VA (i%) = R E RC(i%)

2.2 El método del valor anual El valor anual (VA) de un proyecto es la serie equivalente anual de cantidades en dólares para un periodo establecido de estudio, que es equivalente a los flujos de entrada y salida de efectivo, con una tasa de interés que por lo general es la TREMA. Entonces, el VA de un proyecto es el equivalente de los ingresos o ahorros anuales (R) menos sus egresos anuales (E), menos su cantidad equivalente de la recuperación de capital (RC), lo cual se define en la ecuación. Para el periodo de estudio, N, que por lo general se expresa en años, se calcula el valor equivalente anual de R, E y RC. En forma de ecuación, el VA, que es función de i%, es VA (i%) = R E RC(i%) Es importante observar que el VA de un proyecto es equivalente a sus VP y VF. Esto es, VA = VP(A / P, i%, N), y VA = VF(A / F, i%, N). Así, a partir de estos otros valores equivalentes, es fácil calcular el VA de un proyecto El proyecto tiene atractivo económico en tanto el VA sea mayor o igual a cero; en otro caso, no lo tiene. Un VA de cero significa que se obtiene un rendimiento anual exactamente igual a la TREMA. Cuando en la ecuación los ingresos están ausentes, se designa a la medida que resulta como costo anual uniforme equivalente, o CAUE(i%). Es preferible un CAUE(i%) bajo que uno alto. El monto de la recuperación de capital (RC) para un proyecto es el costo uniforme equivalente anual del capital invertido. Se trata de una cantidad anual que cubre los dos conceptos siguientes: 1. Pérdida de valor del activo; 2. Interés sobre el capital invertido (a la TREMA). Por ejemplo, considere una máquina o cualquier otro activo que costará $10,000 los últimos cinco años, y tiene un valor de rescate (mercado) de $2,000. Entonces, la pérdida de valor de este activo durante cinco años es de $8,000. Además, la TREMA es del 10% anual. Es posible demostrar que sin importar el método de cálculo de la pérdida de valor de un activo durante el tiempo que se utilice, el monto equivalente anual de la RC es el mismo. Por ejemplo, si se supone pérdida de valor uniforme, se obtiene que el monto equivalente de la RC anual es de $2,310. Existen varias fórmulas convenientes por medio de las cuales puede calcularse el monto (costo) de la RC.. Es probable que la más fácil de entender sea la que implica obtener el equivalente anual de la inversión inicial de capital y luego restarle el valor anual equivalente del rescate. Entonces, RC (i%) = -I (A / P, i%, n) + S(A / F, i%, n)

donde I = inversión inicial para el proyecto, * S = valor de rescate (mercado) al final del periodo de estudio, N = periodo de estudio del proyecto. RC = $8,758(A/P, 10%, 5) = $2,310 Sí se aplica la ecuación al ejemplo, el monto de la RC es RC (10%) = $10,000(A/P, 10%, 5) $2,000(A/F, 10%, 5) = $10,000(0.2638) 2,000(0.1638) = $2,310. Otra forma de calcular el monto de la RC consiste en agregar un monto de fondo de amortización anual (o depósito) al interés sobre la inversión original. Así, RC (i%) = (I S)(A/F, i%, N) + I (i%). Al aplicar la ecuación al ejemplo antes mencionado, el monto de la RC es RC (10%) = ($10,000 $2,000)(A/F, 10%, 5) + $10,000(10%). = $8,000(0.1638) + $10,000(0.10)= $2,310. Una forma más de calcular el monto de la RC es agregar el costo equivalente anual de la pérdida uniforme de valor de la inversión al interés sobre el valor de rescate: RC(i%) = (I S)(A/P, i%, N) + S(i%). Al aplicarla al ejemplo anterior, RC(10%) = ($10,000 $2,000)(A/P, 10%, 5) + $2,000(10%) = $8,000(0.2638) + $2,000(0.10) = $2,310.

