RISTA D MÉTODOS CUANTITATIOS PARA LA CONOMÍA Y LA MPRSA (0). Páginas 73 98. Diciembre e 00. ISSN: 886-56X. D.L: S-97-06. URL: http://www.upo.es/revmetcuant/art43.pf Problema e calibración e mercao y estructura implícita el moelo e bonos e Black-Cox Sukhomlin, Nikolay Departamento e Física Universia Autónoma e Santo Domingo (República Dominicana) CRGMIA, Université es Antilles et e la Guyane (France) Correo electrónico: nsukhomlin@gmail.com Santana Jiméne, Lisette Josefina Grupo e Investigación en conofísica Universia Autónoma e Santo Domingo (República Dominicana) Correo electrónico: lj.santana@bancentral.gov.o RSUMN l principal resultao e este artículo consiste en la resolución el problema inverso el moelo e Black-Cox (976), usano el métoo propuesto por Sukhomlin (007). Se parte el enfoque retrógrao (backwar) para obtener una expresión exacta e la volatilia implícita en función e parámetros cuantificables con atos e mercao y e variables conocias. Se escubre la existencia e os valores e la volatilia para un activo subyacente en el moelo referio, lo que inica que las asunciones traicionales no lo efinen e manera unívoca. Se encuentra la causa e que el moelo e Black- Cox contenga os valores e la volatilia. Aemás, se lleva a cabo una simulación, a fin e verificar, numéricamente, que la expresión obtenia para la volatilia es la inversión e la fórmula que representa la probabilia e que la firma no alcance un nivel e insolvencia antes el tiempo e maure e la eua. Finalmente, se resuelve el problema e calibración e mercao ese el punto e vista irecto (forwar), encontránose una expresión que resulta e mayor utilia para los agentes e mercao. Palabras clave: moelo e Black-Cox; volatilia implícita; arbitraje. Clasificación JL: C65; D53; 44; F37; G; G5. MSC00: 3580; 9B6; 9G99; 58J35; 35K05. Artículo recibio el 5 e junio e 009 y aceptao el 30 e noviembre e 00. 73
Market Calibration Problem an the Implie Structure of the Black-Cox Bon Moel ABSTRACT The main result of this paper consists in the resolution of the inverse problem for the Black-Cox (976) moel, using the metho propose by Sukhomlin (007). Base on the backwar approach, we obtain an exact expression of the implie volatility expresse as a function of quantifiable market parameters an known variables. We iscover the existence of two values of the volatility for an unerlying asset, in the referre moel, which means that the moel s traitional assumptions o not efine it univocally. We fin the cause that the Black-Cox moel contains two values of the volatility. Besies, we carry out a simulation in orer to verify, numerically, that our volatility expression is in fact the inversion of the formula that represents the probability that the firm has not reache the reorganiation bounary before the ebt expires. Finally, we solve the market calibration problem from the forwar approach, fining an expression that is more useful for market agents. Keywors: Black-Cox moel; implie volatility; arbitrage. JL classification: C65; D53; 44; F37; G; G5. MSC00: 3580; 9B6; 9G99; 58J35; 35K05. 74
. INTRODUCCIÓN l moelo e Black-Scholes (973), para la valoración e opciones, constituye uno e los aportes más significativos en el campo e la teoría y práctica financiera, así como también la base e importantes investigaciones, tales como las e Merton (974) y Black y Cox (976), quienes aplican este análisis en sus respectivos trabajos sobre la valoración e eua corporativa. ste artículo se enmarca en el moelo clásico e Black y Cox, funamentao en los resultaos e Merton. Tanto el moelo e Merton como el e Black-Cox pertenecen a la familia e los enominaos moelos estructurales, que eterminan la probabilia e que una empresa alcance un nivel e insolvencia (antes el tiempo e maure e la eua), tomano como referencia el valor e mercao e la misma. stos moelos establecen un vínculo entre la calia e créito e la firma y su conición financiera. Merton asume que la estructura e capital e una corporación se compone e eua (bonos cero cupón con eterminao tiempo e maure) y e acciones. Si en el tiempo e expiración e la eua, el valor total e los activos e la empresa es superior al valor e la eua, se paga, en primer lugar, a los teneores e bonos; los accionistas reciben la parte remanente. n el caso contrario, la corporación en cuestión cae en un nivel e insolvencia; los accionistas no reciben beneficios. Así, las acciones funcionan como una opción e compra sobre los activos e la firma, con un precio e ejercicio equivalente al valor facial e la eua. Al tratar las acciones como opciones europeas e compra, Merton utilia el enfoque propuesto por Black y Scholes para la valoración e ichos instrumentos. Black y Cox utilian un moelo e primer pasaje, extenieno el enfoque e Merton al caso en que la empresa puee alcanar un nivel e insolvencia en cualquier momento previo a la fecha e expiración e la eua. n la literatura económica existe un gran número e investigaciones basaas en la aplicación empírica e los moelos estructurales. Los resultaos muestran que, e manera consistente, se sobrevaloran los precios e los bonos y se subvalúan los márgenes e renimiento. n om et al. (004), se llevan a cabo pruebas para cinco moelos estructurales e valoración e bonos: Merton (974); Geske (977); Longstaff y Schwart (995); Lelan y Toft (996); Collin-Dufresne y Golstein (00). Los resultaos e estas estimaciones reflejan inexactitues en la preicción e los márgenes e renimiento. n el caso el moelo e Merton, se encuentra que los márgenes que se preicen con la implementación el mismo son muy bajos. 75
