Matemáticas V: Cálculo diferencial

Transcripción

1 Matemáticas V: Cálculo diferencial Primera lista de proyectos 12 de Agosto de Proyecto 1: Identidades con particiones El objetivo de este proyecto es estudiar un poco las particiones de un número n. Sea n un entero positivo. Una partición de n consiste de una colección de enteros positivos cuya suma es n en la que no nos importa el orden. Por ejemplo, todas las particiones de 5 son: 5, 4 + 1, 3 + 2, , , , A cada partición se le puede asociar un diagrama de Ferrer que consiste de lo siguiente: Una vez que se han ordenado los sumandos de la partición de mayor a menos se dibujan n puntos en distintas hileras, una hilera correspondiendo a un sumando de la partición y con tantos puntos como el valor del sumando (i.e. si el sumando es 5 entonces la hilera tiene 5 puntos, etc.) Por ejemplo, el diagrama de Ferrer para la partición 1, 1, 2, 3, 5, 6 de 18 es Para cada partición puedes reflejar su diagrama de Ferrer y obtener un nuevo diagrama de puntos que será el diagrama de Ferrer de alguna partición del mismo número. La partición conjugada a la partición anterior es la que tiene el siguiente diagrama de Ferrer: 1

2 Es decir, su conjugada es 1, 2, 2, 3, 4, 6. Hay ciertas particiones para las cuales su diagrama de Ferrer es simétrico y por lo tanto al reflejarlas obtendríamos el mismo diagrama y por ende la misma partición. Dichos particiones se llaman particiones autoconjugadas. Escribe todas las particiones de 8 y para cada una dibuja su diagrama de Ferrer. Aparea cada partición con su conjugada y luego especifica cuales son autoconjugadas. Denotaremos por P (n I) como la cantidad de particiones de n que consisten de enteros impares distintos. Por ejemplo, es una tal partición de 22. Para n = 8 escribe todas las particiones que consisten de enteros impares distintos y calcula P (8 I). Una partición autoconjugada tiene como diagrama de Ferrer un conjunto de puntos que puede dividirse en distintas capas en forma de L que se van conteniendo de afuera hacia adentro. Verifica que cada una de esas capas en forma de L consiste de una cantidad impar de puntos y que no hay dos de dichas capas con la misma cantidad de puntos. Al desdoblar las capas y ponerlas como renglones una sobre la otra obtenemos una partición nueva. Por ejemplo, a la partición autoconjugada se le asigna la partición 2

3 Lleva a cabo este proceso para cada partición autoconjugada de 8 y verifica cuál partición le corresponde a cada una. Observa que todas esas particiones que obtienes están en P (8 I). Justifica porque siempre que hagas este proceso a una partición autoconjugada de n obtienes una partición de P (n I). Gracias a esto hemos establecido una función entre las particiones autoconjugadas de n y las particiones cuyos sumandos son impares distintos. Justifica porque dicha función es biyectiva. Hay muchos problemas famosos que tratan sobre identidades entre conjuntos de particiones de un estilo y conjuntos de particiones de otro estilo. El más famoso de ellos es Teorema 1. (Teorema de los números pentagonales de Euler) Sea E el conjunto de las particiones de n en una cantidad par de términos distintos y O el conjunto de las particiones de n en una cantidad impar de términos distintos. Entonces, p(n E) p(n O) = { ( 1) j j(3j ± 1) si n = 2 0 en otro caso donde p(n E) es la cantidad de elementos de E y p(n O) es la cantidad de elementos en O. Encuentra E y O para n = 1, 2,..., 8 y verifica que el resutado del teorema se cumple. La prueba de este teorema consiste en inventar una función entre diagramas de Ferrer bastante ingeniosa. 2 Proyecto 2: Funciones cromáticas. Este proyecto investiga un poco sobre el problema de los cuatro colores. Imagina que tienes un mapa de algún lugar, por ejemplo, el de México y deseas colorear cada estado de algún color con el objetivo de que no haya dos estados que compartan una frontera y que estén pintados con el mismo color. Cuál es la mínima cantidad de colores que necesitas? En general, el problema explora la pregunta: cuál es la mínima cantidad de colores que necesitas para dibujar un mapa que cumpla con la condición dada? El problema nació en 1852 cuando Francis Guthrie, un estudiante en la universidad de Londres se lo puso a su hermano, que a su vez se lo paso a Augustus de Morgan. Con el tiempo la comunidad matemática se entero del problema e intentaron resolverlo pero fracasaban constantemente. Fue hasta 1976 que una prueba, bastante complicada y que utilizaba computadoras para revisar varios casos, fue encontrada por Haken y Appel. La respuesta fue: 3