Ejercicio 4.2. Usted se enfrenta con la toma de una decisión acerca de la propuesta de una inversión grande de capital. El monto de la inversión de capital es de $640,000. El ingreso anual estimado al final de cada año durante los ocho años del periodo de estudio es de $180,000. Los gastos anuales estimados son de $42,000 y comienzan en el año uno. Estos gastos empiezan a disminuir en $4,000 por año al final del año cuatro y siguen decreciendo hasta el final del año ocho. Suponga un valor de mercado de $20,000 al final del año 8 y una TREMA = 12% anual. a. Cuál es el VP de esta propuesta? b. Cuál es la TIR de esta propuesta? c. Cuál es el periodo de recuperación simple de esta propuesta? Diagrama de Flujo VS= $20,000 i=12% Ingresos Netos= $180,000 Inv $640,000 0 1 2 3 4 5 6 7 años 8 Gastos=$42,000 A=$42,000 $42,000 g=$4,0000 RC (i%) = I (A / P, i%, N) S(A / F, i%, n) Fórmulas RC= -$127,207.76 Inversión= -$640,000 RC (i% ) = I (A / P, i%, N ) S (A / F, i%, N ) Ingresos= $180,000 VA= RC + A VA= RC+A Gastos= -$42,000 AT= A+ Ag VA1= $52,792.24 Aumento= -$4,000 i= 12% VS= $20,000 N= 8 Valor anual, conociendo el AT= A+Ag Ag= G[(1/ i) -n / (1+ i)n -1] EGRESOS DEL GRADIENTE VAT= A+Ag VA=$-42,000+$- VAT= $-42,000+$4,000*2.1720 VAT= -$33,312.00 Esta serie uniforme corresponde del periodo 3 al 8, por lo tanto se tiene que hacer equivalente del periodo 1 al 8, adicional a la VA(1-8)= [$-33,312.00*(P/A,6,12%)*(P/F,2,12%)]*(A/P,8,12%) -$21,978.67 VA(1-8)= $-42,000(P/A,2,12%)*(A/P,8,12%) -$14,289.12 VAT= VA (Ingresos)- VA (Egresos) VA= $52,792.24-$21,978.67-$14,289.12 VA (Total)= $16,524.44

Valor anual de una inversión permanente Los proyectos del sector público pueden considerarse de gran escala; exigen comparación de alternativas con vidas perdurables o infinitas. Ejemplos: construcción de puentes, canales de riego, control de inundaciones, vía férreas. Cálculo: VA= CC* i Ejercicio Criterio de aceptación: Si VA es 0 La propuesta es económicamente viable, por lo tanto se acepta 6.28 Para los siguientes flujos de efectivo, use el criterio del valor anual y una t asa de interés de 10% anual. a) Determine la alternativa que es económicamente la mejor. b) Calcule el costo inicial que se require para cada una de las dos opciones que no se elijan en el inciso anterior de modo que todas sean igualmente aceptables. Diagrama de Flujo Propuesta X VS= $7,000 Propuesta Y VS= $25,000 i=10% i=10% 0 1 2 3 años 0 1 2 3 5 10 años Inv $90,000 CA= $40,000 Inv $400,000 CA=20000 Propuesta X VS= $200,000 i=10% 0 1 2 10 años Inversión=$650,000 CA=13000 Reparación mayor $80,000

RC (i%) = I (A / P, i%, N) S(A / F, i%, n) Fórmulas RC= -90,000(A/P,10%,3) 7000(A/F,10%,3) Propuesta X RC= -90,000(0.40211) + 7000(0.30211) Inversión= -$90,000 RC (i% ) = I (A / P, i%, N ) S (A / F, i%, N ) RC= -34075.13 CA= -$40,000 VA= $-34,075.13+$40,000; = -$74,075.13 i= 10% n= 3.00 VR= $7,000 RC= -400,000(A/P,10%,10) + 25,000(A/F,10%,10) Propuesta X RC= -400,000(0.16275) 20,000 + 25,000(0.06275) Inversión= -$400,000 RC (i% ) = I (A / P, i%, N ) S (A / F, i%, N ) RC= -$63,531.25 CA= -$20,000 VA= $-63,531.25+$20,000 i= 10% n= 10 VR= $25,000 Propuesta Z RC= $-650,000(0.10) 80,000(0.06275) Inversión= -$650,000 RC (i% ) = I (A / P, i%, N ) S (A / F, i%, N ) RC= -$70,020.00 CA= -$13,000 VA= $-70,020.005+$13,000 i= 10% n= infinito VR= $200,000 VA= RC + A Fórmulas VA= RC + A Fórmulas VA= RC + A VA= CC*i VA= RC+A VA= -$74.075.13 VA= RC+A VA= -$83,531.25 RC= -650,000(0.10) - 80,000(A/F,10%,10) VA= RC+A VA= -$83,020.00