Wong & Li (004) consieran que la imprecisión en la implementación el moelo e Merton (974) puee ser consecuencia e la utiliación e variables proxies en los estuios empíricos. stos autores muestran que al utiliar la suma el valor e mercao e las acciones con el valor en libro e la eua corporativa, como proxy el valor e mercao e la firma, se genera un sesgo significativo e sobrevaloración e los activos e la misma. llos proponen el métoo e máxima verosimilitu para estimar el valor e los activos y la volatilia, en el caso e los moelos estructurales, y muestran que, utiliano esta metoología, los precios e bonos se subvalúan o se sobrevaloran con un mínimo margen e error. Chen et al. (006) llevan a cabo una comparación entre seis moelos estructurales (entre ellos el e Merton y el e Black-Cox), a fin e analiar su capacia para preecir la probabilia e que la firma caiga en una situación e insolvencia. Se emuestra que tanto para la situación en la que el períoo e preicción es largo, como cuano es corto, el moelo e Merton es el que presenta los peores resultaos. Por su parte, el moelo e Black-Cox quea en seguno y en primer lugar, respectivamente, para caa caso mencionao. Bruche (006) muestra cómo los atos e precios e bonos pueen ser utiliaos conjuntamente con los atos e precios e acciones e la empresa para estimar moelos estructurales utiliano el métoo e máxima verosimilitu. Se lleva a cabo la estimación e tres moelos estructurales: Merton (974); Lelan (994); Lelan y Toft (996). Los resultaos inican que tanto el moelo e Merton como el e Lelan subvalúan los márgenes e renimiento, mientras que el e Lelan y Toft los sobrevalora. n aición al esfuero por lograr una mayor precisión en la implementación e los moelos e valoración e opciones, iversos autores han esarrollao trabajos que constituyen una herramienta para mejorar la comprensión e las relaciones que subyacen en ichos moelos. n este sentio, la literatura económica muestra que la obtención e fórmulas aproximativas e la volatilia implícita, es ecir, un valor e la volatilia que explique perfectamente el precio e la opción aas las emás variables y parámetros el moelo, ha sio objeto e varios estuios. Brenner & Subrahmanyam (988) proponen una fórmula simple con el fin e aproximar la esviación estánar implícita para opciones en el inero (at the money options) en el marco el moelo e Black- Scholes. ste trabajo ha sio objeto e extensiones tales como las e Corrao & Miller (996), quienes mejoran el rango e valie e la fórmula propuesta por Brenner & Subrahmanyam y Chance (996), quien introuce un término cuarático e ajuste a fin e mejorar la precisión e la fórmula referia. 76
Isenngilina et al. (007) verifican la precisión e iferentes fórmulas aproximativas e la volatilia implícita para el moelo e Black-Scholes (entre éstas las e Corrao & Miller y la e Brenner & Subrahmayan). Los autores concluyen en que la precisión e las fórmulas evaluaas es sensible al tipo e atos e opciones utiliaos (e.g. opciones e compra premium, promeio el valor e opciones e compra y venta, etc.), ya que en las fórmulas consieraas puee mejorar o empeorar la exactitu e los resultaos en función e la muestra usaa. Sukhomlin (007) es el primero en esarrollar un métoo que permite resolver el problema inverso el moelo e Black-Scholes y obtener una expresión exacta para la volatilia implícita e icho moelo. ste métoo puee ser generaliao y aplicao a moelos e este tipo, como es el caso el moelo e Black-Cox. Así, el principal resultao e este artículo consiste en la resolución el problema e calibración e mercao el moelo e Black-Cox, utiliano el métoo propuesto por Sukhomlin. Se obtiene la volatilia implícita expresaa en función e parámetros cuantificables con atos e mercao (precio el bien subyacente, valor e la opción y el nivel e insolvencia), e variables conocias (tasa e interés y tiempo e maure) y e una variable que puee ser calculaa fácilmente con ichos atos (la elasticia e la griega Delta). Se escubre la existencia e os valores e la volatilia para un solo activo subyacente. n este artículo se parte el enfoque retrógrao o hacia atrás (backwar) para resolver el problema inverso el moelo e Black-Cox. ste resultao no solamente es interesante por el mero hecho e que respone una cuestión e más e 30 años e antigüea, sino que también muestra que las asunciones traicionales el moelo no lo efinen e manera unívoca. ste hecho cambia totalmente la visión sobre este moelo clásico y sus resultaos econométricos, y ebe servir e base para explicar las ificultaes e su aplicación en la preicción el comportamiento el mercao. Pese a que en too el artículo se emplea el enfoque retrógrao, comúnmente utiliao en la teoría e valoración e opciones, en una sección se resuelve el problema e calibración e mercao partieno e la visión irecta o hacia el futuro (forwar), que resulta e mayor utilia ese el punto e vista e los agentes el mercao. A fin e verificar, numéricamente, que la expresión obtenia para la volatilia implícita constituye la solución al problema inverso el moelo e Black-Cox, se llevó a cabo una simulación. Tomano en cuenta la existencia e os valores e la volatilia, se obtuvieron los valores para la expresión que 77
