FORMULACIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL (Parte 1)

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1 21 de Septiembre de 2017 FORMULACIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL (Parte 1) Ingeniería Industrial Ingeniería Informática Facultad de Ingeniería Universidad Católica Andrés Bello 1

2 Puntos a tratar 1. Formulación de modelos de PL 2. Ejemplo práctico 1 (Cervezas) 3. Ejemplo práctico 2 (Transporte) 4. Ejemplo práctico 3 (Dieta) 5. Ejemplo práctico 4 (Producción) 6. Ejemplo práctico 5 (Finanzas) 7. Ejemplo práctico 6 (Combustible) 2

3 Formulación de modelos de PL Formular un modelo de PM de un problema real, significa escribir un conjunto de expresiones matemáticas que describan el fenómeno estudiado. Ahora se desarrollan algunos ejemplos de formulación, usando el enfoque directo, que permite formular modelos de PL definiendo las variables de decisión y construyendo directamente las expresiones del objetivo y de las restricciones.

4 Formulación de modelos de PL Para escribir las expresiones matemáticas que formalmente definen el problema, se sugiere que previamente se tome un tiempo para entender el problema, para ello, el analista puede entretenerse: Formulando un boceto en castellano del problema de optimización. Tabulando la data numérica del problema, de resultar ello práctico. Para proceder luego a la: Definición de las variables de decisión Formulación de la función objetivo Formulación de las restricciones

5 Formulación de modelos de PL Definición de las variables de decisión: Utilizando una simbología matemática adecuada, identifique cada variable y acompañe cada una con una frase en castellano que la describa. Utilice identificadores nemotécnicos si es posible. Recuerde que una variable de decisión representa el nivel que alcanza una cierta actividad que la unidad de decisión puede o no emprender. Un buen enfoque para saber cuáles son las variables de decisión consiste en colocarse en los zapatos de la unidad de decisión y preguntarse qué actividades puede realizar para mejorar el objetivo planteado. Asegúrese que las variables sean continuas para que se cumpla la divisibilidad, de no ser así, la PL puede no ser la herramienta adecuada. Si no lo fueren, tenga conciencia de ello para interpretar los resultados.

6 Formulación de modelos de PL Formulación de la función objetivo: Exprese la función objetivo como una relación lineal de las variables de decisión, trate de conservar la frase en castellano que la describe. Asegúrese del cumplimiento de la aditividad y de la proporcionalidad en las expresiones obtenidas. Formulación de las restricciones: Exprese las restricciones como relaciones lineales de las variables de decisión. Trate de conservar las frases que describen cada restricción. Asegúrese del cumplimiento de la aditividad y de la proporcionalidad. No olvide las restricciones de signo de las variables que puedan existir.

7 Formulación de modelos de PL Algunos consejos adicionales: Paralelamente al planteamiento de las expresiones de la función objetivo y de las restricciones, haga una revisión dimensional para verificar la consistencia en las unidades involucradas. La consistencia no indica que el problema esté bien formulado, pero la inconsistencia dimensional revela una mala formulación de la expresión correspondiente. Recuerde que uno de los propósitos de los modelos es la comunicación, por lo que debe ser claro y explícito al formular un problema, para que otra persona pueda entender lo que Usted quiere transmitir. Documente su modelo para ese fin.

9 Ejemplo 1 Una compañía produce dos tipos de cerveza, rubia y negra. La ganancia por litro de cerveza rubia es de 2 Bs. y por litro de cerveza negra es de 1 Bs. Se dispone de 80 unidades de malta, 60 unidades de cebada y 55 unidades de levadura. Se considera ilimitada la cantidad de agua y demás ingredientes involucrados.

10 Ejemplo 1 Para producir un litro de cerveza rubia se requieren 2 unidades de malta, 3 unidades de cebada y 2 unidades de levadura. Para producir un litro de cerveza negra se requieren 8/3 de unidades de malta, 1 unidad de cebada y 5/3 de unidades de levadura. Formule el modelo que permita calcular cuanta cerveza de cada tipo se debe producir a fin de que la ganancia sea máxima.

