4.1 EL SISTEMA POLAR 4.2 ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES 4.3 GRÁFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS

4 4.1 EL SISTEMA POLAR 4. ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES 4.3 GRÁFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES: RECTAS, CIRCUNFERENCIAS, PARÁBOLAS, ELIPSES, HIPÉRBOLAS, LIMACONS, ROSAS, LEMNISCATAS, ESPIRALES. Objetivos: Se pretende que el estudiante: Grafique Rectas, circunferencias, parábolas, elipses, hipérbolas, limacons, rosas, lemniscatas, espirales en coordenadas polares 77

4.1 EL SISTEMA POLAR El plano cartesiano es un sistema rectangular, debido a que las coordenadas de un punto geométricamente describen un rectángulo. Si hacemos que este punto represente un vector de magnitud r que parte desde el origen y que tiene ángulo de giro θ, tendríamos otra forma de definir un punto. Sería suficiente, para denotar al punto de esta manera, mencionar el valor de r y el valor de θ. Esto se lo va a hacer indicando r,θ el par ordenado ( ) polares del punto., en este caso se dice que son las coordenadas Se deducen las siguientes transformaciones: r = De rectangulares a polares: θ = arctg x + y De polares a rectangulares: x = r cos θ y = r sen θ Una utilidad de lo anterior la observamos ahora. y x Ejemplo Encuentre las coordenadas polares del punto P (1,1 ) Representando el punto en el plano cartesiano, tenemos: 78

Utilizando las transformaciones 1 + 1 = 1 θ = arctg = 1 4 Además se podría utilizar otras equivalencias polares: (, ) = (, 7 ) = (,5 ) = (, 3 4 ) (Analícelas) 4 4 4 Para representar un punto en el plano, conociendo sus coordenadas polares, no es necesario hallar sus coordenadas rectangulares; se lo puede hacer directamente. Este trabajo puede ser muy sencillo si se dispone de un plano que tenga como referencia ángulos y magnitudes. Un plano con estas características se lo llama Sistema Polar o Plano Polar. Consiste de circunferencias concéntricas al origen y rectas concurrentes al origen con diferentes ángulos de inclinación. Al eje horizontal se lo llama Eje Polar, al eje vertical se lo llama Eje. El punto de intersección entre estos dos ejes se lo llama Polo. 79

10 105 Eje 75 0 135 45 150 30 15 15 180 Eje Polar Polo 195 345 10 330 5 315 40 55 70 85 300 Ejercicios propuestos 4.1 1. Construya un plano polar y marque los puntos cuyas coordenadas polares son dadas. Exprese dichos puntos con r > 0 y con r < 0. a. (1, ) b. ( 3,0) c. (4, ) 3 d. ( 1, ) 3 e. (, ). Construya un plano polar y marque los puntos cuyas coordenadas polares son dadas. Luego encuentre las coordenadas cartesianas de dichos puntos. a. (, ) 4 e. ( 4,3 ) b. ( 1, ) f. (, ) 3 3 7 5 c. (4, ) g. (, ) 3 3 3 5 d. (, ) h. ( 4, ) 4 3. Encuentre las coordenadas polares de los siguientes puntos. a. ( 1,1 ) b. ( 3, ) c. ( 1, 3) d. ( 3,4) 4. (INVESTIGACIÓN) Encuentre la distancia entre los puntos dados en coordenadas polares. Verifique su respuesta hallando la distancia, utilizando coordenadas cartesianas. 3 a. (1, ) (3, ). b. (, ) (1,4 ) c. (1, ) (1, ) 4 4 3 80

4. ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES Una ecuación en coordenadas polares la presentaremos de la forma f (θ). Por tanto para obtener la gráfica, en primera instancia, podemos obtener una tabla de valores para ciertos puntos y luego representarlos en el sistema polar; luego sería cuestión de trazar la gráfica siguiendo estos puntos. Ejercicio Propuesto 4. 1. Encuentre la ecuación cartesiana de la curva descrita por la ecuación polar dada. a. r sen( θ) = b. sen( θ) c. 1 d. sen(θ) 1 cos( θ) e. 3 θ f. 4cos( θ). Encuentre la ecuación polar de la curva descrita por la ecuación cartesiana dada. a. y = 5 e. y = x + 1 b. x + y = 5 f. x = 4y c. xy = 1 g. x y = 1 d. b x + a y = a b h. x y = 4 p 3. Realice una tabla de valores y trace punto a punto en un plano polar, la gráfica de: 1.. cos θ sen θ cos 3 + 3cos + 3cos 3 + cos 9 3 + 3cosθ 9 + 3cosθ 9 3 + cosθ 3. θ 4. θ 5. θ. θ 7. 8. 9. 81

