64 Ecuaciones diferenciales Ejercicios 3.6. Mecánica. Soluciones en la página 464. Una piedra de cae desde el reposo debido a la gravedad con resistencia despreciable del aire. a. Mediante una ecuación diferencial, modelar el movimiento de la piedra. b. eterminar la velocidad (en m/s de la piedra en cualquier instante t 0. c. Calcular la posición ( en metros de la piedra en cualquier instante t 0. d. Calcular la velocidad de la piedra la distancia recorrida al cabo de 5 s. e. eterminar el tiempo en que la piedra alcanza una velocidad de 00 m/s. f. Calcular la distancia recorrida entre los segundos 6 8 así como entre los segundos 8 0.. Una máquina de entrenamiento en beisbol se utiliza para lanzar directamente hacia arriba una pelota desde el suelo con velocidad inicial de 40 m/s. Suponiendo que la resistencia del aire es despreciable a. Calcular la altura máima alcanzada por la pelota el tiempo que tarda en alcanzarla. b. eterminar cuándo con qué velocidad golpeará la pelota el suelo. 3. Un cuerpo que pesa 8 lb cae desde el reposo hacia la Tierra. Suponiendo que la resistencia del aire es numéricamente igual a v.t/, donde v.t/ es la velocidad instantánea en pie/s, calcular a. La velocidad después de t segundos. b. La distancia recorrida al cabo de t segundos. c. La velocidad límite del cuerpo. 4. Una pequeña gota de aceite de 0 g de masa cae en el aire desde el reposo. La resistencia del aire es proporcional a la velocidad instantánea es de 60 dinas (din cuando la gota cae a 40 cm/s. eterminar a. La velocidad al cabo de t segundos. b. La posición después de t segundos. c. La velocidad límite de la gota. 5. Un paracaidista su paracaídas pesan 56 lb. En el instante en que el paracaídas se abre, él está caendo verticalmente a 0 pie/s. Suponiendo que la resistencia del aire es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad instantánea que ésa es de 400 lb cuando ésta es de 0 pie/s, determinar a. La velocidad del paracaidista al cabo de t segundos. b. La posición del paracaidista al cabo de t segundos. c. La velocidad límite del paracaidista. 6. Un hombre su paracaídas pesan 60 lb caen desde el reposo hacia la Tierra. Antes de que el paracaídas se abra, la resistencia del aire (en libras es numéricamente igual a v (donde v es la velocidad instantánea en pie/s, a partir de que se abre, la resistencia es 5 8 v. Si el paracaídas se abre a los 5 s, calcular la velocidad del paracaidista en cualquier segundo t a. Antes de abrirse el paracaídas. b. espués de abrirse el paracaídas. 3.7 Problemas geométricos En esta sección, trataremos problemas geométricos que se pueden plantear resolver mediante ecuaciones diferenciales que se obtienen considerando la interpretación geométrica de la derivada que, como sabemos, es la pendiente de la recta tangente a la curva (gráfica de la función en un punto.
3.7 Problemas geométricos 65 3.7. Curvas definidas por sus tangentes normales Es conveniente recordar que. Si una curva está definida mediante una función f./ P.; /, es un punto arbitrario de ella; entonces la derivada d f 0./ nos da la pendiente m T de la recta tangente T a la curva en el punto arbitrario P.; /. Es decir, d f 0./ m T.. Si una curva está definida mediante una ecuación g.; / 0, donde se tiene implícitamente definida f./ P.; /, es un punto arbitrario de la curva; entonces la derivada (calculada mediante derivación implícita d.; / nos da la pendiente m T de la recta tangente T a dicha curva en el punto arbitrario P.; /. Es decir, d.; / m T. 3. Si la pendiente de la recta tangente T a una curva en un punto arbitrario P.; / es m T 0 N, es la recta normal a la misma curva en el mismo punto P ; entonces la pendiente de N es m N m T. También debemos considerar que Si C C son dos curvas que se intersecan en el punto P, con rectas tangentes T T, respectivamente, (en dicho punto es el ángulo formado por T T, entonces decimos que las curvas C C se intersecan en P formando un ángulo entre ellas. Ejemplo 3.7. eterminar una curva para la cual la pendiente de la recta tangente en cada punto es r veces la pendiente de la recta que une este punto con el origen de coordenadas. T P.; / 0 m 0P 0 0 I m T d H Sea P.; / un punto arbitrario de la curva f./ sea T la recta tangente a ella en P. La pendiente de la recta tangente T es m T d. Si m es la pendiente del segmento de recta OP, entonces m. Como la pendiente m T es r veces la pendiente m, entonces m T rm ( d r ; que es una ecuación diferencial que resolvemos separando variables ( d r ( d d r r ln r ln C C ln ln r C C e ln e ln r CC e ln r e C r C C r
