Planteamiento general de problemas de Programación Matemática

Transcripción

1 Planteamiento general de problemas de Programación Matemática A) Construye un modelo matemático adecuado para la resolución de cada uno de los siguientes problemas e identifica a qué parte de la programación matemática corresponde dicho modelo: 1. Un profesor ha puesto un examen que consta de tres preguntas, y está asignando puntuación a cada una de ellas, de forma que se cumplan los siguientes requisitos: Cada una de las preguntas ha de tener una puntuación mínima de 2, 5 puntos. La suma de la puntuación de todas las preguntas ha de ser 10 puntos. La diferencia entre la puntuación de la primera y la segunda pregunta deberá ser a lo sumo de un punto. El profesor conoce que un 60% del curso resolverá la primera pregunta correctamente, un 40% la segunda y un 50% la tercera. Cómo debe asignar los puntos de modo que se maximice la puntuación global del curso? 2. Un artesano produce tres tipos de sillas con distinto acabado. Tarda 3 días en terminar cada silla si ésta es de primera calidad, 2 días por cada silla de segunda calidad y 1 día por cada silla de tercera calidad. En cada silla obtiene una ganancia de 36, 30 y 25 euros, respectivamente. Sabiendo que sólo tiene licencia para vender 30 sillas, como máximo, en un periodo de dos meses (60 días). Cuántas sillas de cada tipo debe producir para maximizar la ganancia de los próximos dos meses? 3. La producción de un aparato de aire acondicionado le cuesta a una compañía 100 euros en costos variables, más un coste fijo de 5000 euros (independientemente del número de aparatos que se produzcan). Si la compañía gasta x euros en publicidad, puede vender x 1/2 aparatos de aire acondicionado a 300 euros cada uno. Cómo puede la compañía maximizar sus ganancias? 4. A una compañía le cuesta 6 euros por unidad producir un artículo. Si vende a un precio p y gasta a euros en publicidad, puede vender p 2 a 1/6 unidades del artículo. Obtener el precio y el nivel de publicidad que maximizarán las ganancias de la compañía. 5. En una empresa se fabrican dos tipos de juguetes de madera: soldados y trenes. Los soldados se venden a 27 euros la unidad y en la fabricación de cada soldado se usa materia prima por valor de 10 euros. Cada soldado producido supone un coste en mano de obra de 14 euros. Los trenes se venden a 21 euros la unidad y en la fabricación de cada soldado se usa materia prima por valor de 9 euros. Cada soldado producido supone un coste en mano de obra de 10 euros. La producción de soldados y trenes de madera necesita dos tipos de trabajo especializado: carpintería y acabado. Un soldado requiere 2 horas de acabado y 1 hora de carpintería. Un tren requiere 1 hora de acabado y 1 hora de carpintería. La empresa pude conseguir toda la materia prima que quiera a la semana, pero sólo dispone de 100 horas de acabado y 80 de carpintería. Se ha estimado que el número máximo de soldados que se venden semanalmente es de 40 soldados, mientras que no hay límite en la demanda de trenes semanales. Cómo puede la empresa maximizar su ganancia semanal? 6. Una compañía tiene planeado gastar euros en publicidad. Un minuto de publicidad en televisión cuesta euros y un minuto de publicidad en la radio euros. Si la compañía usa x minutos en televisión e y minutos en radio, su ingreso (en miles de euros) viene dado por f(x, y) = 2x 2 y 2 + xy + 8x + 3y. Cómo puede la compañía maximizar su ingreso? 1