4.3 GRÁFICAS DE ECUACIONES EN COORDENADAS POLARES Se trata ahora de presentar ecuaciones polares típicas que permitan por inspección describir su lugar geométrico. 4.3.1 RECTAS 4.3.1.1 Rectas tales que contienen al polo. La ecuación cartesiana de una recta tal que el origen pertenece a ella, es de la forma y = mx Realizando las transformaciones respectivas: y = mx r sen θ = m r cosθ sen θ = m cosθ tg θ = tg φ Resulta, finalmente: θ = φ Ejemplo θ = 4 Por inspección de la ecuación dada concluimos rápidamente que el lugar geométrico es una recta, que pasa por el polo con un ángulo de 4. Es decir: 8

4.3.1. Rectas tales que NO contienen al polo y se encuentran a una distancia "d" del polo. Observemos la siguiente representación gráfica: Del triangulo tenemos: cos ( θ φ) Por tanto, la ecuación del mencionado lugar geométrico sería: Ejemplo = d r d cos ( θ φ) 4 cos θ ( ) 83

Por inspección de la ecuación dada concluimos rápidamente que el lugar geométrico es una recta, que se encuentra a una distancia de 4 unidades del polo y la medida del ángulo de la perpendicular a la recta es. ES decir: Ahora veamos casos especiales: 1. Si φ = 0 entonces la ecuación resulta vertical. d. Una recta cos θ Al despejar resulta r cos θ = d es decir x = d.. Si φ = entonces la ecuación resulta: Una recta horizontal. d d = cos ( θ ) cos θ cos + sen θsen sen θ = d 84

3. Si φ = entonces la ecuación resulta: d cos Una recta vertical. = d ( θ ) cos θ cos + sen θsen cos θ 4. Si φ = 3 entonces la ecuación resulta: Una recta horizontal. d d = cos ( θ 3 ) cos θ cos 3 + sen θsen 3 sen θ = = d d 4.3. CIRCUNFERENCIAS 4.3..1 Circunferencias con centro el polo. La ecuación cartesiana de una circunferencia es: x + y = a Aplicando transformaciones tenemos: x ( r cosθ) + ( r sen θ) r r r + y cos ( cos θ + sen θ) = a = a θ + r sen Resultando, finamente: a θ = a = a = a 85

Ejemplo Por inspección de la ecuación dada concluimos que el lugar geométrico es una circunferencia con centro el polo y que tiene radio. 4.3.. Circunferencias tales que contienen al polo y a, φ tienen centro el punto ( ) Observemos el gráfico: De allí obtenemos el triángulo: 8

Aplicando la ley del coseno y despejando, tenemos: Resultando, finalmente: a r = r + a = ar cos a cos( θ φ) ar cos ( θ φ) ( θ φ) Ejemplo 4 cos( θ ) 3 Por inspección de la ecuación dada concluimos que el lugar geométrico es una,. Por tanto su circunferencia tal que el polo pertenece a ella y su centro es el punto ( ) gráfico es: 3 Casos especiales, serían: 1. Si φ tenemos r a ( θ ) = θ = 0 = cos 0 a cos Que transformándola a su ecuación cartesiana, tenemos: a cos θ x a r ax x + y = ax ( x ax + a ) + y ( x a) + y = a = 0 + a 87

Una circunferencia con centro el punto (a,0) y radio a. Si = φ tenemos a cos( θ ) = a cos θ Una circunferencia con centro el punto ( a,0) y radio a 3. Si = = cos a sen φ tenemos r a ( θ ) = θ Una circunferencia con centro el punto ( 0, a ) y radio a 88

4. Si = 3 = cos 3 a sen φ tenemos r a ( θ ) = θ Una circunferencia con centro el punto ( 0, a) y radio a 4.3.3 CÓNICAS tales que el foco es el polo y su recta directriz está a una distancia "d" del polo Observe la figura. Se define a la parábola ( e = 1), a la elipse ( 0 < e < 1) y a la hipérbola ( e > 1) como el conjunto de puntos del plano tales que: ( P, F ) = e d( P l) d, 89

Entonces: Casos especiales son: d r r ( P, F ) = e d( P, l) e[ d r cos( θ φ) ] ed er cos( θ φ) + er cos( θ φ) = ed [ 1+ ecos( θ φ) ] = ed ed 1+ ecos ( θ φ) 1. Si φ = 0 tenemos. Si φ = tenemos 3. Si φ = tenemos 4. Si φ = 3 tenemos ed 1+ ecosθ ed 1 ecosθ ed 1+ esen θ ed 1 esen θ Ejemplo 1 1+ cosθ En este caso " e = 1 " (el coeficiente del coseno) por tanto tenemos una parábola con foco el polo (el origen) y directriz con ecuación cartesiana " x = " (a la derecha y paralela al eje ). Parábola cóncava a la izquierda. 90

Ejemplo 1 cosθ Como el ejemplo anterior, es una parábola; pero ahora como hay un signo negativo en la función trigonométrica, la recta directriz tendrá ecuación cartesiana x = " (a la izquierda y paralela al eje ). Cóncava hacia la derecha. Ejemplo 3 1+ sen θ Es una parábola con foco el polo y recta directriz y = (paralela y arriba del eje polar). Cóncava hacia abajo. 91

