Probleas. Un barco se balancea arriba y abajo y su desplazaiento vertical viene dado por t π la ecuación y, cos +. Deterinar la aplitud, frecuencia angular, 6 constante de fase, frecuencia y periodo del oviiento. Dónde se encuentra el barco en ts?. Deterinar la velocidad y aceleración en cualquier tiepo t y calcular la posición, velocidad y aceleración inicial. Coparando con la ecuación [.8] concluios que A,,5 rad/s δ π/6 rad La frecuencia y el periodo se deducen de las ecuaciones correspondientes ν /π,796 Hz T /ν,6 s Para t s la posición del barco viene dada por la ecuación y,cos(/+π/6),64 La velocidad y la aceleración se obtiene derivando una y dos veces la posición respecto al tiepo v -,sen(t/+π/6)/ -,6sen(t/+π/6) a -,6cos(t/+π/6)/ -,3cos(t/+π/6) Y para t y,4 v -,3 /s a -,6 /s P-
. Un objeto oscila con frecuencia angular 8 rad/s. En t, el objeto se encuentra en x 4 c con una velocidad inicial v -5 c/s. Deterinar la aplitud y la constante de fase para este oviiento y escribir x en función de t. La posición y la velocidad inicial están relacionadas con la aplitud y constante de fase por las ecuaciones x Acosδ v -Asenδ Dividiendo estas dos ecuaciones obteneos v /x -tgδ y despejando la constante de fase δ arctg,78,66 rad La aplitud viene dada por A x /cosδ 5,6 c Y la ecuación del oviiento, conocida aplitud y constante de fase x 5,6 cos(8t+,66) P-
3. Un objeto de kg se sujeta a un uelle de constante de fuerza k96 N/. El objeto se antiene a una distancia de 5 c de la posición de equilibrio y se deja en libertad en t. Deterinar la frecuencia, el periodo y la ecuación del oviiento de este MAS. Cuál es la velocidad y aceleración áxias del objeto y en que oento se alcanzan? La frecuencia angular es igual a (k/) / 9,9 rad/s La frecuencia y el periodo son iguales a ν,58 Hz T,633 s La aplitud y la contante de fase A 5 c δ La ecuación de oviiento x 5cos(9,9t) P-3
4. Un objeto de 3 kg conectado a un uelle oscila con una aplitud de 4 c y un periodo de s. Cuál es la energía total del objeto? Cuál es la velocidad áxia del objeto y en que posición se alcanza? En que posición la velocidad es igual a al itad de su valor áxio, y en cúal la energía potencial es igual a la cinética? Sabeos que la energía total de un MAS viene dada por la ecuación E/kA La constante de fuerza se relaciona con el periodo y la asa según k 4π /T 9,6 N/ y la energía total es igual E,37x - J La velocidad áxia se alcanza cuando toda la energía es cinética, en x, y vale v ax (E/),5,6 /s Para una velocidad v,5v ax y aplicando la conservación de la energía teneos E,5kA,5(,5v az ) +,5kx Despejando la posición x en la que teneos una velocidad itad de la del áxio x 3,46 c En la posición x en la que la energía cinética es igual a la potencial se cuplen las ecuaciones,5v +,5kx,5kA,5v,5kx Despejando de estas dos ecuaciones con dos incógnitas obteneos x (A /),5,83 c v (ka /),5 P-4
5. Encontrar la ecuación resultante de la superposición de MAS paralelos cuyas ecuaciones son x cos(t+π/3) y x 3cos(t+π/3). Representar los vectores rotantes y el oviiento resultante. 6. Encontrar la ecuación de la trayectoria del oviiento resultante de la cobinación de MAS perpendiculares cuyas ecuaciones son x4sent e y3sen(t+α) cuando α, π/ y π. Representar la trayectoria y dirección de oviiento para cada caso P-5
7. Una asa de 3 kg estira un uelle 6 c al ser colgada verticalente. Calcular la frecuencia de oscilación La cantidad que el uelle se alarga viene dada por la ecuación y g/k con lo que la constante de fuerza es igual a kg/y 84 N/ Por otro lado, la frecuencia de oscilación del uelle es igual a ν (π) - (k/),5,5 Hz P-6
