MÉTODOS NUMÉRICOS EN LOS LENGUAJES MATLAB Y MICROSOFT VISUAL C#.NET

MÉTODOS NUMÉRICOS EN LOS LENGUAJES MATLAB Y MICROSOFT VISUAL C#.NET Fausto Meneses Becerra

MÉTODOS NUMÉRICOS EN LOS LENGUAJES MATLAB Y MICROSOFT VISUAL C#.NET. MÉTODOS NUMÉRICOS EN LOS LENGUAJES MATLAB Y MICROSOFT VISUAL C#.NET Fausto Meneses Becerra

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS - ESPE Métodos numércos en los lenguajes Matlab y Mcrosoft Vsual C#.NET Fausto Meneses Becerra Prmera edcón electrónca. Juno 5 ISBN: 978-9978--77-7 Par revsor: Msc. Mguel Cavez Manosalvas; Msc. Hernán Aules Centeno Unversdad de las Fuerzas Armadas ESPE Grab. Roque Morera Cedeño Rector Publcacón autorzada por: Comsón Edtoral de la Unversdad de las Fuerzas Armadas ESPE Edcón y produccón Davd Andrade Agurre daa6@yaoo.es Dseño Pablo Zavala A. Derecos reservados. Se probe la reproduccón de esta obra por cualquer medo mpreso, reprográfco o electrónco. El contendo, uso de fotografías, gráfcos, cuadros, tablas y referencas es de eclusva responsabldad del autor. Los derecos de esta edcón electrónca son de la Unversdad de las Fuerzas Armadas ESPE, para consulta de profesores y estudantes de la unversdad e nvestgadores en: tpp//www.repostoro.espe.edu.ec. Unversdad de las Fuerzas Armadas ESPE Av. General Rumñau s/n, Sangolquí, Ecuador. tpp//www.espe.edu.ec

MÉTODOS NUMÉRICOS EN LOS LENGUAJES MATLAB Y MICROSOFT VISUAL C#.NET. Prologo Este lbro a sdo dseñado para los estudantes y profesonales, especalmente de las áreas de la Ingenería, Economía, Cencas Admnstratvas, Cencas Eactas, entre otras que tengan conocmentos báscos de Matlab y/o sóldos en Mcrosoft Vsual C#.NET. Para el caso de Mcrosoft Vsual C#.NET., se a puesto énfass en la reutlzacón de códgo con el empleo de una lbrería común de clases. No pretende cubrr temas nuevos que venen con Mcrosoft Vsual Studo.NET como: Lbrerías.NET (que trabajan con Framework) ADO.NET en Vsual C #.NET. Aplcacones Wndows Form.NET Bblotecas de controles.net Servco de Wndows.NET Servco de Web.NET Debug and Release.NET Pues se consdera que es matera de otra obra con temas avanzados. Esta obra, se encuentra formada por oco capítulos, y dos apéndces, estructurados de la sguente manera: En el capítulo I, se consderan temas relaconados con teoría y propagacón de errores, ncando con defncones báscas, se pasa a lustrar con ejemplos para luego complementar con programas en Matlab y Mcrosoft Vsual C#.NET mostrando los resultados de la ejecucón de los programas. En el capítulo II, se descrben métodos gráfcos y numércos para calcular raíces reales de funcones trascendentes por los métodos de la Bseccón, Apromacones Sucesvas, Apromacones Sucesvas Modfcado, Régula - Fals, Secante, Newton - Rapson y Muller. En la sguente seccón se presenta el Método de Horner para calcular raíces reales de funcones. En la últma seccón de este capítulo se presenta el Método de Newton - Barstow para calcular raíces reales y complejas de funcones polnómcas de la forma

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS - ESPE F(). Todos los métodos se descrben con un análss matemátco, algortmo en seudocódgo, ejemplos lustratvos e mplementacón en Matlab y Mcrosoft Vsual C#.NET mostrando los resultados de la ejecucón de los programas. En el capítulo III, se desarrollan métodos para resolver sstemas de ecuacones lneales y smultáneas por Gauss, Gauss Jordan, Gauss Sedel y Crout. En la segunda seccón se propone un método para calcular la nversa de una matrz a través de la aplcacón de la resolucón de una secuenca de sstemas de ecuacones lneales y smultáneas por Crout. En la tercera seccón se presenta una varante del Método de Crout para resolver sstemas smétrcos de ecuacones lneales y smultáneas. En la cuarta seccón se presenta otra varante del Método de Crout para resolver sstemas smétrcos en banda de ecuacones lneales y smultáneas. En la seccón fnal de este capítulo se presenta otra varante del Método de Crout para resolver sstemas smétrcos Sky - Lne de ecuacones lneales y smultáneas. Todos los métodos se descrben con un análss matemátco, algortmo en seudocódgo, ejemplos lustratvos e mplementacón en Matlab y Mcrosoft Vsual C#.NET mostrando los resultados de la ejecucón de los programas. En el capítulo IV, se descrben algortmos para nterpolar por los métodos de Interpolacón Lneal, Polnomos de Lagrange y Newton medante dferencas dvddas. Todos los métodos se descrben con un análss matemátco, algortmo en seudocódgo, ejemplos lustratvos e mplementacón en Matlab y Mcrosoft Vsual C#.NET mostrando los resultados de la ejecucón de los programas. En el capítulo V, se aplcan los algortmos descrtos en los capítulos anterores para ajustar una muestra estadístca a una funcón polnómca medante los métodos de los Mínmos Cuadrados; Polnomos de Lagrange y Newton, mostrando el dagrama de dspersón y el gráfco de la famla de polnomos procesados. Los métodos se descrben con un análss matemátco, algortmo en seudocódgo, ejemplos lustratvos e mplementacón en Matlab y Mcrosoft Vsual C#.NET mostrando los resultados de la ejecucón de los programas. En el capítulo VI, se descrben métodos para calcular dervadas de prmer orden y de orden superor en un punto dado, especfcando la longtud 4

MÉTODOS NUMÉRICOS EN LOS LENGUAJES MATLAB Y MICROSOFT VISUAL C#.NET. de paso; cuando la funcón es dscreta (por ejemplo una muestra de puntos), se utlza nterpolacón. Aplcando las reglas de dervacón se calcula la dervada de cualquer orden para polnomos obtenendo adconalmente la epresón smbólca del polnomo resultante. Se realza un análss de los errores absolutos y relatvos de los métodos descrtos. Todos los métodos se descrben con un análss matemátco, ejemplos lustratvos e mplementacón en Matlab empleando cálculo smbólco y Mcrosoft Vsual C#.NET mostrando los resultados de la ejecucón de los programas. En el capítulo VII, se descrben métodos para calcular ntegrales defndas aplcando Seres de Taylor y las reglas de los rectángulos, trapecos, Smpson, Tres Octavos y Dos Cuarentaycncoavos; se aplca la regla de ntegracón en funcones polnómcas para obtener ntegrales de cualquer dmensón, con la correspondente epresón smbólca, especfcando en todos los casos el ntervalo de ntegracón; cuando la funcón es dscreta (por ejemplo una muestra de puntos), se utlza nterpolacón. Se realza un análss de los errores relatvos de los métodos descrtos. Todos los métodos se descrben con un análss matemátco, ejemplos lustratvos e mplementacón en Matlab empleando cálculo smbólco y Mcrosoft Vsual C#.NET mostrando los resultados de la ejecucón de los programas. En el capítulo VIII, se desarrollan algortmos para resolver ecuacones dferencales aplcando los métodos de Euler, Taylor, Euler Modfcado, Runge Kutta de orden dos y Runge Kutta de orden cuatro. Se realza un análss de los errores relatvos de los métodos descrtos. Todos los métodos se descrben con el algortmo en pseudocódgo, ejemplos lustratvos e mplementacón en Matlab empleando cálculo smbólco y Mcrosoft Vsual C#.NET mostrando los resultados de la ejecucón de los programas. El apéndce A, está drgdo a los lectores con pocos conocmentos de Matlab, en el se plantean algunos ejemplos del uso del control del flujo en Matlab y de la grafcacón de sóldos de revolucón. En algunos de estos ejerccos se descrbe con un análss matemátco, y todos con la mplementacón en Matlab mostrando los resultados de la ejecucón de los programas. El apéndce B, está drgdo a los lectores con algunos conocmentos de Mcrosoft Vsual C#.NET, en el se plantean algunos ejemplos del uso del control del flujo en Mcrosoft Vsual C#.NET, cas todos los descrtos en el 5

