UNIDAD 4 PROGRAMACIÓN LINEAL 1 SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS RECINTOS CONVEXOS La solución de un sistema de inecuaciones lineales (SIL) con dos incógnitas viene representada por un recinto conveo (incluidos los casos etremos de recta, semirrecta, segmento, punto o vacío) Recuerda que: CONVEXO NO CONVEXO O CÓNCAVO Segmentos del borde o frontera Lados o aristas Intersecciones de éstos Vértices El recinto conveo que obtengamos puede ser cerrado o abierto respecto a algunos lados (en discontinua) y/o vértices (círculo sin rellenar ) CERRADO ABIERTO RESPECTO A ALGUNOS LADOS Y VÉRTICES También puede ser acotado o no acotado ACOTADO NO ACOTADO Nos vamos a limitar en esta unidad a recintos conveos cerrados acotados y no acotados y 1 Ejemplo: Obtener la solución gráfica del sistema de inecuaciones lineales: y 0 1 Consideramos la ecuación asociada a cada inecuación y y 2 1 representamos la rectas que determinan A continuación obtenemos los semiplanos solución de cada una 0 de las inecuaciones y la zona común a todos (intersección) será la región solución Departamento de Matemáticas 1 Bloque I: Álgebra Lineal
Ecuaciones asociadas: y 1 0-1 2 3 y 1 y + 1 y 0 ( Recta horizontal) 1 ( Recta vertical) y 1 y 1 0 ( Recta vertical) y + 1 0 1 3 4 Determinación de los semiplanos solución: Para ello tomamos un punto arbitrario que no pertenezca a las rectas que determinan cada pareja de semiplanos, por ejemplo, (, ( 0,0) (Es lo más usual, por sencillez, siempre que sea posible) y 1 0 0 1 0 1 (Verifica la inecuación) y 1 0 2 0 1 0 1 (Verifica la inecuación) La solución viene dada por la región resaltada en la gráfica Cómo calcularías los vértices de la región? Observación: Aunque nosotros vamos a trabajar con recintos cerrados, en el caso de que no lo fuesen tendríamos que prestar especial atención a los vértices vacíos y a las aristas discontinuas, ya que no formarían parte del recinto solución del SIL 2 PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL CON DOS VARIABLES TERMINOLOGÍA BÁSICA La programación lineal proporciona a la Economía métodos y modelos de optimización con objeto de ayudar a las empresas a un uso óptimo de los recursos, ya sea minimizando costes de producción y transporte o maimizando beneficios Las bases de la programación lineal fueron asentadas en 1939 por el matemático ruso Leonid Vitalevich Kantorovich (1912-1986) premio Nobel de Economía en 1975 Posteriormente fue desarrollada a partir de 1947 por el matemático estadounidense George B Dantzig (1914-2005) que propuso el Algoritmo del Simple Hoy día es el procedimiento más utilizado con problemas en los que intervienen centenares de variables, que requieren la ayuda de un ordenador programado con este algoritmo eficiente en el estudio de los vértices Departamento de Matemáticas 2 Bloque I: Álgebra Lineal
Resolver un problema de programación lineal con dos variables, consiste en optimizar (maimizar o minimizar) una función lineal (, a + by c F + (También se escribe z a + by + c ) estando las variables sujetas a restricciones reguladas por inecuaciones lineales Nota: La mayor parte de las veces la función lineal será de la forma: (, a by F + (También se escribe z a + by ) TERMINOLOGÍA BÁSICA: Variables de decisión e y F, y a + by + Función objetivo ( ) c Restricciones Inecuaciones del SIL Región factible Recinto conveo obtenido como solución del SIL Solución óptima Aquella que maimiza o minimiza la función objetivo en la región factible SIEMPRE SE ENCUENTRA (SI EXISTE) EN LA FRONTERA DE LA REGIÓN FACTIBLE Y SE HALLA EN LOS VÉRTICES DE ÉSTA Puede ser un vértice, en cuyo caso se denomina punto etremo, una arista (dos vértices consecutivos) con lo cual el PPL tendrá infinitas soluciones o bien no tener solución ya