Tema 2: Ondas átima Masot Conde Ing. Industrial 2007/08 Tema 2: Ondas Índice: 1. Introducción 2. Movimiento Ondulatorio Simple 3. Ondas Periódicas 4. Ondas en Tres Dimensiones 5. Ondas y Barreras 6. Efecto Doppler
1. Introducción Qué es una onda? Ola en el fútbol Ejemplos Ondas de agua Pulsación de una cuerda de guitarra Radio, TV (UH, VH) Involucra un movimiento oscilatorio Las moléculas se mueven hacia arriba y hacia abajo pero NO CRUZAN EL ESTANQUE 1. Introducción Es una perturbación que viaja No hay transporte de masa, sólo de energía y de momento lineal 1ª Clasificación Ondas Mecánicas: Ondas Electromagnéticas: Vibran las moléculas Necesitan un medio material Vibra el campo No necesitan medio
2. Movimiento Ondulatorio Simple Cómo se produce la onda? Por interacción de cada segmento del sistema con los segmentos adyacentes. Onda longitudinal Ejemplo: Ondas de dominó La 1ª ficha comunica su energía a la 2ª, la 2ª a la 3ª, etc. Es una onda longitudinal: las elementos (moléculas, fichas) vibran paralelamente a la dirección de la onda. Las ondas de sonido, la onda del resorte de la figura también son longitudinales. 2. Movimiento Ondulatorio Simple Pero la interacción también se puede dar transversalmente Onda transversal La partícula oscila perperdicularmente a la dirección de la perturbación -Ola de fútbol Más ejemplos de o. transversales: -Olas de agua -Ondas electromagnéticas -Ondas en una cuerda
2. Movimiento Ondulatorio Simple En general, podemos tener combinaciones de ambas: Ondas longitudinales y transversales combinadas 2. Movimiento Ondulatorio Simple Por el medio Con medio: Mecánicas Clasificación Sin medio: Electromagnéticas (siempre transversales) (sólo para las mecánicas) Paralela. Ondas longitudinales Por la dirección (dirección de la oscilación respecto de la dirección de la onda) Perpendicular. Ondas transversales
Descripción matemática de una onda Supongamos que tenemos una función cualquiera y = f(x) que viaja, con velocidad v, a lo largo del eje x. En una visión estática, sólo podemos capturarla en determinados instantes. En un instante t=0, ig. a Y en un instante cualquiera t, ig b. Descripción matemática de una onda La forma de la función sería la misma en cualquier sistema de referencia O que viajara con ella. y = f(x 0 ) Así que sólo tenemos que hacer un cambio de coordenadas: x = x 0 + vt Coordenadas en el sistema de referencia viajero O Coordenadas en el sistema de referencia inicial estático O
Descripción matemática de una onda Y nuestra función viajera queda: O bien: y = f(x vt) y = f(x + vt) En ambos casos: Puede ser cualquier dirección del espacio, no necesariamente un eje de coordenadas. Observad el signo f v x Para ondas viajeras a la derecha, x Para ondas viajeras a la izquierda, x es la función de onda es la velocidad de propagación es la dirección de propagación Ondas armónicas Onda periódica: Producida por por una una perturbación periódica. P. ej.: Extremo de una cuerda que se mueve periódicamente función periódica y = f(x vt) Si f es una función armónica seno coseno Onda armónica Cada punto del medio oscila con un M.A.S.
La distancia entre dos crestas es λ La onda avanza λ en un período T De modo que su velocidad: v = λ / T = λ f Ondas armónicas. Representación matemática Si nuestra función armónica es de tipo seno: y(x, t) =f(x vt) f 0 sen Nuestra onda sería: y = A sen(kx ωt) v = ω K K =n o de onda actor de conversión de long. a rd Argumento modificado ligeramente, para su expresión en radianes.
