La derivada como herramienta matemática

Transcripción

1 La derivada como herramienta matemática por Oliverio Ramírez En este apartado, se muestran dos aplicaciones de la derivada como herramienta de apoyo para el cálculo de: 1) Límites indeterminados. 2) Derivadas de funciones implícitas. Estas aplicaciones de la derivada ponen de manifiesto su aplicabilidad en múltiples escenarios, además que se introduce el tema de la derivación de funciones multivariables, es decir, funciones con más de una variable independiente. Límites indeterminados En ocasiones al evaluar el límite en un valor determinado, el resultado adopta la forma ó ; que no representan ningún valor específico en el conjunto de los números reales, por lo que se les conoce con el nombre de formas indeterminadas (Fuenlabrada, 2001). Veamos el siguiente ejemplo: Ejemplo 1 Calcula Al utilizar los teoremas de límites obtenemos: En esta situación se presenta un límite indeterminado; y podríamos pensar que el límite no existe; sin embargo, antes de aceptar esa idea es conveniente utilizar algún tipo de artificio algebraico para ver si es posible evitar la indeterminación, y llegar a una conclusión diferente. Algo de historia De acuerdo con Pérez (s. f.), la conocida regla de L Hopital, herramienta eficiente para resolver límites indeterminados no fue descubierta por el adinerado marqués L Hopital sino por Jacob Bernoulli. Cuenta que Bernoulli recibía un sueldo anual de 300 libras por clases de cálculo infinitesimal y por la exclusividad de algunos de sus teoremas. Esta regla fue publicada en

2 Con este procedimiento, se observa que utilizando la factorización por binomios conjugados es posible simplificar la función y concluir que el límite de la función cuando x tiende a 2, es igual a 4. Sin embargo, a pesar de que la factorización es una herramienta que puede ayudarnos a analizar problemas de indeterminación, no todas las funciones pueden factorizarse, por ejemplo, cómo factorizarías una función del tipo? Para resolver este tipo de problemas existe una herramienta de análisis conocida como Regla de L Hôpital, que de acuerdo con Zill (1987) se define de la siguiente forma: Si el es una forma indeterminada, y ó Entonces, En lenguaje cotidiano lo que esta regla quiere decir es que al evaluar un límite indeterminado es posible obtener un valor determinado, si se calcula el cociente de la derivada del numerador y la derivada del denominador. Veamos los siguientes ejemplos: Ejemplo 2 Calcula utilizando la regla de L Hôpital La regla de L Hôpital nos dice que para calcular un límite indeterminado primero debemos derivar por separado tanto el numerador, como el denominador de la función, como se muestra a continuación: Derivada del numerador = 2 Derivada del denominador = 1 2

3 Posteriormente aplicamos la regla de L Hôpital Observa que es el mismo resultado que obtuvimos mediante la factorización. Ejemplo 3 Calcula Para analizar esta indeterminación utilizamos la regla de L Hôpital La derivada del numerador es igual a La derivada del denominador es igual a 1. Aplicando la regla de L Hôpital, se obtiene: 3

4 Ejemplo 4 Calcula Para analizar esta indeterminación utilizamos la regla de L Hôpital. La derivada del numerador es igual a La derivada del denominador es igual a 1. Luego, Ejemplo 5 Calcula Para analizar esta indeterminación utilizamos la regla de L Hôpital. La derivada del numerador La derivada del denominador es igual a es igual a 4

5 Como el resultado del segundo límite continúa siendo /, necesitamos aplicar la regla de L Hôpital por segunda vez. La derivada del numerador La derivada del denominador es igual a es igual a Como se mostró en los ejemplos anteriores: La regla de L Hôpital es una herramienta más general para la evaluación de límites indeterminados que la factorización ya que permite resolver límites de distinto índole. Derivada de funciones implícitas Funciones multivariables. No todas las funciones y ecuaciones que se utilizan en los modelos matemáticos se encuentran expresadas en términos de una sola variable. Analiza las funciones:, 5

6 Cuántas variables intervienen en este tipo de funciones? A este tipo de funciones se les conoce como funciones multivariables, porque su resultado depende de la relación de dos o más variables independientes. Al trabajar con funciones de una variable resulta suficiente calcular la razón de cambio (derivada) de una variable; sin embargo, para poder analizar una función multivariable el trabajo se incrementa, debido a que cada variable involucrada posee su propia razón de cambio. Así, para una función que depende de dos variables, como es posible calcular dos razones de cambio: 1), que representa la derivada de con respecto a x. 2), que representa la derivada de con respecto a y. Este tipo de derivadas se conoce como derivadas parciales. Derivación parcial Para evaluar la razón de cambio con que cada una de las variables afecta a la variable dependiente, es necesario utilizar un método conocido como derivación parcial, que de acuerdo con Denis G. Zill (1987) puede realizarse de la siguiente manera: Si Para evaluar aplíquense los teoremas de derivación considerando a y como constante. Para evaluar aplíquense los teoremas de derivación considerando a x como constante. Para comprender mejor el procedimiento de derivación parcial considera los siguientes ejemplos: 6

7 Ejemplo 1 Si determina: a) y b) a) Para calcular es necesario considerar a y como una constante. Término Explicación Derivada Al derivar este término consideramos a y como una constante que junto con el número 4 multiplicará a la derivada de Este término sólo depende de la variable x, por lo que se deriva directamente, como se muestra. Este término sólo depende de la variable y, a la cual estamos considerando como constante, y debido a que la que la derivada de una constante es cero Reuniendo los resultados anteriores la derivada queda: 7

