FORMULACIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN ENTERA

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1 05 de Octubre de 2017 FORMULACIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN ENTERA APLICACIONES ECONÓMICAS Ingeniería en Informática Ingeniería Industrial Universidad Católica Andrés Bello Programación Entera José Luis Quintero 1

2 Puntos a tratar 1. Economías de escala 2. Modelos de inversión en proyectos 3. Fabricación de vehículos Programación Entera José Luis Quintero 2

3 Ejemplo 1. Economías de escala Una compañía fabrica tres productos, cuyos precios de venta por unidad son 15, 40 y 60 unidades monetarias. Para producir una unidad de cada uno de ellos se requiere una hora, hora y media y dos horas máquina, respectivamente. La capacidad de la planta impone un límite de horas máquina por semana. Debido al descuento por volumen de compras que ofrece un proveedor, los costes unitarios decrecen de forma discreta a medida que aumenta la cantidad comprada. Programación Entera José Luis Quintero 3

4 Ejemplo 1. Economías de escala La cantidad máxima a fabricar por cada producto viene dada por 2000, 1340 y 1000 unidades respectivamente. En la tabla, se muestran estos costes: Coste variable Producto > 500 unidades unidades unidades Programación Entera José Luis Quintero 4

5 Ejemplo 1. Economías de escala Se desea maximizar el margen de ganancia neta (ingresos menos costes variables) de tal forma que la producción de cada uno de los productos suponga, al menos, un 15 por 100 de la cantidad total producida. Programación Entera José Luis Quintero 5

6 Ejemplo 1. Economías de escala Programación Entera José Luis Quintero 6

7 Ejemplo 1. Economías de escala Coste variable Producto ud ud. >500 ud. Precio (um/ud) Requerimientos de máquina (h) Producción mínima % ,5 15% % Horas máquina por semana 2000 El planteamiento del problema es el siguiente: yjk: variable binaria que toma valor 1 si se produce el producto j en el tramo k y 0 en caso contrario. xjk: cantidad de producto j producida en el tramo k. Programación Entera José Luis Quintero 7

8 Max (z)= (15-10) x11 + (15-8) x12+ (15-5) x13 + (40-20) x21 + (40-18) x22+(40-15) x23+(60-40) x31+(60-30)x32+ (60-20) x33 Sujeto a: Horas disponibles: Ejemplo 1. Economías de escala x11+ x12+ x13+ 1,5x21 + 1,5x22+ 1,5x23+2x31+ 2x32+ 2x Límites superiores en tramos de producción: Producto 1) x y11 x y12 x y13 Producto 2) x y21 x y22 x y33 Producto 3) x y31 x y32 x y33 Límites inferiores en tramos de producción: Producto 1) x y12 x y13 Producto 2) x y22 x y23 Producto 3) x y32 x y33 Programación Entera José Luis Quintero 8

9 Ejemplo 1. Economías de escala Sólo se puede producir en un tramo: Producto 1) y11 + y12 + y13 1 Producto 2) y21 + y22 + y23 1 Producto 3) y31 + y32 + y33 1 Restricciones de producción mínima: P1) x11+x12+x (x11+x12+x13+x21+x22+x23+x31+x32+x33) P2) x21+x22+x (x11+x12+x13+x21+x22+x23+x31+x32+x33) P3) x31+x32+x (x11+x12+x13+x21+x22+x23+x31+x32+x33) No negatividad e integralidad: x11, x12, x13, x21, x22, x23, x31, x32, x33 0 y11, y12, y13, y21, y22, y23, y31, y32, y33 {0,1} Programación Entera José Luis Quintero 9

10 Ejemplo 2. Economías de escala Una compañía de productos químicos fabrica un determinado compuesto. Las materias primas que lo forman, deben someterse a un proceso de mezcla a altas temperaturas en una cuba con capacidad para mezclar 300 tm/mes. Este proceso tiene economías de escala, de forma que el coste de calentamiento de las primeras 100tm es de 400 /tm, el de las siguientes 100tm es de 250 /tm y el de las últimas 100tm es de 150 /tm. Programación Entera José Luis Quintero 10