representa la probabilia e que la firma no caiga en un nivel e insolvencia (antes el tiempo e 9 maure e la eua), con la precisión e 0 ó e 0 5, epenieno el caso. La estructura e este artículo es la siguiente. n la próxima sección se presenta una síntesis e los resultaos principales. n la sección 3 se muestra la solución el problema inverso para el moelo e Black-Cox. n la sección 4 se iscuten las semejanas y iferencias entre las volatiliaes implícitas e los moelos e Black-Cox y Black-Scholes. n la sección 5 se exponen las implicaciones e que en el moelo e Black-Cox exista más e un valor e la volatilia, lo que muestra la necesia e completar las asunciones traicionales el moelo, a fin e efinirlo e manera unívoca. n la sección 6 se presentan los resultaos e la simulación realiaa para comprobar que la fórmula principal representa realmente la inversión e la fórmula e Black-Cox. n la sección 7 se esgrimen argumentos e por qué en el moelo e Black-Cox existen os valores e la volatilia. n la sección 8 se expone la visión irecta el problema e calibración e mercao, utiliaa por los agentes prácticos. n la última sección se presentan las conclusiones e este trabajo.. PRSNTACIÓN D RSULTADOS PRINCIPALS Aparte el trabajo e Sukhomlin (007), en la literatura económica no existen publicaciones en las que se construya una expresión exacta e la volatilia implícita para un bien erivao como una función e variables meibles en el mercao. n este artículo, usano la metoología propuesta por Sukhomlin, se resuelve el problema inverso para el moelo e Black-Cox (BC), al obtener una expresión e la volatilia implícita expresaa en función e parámetros cuantificables con atos e mercao. Asimismo, se escubren otras características intrínsecas el moelo, que resultan inesperaas y paraójicas, pero que estuvieron presentes ese la creación el mismo. s importante señalar que los resultaos encontraos en torno al moelo en cuestión no constituyen una construcción complementaria, sino una parte esconocia el mismo y por consiguiente inseparable. 7 n el moelo e BC, así como en el e Black-Scholes y otros similares, el único parámetro esconocio es la volatilia. Se encuentra que el Teorema e la Función Inversa no se verifica, puesto que, si bien es posible calcular la probabilia 8 utiliano un solo valor e la volatilia, resulta imposible obtener la 7 Se ebe acotar que los resultaos presentaos en este artículo no constituyen un nuevo moelo sino, e manera más precisa, se puee señalar que representan nuevos esarrollos en torno a la teoría el moelo e BC. 8 n el caso el moelo e BC, nos referimos a la probabilia e que la firma no alcance el nivel e insolvencia, enotaa por la fórmula () (sección 3). 78
volatilia (consierano que es una característica e la ispersión) utiliano un único valor e la variable aleatoria. Así, este estuio prueba que, en el marco el cálculo e Leibni-Newton, para obtener un valor e la volatilia implícita e BC se necesitan cuatro valores consecutivos el precio el activo subyacente y cuatro valores corresponientes el bien erivao. También se encuentra que una e las ebiliaes el moelo e BC es que, contrariamente al e Black- Scholes, no está construio partieno el principio e no arbitraje, por lo que, al invertir la fórmula principal el mismo, se encuentran os valores e la volatilia implícita para un activo y se concluye que las asunciones traicionales no lo efinen e manera unívoca. Para obtener un solo valor e la volatilia a partir e la fórmula e BC es necesario completar las asunciones propuestas originalmente por los autores, agregano nuevas coniciones. Cabe señalar que, aunque en este artículo se resuelve el problema inverso para el moelo e BC utiliano el enfoque retrógrao, también se presenta la resolución el problema e calibración e mercao partieno e la visión irecta, que resulta importante ese el punto e vista e los agentes e mercao. Como en el caso el moelo e Black-Scholes, los resultaos obtenios en este artículo están basaos en el estuio e la simetría intrínseca el moelo e BC. Para evitar la matematiación el texto sólo se expone el proceimiento e construcción e la fórmula exacta e la volatilia implícita hacieno referencia únicamente al artículo e Sukhomlin (007), en que se estuia icha simetría. Apuntamos también que este artículo se limita estrictamente al moelo e BC y, por lo tanto, no se iscuten las generaliaciones posteriores como las e Longstaff & Schart (995) y Cathcart & l-jahel (998), que extenieron el moelo e BC consierano la tasa e interés como una variable estocástica, los e Fujita T. & Ishiaka M. (00) e Ishiaka & Takaoka (003) con la amortiación e una eua más realista, iferentes moelos e riesgo e créito e Brigo & Tarenghi (004), Brigo & Moroni (006) y Naron (005), moelo el comercio con activos con riesgo e Holger Kraft & Mogens Steffensen, (007), entre otros. Del mismo moo, es necesario señalar que ningún trabajo que represente un esarrollo el moelo e BC permitió a sus respectivos autores resolver exactamente el problema inverso. Si bien el enfoque presentao en este artículo se puee aplicar a iferentes moelos e este tipo, esto quea fuera el alcance e este estuio. 79
3. PROBLMA INRSO DL MODLO D BLACK-COX n el moelo e Black-Cox (976), la probabilia e que la firma no alcance un nivel e insolvencia (barrera e efault) antes el tiempo e maure e la eua, viene aa por la expresión: N ( ) x B N( ), () ln x B, r T t,, x B, B const 0, () N (.) es la función e istribución normal acumulaa. Traicionalmente, se interpreta x como el valor e mercao e la firma en el momento t; B es el nivel e insolvencia 9 ; es la volatilia constante; T es el tiempo e maure e la eua y r es la tasa e interés (constante) libre e riesgo. Para resolver el problema e calibración e mercao, Sukhomlin (007) propone un métoo que consta e cuatro pasos: construir una relación entre los términos e la fórmula inicial (la que representa la probabilia e que la firma no alcance un nivel e insolvencia antes el tiempo e maure e la eua); introucir una característica auxiliar, e manera que se separe el factor exponencial; calcular la elasticia e icha característica; y, consierano esta expresión como una ecuación algebraica para la volatilia, hallar la volatilia implícita el moelo. Partieno e (), se obtiene la siguiente iguala, que representa el primer paso el métoo: Como seguno paso, se introuce la función auxiliar: N ' ( ) N '( ) x B. ; : BC, :, : lnx B. (3) Así, se obtiene la expresión: N '( ) 3 (4) 9 Aunque Black y Cox asumen un nivel e insolvencia que varía con una tasa fija, para fines e simplificación e fórmulas, en este artículo se supone una tasa cero, por lo que el valor e la barrera es constante. No obstante, en las fórmulas presentaas resulta sencillo introucir esta epenencia e la barrera e efault con respecto al tiempo. 80