Ondas armónicas. Representación matemática Doble periodicidad, espacio-temporal: Ondas armónicas. Representación matemática Periodo espacial La onda armónica es periódica en el espacio (fijado t, se repite en el espacio) Si λ es el periodo espacial ([m]) y(x + λ) =A sen (K(x + λ)+δ(t)) = = A sen (Kx + δ(t)) = y(x) Esta igualdad se cumple si Kλ =2π K = 2π λ K =n o de onda ([rad/m])
Ondas armónicas. Representación matemática Periodo temporal La onda armónica es periódica en el tiempo (fijado x, se repite en el tiempo) Si T es el periodo temporal ([s]) y(t + T )=A sen (ω(t + T )+δ(x)) = = A sen( ω t + δ ( x)) = y( t) Esta igualdad se cumple si ωt =2π T = 2π ω ω =frecuencia angular ([rad/s]) Diferencia entre la velocidad de una partícula y la velocidad de la onda Para una onda armónica en en una cuerda La velocidad transversal de la partícula es: v y = y t = [A sen(kx ωt)] = ωa cos(kx ωt) t En la dirección y Y su valor máximo: v y,max = ωa Velocidad máxima de la partícula (módulo) Mientras que la velocidad de la onda (velocidad de fase): v = ω K = 2π/T 2π/λ = λ T = λf En la dirección x
Diferencia entre la velocidad de una partícula y la velocidad de la onda Ecuación de onda Todas las ondas verifican la ecuación de onda: 2 y x = 1 2 y 2 v 2 t 2 Si y(x, t) cumple la ecuación de onda, entonces y(x, t) es una onda.
Ecuación de onda Derivadas Espaciales Por ejemplo: y x = f ψ 2 y x 2 = x y(x, t) =f(x ± vt) ψ x = f ψ f x = ψ ψ f ψ ψ x = 2 f ψ 2 ψ x =1 ψ t = ±v Derivadas Temporales y t = f ψ 2 y t 2 = t ψ t f t f = ±v ψ = ψ ±v f ψ ±v 2 y x 2 = 1 2 y v 2 t 2 ψ t = v2 2 f ψ 2 Ecuación de onda f es una función cualquiera Si fuera armónica: y(x, t) =A sen(kx ± ωt + δ) v y = y t Derivadas temporales = ±ωa cos(kx ± ωt + δ) y x Derivadas espaciales = KAcos(Kx ± ωt + δ) a y = 2 y t 2 = ω2 A sen(kx ± ωt + δ) 2 y x 2 = K 2 A sen(kx ± ωt + δ)
Ecuación de onda 1 2 y K 2 x 2 = 1 2 y ω 2 t 2 0 y 0 representa una función cualquiera f, siempre que tenga una dependencia del espacio y del tiempo x ± vt, i.e. y = f(x ± vt) 2 y x 2 = 1 2 y v 2 t 2 Esta Esta dirección no no tiene por por qué qué ser ser el el eje eje x, x, puede ser ser cualquier dirección del del espacio. Velocidad de las ondas Propiedad general de de las las ondas: Su Su velocidad depende de de las las propiedades del medio, no no de de la la velocidad de de la la fuente (emisor) La velocidad del sonido, por ejemplo, procedente de la sirena de una ambulancia, depende de las propiedades del aire, no de la velocidad de la ambulancia. En En general: v = uerza de restitución que devuelve el sistema al equilibrio Inercia que resiste el retorno al equilibrio
Velocidad de la onda en una cuerda En En una cuerda: acción, propiedad elástica tensión de la cuerda v = μ masa lineal de la cuerda reacción o inercia, propiedad inercial Velocidad de la onda en una cuerda Componentes horizontales: = cosθ = = cosθ = 1x 1 1 2x 2 2 T Componentes verticales: = sinθ = tgθ 1y 1 1 T 1 = sinθ = tgθ 2y 2 2 T 2 Newton: 2 y 2y 1y = T( tgθ2 tgθ1) = ma= μδx t 2
Velocidad de la onda en una cuerda y y tgθ = tgθ = 2 1 x x+δx x x 2 y 2y 1y = T( tgθ2 tgθ1) = ma= μδx t 2 lim Δx 0 y x y x Δx y t 2 x+δx x T = μ 2 2 2 y μ y = x t 2 2 T Ecuación de onda, con velocidad v = T μ Transferencia de energía Calculemos la tasa de transferencia de energía (potencia) para una cuerda vibrante (onda transversal). P = dw ds T T dt = dt = v Velocidad de la partícula v = vy La tensión en el estado perturbado (cuando la onda está pasando) tiene dos componentes: j = i + j T x y
