ampos consevativos Un campo F se dice consevativo si es un gadiente. Esto es, si existe una función f (potencial) tal que F = f: Po lo tanto, si F es un campo consevaivo de clase ; él es iotacional. Esto es, F = 0: (Ya sabemos que el oto del gadiente de una función de clase 2 es ceo). También sabemos que las integales de línea de campos consevativos no dependen del camino: Si dos cuvas y 2 paten ambas de un punto a y llegan al mismo punto b; F ds = F ds; 2 siempe que F sea consevativo. En efecto, si f es un potencial paa F; ambas integales igualan a f (b) f (a) : El mismo agumento asegua que si es una cuva ceada entonces R Fds = 0: Los dos agumentos pecedentes se ven sugestivamente entelazados po el teoema de Stokes, que identi ca el ujo del oto de un campo a tavés de una supe cie con su ciculación a lo lago de su bode, que es una cuva ceada. Teoema. Sea F = P i + Qj + Rk un campo de clase en R 3 salvo tal vez en un númeo nito de puntos. Entonces son equivalentes las siguientes poposiciones:. R F ds = 0 paa toda cuva simple ceada : 2. R Fds no depende del camino. Esto es, R Fds = R 2 Fds paa dos cuvas con iguales puntos iniciales y nales. 3. F es consevativo. 4. F es iotacional. emostación. El plan de la demostación es : ) 2: ) 3: ) 4: ) : : ) 2: Si la difeencia 2 es simple, 0 = F ds = 2 F ds 2 F ds demuesta la a mación. Si no, siempe se puede pone como una suma de cuvas simples (más, eventualmente, cuvas ecoidas de ida y vuelta). 2: ) 3: Hay que elegi un punto jo. Po ejemplo el oigen, si él no es de los puntos excepcionales, y de ni f (p) como la integal del campo desde ese punto hasta p; ya que dicha integal no depende del camino. Paa poba que f = F; se elige un camino adecuado paa cada deivada pacial. Haemos la pueba de que =z F = R: Sea p = (x; y; z) y tomemos la cuva = + 2 ; donde es cualquie cuva que une 0 con (x; y; 0) y 2 es el segmento que va de (x; y; 0) a (x; y; z) : Entonces f (x; y; z) = F ds + F ds: 2
álculo II - 206 Peo la pimea integal no depende de z; de modo que es sólo una función (x; y) : En cuanto a la segunda, paametizando el segmento 2 po (x; y; t) ; 0 t z; z F ds = R (x; y; t) dt 2 0 ya que x e y son constantes (especto de t ) y po lo tanto dx = dy = 0: Po lo tanto, z f (p) = d dz f (x; y; z) = d dz (x; y) + d dz = 0 + R (x; y; z) = R (p) ; po aplicación del teoema fundamental del álculo. 3: ) 4: Es ya conocido. z 0 R (x; y; t) dt = 4: ) : Si la cuva ceada simple sobe la que hay que poba que la ciculación es nula es la fontea oientada de una supe cie S y vale paa ellas el teoema de Stokes, puesto que F = 0; la a mación : queda pobada: F ds = F ds = 0: S La pueba de que una cuva simple ceada siempe es la fontea de una supe cie, apela a una Matemática totalmente ajena a la que manejamos en este cuso. Sin embago, es bueno tene algún agumento convincente: Identi quemos la cuva con un alambe y metámoslo en una solución jabonosa. Saldá con una película que epesenta a la supe cie buscada. Si la película pasa po alguno de los puntos excepcionales (en cuanto a la egulaidad de F), soplando un poco tendemos ota supe cie que lo elude. Los esultados son válidos en R 2 ; sumegiendo el plano en R 3 y consideando al campo P i+qj como P i+qj+0k: Peo los puntos excepcionales de egulaidad paa el campo oiginal se convieten en ectas excepcionales paa el campo extendido. Y una ecta no se puede eludi soplando. Po eso el esultado en R 2 no admite puntos excepcionales. ontaejemplos paa el caso en que éstos existan se encuentan en la guía de ejecitación. 2 El lenguaje de las fomas difeenciales omo ya vimos, de la de nición de integal de línea de un campo bajo la paametización x = x (t) ; y = y (t) ; z = z (t): F ds = b a P x 0 + Qy 0 + Rz 0 dt suge la expesión, en pincipio apenas una abeviatua del segundo miembo, P dx + Qdy + Rdz = F ds: En pincipio, el miembo de la izquieda se de ne "íntego" po el de la deecha (que sí tiene sentido) y sus elementos caecen de sentido po sepaado. Elaboa una teoía que dé sentido a estos elementos es posible peo no vale la pena. Sin embago, algunas de niciones paciales son útiles y se usan con éxito en la páctica. 2
álculo II - 206 adas tes funciones P; Q; R de nidas en R 3 ; la expesión! = P dx + Qdy + Rdz es una foma difeencial de gado. Si f es una función, su difeencial es una -foma poniendo df = f f f dx + dy + x y z dz: Una foma tiene el gado de egulaidad que tienen sus coe cientes y con un gupo de tes funciones tanto se puede ama una foma como un campo. Hay entonces una taducción de los esultados aceca de campos a enunciados aceca de fomas. Si F = P i + Qj + Rk y! = P dx + Qdy + Rdz;! es exacta si F es consevativo. La función f tal que F = f y! = df se llama potencial. Si! es se dice que es ceada cuando F es iotacional. Toda foma exacta es ceada, como todo campo consevativo es iotacional. Recípocamente, si! es de clase en todo R 3 (salvo un conjunto nito), ceada implica exacta. En la