Por efinición, la elasticia e esta característica auxiliar es: ln, (5) por lo que, usano la función auxiliar (3), es sencillo calcular:. (6) Por otra parte, la expresión (4) también permite calcular la misma elasticia (5), obteniénose el siguiente resultao:. (7) Igualano las expresiones e la elasticia, obtenemos la fórmula:. (8) Como último paso, la iguala (8) se consiera como una ecuación algebraica para la volatilia implícita el moelo e BC, ya que se puee espejar a partir e y e cuano toas las emás variables están aas o son meibles en el mercao. Así, se puee escribir (8) en forma e ecuación cuarática para el parámetro sin imensión (e () se obtiene que T t r ): en one: P : R P 0, (9) :, (0) r T t R :, () 3. () Los coeficientes R y P están expresaos en función e la elasticia e la griega Delta : x : :. (3) 8
La solución e la ecuación (9) es: R R 8P,. (4) 4 Sustituyeno () en la iguala (4), se llega a la expresión para la volatilia implícita el moelo e BC: 4r BC. (5), R R 8P La fórmula (5) revela os hechos importantes. n primer lugar, se observa que las asunciones traicionales el moelo e BC amiten os valores e la volatilia implícita para un solo activo subyacente (esto se estuia e manera más etallaa en las secciones 5 y 7). n seguno lugar, es eviente que si no se completan los supuestos el moelo, los valores e la volatilia pueen llegar a ser complejos o negativos, epenieno el signo el enominaor e la fórmula (5) y el valor e la expresión bajo la raí. Al reemplaar los coeficientes, R, P e (0), () y (), respectivamente, en la expresión (5), se ilustra e manera más explícita la relación existente entre la volatilia implícita el moelo e BC y las variables e las cuales epene: ln B x 4r BC, lnb x rt t rt t 3 ln B x T ln B x 8 r t lnb x T ln B x r t Se constata que la volatilia implícita el moelo e BC es una función e cuatro variables: la ratio el nivel e insolvencia sobre el valor e la firma B x, que se interpreta como el nivel e eneuamiento e la compañía (leverage); la tasa e interés libre e riesgo r, el tiempo hacia la maure T t y la elasticia e la griega Delta (3): BC BC B x, r, ( T t),. (6) (5a) s eviente que la expresión (5a) resulta complicaa y, por esta raón, las iscusiones posteriores que se harán en torno a la volatilia implícita el moelo e BC estarán enfocaas en (5). Con la fórmula (5) se obtiene la solución exacta para el problema inverso el moelo e BC, ya que se logra expresar la 8
volatilia en función e parámetros cuantificables con atos e mercao y e variables conocias. 0 n el marco el moelo estuiao, la expresión e la volatilia (5) es tan vália como la expresión e partia (), interpretaa como la probabilia e que la firma no alcance un nivel e insolvencia antes el tiempo e maure e la eua. n la sección 6, se verifica, numéricamente, que la fórmula (5) es la inversión exacta e (). 4. SIMILITUDS Y DIFRNCIAS NTR LAS OLATILIDADS IMPLÍCITAS D LOS MODLOS D BLACK-SCHOLS Y D BLACK-COX n la teoría e mercaos financieros, el moelo e Black-Scholes (BS) sobre la valoración e opciones constituye el pivote e iversas investigaciones y, particularmente, Black y Cox emplean este enfoque para evaluar la probabilia e que una firma puea caer en una situación e insolvencia antes el vencimiento e la eua. n este sentio, resulta interesante comparar la fórmula e la volatilia para el moelo e BC (5) con la el moelo e BS, eucia por Sukhomlin (007), que viene aa por la fórmula: K S r( T t 3 T t ln ) BS. (7) Al observar las expresiones (5) y (7), se constata que la volatilia el moelo e Black-Scholes es única y también epene e cuatro variables que son: la ratio K S (one K es el precio e ejercicio e la opción e compra; S es el precio el bien subyacente); r es la tasa e interés libre el riesgo ; (T-t) es el tiempo hacia la maure e la eua; es la elasticia e la griega Gamma (one Gamma : / x, mie la sensibilia a los cambios en la característica Delta) : K S, r, T t,. (8) BS BS Las expresiones (6) y (8) muestran las variables e las cuales epene la volatilia implícita en los moelos e BC y BS, respectivamente. Se avierte que, tanto en el moelo e BC como en el moelo e BS, se hace referencia a la ratio entre una constante (nivel e insolvencia y precio e ejercicio, 0 Toos los atos, salvo la elasticia e Delta, se obtienen irectamente el mercao. Dicha elasticia se calcula con los atos el mercao por la iscretiación e la fórmula (3), que no contiene la volatilia, o utiliano las erivaas e la fórmula (). Se puee comprobar que los resultaos obtenios por cálculos numéricos son prácticamente los mismos. Para la simulación realiaa en la sección 6, se utilia la primera metoología. La iea e utiliar en el moelo e BS la elasticia e la griega Gamma en lugar e la elasticia e la función auxiliar Ksí, fue propuesta por Philippe Jacquinot y publicaa en el artículo Sukhomlin, Jacquinot (007). Sukhomlin y Jacquinot (007) llevaron a cabo una simulación para la fórmula e la volatilia implícita en el 9 moelo e Black-Scholes (7), obtenieno una precisión e 0 y sieno los valores seleccionaos para los parámetros e (8): S0=95, S(i+)- Si =0.0, K=00, r =0.04, (T-t)= 0.0, 0.0 83
