Concepto de valor absoluto: El Valor Absoluto se define como la distancia entre dos números reales en la recta numérica. Con el objeto de afianzar el concepto de valor absoluto, es necesario ligarlo a su interpretación geométrica en la recta numérica. Para realizar este trabajo usted deberá estudiar previamente la sección 6. del libro Precálculo Una Nueva Visión, G.Mora M.M.Re B.C. Robles, Editorial Escuela Colombiana de Ingeniería, Edición Preliminar Tercera Versión hacer los ejercicios de la sección 6. Ejemplo Adicional Comparar las distancias entre un número real cualquiera los puntos 6 4 Al observar la recta numérica se tiene que los puntos 6 4 la dividen en tres grandes intervalos (, 6), [ 6, 4] ( 4, ) (, 6) [ 64, ] ( 4, ) - -0-8 -6-4 - 0 4 6 8 0 (, 6) se tiene: [ 64, ] se tiene: (4, ) se tiene: La distancia de cualquier punto al punto 6 es menor que su distancia a 4, lo que en términos de valor absoluto se puede epresar así: ( 6) < 4 + 6 < 4 a. El punto medio entre 6 4 es, por lo tanto al ubicar el punto en la distancia entre 6 es igual que la distancia entre 4, lo que puede escribirse en términos de valor absoluto como: ( 6) = 4 + 6 = 4 b. Si está más cerca de 6 que de 4, se tiene: ( 6) < 4 + 6 < 4 c. Si está más lejos de 6 que de 4, se tiene: ( 6) > 4 + 6 > 4 La distancia de cualquier punto al punto 6 es maor que su distancia a 4, lo que en términos de valor absoluto se puede epresar así: ( 6) > 4 + 6 > 4 Ejemplo adicional Comparar las distancias entre un número real cualquiera los puntos 5. Observando la recta numérica se tiene: 9/08/05
( ; 5) ( 5;) ( ; -9-8 -7-6 -5-4 - - - 0 4 5 6 La distancia de cualquier ( ; 5) al punto 5 es menor que la distancia al punto. Este hecho se puede epresar en términos de valor absoluto así: 5 < ó 5 < ( ) epresiones que son equivalentes El punto medio entre ( 5;) es el punto la distancia de este punto a 5 a es igual, lo que en términos de valor absoluto puede escribirse como: 5 = ( ) Los ( 5; ) están más cerca de 5 que de, lo qué en términos de valor absoluto puede escribirse: 5 < ( ) Los ( ; ) están más cerca de que de 5, lo qué en términos de valor absoluto es. 5 > ( ) La distancia de cualquier ; ( ) al punto 5 es maor que la distancia al punto, lo que escrito en término de valor absoluto es: 5 > ( ) EJERCICIOS. Eprese en términos de distancia las siguientes epresiones: a. 8 b. 4 + 5 c. 6 d. e. f. g. h. 7,5 i. + 5. Epresar en términos de Valor Absoluto los puntos sobre la recta numérica : a. Que se encuentran a unidades del b. Que se encuentran a menos de origen unidades de 5 c. Que se encuentran a menos de 4 d. Que se encuentran a más de unidades unidades de de 5 e. Que se encuentran a más de unidades f. Cua doble distancia a es maor que de. Escriba los siguientes enunciados en términos de valor absoluto: a. La distancia entre dos números e es igual a b. El doble de la distancia que ha entre un número el punto es igual a 5 4. Cual es el mínimo valor que puede tomar la epresión: a. b. + 5. Diga si es falso o verdadero a. 5 ( ) = ( 5 ) 9/08/05
b. 0 + ( 4 ) = 0 + 4 c. + 8 + 8 d. ( ) = e. π = π f. = 0 es equivalente a decir que = 0 g. = significa que h. + = +,, R i., R < < j. La distancia entre k. = = ó = es l. es la distancia de a m. Si el triple de la distancia de a es 6, puede estar en 8 n. =, R 6. Escriba la ecuación o inecuación correspondiente a los siguientes enunciados en términos de valor absoluto: a. m está a 5 unidades de b. está a menos de 5 unidades de c. q está a más de unidades de d. Los puntos cua distancia a no es maor que 7. e. La distancia entre dos números e es igual a g. La distancia entre los puntos 7. Eplique el significado de la epresión > 4 f. El doble de la distancia que ha entre un número el punto es igual a 5 8. Completar las siguientes afirmaciones.: a. Si es negativo, entonces =. b. El valor absoluto de un número es la distancia al en la recta numérica. 9. Eplique porqué es el único valor que satisface 0 0. Eprese en palabras el significado de: b. 5 < c. 0 < < 5 a. + > RESPUESTAS.a La distancia entre 8.b La distancia entre 4 5.c La distancia entre el origen 6.d La distancia entre el origen 9/08/05