2 7. Una empresa se anuncia en horario de emisión de cine y en horario de emisión de un evento deportivo. Cada minuto en horario de cine cuesta euros y en horario deportivo cuesta euros. Si se emiten S minutos al día en horario de cine, serán vistos por 5S 1/2 hombres y por 20S 1/2 mujeres (en miles de espectadores al día). Si se emiten F minutos en horario deportivo, serán vistos por 17F 1/2 hombres y por 7F 1/2 mujeres (en miles de espectadores). Dicha empresa quiere que al menos hombres y mujeres al día vean sus anuncios. Determínese el n o de minutos de anuncios que deberá emitir la empresa al día en horario de cine y en horario deportivo de forma que se minimicen los costes de la misma, alcanzando el número mínimo requerido de espectadores. 8. Una compañía financiera planifica sus operaciones para el año próximo. La compañía concede tres clases de préstamos cuyos tantos de rendimiento son: Tipos de préstamos Tantos de Rendimiento Préstamo personal 14 % Préstamo para mobiliario 10 % Préstamo para automóviles 12 % La política de la compañía impone ciertas restricciones sobre el reparto de los montantes en las diferentes categorías. Los préstmos personales no deberán exceder el 25 % del presupuesto de la compañía, mientras que la suma de los préstamos personales y de mobiliario no deberá exceder el 45 % del presupuesto. El montante concedido a los préstamos para automóviles no deberá exceder el 70 % del presupuesto, pero será al menos el 80 % del presupuesto concedido a los préstamos personales y de mobiliario. la compañía tiene un presupuesto de euros. Determinar el reparto óptimo del presupuesto para maximizar el rendimiento. 9. Una compañía cervecera ha dividido su mercado en 2 territorios. Si se gasta en promoción 10x euros en el territorio 1 podrá vender 6x 1/2 cajas de cerveza en el territorio 1 y si se gasta 10y euros en promocionar en el territorio 2, entonces podrá vender 4y 1/2 cajas de cerveza en el territorio 2. Cada caja de cerveza vendida en el territorio 1 supone un coste de envío y producción de 5 euros y se vende a 10 euros. Cada caja de cerveza vendida en el territorio 2 supone un coste de envío y producción de 4 euros y se vende a 9 euros. Se dispone de un total de 1000 euros para la promoción. Qué cantidad tendrá que gastarse en promoción la compañía cervecera en cada territorio de forma que maximice sus beneficios (teniendo en cuenta sólo los gastos de producción y envío y no lo que se gasta en promoción)? 10. Un comerciante puede comprar un máximo de 17,25 Kg. de producto químico a 10 euros el Kg. Cada Kg. de producto químico se puede convertir en un Kg. de producto 1 a un coste de 3 euros el Kg. y en un Kg. de producto 2 a un coste de 5 euros. Si se producen x Kg. de producto 1, éste se venderá a 30 x euros el Kg. y si se producen y Kg. de producto 2, el producto 2 se venderá a 50 2y euros el Kg. Cómo puede el comerciante maximizar sus ganancias? 11. Una oficina de correos necesita un número de empleados a tiempo completo diferente para cada día de la semana: 17 para el lunes, 13 para el martes, 15 para el miércoles, 19 para el jueves, 14 para el viernes, 16 para el sábado y 11 para el domingo. Las normas sindicales establecen que cada empleado tiene que trabajar durante 5 días consecutivos y después descansar dos días. Cuál es el número mínimo de empleados a tiempo completo que ha de contratar la empresa para cubrir todos los requerimientos? 12. Para realizar una encuesta telefónica, un grupo de investigación de mercado necesita una muestra de al menos 150 mujeres casadas, 120 hombres casados, 100 hombres solteros y 110 mujeres solteras. Se 2

3 estima que el costo medio (en personal) de una llamada diurna es de 2 euros y el de una llamada nocturna es de 5 euros (debido a mayores costes laborales). El porcentaje de llamadas atendido por los distintos sectores de la población aparece en la siguiente tabla. Las llamadas realizadas por la noche pueden ser como máximo la mitad del total de llamadas realizadas (debido a las limitaciones de personal en horario nocturno). Cúantas llamadas se han de realizar en cada tramo horario de forma que se minimicen los costos, cumpliéndose todos los requisitos necesarios para completar la encuesta? Persona que contesta % llamadas diurnas % llamadas nocturnas Mujer casada Hombre casado Hombre soltero Mujer soltera Nadie Sea x el coste de mano de obra por hectárea cultivada e y el coste de fertilizante por hectárea cultivada. La utilidad U de la cosecha, función de coste de la mano de obra y del fertilizante, viene dada por U(x, y) = 50x + 65y + 10xy 10x 2 7y 2. Determinar el coste de la mano de obra y del fertilizante que proporciona la máxima utilidad. 