Transferencia de energía La que aparece en la fórmula de la velocidad es la tensión de la cuerda sin perturbar, estirada. O sea, es en realidad la componente x de T v = μ x Si la perturbación es pequeña, ambas ( T y ) se pueden considerar idénticas P = v = T senθ v = sen θ v cosθ y y y y Componentes y y Tensión tanθ Transferencia de energía = y x y t = tan θ Y para una onda armónica: = [KAcos(Kx ωt)][ Aω cos(kx ωt)] v y P = μvω 2 A 2 cos 2 (Kx ωt) v = μ v = ω K Potencia instantánea transmitida
Transferencia de energía Potencia media 1 T = P( t) dt T 0 Valor medio cos 2 =1/2 P m = P (t) =μvω 2 A 2 cos 2 (Kx ωt) av P m = 1 2 μvω2 A 2 av Potencia transmitida en una oleada (periodo) Potencia media P av Potencia máxima (cos 2 =1) P max Transferencia de energía La potencia media transmitida en un ciclo es, pues, la mitad de la potencia máxima:
Transferencia de energía En un intervalo de tiempo dado, la energía transmitida: P m = E m av t v = x t E m = 1 2 μvω2 A 2 t en función de t E m = 1 2 μω2 A 2 x en función de x Tanto la P m como la E m transmitidas son proporcionales al cuadrado de la amplitud de la onda y al cuadrado de la frecuencia Transferencia de energía Evolución de una onda en un intervalo de tiempo Δt: Aquí, la onda no ha alcanzado todavía la zona derecha. Aquí ha transcurrido un intervalo Δt, y la onda ha llegado hasta aquí, recorriendo un espacio v Δt
Ondas sonoras armónicas Las moléculas vibran en torno a sus posiciones de equilibrio en un MAS. Chocan con las próximas, haciéndolas oscilar S(x, t) =s 0 sen(kx ωt) Llamamos S a la onda de sonido, a la onda de desplazamiento de las partículas Es una onda longitudinal Los desplazamientos de de las las partículas (MAS) son paralelos a la la dirección de de propagación.
Ondas sonoras armónicas Estos desplazamientos provocan variaciones de densidad y presión (enrarecimientos y compresiones) que también varían sinusoidalmente con la desplazamiento frecuencia, provocando a su vez ondas de presión y densidad. Como la presión es proporcional a la densidad, p es máxima cuando ρ es máxima, y viceversa. Las ondas de presión y densidad van en fase. En cambio, están desfasadas 90 o respecto de la onda de desplazamiento S(x,z) presión
Ondas sonoras armónicas O sea: S(x, t) =s 0 sen(kx ωt) p(x, t) =p 0 sen Kx ωt π 2 o. desplazamiento o. presión cambio de presión respecto del equilibrio valor máximo de p Relación de amplitudes: p 0 = ρωvs 0 densidad de equilibrio velocidad de la onda Velocidad de las ondas sonoras Para ondas sonoras en un fluido (aire, agua...) v = s B ρ módulo de compresibilidad (adiabático) densidad del medio (volumétrica) ρ = m V B = P V/V adiabático Y esto se puede expresar
Velocidad de las ondas Velocidad del sonido en gases Así: En función de: Coeficiente adiabático v = r γrt M Constante gas ideal Temperatura (Kelvin) Masa molecular Veámoslo: Velocidad de las ondas Velocidad del sonido en gases Módulo de compresibilidad adiabático Ecuación de estado en un proceso adiabático Derivamos: ΔP B=- ΔV/V cte P= γ V Adiabático (Adiabático) coef. adiabático dp dv γ 1 = γ = cte( ) V cte( γ ) γ + 1 V Esto es B: Y sustituimos ΔP cte( γ) cte γ nrt B= = = = γp= γ γ ΔV V V V V V γ+ 1 / Adiabático /
Velocidad de las ondas Velocidad del sonido en gases Dividiendo: nrt RT nº gramos γ γ B V V M γ RT = = = ρ ρ nº gramos M V n ρ = º gramos V Obtenemos la velocidad por fin: B v = = ρ γ RT M n = n º gramos M Velocidad de las ondas Velocidad del sonido en gases Por ejemplo: Velocidad del sonido en el aire A0 o C (273K) v = r γrt M A20 o C (223K) r γrt v = M =331m/s =343m/s J R =8.314 mol K 3 kg M aire =29 10 mol γ =1.4 (diatómico)