11 Ejemplo 1 Formulamos un boceto en castellano, similar a: maximizar la ganancia sujeto a: consumo de malta disponibilidad de malta consumo de cebada disponibilidad de cebada consumo de levadura disponibilidad de levadura cantidad de cerveza rubia a producir 0 cantidad de cerveza negra a producir 0 Resumimos la data del problema : Requerimientos Malta Cebada Levadura Ganancia Rubia Negra 8/3 1 5/3 1 Disponible

12 Ejemplo 1 Definición de las variables de decisión: El problema de la unidad de decisión es saber cuánta cerveza de cada tipo debe producir para maximizar su ganancia, luego las variables de decisión son: x 1 : Litros de cerveza rubia a producir x 2 : Litros de cerveza negra a producir Formulación de la función objetivo: El objetivo perseguido es maximizar la ganancia, por tanto debemos encontrar la expresión de la ganancia, que llamamos z, en función de las variables de decisión definidas. Se tiene que z = 2x 1 + x 2, expresión en la cual simplemente se multiplican los litros de cerveza de cada tipo a producir por la ganancia unitaria, lo cual arroja una ganancia expresada en Bs.

13 Formulación de las restricciones: Restricción impuesta por la malta: Tenemos la relación: Ejemplo 1 consumo de malta disponibilidad de malta luego la expresión del consumo de malta en función de las variables de decisión es: 8 2 x1 + x 2 3 y completamos con la limitación del recurso: 8 2x1 + x donde se multiplican los litros de cerveza de cada tipo a producir, por la malta consumida al producir un litro de cada tipo. Ello arroja el total de malta consumida que debe mantenerse por debajo de la disponibilidad.

14 Ejemplo 1 Restricción impuesta por la cebada: Tenemos que: consumo de cebada disponibilidad de cebada y la expresión correspondiente es: 3x 1 + x 2 60 donde se multiplican los litros de cerveza de cada tipo a producir, por la cebada consumida al producir cada litro, lo que arroja el total de cebada consumida que debe mantenerse por debajo de la disponibilidad.

15 Restricciones impuestas por la levadura: Se tiene la relación: consumo de levadura disponibilidad de levadura que corresponde a la restricción: donde hemos calculado la levadura consumida en la producción total que no debe superar la disponibilidad. Note que hay consistencia de unidades. Restricciones de signo: No debemos olvidar que: Ejemplo 1 5 2x + x2 3 1 cantidad de cerveza producida 0 lo cual se traduce en las restricciones: x 1 0 y x

16 Finalmente el modelo queda: max z = 2x 1 + x 2 (Ganancia) s.a.: Ejemplo 1 8 2x1 + x2 80 (Malta) 3 3x1 + x2 60 (Cebada) 5 2x1 + x (Levadura) x 1 0 (No negatividad) x 2 0 (No negatividad) donde x 1 : Litros de cerveza rubia a producir x 2 : Litros de cerveza negra a producir

18 Ejemplo 2 Una empresa agrícola dispone de dos almacenes para abastecer de granos a tres distribuidores regionales. El almacén 1 dispone de 1000 ton. de grano y el almacén 2 dispone de 2000 ton. por período. La demanda en los tres distribuidores se estima en 1500, 750 y 750 toneladas por período, respectivamente. El costo de transporte por tonelada de grano es: Almacén 1 Almacén 2 Distribuidor 1 Distribuidor 2 Distribuidor Formule el modelo que permita calcular las toneladas de granos a transportar en un período para satisfacer la demanda y lograr un costo mínimo de transporte.

19 Ejemplo 2 Formulamos un boceto del modelo en castellano: minimizar el costo de transporte sujeto a: salida del almacén i = oferta del almacén i recibido por el distribuidor j = demanda del distribuidor j salida del almacén i recibida por el distribuidor j 0 La siguiente tabla resume la data: C o s to s d e T ra n sp o rte D is trib u id o r 1 D is trib u id o r 2 D is trib u id o r 3 O fe rta A lm acén A lm acén D e m a n d a

20 Definición de las variables de decisión: El problema de la unidad de decisión es saber cuánto grano va a transportar de cada almacén a cada distribuidor, de manera de satisfacer la demanda y de que el costo de transporte sea mínimo. Una hojeada a la data permite verificar que satisfacer la demanda es factible. Las variables de decisión pertinentes son seis: x ij :Ton. De grano que van del almacén i al distribuidor j (i=1, 2 y j=1, 2, 3) Ejemplo 2 es decir: x 11 :Ton. de grano del almacén 1 al distribuidor 1 x 12 :Ton. de grano del almacén 1 al distribuidor 2 x 13 :Ton. de grano del almacén 1 al distribuidor 3 x 21 :Ton. de grano del almacén 2 al distribuidor 1 x 22 :Ton. de grano del almacén 2 al distribuidor 2 x 23 :Ton. de grano del almacén 2 al distribuidor 3

