Matemáticas Universitarias SESIÓN # 6. Sistemas de ecuaciones lineales y métodos de solución
Contextualización En un principio debes saber que para resolver adecuadamente un sistema de ecuaciones lineales, es importante que consideres que esto es un proceso que consta de dos fases: discusión y resolución. La discusión se basa en saber y analizar si el sistema tiene solución o no, y si la tiene. Entonces se puede decidir por cuál de los métodos lo realizaremos. Los métodos que se tienen pueden ser analíticos o gráficos. En esta sesión aprenderemos a resolver un sistema a través de los analíticos, que iremos conociendo uno por uno: sustitución, igualación y reducción.
Introducción Podrás conocer la base y la altura de un rectángulo si solamente conoces su área y su perímetro? Fuente: http://www.mathematicsdictionary.com/spanish/vmd/images/a/areaofasquareorarectangle.gif La resolución de un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas es comúnmente utilizado al tener dos conceptos que tienen relación entre sí, tal es el caso del área y el perímetro de un rectángulo, en los dos se utiliza la base y la altura para el cálculo de ellos, si estos valores llegaran a no ser conocidos pero se conoce el área y perímetro podemos encontrar estos valores desconocidos tomándolos como las incógnitas de nuestro sistema de ecuaciones y dar solución a través de cualquiera de sus métodos.
Explicación Método de sustitución. Para resolver un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas se siguen los siguientes pasos: Se despeja una de las variables de cualquiera de las ecuaciones. Se sustituye el despeje en la otra ecuación y se resuelve la ecuación de que resulta de esta sustitución. Una vez encontrado el valor de la primera variable, se calcula la otra en la ecuación despejada obtenida en el primer paso. Se comprueban los resultados en cualquiera de las dos ecuaciones para probar que se cumple la igualdad.
Explicación
Explicación Paso 3. Una vez encontrado el valor de la primera variable, se calcula la otra en la ecuación despejada obtenida en el primer paso. y= 7-2x y= 7-2(2) = 7-4 -- y = 3 Por lo tanto la solución del sistema es: (2,3) Paso 4. Se comprueban los resultados en cualquiera de las dos ecuaciones para probar que se cumple la igualdad. 2x + y = 7 2(2) + 3 = 7 4 + 3 = 7 7 = 7 La solución es correcta, se cumple la igualdad.
Explicación Método de igualación. Para utilizar este método hay que despejar una variable, la misma, en las dos ecuaciones y se igualan ambos despejes, con lo que se obtiene una ecuación de primer grado. Los pasos a seguir son: Se despeja la misma variable en ambas ecuaciones. Se igualan los despejes obtenidos y se resuelve la ecuación lineal. Se calcula el valor de la otra variable sustituyendo el valor de la que ya se tiene en una de las ecuaciones despejadas de primer paso. Se comprueban los resultados en cualquiera de las dos ecuaciones para probar que se cumple la igualdad.
Explicación
Explicación Paso 3. Se calcula el valor de la otra variable sustituyendo el valor de la que ya se tiene en una de las ecuaciones despejadas de primer paso. X = 11 3y X = 11 3(3) X = 2 Por lo tanto la solución del sistema es: (2,3) Paso 4. Se comprueban los resultados en cualquiera de las dos ecuaciones para probar que se cumple la igualdad. x + 3y = 11 2 + 3(3) = 11 2 + 9 = 11 Por lo tanto 11 = 11 Se cumple la igualdad.
Explicación
Explicación Paso 1. Se multiplican las ecuaciones por los números apropiados para que, en una de las incógnitas, los coeficientes queden iguales pero de signo contrario, Se va a multiplicar por (-1) la primera ecuación y por (2) la segunda ecuación para que el numero en x quede igual pero de signo contrario. 2x + y = 7(-1) -2x y = -7 x + 3y = 11(2) 2x + 6y = 22 Paso 2. Se suman las ecuaciones del nuevo sistema, equivalente al anterior. -2x y = -7 2x + 6y = 22 0x + 5y = 15, despejando y = 3
Explicación Paso 3. Se calcula el valor de la otra variable sustituyendo el valor de la que ya se tiene en una de las ecuaciones. 2x + y = 7 con y = 3 2x +3 = 7 2x = 7-3 x = 2 Por lo tanto la solución del sistema es: (2,3). Paso 4. Se comprueban los resultados en cualquiera de las dos ecuaciones para probar que se cumple la igualdad. 2x + y = 7 (2,3) 2(2) + 3 = 7 7 = 7 Se cumple la igualdad.
Conclusión Como nos habremos dado cuenta no importa el método que se utilice para la solución a un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas, todos nos llevarán a la misma solución pero con diferentes procedimientos, es de elección particular el elegir cual método utilizar. La siguiente sesión continuaremos trabajando los sistemas de ecuaciones lineales pero ahora con 3 incógnitas y algunos métodos para su solución, entre ellos el uso de las matrices. Fuente: http://ncalculators.com/images/formulas/3x3-matrix.png
Para aprender más En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer tu aprendizaje. Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet. Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá desarrollar los ejercicios con más éxito. Duarte, J., y Sánchez, J. (s.f). Métodos analíticos de resolución: Sustitución. Consultado el 3 de abril de 2013: http://thales.cica.es/rd/recursos/rd99/ed99-0045-01/secciones/sustitucion.html (s.f). Métodos analíticos de resolución: Igualación. Consultado el 3 de abril de 2013: http://thales.cica.es/rd/recursos/rd99/ed99-0045- 01/secciones/igualacion.html (s.f). Métodos analíticos de resolución: Reducción. Consultado el 3 de abril de 2013: http://thales.cica.es/rd/recursos/rd99/ed99-0045-01/secciones/reduccion.html Sistemas de dos ecuaciones. (2010). Consultado el 3 de abril de 2013: http://www.vitutor.net/1/36.html
Referencias Bibliográficas Haussler, E. (1997). Matemáticas para administración, economía, ciencias sociales y de la vida. México: Prentice Hall hispanoamericana, S.A.