Energía de ondas sonoras Para ondas de cuerda Para ondas de sonido E m = 1 2 μω2 A 2 x m = μ x E m = 1 2 ρω2 s 2 0 V m = ρ V Densidad de energía media (Energía p.u.v.) η m = E m V = 1 2 ρω2 s 2 0 Por unidad de volumen Ondas en 3 dimensiones En un medio isótropo todas las direcciones del espacio son idénticas La onda que procede de una fuente puntual se propaga con simetría esférica
Ondas en 3 dimensiones Definición de intensidad: I = P A (Potencia por unidad de área) [W/m 2 ] Para las superficies esféricas señaladas: Como se supone que no hay pérdidas de potencia: I = P 4π r 4πrI= 4πrI 2 2 2 1 1 2 2 I I r 2 1 2 2 2 r1 = Ley del cuadrado inverso para la intensidad Intensidad para una onda sonora procedente de una fuente puntual La energía almacenada en la corteza esférica: Δ E = η Δ V = η A v Δt m m m densidad de energía p.u.v. volumen Potencia transmitida Dividiendo por Δt P ΔE Δt m = = η m A v Velocidad de la onda Área Volumen de la corteza esférica: I Dividiendo por el área A P 1 1 = = ηm v = ρ ω v = A 2 2 Intensidad p ρ v 2 2 2 0 so
Efecto Doppler Se produce cuando receptor y emisor se mueven uno respecto al otro. Cambio en la frecuencia observada respecto de la emitida. Ejemplo: Cambio de tono de la sirena cuando se acerca o aleja de nosotros. Es una combinación de dos efectos: f=frecuencia v=velocidad Nomenclatura R=receptor =fuente fr=frecuencia que recibe el receptor vr=veloc. Receptor v=veloc. del Sonido (veloc. de la onda) f=frecuencia que emite la fuente v=velocidad de la fuente Efecto Doppler 1. Efecto del movimiento del receptor hacia la onda La velocidad efectiva con la que el sonido llega al receptor aumenta: Y por tanto, la frecuencia que recibe es mayor f R v + v v + v λ v / f v + v R fr = f v R = = R R R R a Si el receptor en lugar de acercarse, se aleja, hay que cambiar aquí el signo
Efecto Doppler 2.- Efecto del movimiento del emisor La longitud de onda varía según estemos delante o detrás de la fuente: longitud de onda DETRÁS longitud de onda DELANTE v λ = + v f λ = v v f recuencia que percibe el receptor f R R a R R v + v R v + v R v + v R = = = f λ (v + v )/ f (v + v ) detrás de la fuente Si el receptor se acerca por delante, hay que utilizar esta λ Efecto Doppler Cuando se acercan: E R frecuencia observada f R > > frecuencia emitida f Cuando se alejan: E R frecuencia observada f R < < frecuencia emitida f Si no tienen movimiento relativo: f R = f
Ondas de Mach En el efecto Doppler veíamos que para una fuente en movimiento, λ delante de la fuente era: λ = v v f Así que, Cuando v v λ 0 Si la fuente se mueve aún más rápido que la onda: v >v se produce una onda de choque o de Mach: El móvil ejerce una gran fuerza para comprimir el aire delante de él y por acción y reacción (Newton), el aire ejerce una gran fuerza igual y opuesta sobre el móvil que se llama barrera del sonido v t uera no hay sonido Cono tridimensional Dentro, un observador escucha la fuente alejándose con efecto Doppler Ondas de Mach La superficie tangente a todas las sucesivas ondas es un cono cuyo eje es la recta sobre la que se mueve la fuente, y cuya apertura es: sen α = v = u f v 1 N o de Mach v N o de Mach= u f v El movimiento resultante es una onda cónica que se propaga normalmente a la superficie del cono. Esta onda se llama Onda de Choque o de Mach. Sonido repentino y violento, estampido. Aviones supersónicos Estela de botes Radiación de Cerenkov
