Modelos ordinales en gretl

Transcripción

1 Modelos ordinales en gretl Microeconomía Cuantitativa R. Mora Departmento of Economía Universidad Carlos III de Madrid

2 Esquema Introducción 1 Introducción 2 3 4

3 Introduction

4 El Probit ordenado y la estimación MV Considera m resultados observados: y = 0,1,..., m. Considera un modelo de variable latente sin constante: y = x β + ε, ε N (0,1) Dene m 1 puntos de corte: α 1 <... < α m 1 No observamos y, pero observamos elecciones según la siguiente regla y = 0 if y α 1 y = 1 if α 1 < y α 2. y = m if α m 1 < y

5 Estimación por MV Introducción Puesto que: Pr(y = 0 x) = Pr ( x ) ( β + ε α 1 = 1 Φ x ) β α 1 Pr(y = 1 x) = Φ ( x ) ( β α 1 Φ x ) β α 2. Pr(y = m x) = Φ ( x β α m 1 ) Entonces, para una muestra de N observaciones, la verosimilitud es: N { (1 ( L(b) = Φ x i b α 1(yi =0) 1)) i=1 ( Φ ( x i b α 1 ) Φ ( x i b α 2)) 1(yi =1)... ( Φ (x b α m 1 )) 1(yi =m) }

6 Comandos básicos en gretl para la estimación del probit Ordinal probit: estima por MV el modelo probit ordinal si la variable dependiente no es binaria pero es discreta omit/add: contrasta tests de signicatividad $yhat: proporciona estiamaciones de la variable latente $lnl: proporciona la log-verosimilitud del último modelo estimado logit: estima por MV el modelo logit ordinal si la variable dependiente no es binaria pero es discreta en esta Sesión vamos a parender a utilizar el comando probit para estimar modelos probit ordinales

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8 probit depvar indvars robust verbose p-values depvar debe tomar valores enteros no negativos, o estar explícitamente marcada como discreta. Caso de que tenga valores no enteros, es recodicada. por defecto, los errores estándar se obtienen con la inversa del opuesto del hesiano opciones: 1 --robust: matriz de covarianzas robusta 2 --verbose: muestra todos los pasos del alogoritmo de maximización

9 Estimaciones Introducción Se obtienen estimaciones MV para los coecientes β y para los valores o puntos de corte α m. éstos se representan en gretl como cut1, cut2, etc. $uhat da los residuos generalizados; $yhat da x β. It is thus possible to compute an unbiased estimate of the latent variable U simply by adding the two together. el output muestra el test χ 2 q para la nula de que todas las pendientes son iguales a cero

10 Ejemplo: Datos simulados Actividad y = 0.07 educ 1.0 kids + ε, donde ε N (0,1) y = 0 if y 0.5 (inactiva) y = 1 if 0.5 < y 2.5 (tiempo parcial) y = 2 if 2.5 < y (tiempo completo) la educación da más utilidad cuanto más trabajas tener un niño da más utilidad cuanto menos trabajas

11 probit work educ kids Model1 Model 1: Ordered Probit, using observations Dependent variable: work coefficient std. error z p value educ e 87 *** kids e 150 *** cut e 22 *** cut e 261 *** Mean dependent var S.D. dependent var Log likelihood Akaike criterion Schwarz criterion Hannan Quinn Number of cases 'correctly predicted' = 3107 (62.1%) Likelihood ratio test: Chi square(2) = [0.0000] Test for normality of residual Null hypothesis: error is normally distributed Test statistic: Chi square(2) = with p value = fig1b Model 2: OLS, using observations Dependent variable: work Heteroskedasticity robust R. standard Mora errors, Modelosvariant ordinales HC1 en gretl

12 Mean dependent Probitvar ordinal en gretl Log likelihood Efectos marginales S.D. dependent var Akaike criterion Schwarz Efectos criterion sobre la variable ordinal Hannan Quinn Number of cases 'correctly predicted' = 3107 (62.1%) Likelihood ratio test: Chi square(2) = [0.0000] El MLP puede dar malos resultados Test for normality of residual Null hypothesis: error is normally distributed Test statistic: Chi square(2) = with p value = fig1b Model 2: OLS, using observations Dependent variable: work Heteroskedasticity robust standard errors, variant HC1 coefficient std. error t ratio p value const e 17 *** educ e 93 *** kids e 164 *** Mean dependent var S.D. dependent var Sum squared resid S.E. of regression R squared Adjusted R squared F(2, 4997) P value(f) 3.2e 252 Log likelihood Akaike criterion Schwarz criterion Hannan Quinn