.e La distancia entre un real.f La distancia entre un real.g La distancia entre un real.h La distancia entre 7,5 un real.i La distancia entre un real 5.a 0 =.b 5 <.c + < 4.d 5 >.e + >.f >.a =.b + = 5 4.c 0 4.d 0 5.a Verdadero 5.b Falso 5.c Verdadero 5.d Verdadero 5.e Verdadero 5.f Verdadero 5.g Verdadero 5.h Falso 5.i Falso 5.j Verdadero 5.k Verdadero 5.l Falso 5.m Falso 5.n Falso m 6.b < 5 6.c q > 6.d + < 7 6.a + = 5 6.e = 6.f + = 5 6.g + 7. Los puntos sobre la recta numérica cua distancia a es maor de 4 unidades. 8.a. 8.b origen 9. Como el valor absoluto es una distancia solo puede tomar como valor el cero o un número positivo, por lo tanto el único valor de que satisface es = 0.a Los puntos sobre la recta numérica tales que su distancia a es maor de media unidad 0.b Los puntos sobre la recta numérica tales que cinco veces la distancia a es menor de unidades. 0.c Los puntos sobre la recta numérica tales que su distancia al origen es positiva menor que cinco. SOLUCIÓN DE ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Estudiar previamente la SECCIÓN 6. DE PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN realizar los ejercicios de la sección 6. EJEMPLO ADICIONAL Utilizando la interpretación geométrica en la recta numérica encuentre el conjunto solución de = 4 En éste caso significa la distancia entre, por lo cual el punto con respecto al que se va a medir es decir el punto de referencia es. 9/08/05 4
Al ubicar en la recta numérica, ésta se divide en dos intervalos: (,) [, ) (,) [, ) - - 0 4 5 6 7 8 (,) < > [, Como > la distancia de a es (el número maor menos el número menor), de donde: = Reemplazando lo anterior en la ecuación original se tiene: = 4 = 4 = = La solución en éste intervalo será: (,) { } = { } Como la distancia de a es (el número maor menos el número menor), de donde: = Reemplazando lo anterior en la ecuación original se tiene: = 4 = 4 = 7 La solución en éste intervalo será: [, ) { 7} = { 7} El conjunto solución de = 4 será por lo tanto { } { 7} { 7, } ó { = = 7} El conjunto solución se representa gráficamente así: - - 0 4 5 6 7 8 EJEMPLO ADICIONAL 4 Utilizando la interpretación geométrica en la recta numérica encuentre el conjunto solución de + 4 = 4 Para solucionar ésta ecuación en primer lugar ha que identificar el punto de referencia con respecto al cual se está midiendo la distancia desde un punto en la recta. Para leer + 4 en términos de distancia ha que recordar que la distancia entre dos puntos en la recta numérica es la diferencia entre el maor el menor, lo cual lleva a escribir la ecuación como una diferencia ( 4) =, por lo tanto ( 4) significa la distancia entre el doble de 4 4, pero nuestro objetivo inmediato es encontrar el punto de referencia, lo cual genera la necesidad de solucionar la siguiente ecuación: + 4= 0 = Por lo tanto el punto de referencia es (, ) [, ) -7-6 -5-4 - - - 0 (, ) < < 4 4> [, 4 Como 4> la distancia de a 4 es 4 (el número maor menos el número menor), de donde: + 4 = 4 Reemplazando lo anterior en la ecuación original se tiene: Como 4 la distancia de a 4 es ( 4) (el número maor menos el número menor), de donde: + 4 = + 4 Reemplazando lo anterior en la ecuación original se tiene: 9/08/05 5
