Geometría Tridimensional

Capítulo 4 Geometría Tridimensional En dos dimensiones trabajamos en el plano mientras que en tres dimensiones trabajaremos en el espacio, también provisto de un sistema de coordenadas. En el espacio, cada punto posee tres coordenadas, cada una correspondiente a cada dimensión y que se ubicará en su eje respectivo, a saber X, Y, Z. Habitualmente se suele graficar en el espacio observando el primero de los ocho sectores que se forman al incluir el sistema de coordenadas. Esto sectores reciben el nombre de octantes. Los puntos del plano se ubican dibujando una caja que tiene un vértice en el origen y sus caras adyacente forman ángulos rectos. El punto será la esquina opuesta al origen en la caja. Un vector v en el espacio también se caracteriza por las tres coordenadas que determinan al punto, pero el vector es la flecha que une el origen con dicho punto. Cada vector posee una dirección, un sentido y una longitud que se denomina norma o magnitud. Esta medida se determina mediante la aplicación del teorema de Pitágoras sucesivamente. La fórmula para un vector v es: v = (a, b,c) = a 2 + b 2 + c 2 (4.1) 4.0.6. Operaciones con vectores Dados dos vectores en el espacio R 3, v = (a, b,c), u = (d, e,f), se define la suma de vectores como: v + u = (a, b,c) + (d, e,f) = (a + d, b + e, c + f) (4.2) La suma de vectores se interpreta como la diagonal del paralelógramo en que dos de sus lados adyacentes son los vectores con origen común y la diagonal es la parte desde este origen común. La otra diagonal del paralelógramo es la diferencia-orientada- entre los vectores. Para un vector v R 3 y un escalar α R, se define el producto por escalar como: α v = α (a, b,c) = (αa,αb, αc) (4.3) 19

20 CAPÍTULO 4. GEOMETRÍA TRIDIMENSIONAL Con lo anterior, si multiplicamos u por α = 1, obteniendo u, y luego lo sumamos a v obtendremos la resta v u. Geométricamente, en el producto por escalar si fijamos el vector y hacemos α como un parámetro real(recorre todos los números reales), generaremos una recta en el espacio que pasa por el origen del sistema y tiene la misma dirección que el vector. Más adelante estudiaremos la ecuación que determina una recta en el espacio y también a un plano. Otra operación definida entre vectores es la llamada producto punto y está definida para dos vectores del siguiente modo: Obs: v u = (a, b,c) (d, e,f) = ad + be + cf (4.4) 1 El resultado de la suma de vectores es otro vector. 2 El resultado del producto por escalar es otro vector. 3 El resultado del producto punto entre vectores es un escalar. Qué ocurre cuando calculamos v v? Se tendrá: v v = (a, b,c) (a, b,c) = a 2 +b 2 +c 2 que corresponde al cuadrado de la norma de v. La norma de un vector se puede redefinir utilizando el producto punto entre vectores como v = v v La siguiente operación entre vectores necesita de un concepto asociado a las matrices. Este concepto es el de determinante, pero es posible entender la operación sin necesidad de estudiar matrices. La operación se llama producto cruz y se define como: v u = i j k a b c d e f = i(bf ce) j(af cd) + k(ae bd) (4.5) donde los elementos i, j, k corresponden a los vectores canónicos (1,0,0), (0, 1, 0), (0,0,1) respectivamente, entonces el resultado de (4.5) es el vector (bf ce, af + cd, ae bd). La interpretación geométrica del producto cruz entre dos vectores es un vector que forma un ángulo de 90 o con cada uno de los dos vectores involucrados en el producto cruz.

4.0.7. Ubicación relativa de vectores. El hecho de disponer un sistema de coordenadas en el espacio nos permite caracterizar cada vector por otro vector que posee la misma dirección, mismo sentido e igual magnitud, pero cuyo origen sea justamente el origen del sistema de coordenadas. Los vectores en que coincidan estas características se denominan equipolentes. Mediante esta representación contraemos nuestro estudio al punto (0,0,0) y si queremos movernos de ese punto simplemente realizamos una traslación según cierto vector. Así encontraremos vectores que puedan ser colineales, paralelos y perpendiculares en todo el espacio R 3. En conclusión, los vectores en el espacio R 3 pueden ser representados(todos) como flechas que salen desde el origen, sin embargo, podemos hablar de vectores con origen común que sean paralelos o perpendiculares refiriéndonos a sus equipolentes. Definición: Diremos que dos vectores son paralelos cuando uno de ellos es múltiplo del otro, es decir, existe un α tal que v = α u. Por ejemplo los vectores v = (1, 0, 5) y u = (3,0,15) son paralelos pues con α = 3 se obtiene la igualdad. Los vectores v = (1,0,5) y u = (3,0,10) no son paralelos pues no hay un α que produzca la igualdad. Definición: Diremos que dos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando el producto punto entre ellos resulta igual a cero. Por ejemplo, sabemos que los vectores canónicos i, j, k son todos ortogonales o perpendiculares entre sí, entonces si calculamos el producto punto entre dos de ellos debiera resultar cero. (1,0,0) (0, 1, 0) = 1 0 + 0 1 + 0 0 = 0 Como ejercicio, demuestre que el producto cruz entre v y u es perpendicular a v y u. Demuestre también que todo vector es paralelo a si mismo. 21 4.0.8. Rectas en el Espacio El problema a resolver es: Dados dos puntos en el espacio A y B, encontrar determinar la (ecuación de la) recta que pase por ellos. Para resolver este problema nos olvidaremos por un momento del sistema de coordenadas y simplemente ubicamos los puntos en el espacio, incluyendo el punto (0,0,0) como referencia. El vector que va desde el origen hasta A lo llamaremos u y al vector que va desde el origen hasta B lo llamaremos v. La recta buscada deberá unir los extremos de estos vectores. Este hecho nos permite determinar la dirección de la recta. Esta dirección será la misma que tiene el vector que va desde A hasta B ( o desde B hasta A) que se determina mediante la resta entre u v, pero este resultado será un vector que parte del origen y no necesariamente estará en la recta buscada. Según la interpretación geométrica del producto por escalar, al multiplicar por α R a este vector, generaremos una recta con la misma dirección que la recta buscada pero que pasa por el origen, de ahí es que se define a u v como vector