11 Ejemplo 2. Economías de escala Además, la demanda es sensible a la cantidad lanzada al mercado, de forma que el precio neto del producto (PVP menos coste de las materias primas) varía de acuerdo con la cantidad producida, tal y como se muestra en la tabla. Programación Entera José Luis Quintero 11

12 Ejemplo 2. Economías de escala Producción Tm Precio Neto Tramo Desde Hasta (um/tm) Se desea determinar el plan de operaciones que maximiza la ganancia neta del proceso (ingresos menos costes variables). Programación Entera José Luis Quintero 12

13 Ejemplo 2. Economías de escala Programación Entera José Luis Quintero 13

14 Ejemplo 2. Economías de escala Coste de calentamiento Tm Calentadas (um/tm) Primeras Siguientes Últimas Producción Tm Precio Neto Tramo Desde Hasta (um/tm) Programación Entera José Luis Quintero 14

15 Ejemplo 2. Economías de escala El planteamiento del problema es el siguiente: yi: variable binaria que toma valor 1 si se produce en el tramo i de la función de costes y 0 en caso contrario. xi: cantidad de producto obtenida en el tramo i de la función de costes. ij: variable binaria que toma valor 1 si se vende en el tramo j de la función de precios y 0 en caso contrario. qj: cantidad de producto vendida en el tramo j de la función de ventas. Programación Entera José Luis Quintero 15

16 Ejemplo 2. Economías de escala Max (z)= 450 q1+430 q2+380 q3+350 q4+310 q5+280 q6-400 x1-250 x2 150x3 L1 = 100, L2 = 200, L3 = 300 Las primeras L1 se producen a un coste unitario de c1. Las siguiente L2-L1 unidades se producen a un coste unitario de c2. Las últimas L3-L2 unidades se producen a un coste unitario de c3 Sujeto a: Se escoge un solo tramo o ninguno: y1 + y2 + y3 1 Límites de producción en cada tramo: Cada variable xi tiene un límite superior, que se activa si alguna de las variables yi+1, yi+2, toma el valor 1. x1 L1(y1+y2+y3) x2 (L2-L1) (y2+y3) x3 (L3-L2) y3 Programación Entera José Luis Quintero 16

17 Ejemplo 2. Economías de escala Restricciones de continuidad: si se activa la variable correspondiente a un tramo, todos los tramos anteriores deben agotarse. x1 L1(y2+y3) x2 (L2-L1) y3 Cantidad vendida igual a cantidad producida: q1 + q2 + q3 + q4 + q5 + q6 = x1 + x2 + x3 Límites en tramos de función de costes: x1 100 (y1+ y2+ y3) x2 100 (y2+ y3) x3 100 y3 Restricciones de continuidad: x1 100 (y2+ y3) x2 100 y3 Programación Entera José Luis Quintero 17

18 Ejemplo 2. Economías de escala Sólo se puede seleccionar un tramo: i1 + i2 + i3 + i4 + i5 + i6 1 Límites en los tramos de la función de precios netos: q1 50 i1 q1 0 i1 q2 100 i2 q2 51 i2 q3 150 i3 q3 101 i3 q4 200 i4 q4 151 i4 q5 250 i5 q5 201 i5 q6 300 i6 q6 251 i6 No negatividad e integralidad: x1, x2, x3 0 q1, q2, q3, q4, q5, q6 0 y1, y2, y3 {0,1} i1, i2, i3, i4, i5, i6 {0,1} Programación Entera José Luis Quintero 18

20 Ejemplo 3. Modelo de inversión Proyecto Naturaleza de la inversión VAN Empleados Flujos de caja Año Subcontratar la producción de piezas Adquirir una fábrica ya existente Construir una nueva fábrica Subcontratar ensamblaje de piezas Ensamblar piezas en equipos existentes Ensamblar piezas en equipos nuevos Almacenar radios en un almacén alquilado Almacenar radios en un almacén nuevo Presupuesto de inversión Programación Entera José Luis Quintero 20

21 Ejemplo 3. Modelo de inversión FLUJOS DE CAJA PROYECTO VAN EMPLEADOS MAXIMO El planteamiento del problema sería: yi: variable binaria que toma valor 1 si se acepta el proyecto de inversión i y 0 en caso contrario. Programación Entera José Luis Quintero 21