Ejemplo 4 1 sen θ Es una parábola con foco el polo y recta directriz y = (paralela y abajo del eje polar). Cóncava hacia arriba. Ejemplo 5 1+ 1 cosθ En este caso " e = 1 " (el coeficiente del coseno), por tanto tenemos una elipse con un foco el polo y el otro foco a su izquierda en el eje polar. NOTA: La ecuación de esta cónica pudo haber sido dada de la siguiente forma también: 1 Por qué? + cosθ 9

Ejemplo 1 1 cosθ Es una elipse con un foco el polo y el otro a su derecha en el eje polar. Ejemplo 7 1+ 1 sen θ Es una elipse con un foco el polo y el otro en el eje hacia abajo. 93

Ejemplo 8 1 1 sen θ Es una elipse con un foco el polo y el otro en el eje hacia arriba. Ejemplo 9 1+ cosθ En este caso " e = " (el coeficiente del coseno), por tanto tenemos una hipérbola con un foco el polo y el otro foco a su derecha en el eje polar. 94

Ejemplo 10 1 cosθ Es una hipérbola con un foco el polo y el otro foco a su izquierda en el eje polar. Ejemplo 11 1 + sen θ Es una hipérbola con un foco el polo y el otro foco en el eje hacia arriba. 95

Ejemplo 1 1 sen θ Es una hipérbola con un foco el polo y el otro foco en el eje hacia abajo. 4.3.4 CARACOLES Los caracoles tienen ecuación polar de la forma: la forma a ± b sen θ a ± b cosθ o de Consideremos tres casos: 1. Si a = b se llama CARDIOIDES Ejemplo 1 + cos θ Esta gráfica presenta simetría al eje polar, es decir: f ( θ) = f ( θ) 9

Ejemplo cos θ Ejemplo 3 + sen θ Ejemplo 4 sen θ 97

. Si a > b se llaman LIMACON O CARACOL SIN RIZO Ejemplo 1 + 3cos θ Ejemplo 3cos θ Ejemplo 3 + 3sen θ Esta gráfica presenta simetría al eje, es decir: f ( θ) = f ( θ) 98

Ejemplo 4 3 sen θ 3. Si a < b se llaman LIMACON O CARACOL CON RIZO Ejemplo 1 3 + cos θ Nota: Determine los ángulos de formación del rizo. Ejemplo 3 cos θ 99

Ejemplo 3 3 + senθ Ejemplo 4 3 sen θ 4.3.5 ROSAS Estos lugares geométricos tienen ecuación polar de la forma = a nθ a sen nθ para n > 1 n N r cos ( ) o ( ) De aquí consideramos dos casos: 1. Si n es PAR es una rosa de n petálos 100

Ejemplo 4 sen ( θ) Por inspección concluimos que es una rosa de 4 pétalos. Si n es IMPAR es una rosa de n petálos Ejemplo 4 cos ( 3θ) Por inspección concluimos que es una rosa de 3 pétalos 101

r 4.3. LEMNISCATAS Tienen ecuación polar de la forma = a sen θ Ejemplo 1 4 cos θ a cos θ o de la forma Ejemplo r = 4 cos θ 10

Ejemplo 3 4 sen θ 4.3.7 ESPIRALES Consideramos dos tipos: 4.3.7.1 Espiral de Arquímedes. Su ecuación polar es de la forma Ejemplo θ aθ 103

4.3.7. Espiral de Logarítmica. Su ecuación polar es de la forma ae bθ Ejemplo 3θ e Ejercicios propuestos 4.3 1. Trace la gráfica representada por la ecuación polar dada. 1. 5 11. 4 sen θ ; 0 θ. 1. 3(1 cos( θ)) θ = 4 13. + 4sen( θ) 3. sen( θ) 14. r + 5sen( θ) = 0 4. cos(θ) 15. sen( 3θ) 5. 3cos( θ) 1. sen( 5θ) 17.. cos(4θ) 1 sen( θ) 18. 4cos(θ) 7. 19. sen( θ) 3sen(θ) 0. cos(3θ) 8. 1. 4sen 3θ 1 sen( θ). θ, θ > 0 9. 1 cos( θ) 3. sen( θ) + cos( θ) 10. 3 + sen( θ) 4. sen( θ ) + cos( θ) = 0 r = 3cos θ. en un mismo plano y determine los puntos de intersección. r = 1 + cos θ 3. en un mismo plano 3senθ y determine los puntos de intersección. 1 + cos θ 4. en un mismo plano 8cos θ y determine los puntos de intersección. 5. 3 en un mismo plano r = + senθ y determine los puntos de intersección. r = 4 + 4senθ 4cos θ y exterior a. Represente en el plano polar la región comprendida en el interior de ( ) 7. Sea p( r θ ) r sen3θ, : r 1, determine ( ), Ap r θ 104