13 omit no funciona para la signicatividad conjunta no podemos usar omit para contrastar la signicatividad conjunta de todos las pendientes con el test de Wald omit educ kids wald fig2 No independent variables left after omissions Error executing script: halting > omit educ kids wald fig3 # estimating unrestricted model and storing loglikelihood probit work educ kids quiet scalar lur= $lnl el resultado del test LR aparece en el output, y además podemos calcularlo a mano # estimating restricted model and storing loglikelihood probit work const quiet scalar lr= $lnl # computing the LR statistic R. Mora and p value Modelos ordinales en gretl

14 fig2 No independent variables left after omissions Error executing script: halting Test LRfig2 para la signicatividad de las pendientes > omit educ kids wald No independent variables left after omissions fig3 Error executing script: halting # > estimating omit educ kids unrestricted wald model and storing loglikelihood probit work educ kids quiet scalar lur= $lnl fig3 estimating restricted model and storing loglikelihood probit # estimating work const unrestricted quiet model and storing loglikelihood scalar probit lr= work $lnl educ kids quiet scalar lur= $lnl computing the LR statistic and p value scalar # estimating LR=2*(lur lr) restricted model and storing loglikelihood scalar probit pval work = const pvalue(x, quiet 1, LR) scalar lr= $lnl fig3b # computing the LR statistic and p value? scalar printf LR=2*(lur lr) " LR = %.8g\n p value = %.8g\n", LR,pval LR scalar = pval = pvalue(x, 1, LR) p value = e 231 fig3b el resultado coincide con el output en probit: fig4? printf " LR = %.8g\n p value = %.8g\n", LR,pval # LR marginal = effects of having an additional kid probit p value work = e 231 educ kids quiet genr beta=$coeff[1:2] fig4 genr alpha=$coeff[3:4] series kids0=kids matrix # marginal x0={educ,kids0} effects of having an additional kid probit work educ kids quiet

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16 Efectos parciales sobre las probabilidades Como interpretar los resultados? interpretar la ecuación de la variable latente E(y x) = Pr(y=0 x) x j 0 + Pr(y=1 x) x j x j Pr(y=m x) x j Alternativamente, podríamos computar los efectos sobre las probabilidades de los diferentes categorías ordenadas si x j es discreta computamos como en el caso binario de un cambio discreto en x j. en general, los efectos parciales para las probabilidades intermedias son pequeños y no signicativos. m

17 Efectos Marginales: Cambio discreto Cambio discreto de x 0 a x 1 estima el modelo y guarda β y α predice la función índice en los dos puntos x 0 β y x 1 β genera los efectos marginales individuales ( Pr(y = 0 x) = Φ x β ) 0 α 1 Φ (x β ) 1 α 1 Pr(y = 1 x) = Φ ( x β α 1 ) Φ. Pr(y = m x) = Φ ( x β α m 1 ) calcula las medias (x β α 2 ) = Φ (x β ) α 1

18 probit work const quiet scalar lr= $lnl Introducción # computing the LR statistic and p value scalar LR=2*(lur lr) scalar pval = pvalue(x, 1, LR) Ejemplo: fig3b tener un niño adicional? printf " LR = %.8g\n p value = %.8g\n", LR,pval LR = p value = e 231 fig4 # marginal effects of having an additional kid probit work educ kids quiet genr beta=$coeff[1:2] genr alpha=$coeff[3:4] series kids0=kids matrix x0={educ,kids0} series kids1=kids0+1 matrix x1={educ,kids1} series x1b = x1*beta series x0b = x0*beta series Mg_kid0 = (cdf(n,x0b alpha[1]) cdf(n,x1b alpha[1])) series Mg_kid1 = (cdf(n,x1b alpha[1]) cdf(n,x0b alpha[1])) \ (cdf(n,x1b alpha[2]) cdf(n,x0b alpha[2])) series Mg_kid2 = (cdf(n,x1b alpha[2]) cdf(n,x0b alpha[2]))

19 summary Mg_kid* simple fig5 summary Mg_kid* simple Summary statistics, using the observations Mean Minimum Maximum Std. Dev. Mg_kid Mg_kid Mg_kid fig6 # marginal effects of one extra year of education: calculus approximation genr beta=$coeff[1:2] genr alpha=$coeff[3:4] matrix X={educ,kids} series Xb=X*beta scalar meanxb=mean(xb) scalar Mg_educ0= pdf(n,meanxb alpha[1])*$coeff(educ) scalar Mg_educ1= (pdf(n,meanxb alpha[1]) \ pdf(n,meanxb alpha[2]))*$coeff(educ) scalar Mg_educ2= pdf(n,meanxb alpha[2])*$coeff(educ) tener un niño adicional aumenta la probabilidad de no trabajar en más de 30 puntos porcentuales este incremento se produce a costa de reducciones de 25.6 puntos porcentuales en la probabilidad de trabajar a tiempo parcial y de 5.8 puntos porcentuales en la probabilidad de trabajar a tiempo completo fig7? printf " Mg_educ0 = %.8g\n Mg_educ1 = %.8g\n Mg_educ2 = %.8g\n", \ Mg_educ0, Mg_educ1, R. Mora Mg_educ2 Modelos ordinales en gretl