22 Ejemplo 3. Modelo de inversión Max (z) = 757 y1+825 y2+987 y3+350 y4+596 y5+650 y y y8 Sujeto a: Máximo número de empleados: 7 y1+ 35 y2+ 20 y3+ 12 y4+ 65 y5+ 60 y6+ 20 y7+ 5 y8 100 Disponibilidades monetarias cada año: 5y1+ 15y2+ 30y3+ 10y4+ 7y5+ 15y6+ 50y7+ 7y8 70 5y1+ 12y2+ 2y3+ 10y4+ 4y5+ 2y6+ 10y7+ 7y8 30 5y1+ 4y2 + 10y4+ 4y5+ 2y6+ 5y7+ 7y8 15 5y1+ 4y2 + 6y4+ 4y5+ 2y6+ y7+ 7y8 15 2y1+ 4y2 + 8y3+ 3y4+ 4y5+ 2y6+ y7+ 7y8 15 Seleccionar un proyecto de cada tipo: y1 + y2 + y3 = 1 y4 + y5 + y6 = 1 y7 + y8 = 1 Restricciones de integralidad: y1, y2, y3, y4, y5, y6, y7, y8 {0,1} Programación Entera José Luis Quintero 22

23 Ejemplo 4. Selección de proyectos de inversión Programación Entera José Luis Quintero 23

26 Alternativas mutuamente excluyentes Programación Entera José Luis Quintero 26

29 Alternativas contingentes Programación Entera José Luis Quintero 29

30 Restricciones mutuamente excluyentes Programación Entera José Luis Quintero 30

31 Ejemplo 5. Proyectos de inversión En la tabla se resumen las características de un conjunto de proyectos de inversión, cada uno puede abordarse en dos fechas, el año 0 y el año 1. A cada combinación de proyecto y fecha de comienzo le corresponde una proyección del flujo de caja para un periodo de cuatro años, a partir de la fecha de comienzo de la inversión. Estos flujos permiten calcular el valor actualizado neto (VAN) de cada proyecto, que se obtiene descontando al año 0 los flujos de caja a una tasa del 15 por 100. Programación Entera José Luis Quintero 31

32 Ejemplo 5. Proyectos de inversión Flujos de Caja Proyecto Comienzo VAN (k=15%) Además, se establecen las siguientes relaciones de dependencia, indivisibilidad y reinversión de fondos: Programación Entera José Luis Quintero 32

33 Ejemplo 5. Proyectos de inversión Los proyectos 2 y 3 dependen del proyecto 1, no pueden realizarse si éste no se selecciona. Los proyectos 4 y 5 son independientes. Los proyectos son indivisibles y sólo pueden seleccionarse una vez. Las disponibilidades generadas por una inversión durante el año, pueden aplicarse a las inversiones realizadas en dicho año, si las hay. La caja sobrante después de atender las alternativas de inversión se acumula a las disponibilidades del periodo siguiente, produciendo un interés del 10%, Programación Entera José Luis Quintero 33

34 Ejemplo 5. Proyectos de inversión Cuáles son las inversiones que proporcionan el máximo VAN, teniendo en cuenta que en el año 0 se dispone de u.m. y en el año 1 de u.m.? El planteamiento del problema sería: ypt: variable binaria que toma valor 1 si se selecciona el proyecto p en la fecha de comienzo t y 0 en caso contrario. Ct: Sobrante de caja del período t. Programación Entera José Luis Quintero 34

35 Ejemplo 5. Proyectos de inversión DEPENDENCIAS DEL PROYECTO 2 Programación Entera José Luis Quintero 35

36 Max (z)= 305y10-650y y y y y y y y y51 Sujeto a: Ejemplo 5. Proyectos de inversión Cada inversión sólo se selecciona una vez: Proyecto 1) y10+ y11 1 Proyecto 2) y20+ y21 1 Proyecto 3) y30+ y31 1 Proyecto 4) y40+ y41 1 Proyecto 5) y50+ y51 1 Dependencia entre inversiones: y20 - y10 0 y30 - y10 0 y21 - y11 - y10 0 y31 - y11 - y10 0 Programación Entera José Luis Quintero 36