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS - ESPE apéndce A. En todos los ejemplos se los mplementa en Mcrosoft Vsual C#.NET mostrando los resultados de la ejecucón de los programas. En la sguente seccón se descrbe el códgo fuente de la lbrería común de clases, msma que es reutlzada en la mayoría de programas escrtos en Mcrosoft Vsual C#.NET. En la seccón fnal de este apéndce se descrben los dagramas UML de clases y de secuenca cuyo dseño permte mplantar los métodos para calcular raíces reales de funcones trascendentes y polnómcas. Se agradece a la Facultad de Ingenería de la PUCE, Insttucón que a eco posble la realzacón de una parte de la prmera edcón de esta obra. A las autordades de la ESPE que an eco posble la realzacón de la prmera edcón de esta obra De una manera partcular: A m esposa Nancy y a ms jos Lenín, Carolna, Mlton y Mkaela y a m querda neta Pía Marcel; quenes me an ncentvado para segur adelante y culmnar con este trabajo. Al Dr. Manuel Corrales S.J., Rector de la PUCE; al Ing. Galo Cevallos, E Drector General Académco; Al Ing. Dego Andrade, Decano de la Facultad de Ingenería; Al Ing. Francsco Rodríguez, Subdecano de la Facultad de Ingenería y a otros dstngudos compañeros de la Pontfca Unversdad Católca del Ecuador. Al Grab. Carlos Rodríguez, Rector de la ESPE; al Vcerector Académco de la ESPE; al Ing. Walter Fuertes, P. D. Drector de Postgrados; al Ing. Lus Guerra, Msc, Drector de la Carrera de Ingenería del Software, Sede Latacunga; al Crnl (SP) Jorge Vergara, Drector del Departamento de Cencas Eactas; al Ing. Ignaco Dávla por sus valosos comentaros en la revsón de esta obra, al Mat. Paúl Medna P. D., por aber facltado mportante bblografía relaconada con esta obra; al Ing. Marcelo Romo, Msc, por aber facltado su valoso artículo para la resolucón de sstemas de ecuacones lneales y smultáneas del tpo SKY-LINE. A ms aprecados estudantes de Métodos Numércos, por sus valosos aportes a la realzacón de esta obra. 6

NÚMEROS APROXIMADOS Y ERRORES

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MÉTODOS NUMÉRICOS EN LOS LENGUAJES MATLAB Y MICROSOFT VISUAL C#.NET. CAPITULO I NUMEROS APROXIMADOS Y ERRORES Generaldades Número Apromado.- Se dce que un número es apromado cuando dfere lgeramente del número eacto. Sean: R número eacto y r número apromado de R Entonces se presentan dos casos: a) cuando r > R, r es apromado por eceso, y b) cuando r < R, r es apromado por defecto. Error de un número apromado.-es la dferenca que este entre el número eacto y el número apromado, es decr: Error de r Er R - r (.). Error absoluto de un número apromado.-es gual al valor absoluto del error de un número apromado. Matemátcamente se defne así: Error absoluto de r EAr R - r (.). Esten dos casos en los números eactos: a) R es conocdo. b) R es desconocdo. Para el caso (a), el error absoluto de un número apromado, se lo puede determnar aplcando la fórmula (.). En la práctca se presenta el caso (b), por consguente debe ntroducrse el concepto de un error superor estmado, denomnado: Cota de error absoluto.-que se defne como un número cualquera Cr no menor que el error absoluto de un número apromado, Entonces Cr EAr (.). De (.) se puede deducr que: R r ± Er (.4). Ejemplos.: a) s se conoce que A tene una varacón de.4 A.4 entonces Ea.4 -.4. b) s se sabe que A tene una varacón de.4 A.44 entonces Ea.44 -.4. Por consguente, se puede tener un número nfnto de cotas de error absoluto, se debe selecconar entonces el menor de los valores, según las crcunstancas. Cuando se escrbe un número apromado, procedente de una medda, es común dar su cota de error absoluto, por ejemplo s la longtud de un segmento es l 5 cm 9

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS - ESPE con un error de.5 cm, se escrbe L 5 cm ±.5 cm. En este caso la cota de error absoluto es Cl.5 cm y la magntud eacta de la longtud del segmento cae dentro del margen 4.5 cm L 5.5 cm La cota de error absoluto no ndca las característcas de la caldad de una medda; suponendo que al medr las longtudes de dos segmentos se tene L 8.8 cm ±. cm y L 5. cm ±. cm, ndependentemente de que los dos errores concdan, la prmera es mejor que la segunda medda, por consguente, debe ntroducrse el crtero de: Error relatvo.-que es la relacón entre el error absoluto y el módulo (valor absoluto) del número eacto: δr EAr / R (.5). Aplcando el msmo crtero de la cota de error absoluto, se defne la: Cota de Error relatvo.-de un número apromado como cualquer CRr no menor que el error relatvo de dco número. Por consguente δr CRr (.6), en la práctca se utlza frecuentemente: Er r CRr (.7). Ejemplo: Conocda la cota de error relatvo, determnar los límtes del número eacto. Solucón: De (.4) R r ± Er, reemplazando en esta ecuacón.7 se obtene: R r ± rcrr, por consguente R r( ± CRr) (.8) o tambén r( - CRr) R r( + CRr) (.9). Ejemplo.: Dado el número apromado a 4.5 y la cota de error relatvo CRa por ml, averguar entre que límtes se encuentra el número eacto. Solucón: Aplcando (.9) y reemplazando valores: 4.5( -.) A 4.5( +.); 4.5*.998 A 4.5*.; entonces: 4.445 A 4.65 Prncpales fuentes de errores: Las fuentes más mportantes de errores que se presentan son:. Errores del problema o del método.-el planteamento matemátco raramente ofrece una presentacón eacta de los fenómenos reales, pues en la mayoría de los casos son modelos dealzados. Al estudar los fenómenos de la naturaleza nos vemos forzados, por regla general a aceptar certas condcones que smplfcan el problema, lo cual produce a errores que se les conoce como del problema. As msmo ocurre a veces que es dfícl o mposble resolver un problema formulado en forma eacta, por lo que se vuelve necesaro reemplazarlo por una solucón apromada, la cual debe ofrecer el msmo resultado, esto nuevamente ocasona errores que se los conoce con el nombre de errores del método.. Error Resdual.-Se presentan al realzar el cálculo de funcones a través del uso de seres matemátcas, puesto que un proceso nfnto no puede completarse en un número fnto de pasos, entonces se debe forzar a pararlo en certo térmno de la