8. Un objeto de asa kg está sujeto sobre un uelle vertical que está anclado en el suelo. La longitud del uelle sin deforar es de 8 c y la posición de equilibrio del objeto sobre el uelle está a 5 c desde el nivel del suelo. Cuando el objeto está en su posición de equilibrio, se le da un ipulso hacia abajo con un artillo, de tal anera que la velocidad inicial es de,3 /s. A qué áxia altura, respecto al nivel del suelo, se elevará el objeto? Cuánto tiepo tardará el objeto en alcanzar la áxia altura por priera vez? Volverá el uelle a estar sin copresión? Qué velocidad inicial ínia debe darse al objeto para que el uelle no tenga copresión en un instante dado? Para calcular la áxia altura ( 5c + A) a partir de la velocidad, se requiere conocer w, que se puede calcular a partir del k del uelle y la asa. En el equilibrio uelle-asa: kx g. Por otro lado, x 8-5 3cs (lo que baja el uelle con la asa) þ k g/x x 9,8 /,3 653,3 N/ þ w ( k/) / ( g/x ) / 8,7 rad/s. Coo el oviiento epieza desde la posición de equilibrio, lo ás lógico es describirlo con la función seno y fase inicial (y toando dirección de x positiva hacia abajo). Posición de equilibrio: x ; x Asen wt. v dx/dt wa.cos wt. La altura áxia corresponderá a x -A. Referido al nivel del suelo, será 5 + A. Hay que hallar A. En x y t, v tendrá el valor áxio, que es el que nos dan en el enunciado: v ax wa,3 /s y A,3 / 8,7,66 c. El objeto se eleva a 6,66 c por encia del suelo. La áxia altura corresponde a x -A -,66 c.,66. sen (wt) -,66 þ sen (8,7t) - þ (8,7t) 3p/ þ t,6 s. c) No, ya que A<3cs (lógicaente baja el uelle con el peso) Tiene que ocurrir que A 3 cs, y v in wa 8,7 x,3,54 /s P-7
9. Un péndulo siple de longitud l se encuentra en un furgón de ferrocarril que se ueve horizontalente con una aceleración a. El periodo de oscilación del péndulo que se ide en esta situación es de T,96 s. Deterinar la aceleración a del ferrocarril. A partir del periodo de oscilación concluios que el péndulo está soetido a una aceleración g dada por g (π/t) L,3 /s Está aceleración g resulta de la sua vectorial de la fuerza vertical del peso g ás la fuerza horizontal a debida a la aceleración del vagón; esto iplica que g g-a y en ódulo g g +a a 3, /s P-8
. Una barra unifore de asa M y longitud L puede girar libreente alrededor de un eje horizontal perpendicular a la barra y situado a una distancia x del centro de asas. (a) Deterinar el periodo de oscilación para pequeños desplazaientos angulares; (b) deterinar el valor de x para que el periodo de oscilación sea el ínio. (Nota: el oento de inercia respecto a este eje viene dado por I ML + Mx ) El periodo del péndulo físico viene dado por la ecuación T π π I Mgx y sustituyendo el valor del oento de inercia T π L gx + x El ínio del periodo respecto a la distancia al centro de asas ipone que dt dx obteniéndose el valor x L P-9
. Un pájaro de 3 g de asa se apoya en el extreo de una raa de c de longitud y 3 de diáetro. El ódulo de Young de la adera es de 8x 9 N/. Calcular la frecuencia de oscilación del pájaro en la raa. (Tener en cuenta que la relación entre el oento de la fuerza M y el radio de curvatura R es igual a MEI/R donde E es el ódulo de Young del aterial e Iπr 4 /4 es el oento de inercia del cilindro) El desplazaiento vertical x de la raa en función de su radio de curvatura R es x R-Rcosθ R(-+θ /)/RL R - L /R donde el ángulo θl/r. El oento de la fuerza F es MFL. Por tanto FM/LEI/RL FEIx/L 3 Teneos por tanto una fuerza de la fora Fkx con una constante de fuerza kei/l 3 y sustituyendo lo que vale el oento de inercia I de la raa keπr 4 /4L 3 y la frecuencia natural de oscilación ν(π) - (Eπr 4 /4L 3 ).5,6 Hz P-