21 Formulación de la función objetivo: El objetivo perseguido es: Minimizar el costo de transporte, y viene dado por: min z = 50x x x x x x 23 Cada término expresa una cantidad en Bs. Note que hay una hipótesis de proporcionalidad detrás que puede ser discutible. Formulación de las restricciones: Restricciones debidas a la oferta en cada almacén: Se debe cumplir que: Ejemplo 2 salida del almacén i = oferta del almacén i es decir: x 11 + x 12 + x 13 = 1000 x 21 + x 22 + x 23 = 2000 El envío de un almacén a un distribuidor no debe superar lo disponible. Hay consistencia dimensional.

22 Ejemplo 2 Restricciones por la demanda de cada distribuidor: Se tiene que cumplir que: recibido por el distribuidor j=demanda del distribuidor j por lo tanto x 11 + x 21 = 1500 x 12 + x 22 = 750 x 13 + x 23 = 750 las cuales determinan que la cantidad recibida por cada distribuidor debe igualar su demanda. Restricciones de signo: Obviamente: toneladas de grano transportado 0 lo cual se traduce en: x ij 0 para i = 1, 2 y j = 1, 2, 3 No se pueden enviar cantidades negativas de grano.

23 Finalmente el modelo queda: s.a.: min z = 50x x x x x x 23 (Costo del transporte) x 11 + x 12 + x 13 = 1000 (Oferta del almacén 1) x 21 + x 22 + x 23 = 2000 (Oferta del almacén 2) x 11 + x 21 = 1500 (Demanda del distribuidor 1) x 12 + x 22 = 750 (Demanda del distribuidor 2) x 13 + x 23 = 750 (Demanda del distribuidor 3) x ij 0 (para i=1, 2 y j=1, 2, 3) Ejemplo 2 (No negatividad) siendo x ij :Ton. De grano que van del almacén i al distribuidor j (i=1, 2 y j=1, 2, 3)

25 Ejemplo 3 Determine una dieta de manera eficiente, a partir de un conjunto dado de alimentos, de modo de satisfacer ciertos requerimientos nutricionales. Suponga que se tiene la siguiente información: Leche Legumbre Naranjas Requerimientos (galon) (1 porción) (unidad) Nutricionales Niacina 3,2 4,9 0,8 13 Tianina 1,12 1,3 0,19 15 Vitamina C Costo 2 0,2 0,25

26 Ejemplo 3 Variables de decisión: x 1 : galones de leche utilizados en la dieta x 2 : porciones de legumbre utilizadas en la dieta x 3 : unidades de naranja utilizadas en la dieta Función Objetivo: Minimizar el costo total de la dieta, dado por: 2 x x x 3

27 Ejemplo 3 Restricciones del problema: Requerimientos mínimos de los nutrientes considerados: 3.2 x x x x x x x x 3 45 x 1 0 ; x 2 0 ; x 3 0

29 Ejemplo 4 Halle una política óptima de producción para satisfacer demandas fluctuantes en el tiempo, de modo de minimizar costos de producción e inventario, considerando la disponibilidad de diversos recursos escasos. Suponga que una fabrica puede elaborar hasta 150 unidades en cada uno de los 4 periodos en que se ha subdividido el horizonte de planificación y se tiene adicionalmente la siguiente información:

30 Ejemplo 4 Periodos Demandas Costo Prod. Costo de Inventario (unidades) (US$/unidad) (US$/unidad) Supuestos adicionales: 1) Existe un inventario inicial de 15 unidades. 2) No se acepta demanda pendiente o faltante (es decir, se debe satisfacer toda la demanda del periodo).

