria, la varianza mejora en la pare esacionaria pero aun presena variaciones alas y bajas en la pare regular, aun presena picos en la serie la cual iene una variación ala, la varianza sea compleamene esacionaria. Auocorrelaciones Esimadas para la Gráfico N Diferencia 05: Auocorrelaciones no Esacional esimadas de la serie Rezagos 6

62 En el grafico N 05 se muesra las auocorrelaciones de la nueva serie ransformada del número de nacimienos un coeficiene significaivo hacia el límie inferior, por lo que nos da la idea de un modelo de media móvil. Los coeficienes resanes ienden a cero. Auocorrelaciones Gráfico N 06: Auocorrelaciones Parcial parciales Esimadas esimadas de la serie para la Diferencia no Esacional Rezagos En el grafico N 06 ese grafico muesra una caída exponencial en la pare inferior limie dando la idea de una media móvil. Ese grafico presena 3 coeficienes significaivos asía el límie inferior y a parir del cuaro coeficiene ienden a cero. Las auocorrelaciones de la nueva serie ransformada se muesran en el grafico Nª 05 las auocorelaciones esimadas y en el grafico Nª 06 las auocorrelaciones parciales esimadas, la serie ransformada del número de nacimienos, indica que la nueva serie es esacionaria y el comporamieno de las auocorrelaciones corresponden a procesos ARIMA y pueden idenificar diferenes modelos alernaivos. Siguiendo la meodología Box-Jenkins, se presena los resulados de la serie de la esimación, comprobación del diagnósico y la predicción, con el 6

63 Sofware esadísico STATGRAPHICS. La elección del mejor modelo de predicción se muesra en la siguiene página. El modelo que presena el menor valor. ECUACION De lo discuido aneriormene el modelo idenificado es un ARIMA(0,,), cuya ecuación es la siguiene: = + ε θ ε II. ESTIMACION DEL MODELO IDENTIFICADO: ARIMA(0,, ) Se realiza la esimación de los parámeros de los modelos seleccionados. Procederemos a esimar los parámeros del modelo como ya se sabe en los modelos ARIMA se esiman al minimizar la suma de los cuadrados en los errores de ajuse. Pueso que esa labor es llevada a cabo a ravés de ruinas en diversos paquees esadísicos. Tabla N 03: Resumen de los parámeros del Modelo ARIMA (0,, ) Parameer Esimae Sand.error T-value P-value MA () Model fied o differences of order Esimaed whie noise variance = 0.46 wih 6 degrees of freedom. Esimaed whie noise sandard deviaion (sd err) = Chi-square es saisic on firs 0 residual auocorrelaions = wih probabiliy of a larger value given whie noise = Backforecasing: no Number of ieraions performed: 4 Se ha seleccionado el modelo de un promedio móvil auoregresivo 63

64 inegrado (ARIMA). Ese modelo asume que el mejor pronósico disponible para daos fuuros esá dado por el modelo paramérico que relaciona el valor más reciene con los valores y ruido previos. ECUACION DE PRONÓSTICO Ecuación de pronósico esimado para el número de nacimienos. = θ e = e III. VALIDACIÓN DEL MODELO ESTIMADO ARIMA (0,, ) En esa fase se comprueba la adecuación del modelo esimado se verifica que los residuos siguen un proceso ruido blanco es: ADECUACIÓN DEL MODELO ESTIMADO. θ < El valor del coeficiene del modelo es menor que ( ), que es la primera validación del modelo. MA() p = < 0.05 También es significaivo ya que el p-esadísico es igual , condición necesaria de un buen modelo.. Conrase global de Box Pierce Planeamieno de hipóesis para el modelo ARIMA(0,,) H o : Los residuos siguen un proceso ruido blanco o los residuos son independienes 64

65 H a : Los residuos no siguen un proceso ruido blanco o los residuos no son independienes Nivel de significancia = 0.05 = 5% Prueba esadísica: Q * T M T T k k k Donde M: Número máximo de rezagos a analizar. T: Número oal de observaciones. Rj: La función de auocorrelación de los errores del proceso. Q = Q = X (M p q,α) X (4 0, 0.05) = X (3, 0.05) = 35.7 Que se disribuye con una M pq grados de liberad. Si Q * M pq (α) se acepa H0 Si (0.05 = 5%) se acepa H0 El conrase de Q propueso por Box Pierce es menor que la chip cuadrado por lo ano se acepa la hipóesis nula, es decir que los 65

66 residuos siguen un proceso ruido blanco o los residuos son independienes. = = + ε = ε E ε = 0 E ε = σ E ε ε, = 0, 3. Probabilidad normal Gráfico N 07: Probabilidad normal Grafico de Probabilidad Normal Ese grafico N 07 muesra un buen ajuse de los daos y se ubican sobre la línea reca dándonos una idea de un modelo media móvil, con la única excepción de los úlimos daos. Residuales 66

67 4. Auocorrelaciones residual esimada Funcion de Auocorrelacion Residual Gráfico N 08: Auocorrelaciones Esimada residuos para ajuse de Rezagos Ese grafico N 08 de las auocorrelaciones esimadas se muesra que odos los coeficienes se encuenran denro de los límies de probabilidad es decir que la serie es esacionaria ya que odos ienden a cero, hay una correlación esadísicamene significaiva a ese reraso al nivel de confianza del 5%. 5. Auocorrelaciones parcial residual esimada Funcion de Auocorrelacion Parcial Gráfico N 09: Auocorrelaciones Residual Esimada parciales de residuos para el ajuse Rezagos 67

68 Ese grafico N 09 la función de auocorrelación parcial de los residuales muesra que odo los coeficienes ienden a cero por lo que la serie hisórica es esacionaria. Ese grafico corrobora con el análisis de la función de auocorrelación de los residuales (grafico N 08). IV. PRONOSTICO CON EL MODELO ESTIMADO Gráfico N 0: Predicción del número de nacimienos para el año 06 En el grafico N 0 muesra los pronosicos de 4 valores que por defeco nos da el programa esadisico, ambien muesra los inervalos de confianza del 95% de esos pronosicos que siguen en el senido de dichos valores, asumiendo que el modelo ajusado es apropiado. No se noa mucha disancia de limie superior a limie inferior por la ano nos da la idea de que es un buen modelo de pronosico. 68