MÉTODOS NUMÉRICOS EN LOS LENGUAJES MATLAB Y MICROSOFT VISUAL C#.NET. secuenca y consderarla como una apromacón de la solucón requerda, tenenendo como consecuenca en error que se defne como resdual.. Error Incal.-Se producen al efectuar cálculos en los que ntervenen certos valores que ya tenen errores, tales como por ejemplo las constantes físcas, la constante π, medcones, etc. 4. Errores asocados a un sstema de numeracón.-cuando se representan números raconales en el sstema decmal, o cualquer otro, puede aber una sere nfnta de dígtos, resulta evdente que en los cálculos, sólo se emplea una sere fnta. Ejemplo.: al representar /.66667, se comete un error.. 5. Errores de operacón.-debdo a las operacones en que se consderan números apromados, al realzarse cálculos ntermedos, lo cual repercute en el resultado fnal. En certos problemas específcos, no esten errores y en otros ejercen efecto desprecable; mas, por lo general, en un análss completo, se deben tener en cuenta todos los tpos de errores; sn embargo los más comunes son los de operacón y los del método. 6. Errores de propagacón.- Son los errores en los resultados de un proceso provocados por los errores en las entradas. Dgtos sgnfcatvos. Cualquer número postvo a puede representarse en forma decmal con una cantdad fnta o nfnta de dígtos: a α m m + α m- m- + α m- m- +... α m-n+ m-n+ +... (.) donde los α son los dígtos del sstema numérco decmal, α m, es el dígto más sgnfcatvo, m es la potenca más elevada de dez del número a y n el número de dígtos. Ejemplo.4: 45.98 * 4 + 4* + * + * + 5* + 9* - + 8* - Se denomna dígto sgnfcatvo de un número apromado a cualquer dígto dferente de cero o cualquer cero stuado entre dígtos sgnfcatvos; son además aquellos ceros que se utlzan para ndcar poscones a la dereca de un número o de otro dígto sgnfcatvo. Todos aquellos ceros que están a la zquerda del número y que solamente se ndcan para la poscón del punto decmal no se deben consderar como dígtos sgnfcatvos. Ejemplos.5: 645.84 tene 7 dígtos sgnfcatvos..8 tene dígtos sgnfcatvos. 78.4 tene 6 dígtos sgnfcatvos. 78.4 tene dígtos sgnfcatvos.

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS - ESPE 9.45* - tene 5 dígtos sgnfcatvos. 9.45* - tene dígtos sgnfcatvos. Dígtos Sgnfcatvos Eactos.-Se dce que los n prmeros dígtos sgnfcatvos de un número apromado son eactos s la cota de error absoluto de dco número no sobrepasa la meda undad stuada en la poscón n-ésma, contando de zquerda a dereca. Por lo tanto s a es el número apromado de A, entonces Ca A-a.5 * m-n+ (.), entonces de. se tene que α m, α m-, α m-,..., α m-n+ son los dígtos sgnfcatvos de a. Ejemplos.6: a) S A 4.9996 y a 44., entonces a es una apromacón con cnco dígtos sgnfcatvos eactos, puesto que: Ca 4.9996-44..4* - <.5 * -n+, por tanto - -n+, entonces n 5. b) S se sabe que 47.65 tene cuatro dígtos sgnfcatvos eactos, calcular la cota de error absoluto. Solucón: De (.) Ca.5 * -4+, por tanto Ca.5, tomando el mámo valor Ca.5. c) S el número apromado es.474 con una cota de error absoluto de.5, calcular la cantdad de dígtos sgnfcatvos eactos y determnar cuáles son. Solucón: De (.).5* -4.5 * --n+, por tanto -4 --n+, entonces n, por lo que los dígtos sgnfcatvos eactos son,,4. d) S el número apromado es 74.69 con una cota de error absoluto de.8, determnar cuáles son los dígtos sgnfcatvos eactos de ese número. Solucón: De (.).8* - <.5*.5* -n+, por consguente -n+, entonces n y los dígtos sgnfcatvos eactos son: el 7 y el 4. Errores en las operacones: Errores en la suma.-sea U X + X + X +... + X n y u + + +... + n Por defncón EAu U-u Efectuando la operacón U - u y agrupando térmnos: U - u (X - ) + (X - ) + (X - ) +... + (X n - n ) tomando el valor absoluto en ambos membros: U-u (X - ) + (X - ) + (X - ) +... + (X n - n ) De acuerdo a la desgualdad trangular: U-u (X - ) + (X - ) + (X - ) +... + (X n - n ) Tomando el mámo valor: EAu EA + EA + EA +... + EA n (.)

MÉTODOS NUMÉRICOS EN LOS LENGUAJES MATLAB Y MICROSOFT VISUAL C#.NET. Errores en la resta.-el crtero de calcular errores a la suma, se etende a la resta. Sea u - + (- ) y - entonces: u +, aplcando la fórmula de errores en la suma: EAu EA + EA ; puesto que - : E EA, entonces EAu EA + EA (.) Ejemplos.7: a) Sea f() e sen( + 4). Para X.459. Calcular el error absoluto y relatvo de f() que se comete al truncar a X a dos decmales. Solucón: De acuerdo a las condcones del problema.4; f(x) f(.459) e.459 sen(.459 - *.459 + 4) -.796 f() f(.4) e.4 sen(.4 - *.4 + 4) -.49567 EAf() -.796 - (-.49567).6775865 δf() EAf() / f(x).6775865 / -.796.646.6 % b) Calcular el error absoluto y relatvo de f() tan() que se comete al tomar los cuatro prmeros térmnos de la sere de Taylor de sen() y cos(); tan() sen() / cos(); para PI/8.96998 Solucón: La sere de Taylor de la funcón seno es sen() - /! + 5 /5! - 7 /7! +... El detalle del cálculo de sen(pi/8) para los prmeros cuatro térmnos, se detalla en la sguente tabla: # TERMINO TERMINO SENO.96998.96998 -.989.86589.7785.86878 4 -.86.8684 La sere de Taylor de la funcón coseno es cos() - /! + 4 /4! - 6 /6! +... El detalle del cálculo de cos(pi/8) para los prmeros cuatro térmnos, se detalla en la sguente tabla: # TERMINO TERMINO COSENO -.77684.98976.99897.98846 4 -.594.987959 Consderando los cuatro prmeros térmnos: tan(pi/8) sen(pi/8)/cos(pi/8).8684 /.987959.44568 TAN(PI/8).4456 EAtan().4456 -.44568 6e-9 δtan() EAtan() / TAN() 6e-9 /.4456.6e-8.6e-6 %

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS - ESPE c) Desarrollar una aplcacón Matlab y otra en Vsual C#, para que parametrce el ejemplo anteror, ngresando el ángulo en radanes ; y el número de térmnos; la aplcacón debe desplegar como resultados: sen(); cos(); tan(), EAtan() Solucón: Programas en MATLAB y VISUAL C#: Para cada lenguaje, se elabora un solo programa, desde el cual se ngresan el ángulo en grados y el número de térmnos. El programa converte el ángulo a radanes y calcula y desplega el seno, coseno, tangente, tangente eacta y los errores absoluto y relatvo. Arcvo fuente en MATLAB: % ErroresTangente.m % Calculo de errores de la tangente usando seres de Taylor. wle ang nput('ingrese el ángulo en grados: '); % Valdacón: nter nput('ingrese el número de térmnos (salr < o > : '); f (nter < nter > ) break; % Conversón de grados a radanes: p * ang / 8; % Cálculo del seno medante la sere de Taylor: sen ; au ; sgno ; for : nter fac ; for j : au fac fac * j; sen sen + sgno * ^ au / fac; sgno -sgno; au au + ; % Cálculo del coseno medante la sere de Taylor: cos ; 4

MÉTODOS NUMÉRICOS EN LOS LENGUAJES MATLAB Y MICROSOFT VISUAL C#.NET. au ; sgno ; for : nter fac ; for j : au fac fac * j; cos cos + sgno * ^ au / fac; sgno -sgno; au au + ; % Calcular las tangentes apromada y eacta: tan sen / cos; TAN tan(); % Calcular los errores: erabs abs(tan - tan); errel erabs / abs(tan); % Desplegar resultados: dsp(sprntf('angulo (radanes): %f', )); dsp(sprntf('tangente (eacta): %f', TAN)); dsp(sprntf('seno: %f', sen)); dsp(sprntf('coseno: %f', cos)); dsp(sprntf('tangente (apromada): %f', tan)); dsp(sprntf('error absoluto: %f', erabs)); dsp(sprntf('error relatvo: %f\n', errel)); Resultados obtendos: Se presenta a contnuacón los resultados que produce la ejecucón de este programa: Este lbro no pretende, ncorporar un curso de Matlab o Vsual C#, sn embargo otras aplcacones de estas erramentas de desarrollo, se las descrbe más adelante y en el Apéndce A para Matlab; Apéndce B para Vsual C#. 5