4 Todo mapa en el plano puede colorearse con a lo más cuatro colores. Para atacar este problema es usual representar los mapas como grafos, esto es, como un conjunto de puntos y lineas que los unen de la siguiente manera: sustituye cada region (i.e. un estado) por un punto y une dos puntos si los estados que representan comparten una frontera. Ahora el problema de colorear un mapa se vuelve: pintar cada vértice de la gráfica de tal manera que no haya dos vértices unidos por una arista que estén pintado del mismo color. Dada una gráfica G, definimos su función cromática C G (t) como el número de maneras de pintar los vértices de G con a lo más t colores de tal forma que no haya dos vértices adyacentes pintados del mismo color. Resuelve los siguientes ejercicios relacionados a esta función. Encuentra la mínima cantidad de colores necesarios para dibujar el mapa de Guanajuato y muestra una coloración del mapa de Guanajuato con esa cantidad de colores. Encuentra la gráfica que representa al mapa de Guanajuato. Supón que G es una gráfica con n vértices tal que no hay dos de ellos conectados con una arista. Encuentra C G (t). Supón que G es una gráfica con exáctamente n vértices y con cualesquiera dos de ellos conectados por una arista. Encuentra C G (t). Supón que G tiene dos vértices distintos a y b que no están unidos con una arista. Crea dos gráficas nuevas de la siguiente forma: Llama G + a la gráfica de G cuando has unido a y b con una arista. Llama G a la gráfica que se obtiene de G al quitar a a y b, y poner un nuevo vértice c que esté unido con todos los vértices con los que estaban unidos a y b. Para las siguientes gráficas G y vértices a y b encuentra G + y G. a a b b Para la primera gráfica anterior encuentra C G (t), C G (t) y C G+ (t). Qué relación encuentras entre ellas? Existe un mapa que provenga de la primera gráfica? Tú crees que haya un mapa que tenga como gráfica a la segunda gráfica mostrada? 4

5 Justifica porque siempre sucede que C G (t) = C G+ (t) + C G (t). Utiliza esto para dar una justificación de porque siempre la función cromática es una función polinomial. Existe un gráfica G de 4 vértices tal que su función polinomial es C G (t) = t 4 4t 3 + 5t 2 2t. Encuentra dicha gráfica (debes explicar el proceso que seguiste par seguirlo). Puede dicha gráfica dbujarse con sólo dos colores? Intenta encontrar una coloración y luego ve cuánto vale C G (2). Encuentra todas las maneras de dibujar esa gráfica con 3 colores y luego verifica con el polinomio cromático que tienes la cantidad correcta. Explica que quiere decir que C G (t) no tenga raíces enteras positivas. Explica porqué el 0 siempre es una raíz de C G (t). Demuestra que la segunda gráfica mostrada no puede colorearse con un único color pero que puede colorearse con dos. Justifica porque su polinomio cromático es C G (t) = t(t 1)(t 4 8t t 2 47t + 31). Una manera de hacerlo es iterar el proceso mostrado anteriormente: escoge dos vértices a y b que no estén unidos por un vértice y cálcula G + y G. Si puedes calcular el polinomio cromático de estas gráficas, entonces ya encontraste el polinomio de G. Si no puedes, entonces vuelve a escoger vértices a y b que no estén unidos y repite el proceso. 3 Proyecto 3: Ecuaciones funcionales Cuando resolvemos una ecuación, por ejemplo 3x + 5 = 1, lo que se busca es el valor de x tal que al sustituirlo por x la ecuación se vuelva una identidad. Para la ecuación anterior la solución es x = 2. En este caso las incógnitas toman valores reales, pero que pasaría si nuestras incógnitas fueran funciones? Por ejemplo, imagina el siguiente problema: Encuentra todas las funciones f : R R tales que f(2x) = 2(f(x)) 2 1. Ahora lo que se debe encontrar es una función que satisfaga la ecuación anterior para cada x R. Por ejemplo, la función f(x) = x no es una solución pues la ecuación anterior se vuelve 5

6 2x = 2x 2 1 que es una ecuación de segundo grado, por lo que tiene dos soluciones solamente y nosotros queremos sea cierto para todo x R. Justifica porqué ningún polinomio no constante es solución a la ecuación. Encuentra todas las funciones constantes que satisfacen la ecuación. Verifica que f(x) = cos(x) es una solución de la ecuación funcional anterior. Lo anterior muestra que a una ecuación funcional puede haber varias soluciones. En este proyecto estudiaremos el problema de encontrar las funciones continuas f : R R tales que para cualesquiera x, y R n. ecuación funcional: f(x + y) = f(x) + f(y) Hay soluciones fáciles de encontrar para esta Demuestra que las función f(x) = rx es una solución a esta ecuación para cualquier r R. Lo que se hará en es ver que las únicas funciones continuas que satisfacen la ecuación son las funciones anteriores. Para hacerlo deberás seguir los siguientes pasos: Justifica porqué para cualquier función que satifaga la ecuación funcional anterior se cumple que f(0) = 0. Sustiyuendo y = x justifica porque f( x) = f(x) Justifica porqué para cualquier función que satisfaga la ecuación funcional anterior se cumple que f(n) = nf(1) donde n es cualquier entero positivo. Justifica porqué para cualquier entero positivo n N se cumple que ( x f = n) f(x) n. Utiliza todo lo anterior para justificar que para q Q se tiene que f(qx) = qf(x). Hasta el momento no hemos utilizado la continuidad de la función y ahora es el momento de hacerlo: Sea r un número irracional. Demuestra que existe una sucesión de racionales r 1, r 2,... tal que lim n r n = q. Justifica porque es cierto que f(q) = lim n f(r n ). Utiliza lo anterior para demostrar que f(x) = ax para algún a R y para cualquier x R. 6