sea porque las restricciones son inconsistentes (región factible vacía) o porque la región factible no esté acotada y no se alcance en ella la solución óptima Valor óptimo máimo El que se obtiene al evaluar la función objetivo en la solución óptima que la maimiza Se representa por z má Valor óptimo mínimo El que se obtiene al evaluar la función objetivo en la solución óptima que la minimiza Se representa por z mín En el caso de regiones factibles cerradas y acotadas SIEMPRE podremos MAXIMIZAR y MINIMIZAR la función objetivo Si la región factible no está acotada el PPL puede carecer de solución, pero si eiste solución ésta se encuentra en los vértices de la región factible 3 MÉTODOS DE RESOLUCIÓN 31MÉTODO ANALÍTICO 1º) Se plantea el SIL adecuado que modelice el PPL (restricciones) y se representa la región del plano que define, es decir, la región factible 2º) Se obtienen los vértices de la región factible planteando los sistemas de ecuaciones adecuados, o bien por observación directa de la gráfica en aquellos vértices que sean evidentes 3º) Se evalúa la función objetivo en dichos vértices obteniendo así los valores óptimos (máimo y/o mínimo) así como los puntos de la región factible en los que se alcanzan Ejemplo:(PAU Andalucía Septiembre 1996) a) Represente la región del plano definida por el SIL siguiente y halle sus vértices 3 + y 9 12 0; y 0 b) Es posible maimizar en ella la función F(,? Y minimizarla? Para las respuestas afirmativas, calcule el valor óptimo correspondiente y dónde se alcanza Departamento de Matemáticas 3 Bloque I: Álgebra Lineal
a) 3 + y 9 y 9 3 12 12 y Ecuaciones asociadas: 3 0 y 0 y 9 3 0 9 3 0 12 y 3 0 4 6 0 Determinación de la región factible: Tomo el punto ( 1,2) (Por ejemplo) 3 + y 9 3 1+ 2 9 5 9 F (No verifica la inecuación) 12 2 1+ 3 2 12 8 12 (Verifica la inecuación) Región factible: Recinto R de la gráfica Cálculo de los vértices de la región factible: Es claro que A (3,0) es solución del 3 + y 9 sistema y 0 R Del mismo modo C (6,0) es solución 12 de y 0 Por último B (15/ 7,18/ 7) se obtiene 3 + y 9 como solución de 12 c) Sí es posible en ambos casos ya que la región factible es cerrada y acotada Evaluación de la función objetivo en los vértices de la región factible: Vértice A(3,0) F A F 3,0 3 + 3 0 3 Vértice B(15/ 7,18/ Vértice C(6,0) F ( ) ( ) 7) F( B) F( 15/ 7,18/ 7) ( C) F( 6,0) 6 + 3 0 6 15/ 7 + 3 18/ 7 69/ 7 Por tanto: Valor óptimo máimo: z má 69/ 7 y se alcanza en el vértice B (15/ 7,18/ 7) Valor óptimo mínimo: z 3 y se alcanza en el vértice A (3,0) mín Departamento de Matemáticas 4 Bloque I: Álgebra Lineal
32MÉTODO GRÁFICO (Si el número de vértices es muy elevado) 1º) Se plantea el SIL adecuado que modelice el PPL (restricciones) y se representa la región del plano que define, es decir, la región factible (igual que en el método anterior) 2º) Se representa gráficamente la recta a + by 0 que pasa por O ( 0,0) siendo F (, a + by la función objetivo 3º) Se desplaza paralelamente a sí misma esta recta (líneas de nivel) hasta encontrar los vértices o lados de la región factible que cumplan la condición de máimo y/o mínimo para esa paralela: a + by k (mayor y/o menor valor de k) Van a ser las rectas que, tocando a la región factible, tengan mayor y/o menor ordenada en el origen, es decir, cortan en un punto situado más arriba y/o más abajo del eje Y zmá Se alcanza en el vértice cuya recta tenga mayor ordenada Si b > 0 zmín Se alcanza en el vértice cuya recta tenga menor ordenada zmá Se alcanza en el vértice cuya recta tenga menor ordenada Si b < 0 zmín Se alcanza en el vértice cuya recta tenga mayor ordenada Ejemplo: Resolvamos el ejemplo anterior usando este método: Como F(, representamos la recta + 3 y 0 que, como sabemos, pasa por el origen de coordenadas O ( 0,0) y / 3 0 0 3-1 R Al desplazar paralelamente la recta + 3 y 0 obtenemos el vértice A como punto más cercano y el vértice B como el punto más alejado Se calculan SÓLO ESTOS DOS VÉRTICES como en el ejemplo anterior (resolviendo los sistemas de ecuaciones apropiados) y se evalúa la función objetivo en ellos En estos vértices se van a alcanzar los valores óptimos Como A (3,0) y B (15/ 7,18/ 7), tenemos que: ( A) F( 3,0) 3 + 3 0 3 7) F( B) F(15/ 7, 18/ 7) 15/ 7 + 3 18/ 7 69 / 7 Vértice A (3,0) F Vértice B (15/ 7, 18/ Con lo cual llegamos a la misma conclusión que con el método anterior: Valor óptimo máimo: z má 69 / 7 y se alcanza en el vértice B (15/ 7,18/ 7) Valor óptimo mínimo: z 3 y se alcanza en el vértice A (3,0) mín Departamento de Matemáticas 5 Bloque I: Álgebra Lineal
4 APLICACIONES DE LA PROGRAMACIÓN LINEAL Como ya se ha comentado anteriormente, son muchas las aplicaciones de la programación lineal entre las que podemos destacar el problema del transporte o de la distribución de mercancías, minimizando los costes de distribución y los tiempos empleados en la misma, el problema de la producción, que consiste en combinar recursos que maimicen beneficios o minimicen costes y el problema de la dieta, que consiste en determinar la mejor combinación de alimentos que debe incluir una dieta con el mínimo coste, pero cubriendo las necesidades nutritivas mínimas Veamos un ejemplo de cada uno de ellos 41PROBLEMA DEL TRANSPORTE Se quiere organizar un puente aéreo entre dos ciudades, con plazas suficientes de pasaje y carga, para transportar a 1600 personas y 96 toneladas de equipaje Los aviones disponibles son de dos tipos: 11 del tipo A y 8 del tipo B La contratación de un avión del tipo A cuesta 24000 y puede transportar a 200 personas y 6 toneladas de equipaje; los aviones del tipo B cuestan 6000 y pueden transportar a 100 personas y 15 toneladas Cuántos aviones de cada tipo deben utilizarse para que el coste sea mínimo? (Andalucía 2001-M2-A-1) Número de aviones contratados tipo A Función objetivo (Coste contratación): y Número de aviones contratados tipo B F(, 24000 + 6000y Nº de personas Ton de equipaje Máimo aviones Coste ( ) Avión tipo A () 200 6 11 24000 Avión tipo B ( 100 15 8 6000 Mínimo a transportar 1600 96 Restricciones Ecuaciones asociadas 200 + 100y 1600 6 + 15y 96 11; y 8 0; y 0 200 + 100y 1600 6 + 15y 96 11; y 8 0; y 0 + y 16 + 5y 32 y 16-32 - y 5 y 16 2 0 16 8 0 32 y 5 1 6 6 4 Determinación de la región factible: Tomo el punto ( 0,0) 200 + 100y 1600 0 1600 F 6 + 15y 96 0 96 F Las otras cuatro inecuaciones son evidentes Región factible: Recinto R de la gráfica Departamento de Matemáticas 6 Bloque I: Álgebra Lineal
Cálculo de los vértices de la región factible: A (6,4), B (4,8), C (11,8), D (11,2), que se obtienen como solución de los sistemas 32 y y + 16 11 32 y A 5 ; B ; C ; D 5 8 y + 16 y y 8 11 Evaluación de la función objetivo en los vértices de la región factible: F ( A) F (6,4) 24000 6 + 6000 4 168 000 F ( B) F (4,8) 24000 4 + 6000 8 144 000 F ( C) F (11,8) 24000 11 + 6000 8 312 000 F ( D) F (11,2) 24000 11 + 6000 2 276 000 Valor óptimo mínimo z 144 000 mín en el vértice B(4,8) Deben emplearse 4 aviones tipo A y 8 tipo B para que el coste sea mínimo: 144 000 42PROBLEMA DE LA PRODUCCIÓN Un trabajador de una fábrica de cajas de cartón hace dos tipos de cajas: unas con base cuadrada por las que recibe 012 la unidad y en las que gasta 2m de cinta adhesiva y 05m de rollo de cartón, y otras de base rectangular por las que recibe 008 la unidad y en las que gasta 4m de cinta adhesiva y 025m de rollo de cartón Si la fábrica dispone de 440m de cinta adhesiva y de 65m de rollo de cartón por persona y hora, cuántas cajas de cada tipo debe fabricar el trabajador en cada hora para que su