22 CAPÍTULO 4. GEOMETRÍA TRIDIMENSIONAL director. Lo único que resta es desplazar esta recta hasta el lugar deseado, lo que se logra sumando las coordenadas de cualquiera de los dos puntos dados A o B. En términos generales, la ecuación de la recta que pasa por los puntos A y B es: (x, y,z) = α(a B) + A (4.6) Esta ecuación se conoce como ecuación vectorial de la recta. Esta ecuación es similar a la obtenida en R 2 pues se distinguen elementos similares: por ejemplo la pendiente se asocia al vector director de la recta, y el coeficiente de posición con el punto sumado en la ecuación. Si consideramos A = (a, b,c) y B = (d, e,f), y reemplazamos estos valores en (4.6), se tiene el siguiente sistema: x = α(a d) + a y = α(b e) + b (4.7) z = α(c f) + c Esta ecuación se conoce como ecuación paramétrica de la recta. Y por último, si en cada ecuación del sistema (4.7) se despeja el parámetro α, se obtiene la llamada ecuación cartesiana de la recta. 4.0.9. Planos en el Espacio x a a d = x b b e = z c c f = α (4.8) Algo similar a lo que ocurre con las rectas en el espacio es lo que ocurre con los planos, puesto que también hay un vector que caracteriza la ubicación de este. La orientación, inclinación o posición del plano está dada por un vector llamado vector normal. Este vector determina la ecuación principal del plano. Si el vector normal a un plano es N = (a, b,c), entonces la ecuación del plano será: ax + by + cz + k = 0 (4.9) donde k R determina la ubicación del plano. Si k = 0, el plano pasará por el origen del sistema pues las coordenadas (x, y, z) = (0, 0, 0) satisfacen al ecuación (4.9). La ecuación de un plano está completamente determinada si se conocen tres puntos de él, es decir, existe un único plano que pase por tres puntos (no colineales). Cómo determinar esta ecuación? Suponga que los puntos dados son A, B,C. Con estos tres puntos podemos formar tres vectores, de los cuales utilizaremos sólo dos. Consideremos A como origen de dos de los vectores que se forman, esto es, el vector que va de A hasta B y el que va desde A hasta C. Se tiene los vectores B A y C A. Calculando el producto cruz entre ellos se conseguirá un vector ortogonal a los dos. Este vector será el vector normal al plano cuyas coordenadas aparecen en (4.9). Mediante la misma idea de estos dos vectores es que podemos determinar otra forma de representar a cada punto del plano, considerando que cualquier punto de él será el extremo de un vector cuyo origen es también A. Formalmente se

23 dice que será una combinación lineal entre los dos vectores considerados y el punto considerado como origen. Se tendrá: (x, y,z) = α(b A) + β(c A) + A (4.10) que se conoce como ecuación vectorial del plano. Si de la ecuación anterior, ponemos A = (a 1, a 2, a 3 );B = (b 1, b 2, b 3 ); C = (c 1, c 2, c 3 ) despejamos x, y,z se producirá la ecuación paramétrica del plano. x = α(b 1 a 1 ) + β(c 1 a 1 ) + a 1 y = α(b 2 a 2 ) + β(c 2 a 2 ) + a 2 z = α(b 3 a 3 ) + β(c 3 a 3 ) + a 3 (4.11) Observaciones 1) Los planos se designan con la letra π o P y un subíndice, por ejemplo : los planos π 1, π 2... 2) Dos planos distintos en el espacio, cuando se intersectan lo hacen en una recta. Esta recta está contenida en ambos planos. Definición: Dos planos son paralelos cuando sus vectores normales son paralelos. Se anota π 1 π 2 Definición: Dos planos son perpendiculares cuando sus vectores normales son perpendiculares. Se anota π 1 π 2.