. Un bloque descansa sobre un uelle y oscila verticalente con una frecuencia de 4 Hz y una aplitud de 7 c. Una pequeña bola se sitúa en la parte superior del bloque oscilante justo cuando éste alcanza su punto ás bajo. A qué distancia de la posición de equilibrio del bloque la bolita pierde el contacto con el bloque? Qué velocidad posee la bolita al escapar del bloque? Consideraos y la posición de equilibrio del uelle con la bolita. La ecuación del oviiento del bloque es por tanto y -Acost con A,7 y πν8π Las fuerzas sobre la bolita son su peso, g, hacia abajo y la fuerza noral hacia arriba ejercida por el bloque. Cuando este se ueve hacia arriba desde la posición de equilibrio, su aceleración es hacia abajo y creciente en agnitud. Por tanto en el oento que la aceleración del bloque sea g, la fuerza noral sobre la bolita, sua de la reacción al peso y de la aceleración del bloque será cero, y ésta abandona el bloque. La aceleración del bloque viene dada por a - y Acost -g cost -g/ A El desplazaiento y en ese oento es igual a y g/,55 c y la velocidad v en ese oento es v Asent A(-cos t),5 Para y,55 c, v,7 /s P-
3. Cuando se pulsa la nota do-central de un piano (frecuencia 6 Hz), la itad de su energía se pierde en 4 s. Cuál es el coeficiente de aortiguaiento y factor de calidad de la cuerda del piano? Cuál es la perdida de energía relativa por ciclo? La perdida de energía del oscilador aortiguado viene dada por la ecuación E T E T exp(-γt) Si después de 4 s se ha perdido la itad de la energía, esto quiere decir que,5e T E T exp(-γ4 s) con lo que el coeficiente de aortiguaiento es igual a γ,87 s - y el factor de calidad de la cuerda del piano es Q /γ π6 Hz/,74 946 Diferenciando [.5], la perdida de energía por ciclo viene dada por de T /E T γt x,87/6 6,6x -4,66% P-
4. Un objeto de kg oscila sobre un uelle de constante k4 N/ con una constante de aortiguaiento b kg/s. Está ipulsado por una fuerza sinusoidal de valor áxio N y frecuencia angular rad/s. Calcular la aplitud de las oscilaciones y la frecuencia y aplitud de resonancia. La ecuación del oviiento en el estado estacionario es igual a x [( ) + 4γ ] β arctg F γ sen( wt + β ) con γb/,5 s - (k/),5 4,4 rad/s β,47 rad y sustituyendo queda x,5sen(t +,47) con lo que la aplitud de oscilación es de A,5 La frecuencia de resonancia coincide con la frecuencia natural del oscilador (k/),5 4,4 rad/s y la aplitud de oscilación en la resonancia es igual a A r,35 P-3
5. Sea un péndulo consistente en una esfera de Al de,5 de radio suspendida de una cuerda de de longitud. Deterinar la aplitud y periodo de oscilación de este péndulo. Averiguar coo afecta la viscosidad del aire a estos dos paráetros. (Considerar que la fuerza debido a la viscosidad η que actúa sobre una esfera de radio R y velocidad v es igual a F-6πηRv y para el aire a ºC η,78x -5 kg/s). Cúal es el tiepo necesario para que la aplitud se reduzca un % de la inicial? Introduciendo en la ecuación diferencial del oviiento del péndulo la fuerza de rozaiento debida a la viscosidad del aire obteneos d φ dt 6πηR dφ g + + φ dt L Esta ecuación diferencial es ateáticaente idéntica a la del oscilador aortiguado y tiene coo coeficiente de aortiguaiento, introduciendo la asa de la esfera coo voluen por densidad ρ, γ 9η 4 6,43x s 4R ρ Por tanto la aplitud de oscilación es igual a φ γt φe φ e 4 6,43x t Para una reducción de un % de la aplitud inicial ln,9 6,4x t,64x y la frecuencia 4t s,7 in utos γ y dado el pequeño valor del coeficiente de aortiguaiento frente a la frecuencia natural, 9,8 s -, prácticaente no hay cabio en la frecuencia. P-4