66 Ecuaciones diferenciales Luego, cualquiera de las curvas C r cumple con la propiedad pedida. Por ejemplo, con C 3 con n 5 se tiene la curva 3 5, cua derivada es ( 3 5 ( d 3.54 / 5 5 ; cumpliendo la condición ( d n para n 5. Ejemplo 3.7. Una curva es tal que la pendiente de la recta tangente en cada punto es proporcional a la abscisa del punto de tangencia. etermine la forma general de tal curva. H Sea f./ la ecuación de la curva sea P.; / un punto arbitrario de ella. La pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P está dada por la derivada 0. ebido a que la pendiente. 0 / de la tangente es proporcional a la abscisa./ del punto de tangencia P, entonces 0 C, donde C es la constante de proporcionalidad. Por lo tanto, 0 C C d C C C C 3 C C Por lo tanto, las curvas que cumplen con la propiedad establecida son todas las parábolas verticales de la forma C C K, donde C K son constantes. Por ejemplo, para C 4 K 3 se tiene la parábola 4 3, cua derivada es 0 8 donde 0 es proporcional a, con constante de proporcionalidad C 8. Ejemplo 3.7.3 Halle una curva que pase por el punto.; / de tal manera que la pendiente de la tangente en cada punto sea proporcional al cuadrado de la ordenada de este punto. H Sea f./ la ecuación de la curva P.; / un punto arbitrario de ella. La pendiente de la recta tangente a la curva en el punto P está dada por 0. ebido a que la pendiente. 0 / de la tangente es proporcional al cuadrado de la ordenada. /, entonces 0 C, donde C es la constante de proporcionalidad. e donde 0 C d C C d C d C C C C C C.C C C / C C C Por pasar la curva por el punto.; / ocurre que Por lo cual, & C./ C C C C C C C C C C C C. C / C. / Por lo tanto, el requisito pedido lo cumple la familia de curvas arbitraria. Por ejemplo, para C se tiene la curva C 3 ;. C 3/ la cual tiene por derivada 0 ; que puede ser epresada como ( 0./. C 3/././ ; C 3, donde C es una constante C. /
3.7 Problemas geométricos 67 donde se ve que la derivada 0 es proporcional a. Ejercicios 3.7. Tangentes normales. Soluciones en la página 465. Halle una curva que pase por el punto.0; / de tal modo que la pendiente de la recta tangente en cada punto sea igual a la ordenada de dicho punto aumentada en 3 unidades.. etermine una curva que pase por el punto.; / de tal manera que la recta tangente en cualquier punto tenga la misma dirección que la recta que une al origen de coordenadas con dicho punto. 3. escriba el tipo de curva que tiene la propiedad de que todas sus rectas normales pasan por un punto fijo de coordenadas. 0 ; 0 /. 4. Encuentre la curva que satisface que el área de la región bajo la curva sobre el eje, desde el punto.0; / hasta el punto.; /, ambos en la curva, sea igual a la ordenada del punto.; /. 5. Halle la familia de curvas que tienen la propiedad de que el segmento de la tangente a la curva comprendido entre los ejes coordenados se divide a la mitad en el punto de contacto. 3.7. Traectorias ortogonales Si consideramos la familia de curvas C c; con c > 0; podemos decir que esta familia es el conjunto de las circunferencias de radio r p c con centro en el origen. Ésta es una familia de curvas de la forma F.; / ci donde F.; / C Una ecuación diferencial asociada a esta familia de curvas es (veáse la sección?? 0 F F En un punto arbitrario del plano.; /, la curva de la familia que pasa por ese punto tiene recta tangente con pendiente. Por ejemplo, por el punto.; 3/ pasa la circunferencia de radio p 3 su recta tangente en dicho punto tiene pendiente m 3.
68 Ecuaciones diferenciales 3 p 3.; 3/ Tangente con pendiente m 3. Ahora bien, se sabe que dos rectas que se intersecan son ortogonales (o perpendiculares si sus pendientes satisfacen m m o bien m m o bien m m Es decir, la pendiente de una recta es el negativo del inverso multiplicativo de la pendiente de la otra. Eisten curvas que pasan por el punto.; 3/ que tienen como pendiente de la tangente m 3. Por ejemplo, 8 3 C pasa por el punto.; 3/ la pendiente de su tangente en ese punto es m 3 3 Recta tangente con pendiente m 3. ecimos entonces que, en el punto.; 3/, las curvas C 3 & 8 3 C son ortogonales puesto que sus tangentes son ortogonales. Cumplen que m m. Ahora, si tomamos un punto arbitrario del plano.; / por donde pasa una circunferencia de radio r C cua tangente tiene pendiente m p C.; / Tangente con pendiente m.