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS - ESPE Arcvos fuente en Vsual C#: Antes de descrbr el códgo fuente, en Vsual C#, se a mplementado un proyecto tpo Wndows Applcaton, la cual contene el dseño de la ventana de la fgura.. 6

MÉTODOS NUMÉRICOS EN LOS LENGUAJES MATLAB Y MICROSOFT VISUAL C#.NET. Como se puede aprecar, esten nueve cuadros de edcón, msmos que permtrán ngresar los datos; y presentar los resultados; y dos botones, msmos que tenen la funconaldad: - Procesar: Ejecuta el método para calcular los errores y desplegar los resultados. Y - Salr: Fnalza la ejecucón del programa. Se descrbe a contnuacón el códgo fuente: Botón Procesar: prvate vod b_procesar_clck(object sender, EventArgs e) // Declaracon de varables double ang,, sen, cos, tan, TAN, erabs, errel, fac; nt nter, sgno, au,, j; try // Transferenca de captura de datos a varables: ang double.parse(ttanggrad.tet); nter nt.parse(ttnter.tet); // Valdacón: f (nter < nter > ) return; // Conversón de grados a radanes: Mat.PI * ang / 8; // Cálculo del seno medante la sere de Taylor: au ; for ( ; < nter; ++) fac ; for (j ; j < au; j ++) fac * j; sen + sgno * Mat.Pow(, au) / fac; sgno -sgno; au + ; // Cálculo del coseno medante la sere de Taylor: au ; sgno ; for ( ; < nter; ++) fac ; for (j ; j < au; j++) fac * j; cos + sgno * Mat.Pow(, au) / fac; sgno -sgno; au + ; // Calcular las tangentes apromada y eacta: tan sen / cos; TAN Mat.Tan(); // Calcular los errores: erabs Mat.Abs(TAN - tan); errel erabs / Mat.Abs(TAN); // Transferr varables a pantalla: ttangrad.tet Mat.Round(, 9).ToStrng(); tttaneacto.tet Mat.Round(TAN, 9).ToStrng(); 7

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS - ESPE ttsen.tet Mat.Round(sen, 9).ToStrng(); ttcos.tet Mat.Round(cos, 9).ToStrng(); tttan.tet Mat.Round(tan, 9).ToStrng(); tterabs.tet Mat.Round(erAbs, 9).ToStrng(); tterrel.tet Mat.Round(erRel, 9).ToStrng(); catc (Ecepton e) MessageBo.Sow(e.Message); Botón Salr: prvate vod cb_salr_clck(object sender, EventArgs e) ts.close(); ts.dspose(); Se presenta a contnuacón los resultados que produce la ejecucón de este programa: 8

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UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS - ESPE EJERCICIOS DEL CAPITULO I.-Encontrar la cota de error absoluto de los sguentes números, tenen todos sus dígtos sgnfcatvos eactos: a).85 b) 6.45 c) 7.* -5 d). conocendo que,- Sea f() 4 + 6-5 +. Para X 5.. Calcular el error absoluto y relatvo de f() que se comete al truncar a X a los decmales.

MÉTODOS NUMÉRICOS EN LOS LENGUAJES MATLAB Y MICROSOFT VISUAL C#.NET..- La funcón arco seno, se encuentra defnda por la sguente sere de Taylor: sen - () + ( /)(/) + ( 5 /5)(*)/(*4) + ( 7 /7)(**5)/(*4*6) + Calcular el error absoluto y relatvo cuando se toman los cuatro prmeros térmnos de la sere. 4.- Implementar un programa en Matlab y otro en Vsual C# que permta ngresar el argumento y el número de térmnos y que calcule y desplegue por pantalla el arco seno de la sere de Taylor y de la correspondente funcón de bbloteca; además de los errores absoluto y relatvo.

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MÉTODOS NUMÉRICOS EN LOS LENGUAJES MATLAB Y MICROSOFT VISUAL C#.NET. CÁLCULOS DE RAICES REALES DE ECUACIONES DE LA FORMA F (X)

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MÉTODOS NUMÉRICOS EN LOS LENGUAJES MATLAB Y MICROSOFT VISUAL C#.NET. CAPITULO II CALCULO DE RAICES REALES DE ECUACIONES DE LA FORMA F (X) Generaldades Este capítulo se centra en la localzacón de los ceros de funcones en el plano cartesano. Ejemplos de ecuacones de este tpo son: ) A*X + B ) A*X + B*X + C ) A *X n + A *X n- + A *X n- +... + A n- *X + A n 4) X *log (*X) 8 5) X 5 * cos *X + e *sen X + Dependendo del caso, se puede aplcar un método para resolver el problema, tales métodos pueden ser eactos o algebracos, apromados (gráfcos o numércos), etc. Así se tene que para resolver la ecuacón del ejemplo, bastará con despejar X de esta ecuacón, con lo que X -B/A. En el ejemplo, se aplca la fórmula para el cálculo de raíces de ecuacones cuadrátcas, con lo que B ± X B 4AC A En el caso de los otros ejemplos, resulta dfícl o cas mposble encontrar las raíces reales, aplcando un método eacto, por lo que se recurren a métodos apromados, los cuales se analzan amplamente en este capítulo. Métodos Gráfcos: Se revsa a contnuacón, un método gráfco, el cual consste en acer Y F(X), segudamente se elabora una tabla, dando valores en forma ascendente a la varable ndependente X, paralelamente se calcula el valor Y. Este grupo de pares ordenados, se lo representa en un sstema de coordenadas rectangulares y fnalmente se unen tales puntos, generándose un dagrama de dspersón. La nterseccón entre la funcón F(X) y el eje orzontal, consttuyen los ceros de la funcón o las raíces reales de la ecuacón F(X). Ejemplo.: 5

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS - ESPE Dada la ecuacón: X *log (*X) 8, encontrar una raíz real, utlzando un método gráfco. Solucón: Se ace Y F(X) X *log (*X) 8 () Luego se da un rango de valores para la varable ndependente X y aplcando la ecuacón, se calcula los valores de Y, formándose la tabla: X.5..5..5..5 4. 4.5 5. 5.5 Y F(X) -8. -7.7-6.9-5.6 -.6 -..4 6.4. 7..5 Este conjunto de puntos se los representa en el plano cartesano, formándose el sguente dagrama de dspersón: Com o puede observarse, la funcón F(X), corta el eje orzontal, en el rango de las abscsas y.5, lo que sgnfca que la raíz es apromadamente.. Otro método gráfco consste en transformar la ecuacón F(X) en f(x) f(x) y acendo Y f(x), Y f(x), se elabora una tabla, asgnando un grupo de valores a X, calculándose Y y Y. Los puntos de esta tabla, se los representa en un dagrama de dspersón, en el cual se dbujan las funcones f(x) y f(x). Las nterseccones de éstas representan las raíces reales de la ecuacón F(X). Ejemplo.: Dada la ecuacón: X *log (*X) 8, encontrar una raíz real, utlzando el método gráfco alternatvo. 6