6. Un niño se colupia con un período de 3 s. El niño y el colupio poseen una asa de 3 kg. El padre del niño ipulsa pacienteente el colupio una vez cada ciclo de odo que antiene una aplitud angular estacionaria de 3. Si el valor de Q es igual a, calcule la potencia transitida por el padre. (Nota: tenga en cuenta la relación entre el período y la longitud del colupio) El padre transite energía al niño en el colupio cada vez que éste recorre un periodo. Se trata de un oviiento aortiguado (con Q ), de anera que después de un periodo, T 3 s, el niño en el colupio habrá perdido una cierta energía, que será igual a la energía inicial, E i enos la energía que tiene después de un periodo, E T. De este odo, la potencia que tiene que aplicar el padre será P (E i E T ) / T Teneos que E i ½ ka o, siendo A o la aplitud inicial y k la constante del sistea oscilante (el colupio). Aplicado a este caso concreto, teneos: k 4π /T 3 N/ y A o π/6 l. La longitud del colupio, l, no es conocida, pero puede deducirse a partir del período Tπ(l/g),5, l,3. Sustituyendo se obtiene: E I ½ ka o 89,3 J. La energía después de un periodo es E T ½ k A T, siendo A T A o exp(-γt) π/6 l exp(-γt). Teniendo en cuenta que Q w o / γ teneos que γ,5 s -, de anera que E T 66, J De este odo, la potencia que deberá aplicar el padre será P (E i E T ) / T 7,7 W P-5
7. Un objeto de asa,5 kg situado sobre un uelle de constante de fuerza 6 N/ pierde el 3% de su energía en cada ciclo. El sistea viene ipulsado por una fuerza sinusoidal con un valor áxio de F,5 N. Cuál es el valor de Q para este sistea y el valor de la frecuencia angular de resonancia y aplitud de resonancia? Cuál es la aplitud de oscilación si la frecuencia ipulsora es 9 rad/s? Diferenciando [.5], la perdida de energía por ciclo viene dada por de/e γt π/q Q π(de/e) - Si la perdida de energía por ciclo es de un 3% Q π/,3 9 La frecuencia angular de resonancia, igual a la frecuencia natural es (k/),5 (6/,5),5 rad/s La aplitud para la frecuencia angular de resonancia es A F /b y la constante de aortiguaiento b /Q,44 kg/s con lo que A,74 Para 9 rad/s AF /( ( - ) +b ),5 8,54x -3 P-6
P-7 8. Deostrar la ecuación 4 ) ( ) ( γ γ + F t vf P (Nota: conocida la tangente de un ángulo es fácil conocer su seno ó coseno) Sabeos que la ecuación de oviiento de un oscilador arónico forzado en el estado estacionario viene dada por [ ] γ β β γ ) ( 4 ) ( + + arctg wt sen F x Derivando obteneos la velocidad [ ] ) cos( 4 ) ( β γ + + wt F v y la potencia instantanea cedida por la fuerza ipulsora será [ ] t wt F Fv P β γ )cos cos( 4 ) ( + + La potencia edia suinistrada por la fuerza ipulsora será el valor edio de este valor. Teniendo en cuenta la identidad cos(a+b)cosacosb-senasenb queda [ ] + ) cos cos (cos 4 ) ( t tsen sen wt F Fv P β β γ El valor edio de cos a es un edio** y el proedio en un ciclo del segundo térino es cero con lo que [ ] β γ cos 4 ) ( + F Fv P Por otro lado sabeos que
tagβ γ y por tanto cos β γ [( ) + γ ] 4 con lo que P Fv [( ) + 4γ ] F γ **El valor edio de una función y(x) en el intervalo [a,b] se define coo < y > b a b a ydx P-8
9. Deostrar que el cociente entre la anchura a la itad del áxio de la potencia edia entregada en la resonancia, para una resonancia aguda, y la frecuencia del iso es igual al valor inverso del factor Q La potencia edia entregada viene dada por la ecuación P Fv [( ) + 4γ ] F γ En la frecuencia de resonancia teneos el áxio de potencia edia entregada F γ P( ) [( ) + 4γ ] 4γ F Para que la potencia edia cedida sea la itad de este valor, la frecuencia de la fuerza aplicada debe cuplir que (asuiendo que teneos una resonancia aguda y que w está cercana a ) [( ) + 4γ ] γ 8 Usando la identidad (x -y )(x+y)(x-y) y asuiendo de nuevo que teneos una resonancia aguda y que está uy cercana a (+ ) ± γ ± Q Con lo que las dos frecuencias en torno a la frecuencia de resonancia para las cuales la potencia edia entregada por la fuerza aplicada es la itad del áxio son + Q Q y la anchura de la resonancia Q P-9
P-