20 : Cambios innitesimales Aproximación con cálculo estima el modele y guarda β y α predice la función x β y calcula su media x β genera la aproximación: Pr(y = 0 x) x j Pr(y = 1 x) x j = Pr(y = 2 x) x j ( = φ x β ) α 1 βj ( φ (x β ) ( α 1 φ x β )) α 2 βj ( = φ x β ) α 2 βj

21 fig5 fig5 Introducción summary Mg_kid* simple Summary summary Efectos statistics, Mg_kid* sobre simple la using variable the ordinal observations Summary statistics, using the observations Mean Minimum Maximum Std. Dev. Mg_kid Mean Minimum Maximum Std Dev. Mg_kid1 Mg_kid Mg_kid2 Mg_kid Mg_kid fig6 fig6 # one extra year of education: calculus approximation genr # marginal beta=$coeff[1:2] effects of one extra year of education: calculus approximation genr alpha=$coeff[3:4] matrix genr beta=$coeff[1:2] X={educ,kids} series genr alpha=$coeff[3:4] Xb=X*beta scalar matrix meanxb=mean(xb) X={educ,kids} scalar series Mg_educ0= pdf(n,meanxb alpha[1])*$coeff(educ) Xb=X*beta scalar Mg_educ1= meanxb=mean(xb) (pdf(n,meanxb alpha[1]) \ scalar Mg_educ0= pdf(n,meanxb alpha[1])*$coeff(educ) pdf(n,meanxb alpha[2]))*$coeff(educ) scalar Mg_educ2= Mg_educ1= pdf(n,meanxb alpha[2])*$coeff(educ) (pdf(n,meanxb alpha[1]) \ pdf(n,meanxb alpha[2]))*$coeff(educ) fig7 scalar Mg_educ2= pdf(n,meanxb alpha[2])*$coeff(educ) Ejemplo de la aproximación? fig7 printf " Mg_educ0 = %.8g\n Mg_educ1 = %.8g\n Mg_educ2 = %.8g\n", \ Mg_educ0, Mg_educ1, Mg_educ2? printf " Mg_educ0 = %.8g\n Mg_educ1 = %.8g\n Mg_educ2 = %.8g\n", \ Mg_educ0 Mg_educ0, = Mg_educ1, Mg_educ2 Mg_educ1 = Mg_educ2 Mg_educ0 = Mg_educ1 = Mg_educ2 = fig8 fig8 # marginal effects on work scalar # marginal EMg_kid=mean(Mg_kid1)+2*mean(Mg_kid2) effects on work scalar EMg_educ=Mg_educ1+2*Mg_educ2 EMg_kid=mean(Mg_kid1)+2*mean(Mg_kid2)

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23 Efectos sobre y una vez hemos obtenido los efectos marginales sobre las probabilidades, el efecto esperado sobre la variable ordinal y is fácil de obtener para regresor continuo: Ê(y x) x j para regresor discreto: = Pr(y = 1 x) x j 1 + Pr(y = 2 x) x j 2 Ê(y x) = Pr(y = 1 x) + 2 Pr(y = 2 x)

24 scalar Mg_educ2= Mg_educ1= pdf(n,meanxb alpha[2])*$coeff(educ) (pdf(n,meanxb alpha[1]) Introducción \ pdf(n,meanxb alpha[2]))*$coeff(educ) fig7 scalar Mg_educ2= Efectos pdf(n,meanxb alpha[2])*$coeff(educ) marginales? fig7 printf " Mg_educ0 = %.8g\n Mg_educ1 = %.8g\n Mg_educ2 = %.8g\n", \ Mg_educ0, Mg_educ1, Mg_educ2? printf " Mg_educ0 = %.8g\n Mg_educ1 = %.8g\n Mg_educ2 = %.8g\n", \ Mg_educ0 Mg_educ0, = Mg_educ1, Mg_educ2 Mg_educ1 = Mg_educ2 Mg_educ0 = Mg_educ1 = Mg_educ2 = fig8 fig8 # marginal effects on work scalar EMg_kid=mean(Mg_kid1)+2*mean(Mg_kid2) scalar # marginal EMg_educ=Mg_educ1+2*Mg_educ2 effects on work scalar EMg_kid=mean(Mg_kid1)+2*mean(Mg_kid2) fig9 scalar EMg_educ=Mg_educ1+2*Mg_educ2? fig9 printf " EMg_kid = %.8g\n EMg_educ = %.8g\n", EMg_kid, EMg_educ EMg_kid = ? EMg_educ printf " = EMg_kid = %.8g\n EMg_educ = %.8g\n", EMg_kid, EMg_educ EMg_kid = EMg_educ =

25 Introducción gretl permite la estimación por MV del probit ordinal y del logit ordinal los efectos marginales son fáciles de computar