7 7 + 4 = 4 = = = 4 4 4 8 La solución en éste intervalo será: 7 7 (, ) { 8 } = { 8 } 5 5 + 4 = + 4= = = 4 4 4 8 La solución en éste intervalo será: 5 5 [, { 8} = { 8} El conjunto solución de + 4 = es por lo tanto 4 { 7 } { 5 } { 7 5 8 8 8 }, 7 5 = = 8 8 El conjunto solución se representa gráficamente así: 8 ó { } -4 7 - - - 0 5 8 8 EJEMPLO ADICIONAL 5 Utilizando la misma metodología que en los ejemplos anteriores a continuación se solucionará la ecuación 9 = + + 0 En éste caso eisten dos puntos de interés que servirán para solucionar la ecuación: 9= 0 = + = 0 = La recta queda entonces dividida en tres grandes intervalos:,, (, ) - - - 0 4 5 6, 9 = 9 + = Por lo tanto: 9 = + + 0 9 = + 0 = 0 = 0, 9 = 9 + = ( ) = + Por lo tanto: 9 = + + 0 9 = + + 0 6 =8 = (, ) : 9 = 9 + = ( ) = + Por lo tanto: 9 = + + 0 9= + + 0 0= 0 La solución en éste intervalo es:, { 0} = La solución en éste intervalo es: { } { }, = La solución en éste intervalo es: (, ) R= (, El conjunto solución de 9 = + + 0 es: { } (, [, ó { } EJERCICIOS 9/08/05 6
Encontrar la solución de: a. = 5 c. 5 = 4 b. 5 = 4 d. 5 = e. 5 = 4 f. = 5 g. + = h. = i. 4 = 4 j. ( )( + ) = 6 k. = m. a. 4 0 + = 5 5 + n. = + RESPUESTAS 5 l. = 4 b. No ha solución 9 ó c. ó ± e. ± ó ± 9 f. 5 ó d. g. h. 0 ó ± 4 0 k. No ha solución j. m. n. (, ) (,0) 6 i. 0 ó ± l. ± 9 SOLUCIÓN DE INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO SECCIÓN 6.4 DE PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN HASTA EJEM EJEMPLO ADICIONAL 6 Encontrar el conjunto solución de Sobre la recta numérica determinamos el punto de referencia es decir = 0 =, ubicado este punto sobre la recta numérica encontramos dos intervalos ( ;) ( ; - - 0 4 5 6 7 9/08/05 7
En éste intervalo < 0 por lo tanto: = Lo que nos lleva a decir que tiene. Dada la condición de conjunto solución es:, ( ;) ( ] ( ;), el se En éste intervalo > 0por lo cual =, por lo tanto se tiene. 5 Dada l a condición ( ; solución es: ; 5, = 5, ( ) [ ) [ ), el conjunto C.S.: (,] [ 5, EJEMPLO ADICIONAL 7 Encontrar el conjunto solución de + 4 Haciendo análisis sobre la recta numérica.se determina el valor de donde + = 0 =, ubicado este punto sobre la recta numérica encontramos dos intervalos ( ;) ( ; - - 0 4 5 6 7 En éste intervalo + > 0 por lo tanto: + = + Lo que nos lleva a decir que ( ;) tiene: + 4 Dada la condición de ( ;) conjunto solución es: ; ; = ; ( ) [ ) [ ), el se En éste intervalo + < 0 por lo cual + = +, por lo tanto se tiene. ( ) ( + ) 4 + 4 7 7, ( ;, por lo tanto el conjunto solución es: ; ; 7 = ; 7 ( ) ( ] [ ] C.S.: [ ; ) [ ; 7] = [ ; 7] Trabajo previo SECCIÓN 6.4 DE PRECÁLCULO UNA NUEVA VISIÓN DESDE EJEM HASTA 4 EJEMPLO ADICIONAL 8 Encontrar el conjunto solución de > En este caso no se puede hacer uso del teorema 7 puesto que no es un real positivo para todo valor de. Qué podemos hacer para resolverlo? Haciendo un análisis sobre la recta numérica.primero se determina el punto donde = 0, lo que permite establecer dos intervalos 9/08/05 8
; ; ; se tiene que < 0, por lo tanto = ( ) / - - 0 4 5 ; se tiene que > 0, por lo tanto = Por lo que la situación planteada equivale a > resolver: ( ) Por lo que la situación planteada equivale a resolver: > + > 5 > < C.S. 5 > > < ; = ; 5 5 C.S. = ; ; 5 5 ; C.S. ; ( ; ) = EJEMPLO ADICIONAL 9 Encontrar el conjunto solución de > Haciendo un análisis sobre la recta numérica. Primero determinamos los puntos divisorios es decir aquellos puntos donde = 0 = 0, al resolver estas ecuaciones se tiene que: = =, lo que permite establecer tres intervalos, ; ; / / 0 En este intervalo < 0 por lo tanto = > 0 por lo tanto = En este intervalo < 0 por lo tanto = < 0 por lo tanto = ( ) En este intervalo > 0 por lo tanto = < 0 por lo tanto = ( ) De lo anterior el problema planteado > se convierte en De lo anterior el problema planteado > De lo anterior el problema planteado > se convierte en 9/08/05 9