respectivamente) y la variable aleatoria (precio el bien subyacente). n el contexto el moelo e BC, esta ratio se interpreta como el nivel e eneuamiento e la compañía (leverage) y en el moelo e BS se interpreta como moneyness 3. n ambas fórmulas se mantiene la presencia e una elasticia, aunque ésta se calcula con respecto a iferentes griegas. La volatilia implícita el moelo e BC necesita para su efinición la elasticia e la griega Delta (la primera erivaa el valor e la opción respecto con el precio el bien subyacente), en tanto que la volatilia implícita el moelo e BS se efine por la elasticia e la griega e oren superior Gamma (la seguna erivaa el valor e la opción con respecto al precio el bien subyacente). De este hecho se euce que, en el moelo e BS, la curvatura e la gráfica e () es e mayor importancia para efinir la volatilia, mientras que en el moelo e BC es más relevante la tenencia el mercao, representaa por la griega Delta. s oportuno señalar, que las elasticiaes mencionaas no habían sio utiliaas anteriormente en la teoría e estos moelos puesto que, urante más e treinta años, existía un estereotipo e que la volatilia ebía ser expresaa irectamente en términos el valor e la opción 4. Por ejemplo, en el caso el moelo e BS se supuso que: BS BS K S,, r, T t BS? S, r, T t K,. n la literatura económica, varios autores proponen fórmulas aproximativas e la volatilia implícita expresaas, justamente, en función el valor e la opción (véase, por ejemplo Brenner & Subrahmanyam (988); Chance (996); Corrao & Miller (996); Chambers & Nawalka (00); Fouque et al. (004); Kelly (006); Isengilina-Massa et al. (007); Minqiang (008), entre otros) 5. sta línea e pensamiento no correspone al hecho e que la volatilia, como una característica e la ispersión, no puee ser vinculaa a un solo valor e la variable aleatoria, sino que ebe ser efinia por varios valores consecutivos e la misma. BS BS BS 5. INSUFICINCIA D LAS ASUNCIONS DL MODLO D BLACK-COX La existencia e os valores e la volatilia implícita para un solo activo subyacente es una conición intrínseca al moelo e BC. Pese a que esta propiea resulta paraójica y contraiga el raonamiento 3 xisten otras efiniciones e la moneyness como por ejemplo: K/S- y ln(k/s). Toas estas efiniciones son válias únicamente en el momento e expiración cuano T = t. Para utiliar esta característica en los momentos r ( T t) anteriores a la expiración, (t < T), se ebe actualiar el precio e ejercicio, entonces la moneyness sería: Ke S (véase, por ejemplo, Hull an White, 990). 4 Utiliamos BS para enotar la fórmula encontraa por Black y Scholes (973) para calcular el valor e una opción (no ebe ser confunia con e la fórmula ()). 5 ste enfoque convencional lleva a que el problema inverso para toas las fórmulas e este tipo se califique como mal planteao (véase, por ejemplo, Hein an Hofmann (003)). 84
lógico, es inherente al moelo en cuestión, aos los supuestos y las coniciones complementarias (sección 7) consieraas por sus autores al momento e su creación. n la sección 3, se señaló que los valores e (5) pueen llegar a ser complejos o negativos, epenieno el signo el enominaor e la fórmula y el valor e la expresión bajo la raí. Así, a partir e icha fórmula se observa que los valores complejos e la volatilia implícita se pueen evitar si: R 8P 0. (9) Usano () y (), se puee escribir (9) en términos e la elasticia e Delta (véase Anexo):. (0) 8 Conforme a la fórmula (5), los os valores encontraos (si se verifica (9)) pueen tener signos istintos o el mismo signo (positivo). n el primer caso, se encuentra que el cumplimiento e (0) es automático, a iferencia e la situación en que ambos resultaos son positivos. Caso., 0: R R 8P 0 0 R R 8P 0 ste sistema puee ser escrito como 0 R R 8P y, sustituyeno las expresiones () y (), el mismo puee ser expresao en términos e la elasticia e Delta:. () Se puee verificar (véase Anexo 3) que () implica (0). Se concluye que el cumplimiento e () garantia los signos iferentes e los os valores e la expresión (5). n este caso, el valor negativo simplemente no se utilia puesto que, aún si ese el punto e vista matemático las variables cuaráticas negativas están efinias (a partir e las cuales se obtienen raíces complejas), no tienen sentio ese la perspectiva económica. Caso. 0, 0 : R R R R 8P 0, 8P 0. ste sistema sobre-efinio puee ser expresao como una sola esiguala, que es inversa e (): 85
. () Usano el mismo raonamiento empleao en el Anexo 3, se comprueba que el cumplimiento e () no implica (0). n conclusión, al verificarse simultáneamente (0) y (), los signos e ambas volatiliaes serán positivos. n la sección 6 se hace la simulación para este caso. n esta situación, en que se obtienen os valores positivos e la volatilia, no se sabría con certea cuál e éstos efine el comportamiento el activo subyacente en cuestión. Bajo esta circunstancia, se avierte la existencia e un espacio esconio que representa riesgos ocultos y oportuniaes e arbitraje, consierano que se pueen obtener beneficios erivaos e la iferencia entre ambos valores e la volatilia. De forma más explícita, un inversionista puee aquirir un instrumento financiero asumieno un eterminao valor e la volatilia implícita y, por otra parte, icho instrumento contiene también otra volatilia que es inferior a la primera. Así, se observa que esta ebilia el moelo e BC permite que se lleve a cabo la negociación e un instrumento financiero a un precio superior al que correspone y que en realia ebería ser el mismo que se establece en función al otro valor e la volatilia implícita, que es menor. De esta manera, se puee consierar que la existencia e más e una volatilia está asociaa a la presencia e oportuniaes e arbitraje. 