37 Restricción de caja: Año 0) Ejemplo 5. Proyectos de inversión 3.000y y y y40+800y50+C0 = Año 1) 3.500y y y y41+850y51 (1.200y y y30+400y y50) 1,1C Restricciones de integralidad: y10, y20, y30, y40, y50, y11, y21, y31, y41, y51 { {0,1} Programación Entera José Luis Quintero 37

38 Ejemplo 6. Proyectos de inversión Una empresa está pensando invertir en cuatro proyectos diferentes, cada proyecto se finaliza a lo más en 3 años. Los flujos de caja requeridos en cada año junto con el Valor Presente Neto de cada proyecto, concluídos los años de ejecución, y las disponibilidades de recursos financieros se resumen en la siguiente tabla: Proy 1 Proy 2 Proy 3 Proy 4 Disp. Recursos Año Año Año V.P.N Programación Entera José Luis Quintero 38

39 Ejemplo 6. Proyectos de inversión Interesa determinar en cuáles proyectos invertir de modo de conseguir el mayor V.P.N. de la inversión. Variables de decisión: 1, si se invierte en el proyecto i x i = con i = 0, sino 1,2,3,4 Función objetivo: Max 35x1 + 18x2 + 24x3 + 16x4 Programación Entera José Luis Quintero 39

40 Ejemplo 6. Proyectos de inversión Restricciones (tres alternativas): 1) Reinvirtiendo el dinero no utilizado en un período: Año1: 10x1 + 8x2 + 6x3 + 12x4 + s1= 30 Año2: 8x1 + 15x2 + 4x3 + s2 = 15 + s1 Año3: 18x1 + 16x s2 xi {0,1} i = 1,2,3,4 Programación Entera José Luis Quintero 40

41 Ejemplo 6. Proyectos de inversión 2) Sin invertir el dinero no utilizado en un período, pero utilizando el retorno de los proyectos concluídos: Año1: 10x1 + 8x2 + 6x3 + 12x4 30 Año2: 8x1 + 15x2 + 4x x4 Año3: 18x1 + 16x x2 xi {0,1} i = 1,2,3,4 Programación Entera José Luis Quintero 41

42 Ejemplo 6. Proyectos de inversión 3) Reinvirtiendo el dinero no utilizado en un período y, también el retorno de proyectos concluídos: Año1: 10x1+ 8x2+ 6x3+ 12x4+ s1 = 30 Año2: 8x1+ 15x2+4x3+ s2 = 15 + s1 + 16x4 Año3: 18x1 + 16x s2 + 18x2 xi {0,1} i = 1,2,3,4 Programación Entera José Luis Quintero 42

43 Ejemplo 6. Proyectos de inversión Note que el conjunto de las soluciones factibles es finito. Esto ocurrirá generalmente con los problemas de Programación Entera (puros). En el ejemplo, el número de soluciones factibles no supera el número de las soluciones binarias del problema (variables restringidas sólo a valores 0 o 1) que son 2^4 = 16, dado el número de variables utilizadas, de hecho las soluciones factibles son menos de 16 pues en particular xi=1 para i=1,2,3,4 no satisface las disponibilidades de capital en cualquiera de las tres alternativas. Programación Entera José Luis Quintero 43

44 Ejemplo 6. Proyectos de inversión Suponga que adicionalmente la inversión efectuada requiera nuevas restricciones. 1. Se debe invertir en al menos 1 de los 3 primeros proyectos: x1 + x2 + x3 => 1 2. El proyecto 2 no puede ser tomado a menos que el proyecto 3 si sea tomado: x2 <= x3 Programación Entera José Luis Quintero 44

45 Ejemplo 6. Proyectos de inversión 3. Se puede tomar el proyecto 3 o 4 pero no ambos: x3 + x4 <= 1 4. No se puede invertir en más de dos proyectos: x1 + x2 + x3 + x4 <= 2 Programación Entera José Luis Quintero 45

47 Ejemplo 7. Fabricación de vehículos Programación Entera José Luis Quintero 47

51 Pensamiento de hoy Nada es permanente exceptoelcambio. Heráclito Programación Entera José Luis Quintero 51