> < + < + 7 < > 7 C.S., ; = ; C.S. 7 7 C.S. se convierte en > > ( > + < ( ) 7 > + < + < < 7 < 9 9 C.S. ; 9 = 9 ; ; ; ; 7 7 ( ) El conjunto solución de > puede darse utilizando diferentes notaciones: En notación de intervalos: ; ; 9 ó 9 ; 7 { } 7 En notación de inecuación compuesta < < ó < < 9 7 En representación gráfica: /7 / 9/ 0 EJEMPLO ADICIONAL 0 Encontrar el conjunto solución de 6 4 4 Usando propiedades del valor absoluto se tiene: 6 4 4 4 Lo que en términos de distancia significa los números reales cua distancia a es maor o igual al doble de la distancia a 0 En este intervalo < 0 < 0 En este intervalo < 0 > 0 En este intervalo > 0 > 0 Por lo tanto Por lo tanto Por lo tanto 9/08/05 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) + 5 5 + C.S. ( ; ] [ ; = [ ; ] C.S. [ ; ] ; 5 = ; 5 C.S. [ ; ] ; 5 = ; 5 C.S. [ ; ( ; ] = El conjunto solución representado en la recta numérica es: - 0 5/ EJERCICIOS. Encontrar la solución de las siguientes inecuaciones: a. 7 > b. 4 0 d. > 4 e. f. c. + 4 = > g. < + 5 h. = 5 > i. ( + ) 5 j. k. + 4 > m. 0 + < n. + > 7, 4 l. + ó < 0 o. > 0 p. 7 > 5, q. + 5 > 4 r. 5 < 4 s. 7 > 4 + 7 t. 8 + u. 7 + v. 4 + 7 + > a. (, w. + + RESPUESTAS 5, b., c. = ó = 6 7 9 d.,, e.,, f. 4 8, g. (, 8) (, h. = ó = 8 6,4 i. [ ] 9/08/05
j. [ 0,] k. (, 5] [, l. (,0) m. (,) o. R {} 9 7 n.,, 0 0 8 7 p.,, q., 70 70 8 s., 0 6 7, r. (, 4), 4 t. u. v. w. 5 9/08/05
EJERCICIOS DE REPASO. Encuentre el valor de m n para que el conjunto de números reales que satisface m n tenga la siguiente representación gráfica: -0/ /. Para qué valores de p la inecuación 7 p. Encontrar el conjunto solución. no tiene solución? a. + 4 8 b. 4 0 c. 7 = d. + < e. f. 4 + 5 > g. 8 = - < 8 h. i. + 4 > j. + k. 5 + 4 l. ( + ) 5 m. 6 4 n. 4. A partir de su representación en la recta numérica determine los valores que satisfacen la situación planteada. Indique la solución gráficamente, en notación de intervalo en notación de desigualdad,, eprese en palabras la situación. a. b. < + 5 c. = 5 > 5. Escriba en notación de intervalo, si > 6. Los valores de que cumplen con = 7. Los valores de que cumplen con < 8. Completar a. Si > 0, entonces, a a = b b = b. Si < 0, entonces, c. La distancia entre 9 5 es: d. El conjunto de todos los reales tales que = es 9. Complete la tabla siguiente: X + + -5 5-9/08/05
0. Simplifique. Cada desigualdad de la izquierda tiene como conjunto solución una de las epresiones de la derecha. Determinar los pares correspondientes, en la siguiente tabla. a < b 5 < 5 ( ) > a b < 7 a 5 0 > 5 b > 67 a 4 < b 4 < < 5 5 a 5 + > 5 b 6 R. Que podemos decir de z, si, z z < 0. Demuestre que ( ) = eprese en palabras el significado de la igualdad. 4. En qué caso es igual a -? En qué caso es igual a -? 5. Encontrar la solución de: c. ( ) + > a. ( ) 9 > 5 b. 4 ( ) 4 d. + + 4 e. f. 6 + 0 < g. 5 > 9 h. 4 + 6 4 4 6 i. 4 + 4 9 4 j. + + 4 + 4 k. 7 l. < m. > n. 4 + 5 + + + o.. 6. p. q. ( ) + > + 7 > 5 0 7 RESPUESTAS m = 4 n =. p < a. [ 6, b., c. ó 7 7, f. No ha solución,, 5, d. R e. [ ] g. h. [ 0 ] i. ( ] [ ) j. [ 4, ] [, 0] l. [,8 ] k., 4 m. n. 4. 9/08/05 4
a. 7, 4 b. ( 8 ) (, ), c. = 8 8. 5. ( 0, 6. [ 0, 7. (,0) a. a b. b c. 4 d. R 9. X Y + + -5 5 5 5 5 5 0 0-5 0. 0. a con, a con, a con, a con,. z < 0. b 4 b 6 4. Si 0 cuando < 0 5. b 4 b a. b. c. d. e. a con b 5 f. g. h. i. j. k. l. m. n. o. p. q. 9/08/05 5