beneficio sea máimo? Qué beneficio obtiene por hora de trabajo? Número de cajas con base cuadrada Función objetivo (Beneficio por hora): y Número de cajas con base rectangular F(, 01 + 0 08y Cinta adhesiva (m) Rollo cartón (m) Beneficio ( ) Caja base cuadrada () 2 05 012 Caja base rectangular ( 4 025 008 Máimo material disponible 440 65 Restricciones + 4y 440 05 + 025y 65 0; y 0 Ecuaciones asociadas + 4y 440 + 2y 220 05 + 025y 65 0; y 0 + y 260 220 - y 2 y 260 Región factible: Recinto R de la gráfica 220 y 2 0 110 220 0 Determinación de la región factible: Tomo el punto ( 0,0) + 4y 440 0 440 Sí es solución de la inecuación 05 + 025y 65 0 65 Sí es solución de la inecuación Las otras dos inecuaciones son claras Departamento de Matemáticas 7 Bloque I: Álgebra Lineal y 260 2 0 260 130 0
Cálculo de los vértices de la región factible: A (0,0), B (0,110), C (100,60), D (130,0), que se obtienen como solución de los sistemas 0 220 220 y y y 260 A ; B 2 ; C 2 ; D y 0 0 0 y 260 y Evaluación de la función objetivo en los vértices de la región factible: F( A) F(0,0) 012 0 + 008 0 0 Valor óptimo máimo F( B) F(0,110) 012 0 + 008 110 880 zmá 1680 F( C) F(100,60) 012 100 + 008 60 1680 en el vértice C(100,60) F( D) F(130,0) 012 130 + 008 0 1560 Debe fabricar 100 cajas de base cuadrada y 60 de base rectangular para que el beneficio sea máimo:1680 43PROBLEMA DE LA DIETA El veterinario ha recomendado al dueño de un perro que el animal tome diariamente al menos 10 unidades de hidratos de carbono, 8 de proteínas y 6 de grasas En el mercado venden un producto en bolsas verdes que contiene 1 unidad de hidratos, 2 de proteínas y 1 de grasas, y otro producto en bolsas blancas que contiene 5 unidades de hidratos, 1 de proteínas y 1 de grasas La bolsa verde cuesta 1 y la blanca 15 Cómo debe combinar el dueño ambos productos para dar la dieta necesaria a su perro con el menor coste posible? En este ejemplo nos vamos a encontrar una región factible no acotada En consecuencia no tenemos asegurada la eistencia de los valores óptimos Número de bolsas verdes Función objetivo (Coste tratamiento): y Número de bolsas blancas F(, + 1 5y Un hidratos c Un proteínas Un grasas Coste ( ) Bolsa verde () 1 2 1 1 Bolsa blanca ( 5 1 1 15 Mínimo unidades 10 8 6 Restricciones + 5y 10 + y 8 + y 6 0; y 0 Ec asociadas + 5y 10 + y 8 + y 6 0; y 0 10 y 5 y 8 y 6 10 y 5 0 2 10 0 y 8 2 0 8 4 0 y 6 0 6 6 0 Departamento de Matemáticas 8 Bloque I: Álgebra Lineal
Determinación de la región factible: Tomo el punto ( 0,0) + 5y 10 0 10 F + y 8 0 8 F Tercera inecuación: + y 6 0 6 F Las otras dos inecuaciones son evidentes: 0 0 0; y 0 0 0 Región factible: Recinto R de la gráfica Cálculo de los vértices de la región factible: A (10,0), B (5,1), C (2,4), D (0,8), que se obtienen como solución de los sistemas 10 10 y y y 6 y 8 A 5 ; B 5 ; C ; D y 0 8 2 y 6 y 0 Evaluación de la función objetivo en los vértices de la región factible: F ( A) F (10,0) 10 + 15 0 10 F ( B) F (5,1) 5 + 15 1 65 F ( C) F (2,4) 2 + 15 4 8 F ( D) F (0,8) 0 + 15 8 12 Valor óptimo mínimo z 65 mín en el vértice C(5,1) Debe comprar 5 bolsas verdes y 1 blanca para que el coste diario sea mínimo: 65 Fíjate: en este caso el problema de programación lineal no alcanza un valor óptimo máimo en la región factible ya que, en dicha región, la función objetivo puede tomar valores tan grandes como se desee Observa: En la mayoría de los problemas de programación lineal las soluciones son números enteros Las restricciones de un problema de programación lineal deben ser consistentes ya que en caso contrario impiden la eistencia de la región factible En ese caso el PPL no tendrá solución como ocurre con las siguientes restricciones: 12 4 + 6y 30 y 0; y 0 Departamento de Matemáticas 9 Bloque I: Álgebra Lineal