6 n este sentio, se realió un ejercicio sencillo que consistió en verificar si para los moelos e BC y BS se comprueban las coniciones e no arbitraje conocias en la teoría financiera; es ecir, que la función que representa el valor e la opción es monótona ecreciente y convexa con respecto al precio e ejercicio y no ecreciente con respecto al tiempo e maure (véase, por ejemplo, Laurent & Leiseen, 998). Se emostró que, para el moelo e BS, se cumplen simultáneamente las coniciones necesarias para que no exista arbitraje, mientras que para el moelo e BC no se comprueban (en el caso el moelo e BC se hio la prueba para la fórmula ()). sta iferencia resulta lógica, consierano que en el moelo e BS la hipótesis e no arbitraje viene aa por la ecuación principal el moelo, mientras que Black y Cox no incorporaron esta restricción como parte e su moelo. La presencia e riesgos ocultos en el moelo e BC ebe servir e base para explicar las ificultaes e su aplicación en la preicción el comportamiento el mercao y, asimismo, icha conición muestra la necesia e completar las asunciones establecias urante la elaboración el moelo a fin e efinirlo e manera unívoca. 6 Aemás el moelo e Black-Cox, Sukhomlin (007) comprobó que en otros moelos también se obtiene más e un valor e la volatilia, como por ejemplo en el moelo e Cané e straa y coautores (005), que puee contener hasta tres valores e la volatilia implícita. 86
6. RIFICACIÓN D LA XPRSIÓN D LA OLATILIDAD POR SIMULACIÓN A fin e comprobar numéricamente que (5) representa la inversión exacta e la expresión (), se llevó a cabo una simulación, eligieno los siguientes parámetros: los valores el activo subyacente x i se eligen en el intervalo [98.3, 05.3], x 0. 007, i = [,..., 000], el nivel e insolvencia B = 69, el tiempo hacia i la maure T-t = 0.0, la tasa e interés r = 0.05 y la volatilia constante 0. 04. 0 Con los valores escogios, se calculan la expresión () y sus erivaas 7. A partir e estos resultaos y e los valores e la elasticia e la griega Delta (3), se obtienen los coeficientes R y P e () y (). Así, con la fórmula (5) se llega a os valores positivos e la volatilia 8 : ) 0.00 ) 0. 04. (3) ( ( s sencillo comprobar que ambas volatiliaes verifican la ecuación (9). Se nota que, el valor e se 6 confune con una precisión e 0 con la volatilia inicialmente escogia e 0.04, lo que respala la valie e nuestra fórmula. La particularia el moelo e BC raica en el hecho e que, aemás e la volatilia esperaa, en este caso, existe otra iferente que apenas representa un 5% e la volatilia inicial, pero al igual que la volatilia esperaa es también una solución e la ecuación (9) y constituye una parte el moelo. La Figura muestra los resiuos ( ), ( calculaa),. Los subínices y corresponen, respectivamente, a las volatiliaes.4 x 0-6, mientras que los valores e son más imprecisos. y. Los valores e la serie se istribuyen entre.3 x 0-6 y Figura. Comportamiento e los resiuos y e en función e. 7 Por la iscretiación e la fórmula (6). 8 n (3) se muestran los promeios para caa caso. 87
Para caa una e las volatiliaes e (3), se calculan los valores e conforme a la fórmula (). l subínice 0 correspone al valor e calculao con la volatilia inicialmente elegia 0. Se atribuyen los subínices y, respectivamente, según correspona a presentan en la Figura. ó. Las gráficas para 0,, se 0, y.000005.000000 0.999995 0.999990 0.999985 0.999980 0.999975 0.999970 0.999965 0.999960 0.999955 0= 0.354 0.357 0.359 0.36 0.364 0.366 0.369 0.37 0.373 0.376 0.378 0.380 0.383 0.385 0.387 0.390 0.39 0.394 0.397 0.399 0.40 0.404 0.406 0.408 0.4 0.43 0.45 0.47 0.40 0.4 =ln(x/b) Figura. Comportamiento e 0, y en función e. 9 Las gráficas e 0 y e se confunen con una precisión e 0. Los valores e muestran una precisión e 5 0 con respecto a 0 y, para toos los valores e el intervalo escogio, permanecen constantes e iguales a uno. Las gráficas e 0, y en la Figura, se relacionan con el hecho e que la influencia el primer término e la fórmula (), N, es mayor que la el seguno término, x B N crece o el tiempo se acerca a la maure N y el seguno término tiene a cero.. A meia que Los resultaos e la simulación y la precisión e los valores e y e con respecto a 0 respalan, numéricamente, el hecho e que la expresión e la volatilia implícita para el moelo e BC (5) es la inversión e la fórmula que representa la probabilia e que la firma no alcance un nivel e insolvencia antes el tiempo e maure e la eua (). La brecha observaa entre y 0 puee ser explicaa por el intervalo e atos, así como también por la marcaa iferencia entre y. 88