MÉTODOS NUMÉRICOS EN LOS LENGUAJES MATLAB Y MICROSOFT VISUAL C#.NET. Solucón: Se ace 8/X X*log (*X) () Entonces Y f(x) 8/X, Y f(x) X*log (*X) Asgnando a X los valores del ejemplo anteror, se tene la tabla: X.5..5..5..5 4. 4.5 5. 5.5 y f(x) 6. 8. 5. 4...67.9..78.6.45 y f(x)...7..75..96.6 4.9 5. 5.7 Los puntos que representan a las dos funcones, se los lleva al sstema de ejes de coordenadas en el plano de una manera ndependente, obtenéndose así el dagrama: Al observar el dagrama de dspersón, se tene que la nterseccón de las funcones f(x) y f(x), se encuentra en la abscsa. apromadamente. Los métodos gráfcos son bastante engorrosos de mplementar, aparte de que las raíces producen un error consderable en la determnacón de las msmas, por lo que se descartan y se procede a analzar segudamente los métodos numércos. Métodos Numércos: Estos nvolucran la mplementacón de un algortmo y se separan en dos fases: Localzacón del cambo de sgno de la funcón F(X), y 7

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS - ESPE Afnamento de los valores de las abscsas (XI y XD), entre las que se encuentra la raíz real. Prmera fase: Localzacón del cambo de sgno de la funcón F(X) Consste en tomar un ntervalo cerrado de valores para las abscsas y para dos valores consecutvos, se calculan las respectvas ordenadas, luego se establece el producto entre dcos valores, msmo que s es menor o gual a cero entonces se a localzado la raíz, de lo contraro, se toma el sguente par de valores consecutvos en las ordenadas y así sucesvamente asta alcanzar el límte superor del ntervalo. Algortmo para la localzacón del cambo de sgno de la funcón F(X): Entradas: F(X), LIX, LSX, XD. Donde F(X) es la funcón contnua en el ntervalo [LIX, LSX]; LIX y LSX, son los límtes nferor y superor, respectvamente, del ntervalo en las abscsas, entre los que pueden encontrarse un grupo de raíces reales. DX ncremento de varacón de las abscsas. Saldas: XI, XD, P Donde XI y XD son las abscsas zquerda y dereca, respectvamente, entre las que puede estar una raíz real. P F(XI)*F(XD) estado que regresa el algortmo, luego de su procesamento y puede tomar los valores: menor que cero ndca que efectvamente entre XI y XD por lo menos este una raíz real; gual a cero, sgnfca que XI o XD es una raíz real eacta o mayor que cero mplca que en ese ntervalo no esten raíces reales. Se descrben en seguda la secuenca de pasos: a) XI LIX b) XD XI c) YD F (XD) d) XI XD e) YI YD f) XD XD +DX g) YD F (XD) ) P YI * YD ) REPETIR DESDE EL PASO (d) MIENTRAS (P > ) Y (XD < LSX) j) SI P ENTONCES SI YI ENTONCES XI ES RAIZ EXACTA CASO CONTRARIO XD ES RAIZ EXACTA XD XD + DX FIN SI FIN SI Ejemplo.4: Localzar los cambos de sgno de la ecuacón: F(X) X *log (*X) 8 8

MÉTODOS NUMÉRICOS EN LOS LENGUAJES MATLAB Y MICROSOFT VISUAL C#.NET. Solucón: Se adoptan los valores LIX.5, LSX 5, DX.5, realzando el segumento del algortmo, se genera la tabla sguente: XI XD YI F(XI) YD F(XD) P YI*YD.5.5-8..5. -8. -7.7 (+)..5-7.7-6.9 (+).5. -6.9-5.59 (+)..5-5.59 -.6 (+).5. -.6 -. (+)..5 -..5 (-).5 4..5 6.45 (+) 4. 4.5 6.45. (+) 4.5 5.. 7. (+) 5. 5.5 7..5 (+) Entonces en el ntervalo cerrado [,.5], se encuentra una raíz real. Ejemplo.5: Localzar los cambos de sgno de la ecuacón: F(X) X - 7*X + 4 Solucón: Se asumen los valores LIX -4, LSX 4, DX, medante el uso del algortmo, se genera la tabla: XI XD YI F(XI) YD F(XD) P YI*YD -4. -4. -. -4. -. -. -. (+) -. -. -.. (-) -. -... (+) -... 4. (+).. 4. -. (-).. -. -. (+).. -.. (-). 4.. 4. (+) 4. 5. 4. 94. (+) Por consguente, esten raíces en los ntervalos [-, -], [, ] y [, ]. Segunda fase: Afnamento de los valores que se encuentran cercanos a la raíz. 9

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS - ESPE Crteros para encontrar una raíz en base a una precsón requerda. ) F () es conocdo en el cambo de sgno ) El valor de F () es desconocdo

MÉTODOS NUMÉRICOS EN LOS LENGUAJES MATLAB Y MICROSOFT VISUAL C#.NET. Teorema.: Dada una funcón contnua F(X) en el ntervalo cerrado [A, B] en las abscsas. Este por lo menos una raíz real, s F(A)*F(B) <. S además F (X), mantene el sgno en ese ntervalo, entonces este una sola raíz (ver fguras. y.5). Esten varos métodos para calcular raíces reales, los que analzaremos en este capítulo son: Bseccón. Apromacones sucesvas. Apromacones sucesvas modfcado. Régula - fals. Secante y. Newton - Rapson. Muller. Cuyos algortmos, necestan las sguentes entradas: F(X), XI, XD, PRECISION Donde F(X) es la funcón contnua; XI y XD son las abscsas zquerda y dereca, respectvamente, entre las que puede estar por lo menos una raíz real; PRECISION es el margen de error que se produce al efectuar el cálculo de una raíz. Segudamente se revsan cada uno de ellos.

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS - ESPE Método de la Bseccón: Consste en acortar el ntervalo de las abscsas, calculando su valor medo Xm, luego se calcula F(Xm) y se aproma a la abscsa cuya ordenada tene el msmo sgno de F(Xm). (Ver la fgura.6). Algortmo para el método de la Bseccón a) YI F(XI) b) Xm (XI+XD) / c) Ym F(Xm) d) P YI * Ym e) SI P > ENTONCES XI Xm YI Ym CASO CONTRARIO XD Xm FIN SI f) REPETIR DESDE EL PASO (b) MIENTRAS Ym > PRECISION g) ESCRIBIR RESULTADOS Ejemplo.6: Calcular la raíz de la ecuacón del ejemplo.5, para XI -, XD -, PRECISION E-6, usando el algortmo del método de la bseccón.

MÉTODOS NUMÉRICOS EN LOS LENGUAJES MATLAB Y MICROSOFT VISUAL C#.NET. Solucón: Para calcular la raíz, se elabora la tabla: ITERACION XI XD Xm(XI+XD)/ YI F(XI) Ym F(Xm) P YI*Ym -. -. -.5 -. 5.875 (-) -. -.5 -.75 -..455 (-) -. -.75 -.875 -..68 (-) 4 -. -.875 -.975 -. -.7849 (+) 5 -.975 -.875 -.965 -.7849 -.78 (+) 6 -.965 -.875 -.8965 -.78.84 (-) 7 -.965 -.8965 -.89848 -.78 -.657 (+) 8 -.89848 -.8965 -.8945 -.657.45 (-) 9 -.89848 -.8945 -.896484 -.657 -.58 (+) -.896484 -.8945 -.89558 -.58 -.78 (+) -.89558 -.8945 -.895 -.78.578 (-) -.89558 -.895 -.89564 -.78 -.85 (+) -.89564 -.895 -.8954 -.85 -.67 (+) 4 -.8954 -.895 -.8958 -.67.47 (-) 5 -.8954 -.8958 -.895 -.67 -.8 (+) 6 -.895 -.8958 -.89596 -.8.94 (-) 7 -.895 -.89596 -.895 -.8.56 (-) 8 -.895 -.895 -.8957 -.8 -.4 (+) 9 -.8957 -.895 -.8955 -.4. (-) -.8957 -.8955 -.8956 -.4.4 (-) -.8957 -.8956 -.8957 -.4 -.5 (+) -.8957 -.8956 -.8957 -.5 -. (+) -.8957 -.8956 -.8956 -.. (-) 4 -.8957 -.8956 -.8956 -.. (-) 5 -.8957 -.8956 -.8957 -.. (+) De acuerdo a la tabla, se an necestado 5 teracones para calcular la raíz -.8957 Método de apromacones sucesvas: Para este método, se transforma la ecuacón F(X), en Y X fm(x), a contnuacón se aplcan las fórmulas recurrentes: X fm(x ); X fm(x ); X fm(x );...; X + fm(x ), tal que se cumpla: X + - X < PRECISION