8 b) Para calcular es necesario considerar a x como una constante. Término Explicación Derivada Al derivar este término 3 consideramos a como una constante que multiplicará a la derivada de Este término sólo depende de la variable x, a la cual estamos considerando como constante, y debido a que la que la derivada de una constante es cero Este término sólo depende de la variable y, por lo que se deriva directamente, como se muestra. Reuniendo los resultados anteriores la derivada queda: Observa que a pesar de haber derivado la misma ecuación, los resultados obtenidos para cada derivada parcial son distintos. 8

9 Ejemplo 2 Si determina: a) y b) a) Para calcular es necesario considerar a y como constante. Al derivar esta función consideramos como una constante que multiplica a la derivada de Constante Derivada b) Para calcular es necesario considerar a x como constante. Al derivar esta función consideramos como una constante que multiplica a la derivada de. Constante Derivada Ejemplo 3 El precio de venta de un automóvil usado está determinado por la ecuación: Donde: k, es el kilometraje del automóvil t, los años de antigüedad. Cuántas variables están involucradas? Calcula la razón de cambio del precio respecto al kilometraje y del precio respecto a la antigüedad. Observa que el precio de venta del automóvil depende de dos factores, kilometraje y años de antigüedad, por lo que en esta ecuación se relacionan: 1 variable dependiente (precio) y 2 variables independientes (kilometraje y antigüedad). 9

10 En esta situación es posible calcular dos razones de cambio: El cambio del precio respecto al kilometraje (se escribe ) y el cambio del precio respecto a la antigüedad (se escribe ) Una de las aplicaciones de las derivadas parciales es en la derivación de funciones implícitas. En la siguiente sección se explica el procedimiento para realizar una derivación de funciones implícitas aplicando las derivadas parciales. Derivación de funciones implícitas Las funciones implícitas, son aquellas que se encuentran escritas mediante una ecuación del tipo porque tanto la variable dependiente como la independiente se encuentran mezcladas en el mismo lado de la igualdad. Ejemplo: Observa que en ambos casos las expresiones matemáticas se encuentran igualadas a cero. Considera que tenemos una ecuación del tipo, por ejemplo: Si queremos obtener el valor de la variable y, necesitamos evaluarla utilizando un valor de la variable x como se muestra: Cuando, Observa que a pesar de que la variable y no se encuentra de forma explícita (no está despejada), sí es posible conocer su valor, ya que es la única variable de la ecuación que desconocemos. En la ecuación implícita la variable y parece no depender de x, pero en realidad sí lo hace. De forma general, podemos decir que al trabajar con funciones del tipo las siguientes dependencias: es necesario considerar 10

11 depende explícitamente de depende implícitamente de Al derivar una función del tipo, considerando a y en función de x se tiene: de donde es posible obtener un teorema que nos permita calcular la derivada implícitas del tipo para funciones De forma práctica podemos concluir que para obtener la derivada de una función implícita del tipo, sólo es necesario calcular el cociente negativo de la derivada parcial de x entre la derivada parcial de y (siempre y cuando esta última no sea igual a cero). Para comprender mejor la aplicación de este teorema en la solución de funciones implícitas, considera los siguientes ejemplos: 11

12 Ejemplo 4 Obtén la derivada de la función implícita Antes de derivar la ecuación debemos asegurarnos de escribirla en la forma estándar, es decir todos los términos deben estar del lado izquierdo e igualados a cero. Pasamos primero el término restando del lado izquierdo: Derivamos parcialmente respecto a x, es decir Derivamos parcialmente respecto a y, es decir Obtenemos el resultado final: Ejemplo 5 Obtén la derivada de la función implícita 12

13 Antes de derivar la ecuación debemos asegurarnos de escribirla en la forma estándar, es decir, todos los términos deben estar del lado izquierdo e igualados a cero. Derivamos parcialmente respecto a x, es decir Derivamos parcialmente respecto a y, es decir Obtenemos el resultado final: En estos ejemplos de aplicación, se utilizó la derivada como herramienta matemática para calcular límites indeterminados, a través de la regla del L Hôpital y para derivar funciones implícitas mediante el uso de la derivación parcial. 13

14 Referencias Alamar, M., Roig, B., Vidal, A. (2006). Fundamentos matemáticos de la ingeniería II [libro en Línea]. Universidad Politécnica de Valencia. Recuperado el 18 de Agosto de 2010 de rencial&hl=es&ei=ru9rtip9donasapekqhnbw&sa=x&oi=book_result&ct=result&resnum=6&ved=0ceuq 6AEwBTgo#v=onepage&q=C%C3%A1lculo%20impl%C3%ADcita%20diferencial&f=false Pérez, M. (2007). Una historia de las matemáticas: retos y conquistas a través de sus personajes. España: Editorial Visión libros. Recuperado el 18 de Agosto de 2010 de tal&hl=es&ei=oavrto_heedsnqfq6ezeag&sa=x&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0cc0q6ae waq#v=onepage&q&f=false Purcell, E. (2001). Cálculo [libro en línea]. Recuperado el 18 de Agosto de 2010 de Quiroga, A. (2008). Introducción al cálculo II [libro en línea]. Delta publicaciones. Recuperado el 18 de Agosto de 2010 de encial&hl=es&ei=wu5rtlbwoy2wsgp7yvnybw&sa=x&oi=book_result&ct=result&resnum=10&ved=0cfo Q6AEwCTge#v=onepage&q&f=false Smith, R. y Minton, R. (2000). Cálculo. Colombia: McGraw-Hill. Zill, D. (1987). Cálculo con Geometría analítica. México: Grupo Editorial Iberoamérica. 14