14. Una fábrica produce tres tipos de productos. Si se producen q 1 unidades del producto primero, se venden a un precio de p 1 = 70 4q 1 u.m. cada una. si se producen q 2 unidades del producto segundo, se venden a un precio de p 2 = q 2 u.m. cada una y se se producen q 3 unidades del producto tercero, se venden a p 3 = 30 2q 3 u.m. cada una. El coste de manufacutar q i unidades del producto i es de q i u.m. para i = 1, 2, 3. Cómo puede la fábrica maximizar los beneficios? 15. Una empresa produce frigoríficos y ha firmado un contrato para suministrar 50 unidades al final de cada mes durante tres meses. El coste de producir x frigoríficos el primer mes es x 2, el segundo mes es 2x 2 y el tercer mes es 3x 2. La empresa puede producir si lo desea más frigoríficos de los que necesita en cualquier mes y guardarlos para el siguiente siendo el coste de almacenaje de 20 euros por unidad al mes. Suponiendo que no hay inventario inicial, formular el modelo adecuado para determinar el n o de frigoríficos que han de producirse cada mes, de forma que se minimice el coste total. 16. Una empresa que posee dos almacenes suministra un artículo a 3 clientes. Cada cliente necesita 30 unidades del artículo. El almacén 1 dispone de 40 unidades y el almacén 2 de 30 unidades del artículo. La empresa tiene una penalización por cada unidad del artículo no servida a los distintos clientes: 90 euros si es el cliente 1, 80 euros si es el cliente 2 y 110 euros si se trata del cliente 3. Los costes por cada unidad del artículo enviada desde cada almacén a cada cliente aparecen en la siguiente tabla. Calcular cómo ha de realizarse el envío de forma que se minimicen los costes totales (por envío y por penalización). Cliente 1 Cliente 2 Cliente 3 Almacén Almacén Una comisaría de policía atiende a una comarca. Se han recibido tres llamadas y actualmente se disponen de cinco patrullas. En la siguiente tabla se muestran las distancias (en Km.) entre la situación actual de cada patrulla y la zona a la que tiene que desplazarse para atender a cada una de las llamadas. Determínese la patrulla que deberá atender a cada una de las llamadas de forma que se minimice la distancia total que han de recorrer todas las patrullas. 3

4 Llamada 1 Llamada 2 Llamada 3 Patrulla Patrulla Patrulla Patrulla Patrulla Una empresa fabrica dos productos, A y B, utilizando dos recursos limitados. La máxima cantidad de recurso 1 disponible por semana es de 1000 unidades y la máxima cantidad disponible del recurso 2 es de 250 unidades. La producción de una unidad de A requiere 1 unidad de recurso 1 y 0,2 unidades de recurso 2. La producción de una unidad de B requiere 0,5 unidades de recurso 1 y 0,5 unidades de recurso 2. El coste unitario del recurso 1 es (0, 375 0, 00005u 1 ) donde u 1 es el número de unidades utilizadas de recurso 1. El coste unitario de recurso 2 es (0, 75 0, 0001u 2 ) donde u 2 es el número de unidades utilizadas de recurso 2. Los precios de venta de una unidad de producto A y B son p A = 2 0, 0005x A 0, 00015x B y p B = 3, 5 0, 0002x A 0, 00015x B respectivamente, siendo x A y x B el n o de unidades vendidas de los productos A y B respectivamente. Suponiendo que la empresa vende todo lo que produce, cómo puede la empresa maximizar su beneficio semanal?. 19. Un importador de whisky dispone de un mercado ilimitado, pero por la reglamentación de las importaciones en cuanto a las cantidades mensuales máximas sólo puede importar las siguientes cantidades: Vectorial drink (VD): un máximo de 2000 botellas a 35 euros por botella Integral whisky (IW): un máximo de 2500 botellas a 25 euros por botella Stochastic taste (ST): un máximo de 1200 botellas a 20 euros por botella Efectúa tres mezclas A, B y C, que vende a los precios de 34, 25,5 y 22,5 euros la botella, respectivamente. Estas mezclas tienen las siguientes restricciones sobre su composición: mezcla A: no menos del 60% de VD y no más del 20% de ST. mezcla B: no menos del 15% de VD y no más del 60% de ST. mezcla C: no menos del 50% de ST. Cómo puede el importador maximizar su beneficio?. 