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS - ESPE Antes de efectuar el planteamento algorítmco de este método, se analza el comportamento del msmo, cuando la funcón fm(x), varía en su dervada. (Ver la fguras.7). Conforme a lo que se observa en las fguras.7 (a) y (b) este convergenca para cuando fm'(x) ; en (c) y (d) no este convergenca porque fm'(x) >, por consguente ay que consderar esta stuacón en el algortmo. Algortmo para el método de apromacones sucesvas: a) Ym (XI+XD)/ b) Xm Ym c) Ym fm(xm) d) REPETIR DESDE EL PASO (b) MIENTRAS ( Ym - Xm > PRECISION ) Y ( fm'(ym) ) e) ESCRIBIR RESULTADOS Ejemplo.7: Calcular la raíz de la ecuacón del ejemplo.5, para XI -, XD -, PRECISION E-6, usando el algortmo del método de apromacones sucesvas. 4

MÉTODOS NUMÉRICOS EN LOS LENGUAJES MATLAB Y MICROSOFT VISUAL C#.NET. Solucón: Debe elaborarse una ecuacón Ym Xm fm(xm), tal que fm'(-.78). Despejando X, del prmer térmno de la ecuacón F(X), se tene que: Ym Xm fm(xm) (7*X - 4) (/), por consguente, fm'(xm) (7/)*(7*X - 4) (-/). Para calcular la raíz, se elabora la tabla: ITERACION Xm Ym fm(xm) YP fm'(ym) Ym - Xm -.5 -.5 -.78649.84688.8649 -.78649 -.86886.85.87 -.86886 -.8869.78869. 4 -.8869 -.896.785.649 5 -.896 -.89448.7844.89 6 -.89448 -.8949.7897.54 7 -.8949 -.8955.7889.4 8 -.8955 -.8959.7887.9 9 -.8959 -.895.7886. -.895 -.8955.7886. -.8955 -.8956.7886. Realzando una comparacón de este método, respecto del de la bseccón, se observa que las teracones se reducen a menos de la mtad, sn embargo, debe desarrollarse un esfuerzo para elaborar la transformacón de F(X) a X fm(x), verfcando que se produzca la convergenca. Para superar este nconvenente, se analza a contnuacón el método de apromacones sucesvas modfcado. Método de apromacones sucesvas modfcado: Este método, aplca el msmo prncpo de su antecesor, pero ntroduce un factor de correccón (β). (Ver fgura.8) 5

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS - ESPE En la fgura.8: ΔX X - X - fm(x - ) - X - (.) Despejando X de (): X X - + ΔX (.) Aplcando el factor de correccón en (.), se converte en: X X - + β * ΔX (.) Reemplazando el membro de la dereca de (.) en (.), se obtene la fórmula de recurrenca de este método: X X - + β * (fm(x - ) - X - ) (.4) En el trángulo ABC: Tg(θ) (β - ) * ΔX / (β * ΔX) (β - ) / β (.5) Despejando de (5), el valor β: β / ( - Tg(θ)) (.6) En el trángulo ABC: Tg(θ) (fm(x ) - fm(x - )) / (X - X - ) (.7) Con estos elementos, se puede plantear a contnuacón el algortmo. Algortmo para el método de apromacones sucesvas modfcado: a) YI fm(xi) b) YD fm(xd) c) TGT (YD - YI) / (XD - XI) d) BETA / ( - TGT) e) XI XD f) YI YD g) XD XD + BETA* (YD - XD) ) REPETIR DESDE EL PASO (b) MIENTRAS XD - XI > PRECISION ) ESCRIBIR RESULTADOS Ejemplo.8: Calcular la raíz de la ecuacón del ejemplo.5, para XI -, XD -, PRECISION E-6, usando el algortmo del método de apromacones sucesvas modfcado. Solucón: Despejando X, del segundo térmno de la ecuacón F(X), se tene que: Y X fm(x) (X + 4) / 7. Para calcular la raíz, se elabora la tabla: ITERACION XI XD YI fm(xi) YD fm(xd) TGT BETA XD - XI -. -. -.8574 -.5749 -. -.8 -.5749 -.6779.7486 -.58.8 -.8 -.9565 -.6779 -.46.57778 -.654545.7 -.9565 -.8996 -.46 -.898.565486 -.8979.449 4 -.8996 -.89584 -.898 -.8956.64455 -.787.68 5 -.89584 -.8957 -.8956 -.8957.5967 -.867. 6 -.8957 -.8957 -.8957 -.8957.594 -.85787. Comparando este método con su antecesor, se observan dos ventajas: a) Puede transformarse la ecuacón F(X) a X fm(x), sn nnguna restrccón. b) El número de teracones, para alcanzar la convergenca, se a reducdo a cas la mtad. 6

MÉTODOS NUMÉRICOS EN LOS LENGUAJES MATLAB Y MICROSOFT VISUAL C#.NET. Método de Regula - Fals: Consste en trazar una secante que pasa por los puntos A(XI, F(XI)) y B(XD, F(XD)), (Ver fgura.9); luego, medante la ecuacón de la línea recta, se calcula la abscsa en base a la nterseccón de esta secante con el eje de las X, con lo que se obtene el punto C(X -, ). Segudamente se deduce la fórmula de recurrenca: La ecuacón de recta AB es: (F(XD) - F(XI)) / (XD - XI) (F(X - ) - F(XI)) / (X - - XI) (.8); además F(X - ) (.9); Reemplazando (.9) en (.8) y despejando de () X - : X - XI - F(XI) * (XD - XI) / (F(XD) - F(XI)) (.) Reemplazando X - por X m, se obtene la fórmula de recurrenca: X m XI - F(XI) * (XD - XI) / (F(XD) - F(XI)) (.). Este método se parece al de la Bseccón, en el sentdo de que se va acortando el ntervalo por el etremo zquerdo o el dereco. Algortmo para el método de Regula - Fals: a) YI F(XI) b) YD F(XD) c) Xm XI - YI * (XD - XI) / (YD - YI) d) Ym F(Xm) e) P YI * Ym f) SI P > ENTONCES XI Xm YI Ym CASO CONTRARIO XD Xm YD Ym FIN SI g) REPETIR DESDE EL PASO (c) MIENTRAS Ym > PRECISION ) ESCRIBIR RESULTADOS. Ejemplo.9: 7

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS - ESPE Calcular la raíz de la ecuacón del ejemplo.5, para XI -, XD -, PRECISION E-6, usando el algortmo del método de Régula - Fals. Solucón: Para calcular la raíz, se elabora la tabla: ITERACION XI XD YI F(XI) YD F(XD) Xm Ym F(Xm) P YI*Ym -. -. -.. -. -.8 -..8796 -.8.8796 (-) -. -.8954 -..557 -.8954.557 (-) -. -.894959 -..68 -.894959.68 (-) 4 -. -.89599 -.. -.89599. (-) 5 -. -.8956 -..6 -.8956.6 (-) 6 -. -.8956 -.. -.8956. (-) Método de la Secante: Este método utlza la fórmula de recurrenca del de Regula - Fals, calculándose valores consecutvos en las abscsas de uno de los etremos y mantenendo fjo el otro etremo. El método tene la restrccón de que la funcón F(X) en el ntervalo donde se encuentra la raíz debe mantener F (X) el msmo sgno, como lo ndca la fgura.. Algortmo para el método de la Secante: a) YI F(XI) b) YD F(XD) c) XI XI - YI * (XD - XI) / (YD - YI) d ) YI F(XI) e) REPETIR DESDE EL PASO (c) MIENTRAS F(XI) > PRECISION ) ESCRIBIR RESULTADOS. 8