demostación del teoema se vio cómo constui la función potencial de una foma ceada. Veamos con un ejemplo cómo se hace en la páctica. Supongamos que queemos halla f tal que df = yzdx + zxdy + xydz: Lo pimeo es vei ca si la condición necesaia (! ceada) se vei ca: y = Q z = x; P z = x = y; Q x = P y = z: umplido ese paso, estaemos buscando una función f (x; y; z) tal que f=x = yz: onsideando y; z jos, debeá entonces se f (x; y; z) = xyz a menos de una constante. Peo esa constante paa x sí depende de y y z que dejamos jos. Entonces, f (x; y; z) = xyz + (y; z) : Ahoa, de f=y = zx aplicado en la última igualdad, sigue que xz + =y = zx: e donde se deduce que = (z) no depende de y: f (x; y; z) = xyz + (z) : La última condición: f=z = xy se conviete entonces en xy + 0 (z) = xy; y de allí suge que es constante. El potencial geneal de! es f (x; y; z) = xyz + : 3 El teoema de la divegencia de Gauss Una egión simética elemental del espacio euclídeo es la vesión tidimensional de lo que ea una egión simple en el plano. Es una egión que es a la vez x simple, y simple y z simple. La fontea de una egión simética elemental se puede ve como la unión de a lo sumo seis supe cies (caas) que se intesecan unas a otas solamente en los bodes. Esa unión foma una supe cie sobe la que se pueden calcula integales y que limita a la egión. Oienta la fontea de una egión simética elemental "hacia afuea", signi ca elegi en cada punto p el vecto nomal N tal que, paa " positivo chico, p + "N 2 c : Hay descipciones más pecisas, peo no vale la pena. 3
álculo II - 206 Teoema de la divegencia. Sea una egión simética elemental con fontea egula oientada hacia afuea. F un campo de clase en : Entonces F ds = FdV: () emostación. Po la descomposición F = P i + Qj + Rk; la igualdad () se conviete en P i ds + Qj ds + Rk ds (2) P = x dv + Q y dv + z dv Esta igualdad queda su cientemente pobada si se establece la igualdad de cada sumando del pime miembo con su homólogo del segundo. Y cada una de esas tes igualdades se pueba usando que la egión simética es, espectivamente, x simple, y simple y z simple. omo muesta pobaemos la última. Po se z simple, se descibe po: (x; y) 2 ; ' (x; y) z (x; y) ; paa ' y funciones de nidas en ; una egión elemental del plano x; y: consta de una supe cie supeio (S : z = (x; y)), una supe cie infeio (S 2 : z = ' (x; y)) y una supe cie lateal S 3, fomada po a lo sumo cuato caas, peo siempe "vetical". Esto signi ca que en la supe cie lateal la nomal es hoizontal, pependicula a k: Esta a mación intuitivamente evidente admite una pueba fomal que el lecto debeía sabe hace. Rk ds = S (0; 0; R (x; y; (x; y))) x ; y ; da = R (x; y; (x; y)) da: Un cálculo simila teniendo en cuenta la oientación hacia abajo de S 2 ; mostaá que Rk ds = R (x; y; ' (x; y)) da: S 2 Po último, como ya se dijo, en S 3 la nomal unitaia n es pependicula a k: Po lo tanto, Rk ds = Rk nds = 0: S 3 S 3 En de nitiva, Rk ds = R (x; y; (x; y)) da Ahoa se debe calcula la integal de volumen: z da = (x;y) '(x;y) z (x; y; z) dz R (x; y; (x; y)) da! R (x; y; ' (x; y)) da: da = R (x; y; ' (x; y)) da: Así como el teoema de Geen, el teoema de la divegencia se aplica a egiones que sin se siméticas se pueden epesenta como una unión de ellas con fonteas comunes que se cancelan de a paes. 4
álculo II - 206 Teoema (Ley de Gauss). 0 =2 M; M M Sea M una egión simética elemental en R 3 : Entonces, si 8 < 3 ds = : 4 si 0 2 M 0 si 0 =2 M: emostación. Si 0 =2 M; como tampoco petenece a M; el campo es egula y 3 ds = dv = 0: 3 El cómputo que demuesta que = 3 = 0 queda a cago del lecto. Si 0 2 M es un punto inteio y existe una bola B (0; ") totalmente contenida en M: Aplicaemos el teoema de Gauss a la egión (no elemental) = M B (0; ") ; cuya fontea es M ; siendo la caa exteio de la esfea de cento en 0 y adio ": Nótese que al toma estamos eligiendo la nomal inteio de la esfea, que es exteio paa : En el campo es egula y se aplica el teoema de Gauss. omo la integal de volumen es nula, igual que en el caso anteio, M 3 ds = 3 ds = 3 n ds: Ahoa bien, en n = y = "; luego M 3 n ds = " 2 ds = 4: El Teoema de Gauss pemite obtene ota caacteización de la divegencia, tal como se hizo con el oto vía el teoema de Stokes. Situándonos en una bola B " de adio " con cento en el punto p donde queemos caacteiza la divegencia, y llamando a la fontea de la bola oientada hacia afuea, el teoema de Gauss asegua que F dv = F ds: B " Si se divide miembo a miembo po el volumen de la bola y se toma límite paa "! 0; lim F dv = lim F ds: (3) "!0 B " "!0 Ahoa obsevamos que si F es continua en p; entonces el pime miembo de la igualdad tiende hacia F (p) : En efecto, F dv F (p) = F dv F (p) dv B " B " B " f F (q) F (p)g dv (q) j F (q) F (p)j dv (q) B " B " j F (q) F (p)j! 0 paa "! 0: max kq pk" Entonces (3) da como esultado F (p) = lim "!0 F ds; que expesa a la divegencia en el punto como la tasa de ujo hacia el exteio po unidad de volumen. 5