7. POR UÉ L MODLO D BLACK-COX CONTIN DOS ALORS D LA OLATILIDAD? n la sección 4 se iscutieron las semejanas y iferencias entre las volatiliaes implícitas e los moelos e BS y BC, pero aún permanece la cuestión e por qué en el seguno moelo se obtienen os valores e la volatilia, mientras que en BS se encuentra solamente un valor. Para responer esta pregunta, en primer lugar, se ebe señalar que la fórmula () es la solución e la ecuación que puee ser llamaa ecuación e Black-Cox 9 : t x x rx x 0. (4) Se constata que la ecuación (4) es prácticamente la misma que la ecuación clásica e BS, salvo que (4) no contiene el término que representa el incremento e la inversión libre e riesgo con tasa e interés fija. sta iferencia es lógica, en vista e que, como se señala en la sección 5, la ecuación principal el moelo e BS representa la conición e no arbitraje, es ecir, la iguala entre los incrementos e os inversiones en unia e tiempo: el e una opción, que es afectaa por las fluctuaciones el bien subyacente y otro que es el e la inversión sin riesgo con la tasa e interés fija. n el caso el moelo e BC se habla el comportamiento e los activos e la firma, que funcionan como una opción (enfoque e Merton), por lo que el cero en la parte erecha e la ecuación (4) significa que no se hace referencia a inversiones sin riesgo. s oportuno señalar que Black y Cox (976) eujeron su fórmula basánose únicamente en el raonamiento lógico e la Teoría e Bonos y, por esta raón, el planteamiento hecho por ichos autores y las aplicaciones posteriores el moelo, no incluyen ni la ecuación (4) ni la conición final corresponiente. Sin embargo, ambas pueen ser construias usano la fórmula (). La conición final sería la siguiente: si x B t T, x x B si x B. (5) Ahora, se puee plantear el problema e búsquea e la solución para la ecuación (4) efinia sobre el cilinro x, t : x 0, t[0, T] y sujeta a la conición final (5). Usano el proceimiento similar al el moelo e BS, particularmente, aplicano la transformación regular: t t =T-t, =ln(x/b)- t, U(,t t )=(x,t), la ecuación e BC (4) se convierte en la ecuación e ifusión U / t ( / ) U / 0 con la conición inicial: U t 0 e, si 0 ; está si 0 9 No se ebe confunir esta ecuación con la el moelo e Black-Scholes que contiene el término rt en la parte erecha. 89
efinia en (). Usano la solución funamental (función e Green) e la ecuación e ifusión y evaluano la integral corresponiente, se obtiene la solución el problema en forma (). Se constata que, en vista e que las ecuaciones corresponientes a los moelos e BC y BS son prácticamente las mismas, la existencia e os valores e la volatilia en el moelo e BC no puee ser atribuia a la ecuación (4), que escribe la inámica el moelo. ste argumento también se respala por el raonamiento siguiente: al resolver la ecuación e Black-Cox (4) con la conición final e Black-Scholes, se obtiene la solución clásica e Black-Scholes no escontaa. La inversión e ésta genera un único valor e la volatilia. De la misma manera, si se resuelve la ecuación e Black-Scholes con la conición final (5) se obtiene la solución () escontaa, a partir e la cual se encuentran os valores e la volatilia. Por otra parte, se observa que esta particularia el moelo e BC tampoco puee ser atribuia al proceimiento utiliao para construir la solución el moelo, ya que éste es exactamente el mismo que se emplea para erivar la solución clásica e BS. Así, se puee concluir que la existencia e os valores e la volatilia en el moelo e BC es una consecuencia e la conición complementaria corresponiente (5), que contiene una iscontinuia. 0 Por lo tanto, se valora el papel e icha conición, porque e ésta epene la presencia el riesgo oculto en el moelo estuiao. 8. ISIÓN PRÁCTICA DL PROBLMA D LA CALIBRACIÓN D MRCADO l enfoque retrógrao (hacia el pasao) e la resolución el problema inverso para el moelo e BC (expuesto en la sección 3), es comúnmente utiliao en la teoría e valoración e opciones. No obstante, la visión práctica e los agentes e mercaos es iferente. Los prácticos prefieren usar la información aa en un instante el tiempo y elaborar su ecisión en base al conjunto e los atos actuales. Así, la calibración e mercao se entiene como la evaluación e un parámetro cuano los valores e las emás variables están aos en un momento el tiempo. ste enfoque irecto (hacia futuro o e avance) significa que el precio el activo x y el tiempo t se consieran como los parámetros fijos, mientras que el nivel e insolvencia B y el tiempo e maure e la eua T son variables. Ambos puntos e vista existen simultáneamente y se manifiestan por el hecho e que, paralelamente a la ecuación e Black-Scholes (ecuación retrógraa e Kolmogorov), existe la ecuación irecta e Kolmogorov (ecuación e ifusión o la e Fokker-Planck). sta última tiene como variables B y T. Cabe mencionar que Black y Cox en su trabajo consieraron la expresión () como función e x y t, lo que correspone al enfoque retrógrao que también fue utiliao por Black y Scholes en su artículo clásico e 0 Sukhomlin emostró que esta propiea es general, puesto que, si se introuce cualquier iscontinuia en las coniciones finales, por ejemplo en la conición final estánar el moelo e Black Scholes, en lugar e obtenerse una sola volatilia como (7), surgen os valores e la volatilia para un subyacente. 90
973. La expresión e la volatilia implícita el moelo, ese la visión práctica e la calibración e mercao, se construye fácilmente por la introucción e la función auxiliar siguiente:, en one y ln( B / x), y / y. y y y Usano (), se calcula y N ( ). 3 Se observa que e (4) pero las variables e las que epenen son iferentes: se consiera como una función e las variables B y T, mientras que es una función e las variables x y t. Según el proceimiento similar al e la sección 3, la elasticia e esta nueva característica sería: y y y y y. y y y y y y sta última iguala se puee escribir en forma e la ecuación cuarática (9) para el parámetro sin imensión, en one es igual a (0), mientras que los coeficientes R () y P () eben ser expresaos en función e las erivaas con respecto a B y T, sieno t y x fijos: ~ R : R( B, T ) t, x fijos y y y y, ~ P : P( B, T ) t, x fijos y y y y y y y y. Así, se llega a la expresión exacta para la volatilia implícita el moelo e BC que resuelve el problema e calibración e mercao, puesto que usa exclusivamente la información el mercao aa en un instante el tiempo: 4r ( B, T) t, x fijos, ~ ~ R R 8 P ~. (6) Obviamente, las fórmulas (5) y (6) proveen los mismos valores e la volatilia, pero éstos se calculan por iferentes proceimientos. Contrariamente a la fórmula (5), la fórmula (6) expresa la volatilia implícita el moelo e BC en un momento el tiempo, con un valor fijo el subyacente x. Como en la sección 3, se llega a os valores e la volatilia corresponientes a un activo. La fórmula (6) inica que para calcular la volatilia en un instante ao, se necesitan cuatro valores e para iferentes valores e la barrera B. Con este resultao se resuelve exactamente el problema e calibración e mercao el moelo clásico e BC, partieno el enfoque irecto. 9