MÉTODOS NUMÉRICOS EN LOS LENGUAJES MATLAB Y MICROSOFT VISUAL C#.NET. Ejemplo.: Calcular la raíz de la ecuacón del ejemplo.5, para XI -, XD -, PRECISION E-6, usando el algortmo del método de la Secante. Solucón: Se ará varar el punto que se encuentra a la zquerda y se mantendrá fjo el punto de la dereca. Los resultados del proceso se muestran en la sguente tabla: ITERACION XI YI F(XI) XD YD -. -. -.. -.8.8796 -.. -.9565 -.78974 -.. -.877.474 -.. 4 -.954 -.8 -.. 5 -.885557.749 -.. 6 -.9 -.959 -.. 7 -.8978.6754 -.. 8 -.89748 -.458 -.. 9 -.8965.656 -.. -.8965 -.648 -.. -.89454.75 -.. -.89546 -.648 -.. -.894886.44 -.. 4 -.89544 -.5 -.. 5 -.895.56 -.. 6 -.8956 -.974 -.. 7 -.8957.68 -.. 8 -.8957 -.79 -.. 9 -.8959.7 -.. -.8955 -.48 -.. -.895.9 -.. -.895 -.58 -.. -.8955.6 -.. 4 -.8958 -. -.. 5 -.8956.4 -.. 6 -.8957 -.9 -.. 7 -.8956.5 -.. 8 -.8957 -. -.. 9 -.8956. -.. -.8957 -. -.. Como se puede observar en la tabla anteror, se an requerdo demasadas teracones (), para alcanzar la convergenca, por lo que se puede ntroducr la sguente modfcacón la cual consstría en ntercambar los etremos a fn mejorar el ctado algortmo. Tal cambo se sugere que lo aga como ejercco, el lector. 9

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS - ESPE Método de Newton - Rapson: Se basa en el cálculo de la dervada. (Observar la fgura.) En la fgura.: ΔX X - X - (.), entonces: X X - + ΔX (.) En el trángulo ABC: Tg(Φ)-F(X - )/ΔX F'(X - ) (.4) Despejando de (.4) ΔX: ΔX - F(X - ) / F'(X - ) (.5). Susttuyendo (.5) en (.): X X - - F(X - ) / F'(X - ) (.6), la cual es la fórmula de recurrenca para calcular raíces reales por este método. Algortmo para el método de Newton - Rapson: a) Xm (XI + XD) / b) Ym F(Xm) c) YP F'(Xm) d ) Xm Xm - Ym / YP e) REPETIR DESDE EL PASO (b) MIENTRAS Ym > PRECISION d) ESCRIBIR RESULTADOS. Ejemplo.: Calcular la raíz de la ecuacón del ejemplo.5, para XI -, XD -, PRECISION E-6, usando el algortmo del método de Newton - Rapson. Solucón: F(X) X - 7*X + 4; por consguente F'(X) * X - 7; la tabla sguente muestra los resultados del proceso de este algortmo: ITERACION Xm Ym F(Xm) YP F'(Xm) -.5-5.875.75 -.9 -.. -.8958 -.89 8. 4 -.8957 -.7 8.454 5 -.8957. 8.4495 4

MÉTODOS NUMÉRICOS EN LOS LENGUAJES MATLAB Y MICROSOFT VISUAL C#.NET. Como se puede observar asta aquí, este es uno de los métodos más smples porque nvolucra pocas operacones, y a la vez el más efcente. Ejemplo.: Calcular la raíz de la ecuacón del ejemplo.4, para XI, XD.5, PRECISION E-6, usando el algortmo del método de Newton - Rapson. Solucón: F(X) X *log (*X) 8; por consguente F'(X) *X*log (*X) + *X / ln(); la tabla sguente muestra los resultados del proceso de este algortmo: ITERACION Xm Ym F(Xm) YP F'(Xm).5.77666.58697 8.685.67.974 7.86497.6.954 7.87668 4.677.44 7.89 5.6694.66 7.8785 6.668.6 7.8759 7.6678.9 7.87545 8.6678. 7.8757 9.6678. 7.8756 Para las condcones ndcadas, se obtene una RAIZ.6678, en 9 teracones. Método de Muller: Se basa en el método de la Secante, reemplazando la línea recta por una parábola de la forma: Y Parabola() a( ) + b( ) + c. (Observar la fgura.) En la fgura.: En la RAIZ: Parabola(X) F(X) (.7); Para encontrar los coefcentes a, b, c, se plantea el sguente sstema de ecuacones: F( ) a( ) +b( )+c (.8) F( ) a( ) +b( )+c (.9) F( ) c (.) 4

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS - ESPE Resolvendo el sstema: a (d d )/( + ) (.); b a + d (.), y c F( ) (.). Donde: (8); (.4); d (F( ) F( )) / (.5); d (F( ) F( )) / (.6); Para encontrar la fórmula de recurrenca se puede aplcar la epresón para el cálculo de raíces de la ecuacón cuadrátca; sn embargo, por problemas de redondeo se aplca la relacón: c ;(.7) b ± b 4ac Como se puede aprecar en la fórmula de recurrenca, se tenen dos valores en el denomnador de la fraccón, en este caso, para lograr la convergenca, se debe tomar el mámo en valor absoluto de los dos. Segudamente se descrbe el correspondente algortmo. Algortmo para el método de Muller: a) X XI; X XD; X (XI + XD) / b) Y F(X); Y F(X); Y F(X) c) H X X; H X X d) D (Y Y) / H; D (Y Y) / H e) A (D D) / (H + H) f) B A * H + D g) C Y ) R RCUAD(B^ 4 * A * C) ) DEN B + R j) S ABS(B + R) < ABS(B R) Entonces DEN B R k) X X - * C / DEN l) Y F'(X) m) X X; X X; X X n) Y Y; Y Y; Y Y o) REPETIR DESDE EL PASO (c) MIENTRAS Y > PRECISION p) ESCRIBIR RESULTADOS Ejemplo.: Calcular la raíz de la ecuacón del ejemplo.5, para XI -, XD -, PRECISION E-6, usando el algortmo del método de Muller. 4

MÉTODOS NUMÉRICOS EN LOS LENGUAJES MATLAB Y MICROSOFT VISUAL C#.NET. Solucón: F(X) X - 7*X + 4; las tablas sguentes muestran los resultados del proceso de este algortmo: Iter y f() y f() y f() y f() - - - -.5.8954-5.875.7544 - - - - -.5.8954.8954769 5.875.7544.7477 -.5 -.8954 -.8954769 -.89565 5.875.7544 -.7477. Iter d d a b c R DEN - -..5. 8.5 7.5. 5.875 7.8955 9.8955 - - -.5.95 8.5 4.854 7.95 7.757966.7544 7.78999 5.54765 - - - -.95. 4.854 8.798 8.888 8.4486.747 8.44 6.8899 Raz -.89565 en teracones; como se puede observar, este es uno de los métodos más efcentes aunque nvolucra bastantes operacones, en pocas teracones, se logra la convergenca. Ejemplo.4: Calcular la raíz de la ecuacón del ejemplo.4, para XI, XD.5, PRECISION E-6, usando el algortmo del método de Muller. Solucón: F(X) X *log (*X) 8; las tablas sguentes muestran los resultados del proceso de este algortmo: Iter y f() y f() y f() y f().675 -.99668.545.58697.5.5 5 7.85.5.5.675 5.66775 8.545.58697.8 5. Iter d d a b c R DEN -.5.5 6.69879 7.645.4644 6.69879.58697 6.4678.4897 - -.5.8988 7.645 6.565.475 6.467.9 6.457.8675 4