Hoja de Cálculo Excel Propuesta X Periodo FEN 0-90,000 1 -$40,000 2 -$40,000 3 -$33,000 VP= -184,214.88 VA= $74,075.53 El VA se calcula con la función PAGO(tasa, nper, VA, tipo) Propuesta Y Propuesta Z Periodo FEN 0-400,000 VA= -$83,020.00 1 -$20,000 2 -$20,000 3 -$20,000 4 -$20,000 5 -$20,000 6 -$20,000 7 -$20,000 8 -$20,000 9 -$20,000 10 $5,000 VP= -$513,252.76 VA= -$83,529.52 Conviene aceptar la alternativa X, debido a que es más económica El VA se calcula con la función PAGO(tasa, nper, VA, tipo)

2.3 El método de la tasa interna de rendimiento El método de la tasa interna de rendimiento (TIR) es el método de tasa de rendimiento que se utiliza con más frecuencia para realizar análisis de ingeniería económica. A veces recibe otros nombres, tales como el método del inversionista, el método de flujo de efectivo descontado y el índice de rentabilidad. Este método resuelve para la tasa de interés que iguala al valor equivalente de una alternativa de flujos de entrada de efectivo (ingresos o ahorros) con el valor equivalente de flujos de salida de efectivo (gastos, que incluyen costos de inversión). Para una alternativa única, desde el punto de vista del prestamista, la TIR no es positiva a menos que: 1. En el patrón de flujo de efectivo, existan tanto ingresos como gastos, y 2. La suma de los ingresos exceda la suma de todos los flujos de salida de efectivo. Hay que asegurarse de que se cumplan estas dos condiciones para evitar trabajo innecesario de cálculo. Definición de la Tasa de Rendimiento (TIR). Es la tasa pagada sobre el saldo no pagado del dinero obtenido en préstamo, o la tasa ganada sobre el saldo no recuperado de una inversión, de forma que el pago o entrada final iguala el saldo exactamente a cero con el interés considerado. La TIR se expresa como porcentaje por periodos, por ejemplo 15% anual. Generalmente se presenta como porcentaje positivo; no se considera que el interés pagado sobre un préstamo sea en realidad una tasa de rendimiento negativa desde la perspectiva del prestatario. El valor numérico i fluctúa en rendimiento de -100% i. En términos de una inversión, un rendimiento de -100% significa que se perdió la cantidad completa. CÁLCULO DE LA TASA DE RENDIMIENTO POR MEDIO DEL VP O VA La tasa de rendimiento es la tasa de interés que hace que el valor presente o el valor anual de una serie de flujos de efectivo sea exactamente igual a cero. VPN VF VAE 100% < i* < i *

Para determinar la tasas de rendimiento se plantea la ecuación de la TR con las relaciones de VP o VA igualadas a cero y se despeja la tasa de interés. n t 0 donde: S t = Flujo de efectivo neto del periodo t n = Vida de la propuesta de inversión Cálculo de la TIR con ensayo y error 0 0 = VP n St 0 t 0 (1 i*) t 0 = VA S ( P / F, i*, t)( A/ P, i*, n) 1. Se traza un diagrama de flujo de efectivo. 2. Se formula la ecuación de la tasa de rendimiento en la forma de la ecuación. 3. Se seleccionan valores de i mediante ensayo y error hasta equilibrar la ecuación Cálculo de la TIR con hoja de cálculo 1. Cuando los flujos de efectivo varían de un periodo a otro, la mejor forma de calcular i* es ingresar los flujos de efectivo netos en celdas contiguas y aplicar la función TIR en cualquiera de las celdas. t TIR =TIR(primera celda_celda_última_celdas,estimación) Criterios de decisión i* TREMA o TIR TREMA El proyecto a consideración, se ACEPTA