Ondas de Mach El sonido se produce por el movimiento del avión, no porque éste tenga una fuente sonora, y se mantiene mientras dura el movimiento (no sólo en el momento de atravesar la barrera). Ondas de Mach
Superposición de Ondas Cuando se encuentran dos ondas, el desplazamiento que se produce es la suma de los desplazamientos individuales que produce cada onda por separado. La La onda resultante es es la la suma algebraica de de las las ondas individuales. (Principio de de superposición) Superposición de Ondas Matemáticamente: Caso de pulso iguales: Dos ondas pasan una a través de la otra, sin ser modificadas La superposición: propiedad característica de las ondas. La superposición en la ecuación de la onda. y 3 = C 1 y 1 + C 2 y 2 Constantes Ondas componentes y 3 también es una onda, i.e. si y 1 e y 2 cumplen la ecuación de onda y 3 también. Veámoslo:
Superposición de Ondas Veamos si y 3 cumple la ecuación de onda si y1 e y 2 la cumplen: 2 y x = 1 2 y 2 v 2 t 2 Ésta es la ecuación de onda La cumple y 3? 2 y 3 x 2 = 2 x 2 (C 2 y 1 1y 1 + C 2 y 2 )=C 1 x 2 + C 2 y 2 2 x 2 Superposición de Ondas Entonces: Si y 1 e y 2 la cumplen: 2 y 1 x 2 = 1 2 y 1 v 2 t 2 2 y 2 x 2 = 1 2 y 2 v 2 t 2 2 y 3 x 2 = C 1 2 y 1 1 v 2 t 2 + C 1 2 y 2 2 v 2 t 2 = = 1 2 y 1 v 2 C 1 t 2 + C 2 y 2 2 t 2 = 1 v 2 2 t 2 (C 1y 1 + C 2 y 2 ) y 3 también. = La La ecuación de de onda es es lineal y toda combinación lineal de de ondas es es también una onda.
Interferencia de dos ondas armónicas Queremos sumar dos ondas de la misma amplitud y frecuencia, y distinto desfase. y 1 = A sen(kx ωt) y 2 = A sen(kx ωt + δ) distinto desfase Aquí las tenemos representadas: Interferencia de dos ondas armónicas La onda resultante: (Teorema superposición): y 1 + y 2 = A sen(kx ωt)+a sen(kx ωt + δ) Suma de funciones armónicas Usando las identidades trigonómetricas: sen θ 1 +senθ 2 =2cos 1 2 (θ 1 θ 2 ) sen 1 (θ 1 + θ 2 ) 2 θ 1 = Kx ωt θ 2 = Kx ωt + δ 1 2 (θ 1 θ 2 )= 1 2 δ 1 2 (θ 1 + θ 2 )= Kx ωt + 1 2 δ
Interferencia de dos ondas armónicas La onda resultante resulta ser otra onda armónica cuya amplitud depende del desfase. y 1 + y 2 =2A cos amplitud 1 2 δ sen(kx ωt + 1 2 δ) δ =0 Interferencia constructiva La fase es la mitad de la diferencia de fase entre las dos ondas. δ = π Interferencia destructiva Superposición de ondas de frecuencias ligeramente diferentes La resultante es una onda cuya frecuencia es aproximadamente la misma que las ondas componentes La amplitud está modulada Velocidad de la onda Velocidad de la portadora del "paquete de ondas" Velocidad de fase Velocidad de grupo
Ondas electromagnéticas Luz, radio, rayos X, γ, TV... Difieren sólo en su longitud de onda y frecuencia. No requieren medio de propagación Viajan a través del vacío. Velocidad c ' 3 10 8 m/s (2.9979 10 8 m/s) Lo que vibra no es materia, sino los campos eléctrico y magnético asociados. en vacío. (En un medio cualquiera: v=c/n, n índice de refracc.) Bibliografía Tipler & Mosca ísica para la ciencia y tecnología Ed. Reverté (vol. II) Serway & Jewett, ísica, Ed. Thomson (vol. II) Halliday, Resnick & Walter, ísica, Ed. Addison- Wesley. Sears, Zemansky, Young & reedman, ísica Universitaria, Ed. Pearson Education (vol. II) otografías y iguras, cortesía de Tipler & Mosca ísica para la ciencia y tecnología Ed. Reverté Sears, Zemansky, Young & reedman, ísica Universitaria, Ed. Pearson Education