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS - ESPE Para las condcones ndcadas, se obtene una RAIZ.667758, en teracones. Implementacón de los algortmos en MATLAB y VISUAL C#: Para cada lenguaje, se elabora un solo programa, desde el cual se ngresan el ntervalo en el que se encuentran todas las raíces reales de la ecuacón; y el ncremento de varacón en las abscsas. El programa llama a cada funcón o subrutna, de una manera adecuada para localzar el cambo de sgno y luego prueba a cada uno de los métodos para calcular la raíz y la desplega por pantalla. Se descrben a contnuacón una lsta de funcones y subrutnas. ) Una funcón que recba el valor de X y calcule y devuelva F(X). ) Una funcón que recba el valor de X y calcule y devuelva F (X). ) Una funcón que recba límte ncal (XI), el límte fnal (LSX), y el ncremento (DX) y calcule y devuelva el ntervalo del cambo de sgno XI y XD, y además el estado en el nombre de la funcón. 4) Una subrutna que recba el ntervalo del cambo de sgno XI y XD y calcule e mprma la raíz en ese ntervalo. Arcvos fuente en MATLAB: % RAICES.M % Calculo de races reales de funcones trascendentes. % FUNCION PRINCIPAL clc; nf 'FPOL'; %nfp 'FDPOL'; nfp 'dervada'; nfm 'fm'; %nfmp 'fmp'; nfmp 'dervadafm'; l nput('ingrese el límte zquerdo: '); ld nput('ingrese el límte dereco: '); d nput('ingrese el ncremento de varacón: '); l; wle [p,, d] Localza_Raz(nf,, d, ld); f (p < ) Bseccon(nf,, d); AproSuc(nfm, nfmp,, d); AproMod(nfm,, d); RegulaFals(nf,, d); Secante(nf,, d); Newton_Rapson(nf, nfp,, d); 44

MÉTODOS NUMÉRICOS EN LOS LENGUAJES MATLAB Y MICROSOFT VISUAL C#.NET. Muller(nf,, d); fprntf('uso DEL METODO MATLAB:'); fzero(nf, ) end d; d d + d; f (d > ld) break; % FPOL.m functon y FPOL() y ^ - 7 * + 4; return %dervada.m %Por defncon de la dervada functon y dervada() e-; y (FPOL( + ) - FPOL()) / ; return % fm.m functon y fm() sgno ; r 7 * - 4; f r < r -r; sgno -; y sgno * r ^ ( / ); return %dervadafm.m %Por defncon de la dervada functon y dervadafm() e-; y (fm( + ) - fm()) / ; return % Localza_Raz.m functon [p,, d] Localza_Raz(nombre_f, l, d, b) d l; yd feval(nombre_f, d); wle d; y yd; d d + d; yd feval(nombre_f, d); p y * yd; f (p < ) (d > b) 45

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS - ESPE break; f (p ) f ( ) fprntf('raz eacta %.5f\n', ); elsef (d ) fprntf('raz eacta %.5f\n', d); d d + d; return % Bseccon.m functon b Bseccon(nombre_f,, d) NIter ; Precson e-7; fprntf('càlculo de la raz entre %.5f y %.5f, por el método de la bseccón:\n',, d); y feval(nombre_f, ); for Iter : NIter ( + d) / ; y feval(nombre_f, ); f (abs(y) < Precson) break; elsef (y * y > ) ; y y; else d ; y abs(y); f (y > Precson) fprntf('no se alcanza la precsòn requerda: %.5f ', y); fprntf('raíz : %.5f, en %d teracones\n',, Iter); b ; return % AproSuc.m functon b AproSuc(nombre_f, n_fp,, d) NIter ; Precson e-7; fprntf('càlculo de la raz entre %.5f y %.5f, por el método de apromacones sucesvas:\n',, d); ( + d) / ; for Iter : NIter yp feval(n_fp, ); 46

MÉTODOS NUMÉRICOS EN LOS LENGUAJES MATLAB Y MICROSOFT VISUAL C#.NET. f abs(yp) > fprntf('no este convergenca\n'); break; ; feval(nombre_f, ); f (abs( - ) < Precson) break; f abs(yp) < abs( - ); f ( > Precson) fprntf('no se alcanza la precsòn requerda: %.5f ', ); fprntf('raíz : %.5f, en %d teracones\n',, Iter); b ; else b -; return % AproMod.m functon b AproMod(nombre_f,, d) NIter ; Precson e-7; fprntf('raz entre %.5f y %.5f, por el método de apromacones sucesvas modfcado:\n',, d); df d - ; y feval(nombre_f, ); for Iter : NIter yd feval(nombre_f, d); tgt (yd - y) / df; alfa / ( - tgt); d; y yd; d d + alfa * (yd - d); df d - ; f (abs(df) < Precson) break; df abs(df); f (df > Precson) fprntf('no se alcanza la precsòn requerda: %.5f ', df); fprntf('raíz : %.5f, en %d teracones\n', d, Iter); 47

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS - ESPE b d; return % RegulaFals.m functon RegulaFals(nombre_f,, d) NIter ; Precson e-7; fprntf('raz entre %.5f y %.5f, por el método de Régula - Fals:\n',, d); y feval(nombre_f, ); yd feval(nombre_f, d); for Iter : NIter - y * (d - ) / (yd - y); y feval(nombre_f, ); f y * y > ; y y; else d ; yd y; y abs(y); f (y < Precson) break; f (y > Precson) fprntf('no se alcanza la precsòn requerda: %.5f ', y); fprntf('raíz : %.5f, en %d teracones\n',, Iter); return % Secante.m functon Secante(nombre_f,, d) NIter ; Precson e-7; fprntf('raz entre %.5f y %.5f, por el método de la Secante:\n',, d); y feval(nombre_f, ); yd feval(nombre_f, d); for Iter : NIter - y * (d - ) / (yd - y); y feval(nombre_f, ); f (abs(y) < Precson) break; y abs(y); f (y > Precson) fprntf('no se alcanza la precsòn requerda: %.5f ', y); 48

MÉTODOS NUMÉRICOS EN LOS LENGUAJES MATLAB Y MICROSOFT VISUAL C#.NET. fprntf('raíz : %.5f, en %d teracones\n',, Iter); return % Newton_Rapson.m functon nr Newton_Rapson(nombre_f, nombre_fp,, d) NIter ; Precson e-7; fprntf('càlculo de la raz entre %.5f y %.5f, por el método de Newton - Rapson:\n',, d); ( + d) / ; for Iter : NIter - feval(nombre_f, ) / feval(nombre_fp, ); y abs(feval(nombre_f, )); f (y < Precson) break; f (y > Precson) fprntf('no se alcanza la precsòn requerda: %.5f ', y); fprntf('raíz : %.5f, en %d teracones\n',, Iter); nr ; return % Muller.m functon Muller(nombre_f,, ) NIter ; Precson e-7; fprntf('raz entre %.5f y %.5f, por el método de Muller:\n',, ); ( + ) / ; y feval(nombre_f, ); y feval(nombre_f, ); y feval(nombre_f, ); for Iter : NIter - ; - ; d (y - y) / ; d (y - y) / ; a (d - d) / ( + ); b a * + d; c y; rc sqrt(b^ - 4 * a * c); den b - rc; f abs(b + rc) > abs(b - rc) den b + rc; - * c / den; 49

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS - ESPE y feval(nombre_f, ); f (abs(y) < Precson) break; ; ; ; y y; y y; y y; y abs(y); f (y > Precson) fprntf('no se alcanza la precsòn requerda: %.5f ', y); fprntf('raíz : %.5f, en %d teracones\n',, Iter); return Resultados obtendos: Se presenta a contnuacón los resultados que produce la ejecucón de este programa: 5