Ejercicio P&G vendió su negocio de recetas médicas a Warner-Chilcott, Ltd., en $7 millones. Si los ingresos por las ventas del producto son de $3.5 millones anuales y la utilidad neta desde 25% de las ventas Qué tasa de rendimiento obtendrá la compañía en un horizonte de planeación de 10 años? Diagrama de Flujo Ventas= $3.5 millones 0 1 2 3 4 5 10 años P=$ 7 mill VP= -$7,000,000 Ventas $3,500,000 N= $10 i*? Fórmulas (P/ A i*, N ) i* representa la TIR 0= -P + A*(i)*(P/A,i*,N) 0= -P + A*(i)*(P/A,i*,N) Dar valores a i* y realizar interacciones hasta que la ecuación se aproxime a cero. 0= -$7000,000+$3,500,000*0.25*(P/A,i*,10) TIR% VP $4.28 aprox cero El proyecto es financieramente viable

Hoja de Cálculo Excel Periodo FEN 0 -$7,000,000 1 $875,000 2 $875,000 3 $875,000 4 $875,000 5 $875,000 6 $875,000 7 $875,000 8 $875,000 9 $875,000 10 $875,000 $3500,000*0.25 TIR= TIR(seleccionar los valores FEN) TIR= 4.28% El proyecto es financieramente viable Barron Chemical usa un plolímero termoplástico para mejorar la apariencia de ciertos paneles RV. El costo inicial de un proceso fue de $130 000, con costos anuales de $49 000 e ingresos de $78 000 en el año 1, con incrementos anuales de $1 000. Se obtuvo un valor de rescate de $23 000 cuando el proceso se descontinuó después de 8 años. Qué tasa de rendimiento tuvo la empresa por este proceso? Base de Datos I.I= -$130,000 CA= -$49,000 Ingresos= $78,000 VR= $23,000 N 8 Ingresos=$78,000 Diagrama de Flujo g=$1,000 VR=$23,000 0 1 2 3 4 8 años I.I=$130,000 CA=$49,000

Solución con base a la Metodología de Polya Fórmulas VP= -$130,000 (P/ A i*, N ) Ingresos= $78,000 N= 8 i* representa la TIR CA= $49,000 Aumentos= $1,000 VS= $23,000 Valor presente conociendo el gradiente (P/G,i*,N) 0= -P + A(P/A,I*,8)+ G (P/G,i*,8)+ VS(P/F,i*,8) Dar valores a i* y realizar interacciones hasta que la ecuación se aproxime a cero. 0= - $130,000+$78,000+$1,000(P/G,i*,8)+$23,000*(P/F,i*,8)- $49,000*(P/A,i*,8) 0= -P + A(P/A,i*,8)+ (P/G,i*,N)+ VS(P/F,i*,N) TIR% VP 19.17 aprox cero El proyecto es economicamente viable Solución en hoja de cálculo AÑO Ingresos Aumento Costos FEN 0 -$130,000 -$130,000 1 $78,000 -$49,000 $29,000 2 $78,000 $1,000 -$49,000 $30,000 3 $78,000 $2,000 -$49,000 $31,000 4 $78,000 $3,000 -$49,000 $32,000 5 $78,000 $4,000 -$49,000 $33,000 6 $78,000 $5,000 -$49,000 $34,000 7 $78,000 $6,000 -$49,000 $35,000 8 $101,000 $7,000 -$49,000 $59,000 TIR= 19.17% El proyecto es financieramente viable Referencias: 1. Blank Leland T., Tarquin Anthony J.(2012). Ingeniería Económica. Ed. Séptima Graw Hill 2. Degarmo Paul E., Sullivan William G., Bontadelli James A., Wicks Elin M.(2004). Ingeniería Económica. Ed. Prentice Hall