31 Variables de decisión: Ejemplo 4 x t : número de unidades elaboradas en el periodo t. I t : número de unidades de inventario al final del periodo t. Función objetivo: Consiste en minimizar los costos de producción y el costo de mantenimiento de inventario. 6x 1 + 4x 2 + 8x 3 + 9x 4 + 2I 1 + I I 3 + 3I 4

32 Ejemplo 4 Notar que en el óptimo I 4 va a ser 0, así que podría no incluirse, pero de todos modos se considera Restricciones del problema: 1) Restricciones de cotas, que reflejan la capacidad de producción. x t 150

33 2) Restricciones de no negatividad x t 0 Ejemplo 4 3) Restricciones de demanda x 1 + I 0 I 1 = 130 Periodo 1 I 0 =15 x 2 + I 1 I 2 = 80 Periodo 2 x 3 + I 2 I 3 = 125 Periodo 3 x 4 + I 3 I 4 = 195 Periodo 4

35 Ejemplo 5 Suponga que un banco dispone de $250 millones para destinar a 4 tipos de créditos ofrecidos, los cuales tienen las siguientes, tasas de crédito: Primer crédito corriente :12% Segundo crédito corriente :16% Crédito para el hogar :16% Crédito personal :10%

36 Ejemplo 5 La asignación de estos créditos, debe satisfacer la siguiente política utilizada por la institución: El monto asignado a los PCC, debe ser al menos, el 55% del monto asignado a los créditos corrientes, y al menos un 25% del total del dinero prestado. El SCC, no puede exceder el 30% del total del dinero prestado, por políticas tributarias el interés recibido por el banco no debe exceder a un retorno del 14% sobre el capital prestado.

37 Ejemplo 5 Cuánto asignar a cada tipo de crédito, de la manera más eficiente, respetando la política del banco? Variables de decisión: x 1 : Monto asignado al PCC. x 2 : Monto asignado SCC. x 3 : Monto asignado al crédito para el hogar. x 4 : Monto asignado al crédito personal.

38 Ejemplo 5 Función Objetivo: Se propone maximizar los retornos recibidos en la asignación, dados por: 0.12 x x x x 4

39 Ejemplo 5 Restricciones del problema: x ( x 1 + x 2 ) x ( x 1 + x 2 +x 3 + x 4 ) x ( x 1 + x 2 +x 3 + x 4 ) (0.12x x x x 4 ) 0.14 ( x 1 + x 2 +x 3 +x 4 ) Adicionalmente: x 1 + x 2 +x 3 + x 4 250

41 Ejemplo 6 Una refinería produce 4 tipos de gasolina (gas 1, gas 2, gas 3 y gas 4). Dos características importantes de cada gasolina son su número de performance (NP) y su presión de vapor (RVP), que están dados por: NP RVP Barriles diarios gas gas gas gas

42 Ejemplo 6 Estas gasolinas pueden ser vendidas directamente a un precio de $24,83 por barril o bien mezcladas para obtener gasolinas de aviación (avgas A y avgas B). La calidad de estas dos últimas junto con sus precios de venta son: NP RVP Precio por barril (US$) avgas A Al menos 100 A lo más 7 26,45 Avgas B Al menos 91 A lo más 6 25,91

43 Ejemplo 6 El NP y RVP de cada mezcla es un promedio de los respectivos NP y RVP de las gasolinas empleadas. Se desea obtener un plan de venta de las distintas gasolinas que maximice los retornos.

44 Ejemplo 6 Variables de decisión: x j : cantidad de barriles del gas j que son vendidos sin mezclar, con j = 1, 2, 3, 4. x A : cantidad de barriles de avgas A. x B : cantidad de barriles de avgas B. x ja : cantidad de gas j usado en avgas A. x jb : cantidad de gas j usado en avgas B.

45 Ejemplo 6 Función objetivo: Max 24,83 (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) + 26,45x A + 25,91x B Restricciones: x 1 + x 1A + x 1B = 3814 x 2 + x 2A + x 2B = 2666 x 3 + x 3A + x 3B = 4016 x 4 + x 4A + x 4B = 1300 x 1A + x 2A + x 3A + x 4A = x A x 1B + x 2B + x 3B + x 4B = x B

46 Ejemplo 6 NP, avgas A: 107x + 93x + 87x x A 108x 1A 2A 3A 4 A NP, avgas B: 107x + 93x + 87x x B 108x 1B 2B 3B 4B + 91 RVP, avgas A: RVP, avgas B: 5x 5x + 8x + 4x x A 21x 1A 2A 3A 4 A + 8x + 4x x B + 21x 1B 2B 3B 4B + 7 7

47 Pensamiento de hoy Los gerentes no controlan la realidad, sino los modelos o representacionesdeésta. Robert D. Gilbreath 47