9. CONCLUSIONS n este artículo, hacieno uso el métoo propuesto por Sukhomlin (007), se resuelve el problema inverso el moelo e bonos e Black-Cox, en el cual la firma puee caer en un nivel e insolvencia en cualquier momento previo al vencimiento e la eua (moelos e primer pasaje). ste resultao es importante no solamente porque representa la solución e un problema e más e treinta años sino que, al mismo tiempo, revela que las asunciones el moelo e Black-Cox permiten la existencia e os valores e la volatilia para un solo activo subyacente. ste hallago cambia totalmente la visión sobre este moelo y ebe servir e base para explicar las ificultaes e su aplicación en la preicción el comportamiento el mercao, así como también e otros moelos estructurales basaos en los resultaos e Black y Cox. Partieno el enfoque retrógrao, se obtiene la fórmula para la volatilia implícita expresaa en función e parámetros meibles con atos e mercao y e variables conocias. sta expresión es una función e cuatro variables: la ratio el nivel e insolvencia sobre el valor e mercao e la firma (nivel e eneuamiento), la tasa e interés libre e riesgo, el tiempo e maure y la elasticia e la griega Delta. La epenencia e la volatilia con respecto a las os primeras variables es lógica, mientras que la utiliación e la elasticia e una griega representa el aporte el métoo e Sukhomlin. La introucción e esta elasticia, no solo permite obtener la solución exacta el problema inverso, sino que también rompe el estereotipo e que la volatilia ebería estar expresaa irectamente en función el valor e la opción. Matemáticamente, los valores e la volatilia implícita el moelo e Black-Cox pueen ser complejos y e cualquier signo, epenieno e los parámetros el moelo, lo que impone limitaciones intrínsecas para los parámetros e este sistema inámico. l caso en que ambas volatiliaes son reales y tienen el mismo signo positivo no es orinario, ya que no se sabría cuál e éstas efine, e manera más acertaa, el comportamiento el activo subyacente en cuestión. n esta situación se avierte la existencia e un espacio esconio que representa riesgos ocultos y oportuniaes e arbitraje, ya que se pueen obtener ventajas erivaas e la iferencia entre los os valores e la volatilia. ste hecho muestra la necesia e completar los supuestos traicionales el moelo e Black-Cox a fin e efinirlo e manera unívoca y evitar riesgos ocultos en el mismo. La comparación e la volatilia implícita para el moelo e Black-Cox con la el moelo e Black- Scholes, eucia por Sukhomlin, revela las similitues y iscrepancias entre las expresiones obtenias. 9
La principal iferencia entre ambas fórmulas raica en el hecho e que el moelo e Black-Scholes contiene un único valor e la volatilia. Asimismo, se observa que la fórmula para la volatilia el moelo e Black-Cox es más compleja que la el moelo e Black-Scholes. La volatilia implícita el moelo e Black-Cox epene e la elasticia e la griega Delta, en tanto que la fórmula e la volatilia en el moelo e Black-Scholes epene e la elasticia e una meia e sensibilia e oren superior Gamma. sto significa que, en el moelo e Black-Cox, la tenencia e mercao es funamental mientras que, en el moelo e Black-Scholes, la curvatura e la gráfica corresponiente a la probabilia e que la firma no alcance un nivel e insolvencia (antes el tiempo e maure e la eua) se manifiesta como la característica más relevante. Se infiere que la posibilia e arbitraje está relacionaa a la existencia e más e un valor e la volatilia implícita. n este sentio, se puee verificar que las coniciones necesarias e no arbitraje, generaliaas en la teoría financiera, no se cumplen para la fórmula e Black-Cox y, por consiguiente, este moelo contiene intrínsecamente icha posibilia, que se revela a partir e la resolución el problema e calibración e mercao. Los resultaos e la simulación realiaa exhiben una precisión e confune con la que se escogió inicialmente para icha simulación. 9 0 para la volatilia que se Pese a que too el artículo está esarrollao empleano la visión retrógraa, en una sección se presenta la solución al problema e calibración e mercao el moelo e Black-Cox partieno el enfoque irecto, que resulta interesante ese el punto e vista e los agentes e mercao. AGRADCIMINTOS Los autores agraecen al Dr. Franklin Fermín, a la Universia Autónoma e Santo Domingo, al Prof. Fre Celimene y al laboratorio CRGMIA e la Universia e las Antillas-Guyana por el apoyo brinao y a la Prof. Nicole l Karoui por las iscusiones útiles. Los autores también expresan su agraecimiento a la reacción e la Revista e Métoos Cuantitativos para la conomía y la mpresa y, particularmente, al Dr. ugenio M. Feriani Martel. RFRNCIAS Black, F., Cox, J. (976). aluing Corporate Securities: Some ffects of Bon Inenture Provisions, The Journal of Finance, 3, pp. 35 367. 93
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