20. Un alumno dispone de 7 días para preparar un examen que consta de 3 materias, A, B y C. El alumno estima que por cada 2h de estudio obtendrá 1 punto en la materia A, por cada 3h de estudio obtendrá 1 punto en la materia B y por cada 4h de estudio obtendrá 1 punto en la materia C. Plantear un modelo matemático que maximice la nota total en las tres materias sabiendo que: (a) El alumno no desea superar las 10 horas diarias de estudio. (b) La materia C requiere al menos el doble de tiempo de estudio que A. (c) El número de horas en preparar B debe ser mayor o igual que el n o de horas en preparar A y menor o igual que el n o de horas en preparar C. (d) El número de horas invertidas en A ha de ser al menos Un monopolista puede clasificar a sus consumidores en dos mercados distintos con las siguientes funciones de demanda: Mercado I: Q 1 = 16 0, 1p 1 Mercado II: p 2 = Q 2 Supongamos que la función de coste total del monopolista es C T (Q) = 20Q + 20 donde Q = Q 1 + Q 2. Formular un modelo matemático que permita determinar cuál ha de ser el precio del bien en cada mercado si el monopolista pretende maximizar el beneficio. 4

5 22. Sea S = {1, 2,, M} un conjunto de M objetos, con p i el peso del i ésimo objeto y v i su valor i = 1,, M. Se tiene que cargar en una bolsa objetos de S, de tal forma que se maximice el valor total de los mismos, pero sin que el peso de todos los objetos que se incluyan en la bolsa exceda un peso dado P. Formular un modelo matemático que permita resolver este problema. 23. La función de utilidad de un consumidor es U(x, y) = xy + 2x, donde x e y son las cantidades consumidas de los bienes A y B. Si el precio unitario de cada bien es de 2 u.m., obtener las cantidades de bienes que maximizan la utilidad del consumidor si éste agota sus recursos que asciendesn a 460 u.m. 24. En un mercado hay dos compañías que producen el mismo producto. Si la primera compañía produce una cantidad q 1 de producto le cuesta q 1 euros producir dicha cantidad y si la segunda compañía produce una cantidad q 2 de producto le cuesta 0, 5q2 2 euros. Si entre las dos compañías producen una cantidad total q = q 1 + q 2 de producto, dicho producto se puede vender en el mercado a un precio unitario de 200 q euros. Las dos compañías quieren llegar a un acuerdo para maximizar la suma de sus ganancias, cuánto ha de producir cada una de ellas? 25. Un equipo de natación consta de 4 nadadores. Los tiempos obtenidos por cada nadador en la prueba de 100 m. en cada uno de los estilos de natación viene dada en la siguiente tabla: Libre Braza Mariposa Espalda Nadador Nadador Nadador Nadador El entrenador de dicho equipo tiene que decidir el estilo que ha de realizar cada nadador en la prueba de relevos de 400 m estilos, cómo ha de distribuir a los 4 nadadores para minimizar el tiempo total invertido en la prueba? 26. Una compañía eléctrica dispone de tres plantas eléctricas para cubrir las necesidades de cuatro ciudades. La planta 1 suministra 35 millones de kwh de electricidad, la planta 2, 50 millones y la planta 3, 40 millones. Las demandas de las ciudades 1, 2, 3 y 4 son de 45, 20, 30 y 30 millones de kwh respectivamente en hora pico. Los costes por enviar un millón de kwh desde cada planta a cada ciudad vienen dados en la siguiente tabla: Ciudad 1 Ciudad 2 Ciudad 3 Ciudad 4 Planta Planta Planta Formule un modelo matemático de forma que se minimice el coste de satisfacer la demanda de todas las ciudades. B) Resuelve los problemas anteriores usando la hoja de cálculo EXCEL y representa gráficamente las curvas de nivel y la región factible en aquellos casos en que sea posible. 5