Estadística Los parámetros estadísticos más usuales son: Media aritmética

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1 Estadística Los parámetros estadísticos más usuales son: mean(x) Media aritmética mode(x) Moda median(x) Mediana std(x) Desviación típica muestral var(x) Varianza muestral prctile(x,p) Percentil de orden p >> x=[ ]; >> mean(x) 5.5 >> mode(x) 5 >> median(x) 5 >> std(x) 3.32 >> var(x).636e+4 >> prctile(x,25) 47 Distribución de Frecuencias >> x=[ ]; %Para definir las marcas de clase >> m=[ ]; %Para obtener las frecuencias absolutas en cada clase >> f=hist(x,m) f = U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 26

2 %Frecuencias absolutas acumuladas >> F=cumsum(f) F = %Para obtener las frecuencias absolutas en 6 clases >> f=hist(x,6) f = % istograma y Curva Normal >> histfit(x,6) Distribuciones Notables Nombre Función de distribución Percentiles Binomial binocdf(x,n,p) binoinv(p,n,p(éxito)) Poisson poisscdf(x,λλ) Poissinv(p,λ) Normal normcdf(x,μ,σ) norminv(p,μ,σ) Chi-cuadrado nhicdf(x,n) chiinv(p,n) t-student ncdf(x,n) tinv(p,n) F de Snedecor fcdf(x,n,n2) finv(p,n,n2) U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 27

3 PROBABILIDAD Las funciones para cada distribución incluyen: Función de densidad de probabilidad (pdf) Función de distribución (cdf) Inversa de la función de distribución Media y varianza Cálculo de Probabilidades en distribuciones discretas Binomial para n pruebas independientes con p la probabilidad de éxito binopdf(x,n,p) >> binopdf(5,,.5).246 Poisson de media λ poisspdf(x,λ) >> poisspdf(,5).337 Cálculo de la función de distribución en distribuciones continuas Normal de media µ y de desviación típica σ normcdf(x,µ,σ) >> normcdf(,,5).427 Chi cuadrado con n grados de libertad chi2cdf(x,n) >> chi2cdf(,5).374 t-student con n grados de libertad tcdf(x,n) >> tcdf(,5).884 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 28

4 F-Snedecor con n y m grados de libertad fcdf(x,n,m) >> fcdf(,2,3).5352 Cálculo de los percentiles en distribuciones, es decir, dada la probabilidad encontrar la abscisa x tal que F(x)=P(X x)=probabilidad Binomial para n pruebas independientes con p la probabilidad de éxito binoinv(probabilidad,n,p) >> binoinv(.7,,.5) 3 Poisson de media λ poissinv(probabilidad,λ) >> poissinv(.95,5) 9 Normal de media µ y de desviación típica σ norminv(probabilidad,µ,σ) >> norminv(.95,,).6449 Chi cuadrado con n grados de libertad chi2inv(probabilidad,n) >> chi2inv(.,5).374 t-student con n grados de libertad tinv(x,n) >> tinv(,5).63 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 29

5 Podemos obtener la media y la varianza de la distribución con las funciones siguientes: Binomial para n pruebas independientes con p la probabilidad de éxito [m,v]=binostat(n,p) >>[m,v]=binostat(8,.3) m = 2.4 v =.68 Poisson de media λ [m,v]poisstat(n,p) >>[m,v]=poisstat(8) m = 8 v = 8 Chi cuadrado con n grados de libertad [m,v]=chi2stat(n,p) >>[m,v]=chistat(8) m = 8 v = 6 t-student con n grados de libertad [m,v]=tstat(n,p) >>[m,v]=tstat(8) m = v =.3333 U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 3

6 Contraste de ipótesis para la Media con n>3 [h,p,ci,t]=ztest(x,μ,s,α,-) % cola izquierda [h,p,ci,t]=ztest(x,μ,s,α) % bilateral [h,p,ci,t]=ztest(x,μ,s,) % cola derecha El valor devuelto de h= indica que el test no rechaza la hipótesis nula al nivel de significación del 5% por defecto. El valor devuelto de h= indica que el test rechaza la hipótesis nula al nivel de significación del 5% por defecto, a favor de la hipótesis alternativa >>x=normrnd(,,,35) %Valores aleatorios de N(,) en 35 columnas >> [h,p,ci,z]=z,test(x,,.5) h = %La evidencia es suficiente para rechazar p = %p-valor ci = %Intervalo de confianza para -α z = %Estadístico de contraste Contraste de ipótesis para la Media con n<3 [h,p,ci,t]=ttest(x,μ,α,-) % cola izquierda [h,p,ci,t]=ttest(x,μ,α) % bilateral [h,p,ci,t]=ttest(x,μ,α,) % cola derecha El valor devuelto de h= indica que el test no rechaza la hipótesis nula al nivel de significación del 5% por defecto. El valor devuelto de h= indica que el test rechaza la hipótesis nula al nivel de significación del 5% por defecto, a favor de la hipótesis alternativa >>x =[ ] %Vector con los datos de la muestra : 9 >> [h,p,ci,t]=ttest(x,9,.5) 9 h = %La evidencia no es suficiente para rechazar p =.863 % p-valor ci = % Intervalo de confianza para -α t = tstat:.838 %Estadístico de contraste U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 32

7 df: 4 %Grados de libertad sd: 7.37 %Desviación típica Contraste de ipótesis para la diferencia de Medias con n<3 y varianzas iguales : x y >> [h,p,ci,z]=ztest(x,y,α,-) : x y : x y >> [h,p,ci,z]=ztest(x,y,α) : x y : x y >> [h,p,ci,z]=ztest(x,y,α,) : x y Prueba de la Bondad del Ajuste (Chi-cuadrado o Pearson) >> [h,p,st] = chi2gof([ ], 'Ctrs',[ ], 'Frequency', [ ]) h = % ipótesis alternativa p =.347 % p-valor st = chi2stat: % estadístico de contraste df: 2 % grados de libertad edges: [ ] O: [ ] %frecuencias observadas E: [ ] %frecuencias esperadas Pruebas con Tabla de contingencia >> n=[ ; ] n = %frecuencias observadas >> f=sum(n) f = %suma por filas >> c=sum(n') c = >> e=(c'*f)/sum(sum(n)) %suma por columnas e = %frecuencias esperadas >> chi=sum(sum((n-e).^2./e)) chi =.7766 %estadístico de contraste >> p=-chi2cdf(chi,3) p =.855 %p-valor U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 33

8 Disttool Es una herramienta de MATLAB que permite visualizar de forma gráfica las características de cada distribución con la posibilidad de variar sus parámetros. Las funciones que muestra son: Función de densidad o de probabilidad (PDF) Función de distribución (CDF) Por defecto la ventana se abre con la distribución N(,) y representando la función de distribución de probabilidad Obviamente se puede modificar cualquier ventana U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 33

9 Calculamos las probabilidades Calculamos los percentiles U. D. de Matemáticas de la ETSITGC 34

10 Cambiamos la distribución U. D. de Matemáticas de la ETSITGC