3.7 Problemas geométricos 69 podemos generar entonces una ecuación diferencial con la igualdad m m. Esta E es d (3.3 La anterior E tiene soluciones tales que, cuando una curva solución pasa por el punto.; /, su recta tangente es ortogonal a la tangente de la circunferencia que pasa por ese punto. Vamos a resolver la ecuación diferencial anterior (3.3 por separación de variables d d d ln ln C C ln ln C ln C ln ln C C La solución general de esta ecuación diferencial representa a la familia de rectas que pasa por el origen. Como vemos, cada recta de la familia C interseca ortogonalmente a cada una de las circunferencias de la familia C c. Así, con el método indicado, hallamos una familia de curvas ( no una única curva tal que cada uno de sus miembros es ortogonal a cada una de las curvas del la familia C c. Esto se ve en la siguiente figura Supongamos que tenemos dos familias de curvas (las cuales llamaremos C C, cuando cada curva de una familia C es ortogonal a cada una de las curvas de otra familia C, se dice que C C son familias ortogonales de curvas o bien que C C son familias de traectorias ortogonales. Cómo encontrar la familia ortogonal a una familia dada? Si tenemos una familia de curvas de la forma F.; / c Se calcula la ecuación diferencial asociada a dicha familia, es decir 0 F F Se afirma entonces que la ecuación diferencial asociada a la familia ortogonal es d F F Resolvemos esta ecuación diferencial su solución general es la familia ortogonal a la familia dada.
70 Ecuaciones diferenciales Ejemplo 3.7.4 Obtener la familia ortogonal a la familia c H Esta familia es el conjunto de las parábolas con vértice en el origen. Para c > 0. Para c < 0. Calculamos la ecuación diferencial asociada a esta familia de curvas. Escribimos c como c donde F.; / F 4 3 F Entonces la ecuación diferencial asociada a la familia de parábolas es 0 F F 3 Por lo tanto la ecuación diferencial asociada a la familia ortogonal es d F F Resolvemos esta E por variables separables d d d C C C C C C C I esta última ecuación es la familia ortogonal representa una familia de elipses con centro en el origen
3.7 Problemas geométricos 7 Ejemplo 3.7.5 eterminar las traectorias ortogonales de la familia de curvas C 4c; con c constante. H Obtenemos la E asociada a esta familia C 4c C 4 c F.; / C 4 F F 4 ; 4 Luego, la E asociada es 0 F F 4 Por lo tanto, la E asociada a las traectorias ortogonales es d F F Como se observa, esta E es homogénea la resolvemos como tal ( d ( Tenemos Al sustituir en la E dw d C w w w w dw d ( ( w d dw d C w w w w w w C w 3 w3 w w w dw d d w w 3 dw w 3 ( w ln ln w C C ln w C C w ln C C ln w C w ( w 3 w dw
7 Ecuaciones diferenciales Y debido a que w, se tiene que ( ln C C ln C ln C C ln ln C C ln C C ln C Por lo tanto, las traectorias ortogonales están dadas por la familia de curvas C ln C I donde C es constante. Ejemplo 3.7.6 Calcular las traectorias ortogonales de la familia de curvas cos ce ; con c constante. H Obtenemos la E asociada a esta familia de curvas cos ce e cos c F.; / e cos F.cos /e e cos ; F e. sen / e sen Luego, la E asociada es 0 F F Por lo que, la E asociada a las traectorias ortogonales es e cos e sen cos sen d sen cos ; que resolvemos por variables separables. d sen cos cos d sen Por lo tanto, las traectorias ortogonales están dadas por cos sen d ln.sen / C C sen e CC e e C e C sen Ce ; con C constante. Ejercicios 3.7. Traectorias ortogonales. Soluciones en la página 465 Encontrar la familia de curvas ortogonales a cada una de las siguientes familias.. C.. Ce. 3. C. 4. C C. 5. C. 6. C a. 7. p. a/, donde p 0 es un número conocido. 8. a. 9. 3 a.
3.8 Miscelánea 73 0.. C / a. /. 3.8 Miscelánea En esta sección presentamos algunos ejemplos adicionales de aplicación de las E en la solución de problemas variados. Algunos de estos problemas utilizan técnicas a presentadas anteriormente o generalizaciones de ellas. Ejemplo 3.8. Encontrar la forma que adopta un cable fleible que se encuentra suspendido entre dos puntos a la misma altura cuelga por la acción de su propio peso. Ésa es la forma que adoptan por ejemplo los cables de electricidad o los que sostienen puentes colgantes. H Coloquemos el eje (eje de las ordenadas de modo que pase por el punto más bajo de la curva que da la forma de la cadena, en donde la tangente debe ser desde luego horizontal (véase la siguiente figura.! T T 0.0; 0/ s.; / enotemos por s la longitud de arco medida desde el punto más bajo.0; 0 / a un punto variable.; /, mediante w.s/ a la densidad lineal de peso de la cadena. Por lo tanto, para conocer el peso de un tramo de la cadena, tenemos que integrar w.s/ ds. Para obtener la E de la curva, sólo tenemos que considerar que la porción de cadena entre.0; 0 /.; / está en equilibrio bajo la acción de tres fuerzas una es la tensión horizontal T 0 en.0; 0 /; la segunda es la tensión variable T en el punto.; /, que actúa en la dirección tangente debido a la fleibilidad de la cadena; la última es una fuerza hacia abajo igual al peso de la cadena entre esos dos puntos. Si descomponemos T en sus componentes horizontal vertical, e igualamos las partes correspondientes, obtenemos T cos T 0 T sen s 0 w. / d (3.4