FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES [5.] Hallar representar gráficamente las curvas de nivel de la función f (, ). Solución Por definición Cm, / m. Por tanto: C 0 0, / 0, / 0 m Cm, / m, / si m 0 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao

EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL [5.] Hallar representar gráficamente las curvas de nivel de la función f (, ) Solución Por definición Cm, / m. Por tanto, como m 0, deducimos que m. En este caso: Para m: C 0,0 Para m : Si, 0: m m Si, 0: m m Si 0 0: m m Si 0 0: m m Por tanto: C 0,0 C, / m 0 0, / m 0 0 m, / m 0 0, / m 0 0 para m< Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES [5.3] Demostrar que los siguientes límites no eisten:.- lim (, ) (,).- lim (, ) (0,0) 4 Solución.- lim (, ) (,) Límites reiterados lim lim lim lim lim lim lim lim Los límites reiterados eisten son distintos, por lo que no eiste el límite doble..- lim (, ) (0,0) 4 Límites reiterados 0 0 0 4 0 lim lim lim 0 0 0 0 4 0 4 lim lim lim 0 Eisten son iguales. Puede eistir el límite doble. Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao 3

EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL Límites según una dirección, m 4 4 m m m lim lim lim m ( m ) m (, ) (0,0) 4 0 4 4 0 4 m Los límites según diferentes parábolas eisten son distintos, por lo que no eiste el límite doble. 4 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES [5.4] Estudiar la eistencia de los siguientes límites:.- lim (, ) (0,0) 3.- lim (, ) (0,0) ( ) Solución.- lim (, ) (0,0) 3 Límites reiterados 0 0 0 3 0 3 lim lim lim 0 4/3 0 0 3 0 3 0 lim lim lim lim 0 Eisten son iguales. Puede eistir el límite doble. Si realizamos un cambio a coordenadas polares: cos sen sen 4/3 lim lim lim sen 0 (, ) (0,0) 3 0 3 0 sen [0,] 0 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao 5

EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL.- lim (, ) (0,0) ( ) Límites reiterados ( ) lim lim 0 0 lim 0 ( ) lim lim lim 0 0 0 Eisten son iguales. Puede eistir el límite doble. Si realizamos un cambio a coordenadas polares: cos sen ( ) ( cos sen ) (cos sen ) lim lim lim (cos sen ) (, ) (0,0) 0 0 Como el valor del límite depende del valor de podemos concluir que ( ) lim (, ) (0,0). 6 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES [5.5] Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:.- f(, ), 0,0 0, 0,0.- f(, ) e, 0,0 0, 0,0 Solución.- f(, ), 0,0 0, 0,0 Si, 0, 0, f (, ) es continua por ser cociente de funciones continuas el denominador no nulo. Si, 0, 0, tenemos que comprobar que: lim f(, ) f (0,0) (, ) (0,0) Si calculamos los límites reiterados: lim lim lim lim 0 f (0, 0) 00 0 0 Por tanto, como lim f (, ), f no es continua en (0,0). Luego f es continua en (, ) (0,0) 0,0. Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao 7

EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL.- f(, ) e, 0,0 0, 0,0 Si, 0, 0, f (, ) es continua por ser producto de funciones continuas. Si, 0, 0, tenemos que comprobar que: Si calculamos los límites reiterados: lim f(, ) f (0,0) (, ) (0,0) lim lim e lim e 0 0 0 0 lim lim e lim 0e 0 0 0 0 Eisten son iguales. Puede eistir el límite doble. Si realizamos un cambio a coordenadas polares: cos sen (cos sen ) (cos sen ) lim e lim cose lim cose 0 (, ) (0,0) 0 0 (*) (*) Utilizamos que es el producto de una función que tiende a cero por una función acotada. Por tanto f es continua en. [5.6] Estudiar la derivabilidad de la función: f(, ) ( ), 0,0 0, 0,0 Solución Si, 0,, denominador no nulo. 0 f (, ) es derivable por ser cociente de funciones derivables el 8 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Si f f, 0, 0, ha que estudiar la eistencia de las derivadas parciales 0,0 0,0 : f f(0 h,0) f(0,0) 0 0 0, 0lim lim 0 h0 h h0 h f f(0,0 k) f(0,0) 0 0 0, 0lim lim 0 k0 k k0 k Por tanto f es derivable en. [5.7] Estudiar la continuidad derivabilidad de la siguiente función en el punto (0,0): 0 f(, ) 0 0 Solución Comprobemos si lim f(, ) f (0,0). (, ) (0,0) Si calculamos los límites reiterados: lim lim lim 0 0 0 0 Si realizamos un cambio a coordenadas polares: cos sen cos sen (cos sen ) cos sen lim lim lim lim sencos sencos sencos (, ) (0,0) 0 0 0 Por tanto f no es continua en (0,0). Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao 9

EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL Para comprobar la derivabilidad en (0,0) analizamos la eistencia de las derivadas f parciales 0,0 f 0,0 : f f(0 h,0) f(0,0) 0 0 0, 0lim lim 0 h0 h h0 h f f(0,0 k) f(0,0) 0 0 0, 0lim lim 0 k0 k k0 k Por tanto f es derivable no continua en (0,0). [5.8] Estudiar la continuidad derivabilidad de la siguiente función en el punto (0,0): f(, ) 0 3 0 Solución Comprobemos si lim f(, ) f(0,0) 3. (, ) (0,0) lim f(, ) lim 0 f (0, 0) 3 (, ) (0,0) (, ) (0,0) Por tanto f no es continua en (0,0). Para comprobar la derivabilidad en (0,0) analizamos la eistencia de las derivadas f parciales 0,0 f 0,0 Por tanto f no es derivable en (0,0). : f f(0 h,0) f(0,0) 33 0, 0lim lim 0 h0 h h0 h f f(0,0 k) f(0,0) 0 3 0, 0lim lim k0 k k0 k 0 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES c [5.9] Comprobar que a z e a b es solución de la EDP : az bz cz 0 Solución: Se tiene: c c c a a a c z e be z ae a De donde: c c c c c az a a a a bz cz a e be b ae c e 0 a [5.0] Comprobar que 3 3 z es solución de la EDP: 3 z ( 3 )( z 3 z) 0 Solución: 3 33 4 3 z ; z 3 3 3 z ( 3 )( z 3z) 3 ( 3 ) 3 3 3 3 3 4 3 3 3 3 3 3 3 3 ( 3 ) 3 3 3 5 3 3 (3 ) ( 3 ) 5 5 0 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao

EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL [5.] Comprobar que la función z cumple la ecuación de Euler: ln z z z Solución: z z ln ln ln z Al sustituir en la ecuación de Euler: z z ln ln z [5.] Demostrar que la función, siendo diferenciable, satisface la ecuación: z ( ) una función arbitraria z z z Solución: Se tiene: z z Sustituendo: z z z Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES [5.3] Dada la función z ( ) sen z z posible el valor de la epresión: obtener lo más simplificadamente Solución: z sen ( ) cos sen cos ( ) z sen cos [] z sen ( ) cos sen cos ( ) z sen cos [] Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao 3

EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL Haciendo [] + []: z z ( ) sen z [5.4] Dada la función z z 0, demostrar que z z z Solución: z z z 0 0 z z z z z z z z z z z z z z z z 0 0 z z z z z z z z z z z z z 4 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z [5.5] Se considera la función z z(, ) definida mediante la ecuación: z donde ( ) designa una función arbitraria diferenciable. Hallar de manera simplificada el valor de la epresión diferencial: z z Solución: Al derivar la ecuación respecto a e z z z 4 4 z Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao 5

EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL z z z z sustituir en la epresión diferencial: z z 4z z (4 z) ( z) z z z [5.6] Sea la función z f(, ) definida implícitamente por la relación: z z 4 6 0 Obtener la ecuación del plano tangente a la superficie z f(, ) en el punto P(,, ) Solución: La ecuación del plano tangente a una superficie en un punto P0( 0, 0, z0) z z0 z( 0, 0) ( 0) z( 0, 0) ( 0) D z z z 46z0 z 6 0 z z (z6) z (,, ) 0 z3 es: D z z z 46z0 z 46 0 z z (z6) 4 z (,, ) 3/ 4 z3 Por lo tanto, la ecuación del plano tangente a la superficie dada en P(,, ) es: 3 z0 ( ) ( ) 4z433 34z7 0 4 6 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES z uvv [5.7] Dada la función, donde Solución: u v 3 calcular dz Aplicando la regla de la cadena: z z u z dv 3 v ( u4 v) vu8v 4 6 u v d 3 6 6 z z u v( 3 ) 6 u Luego: z z 3 dz d d (6 6 ) d 6 d [5.8] Comprobar que z f( a ) g( a ), donde f g son funciones arbitrarias diferenciables de segundo orden, es solución de la EDP: z a z Solución: Derivando respecto de : z a f g z a f g) ( ) ( ; Derivando respecto de : z f g fg z ( f g) ( fg) Por tanto: De donde: z ) ( f g ) ( f g ) ( f g ) ( f g a z a f g ( ) z Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao 7

EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL 3 [5.9] Dada la función z z 0, demostrar que z (3 z ) 3 (3 z ) Solución: Derivando implícitamente respecto de ( ): z z z z z 3z z 0 (3 z ) z 3z [] Derivando implícitamente respecto de ( ) : z z z z z 3z 0 (3 z ) 3 [] Derivando [] respecto de ( ): z z z (3 z ) z6 z (3 z ) z z z (3 z ) z z z z 3 3 (3 ) (3 ) (3 ) [5.0] Si r e cos calcular 3r e sen (, r ) (, ) utilizando propiedades del jacobiano. Solución: Utilizaremos la propiedad: (, r ) (, ) (, ) (, r ) r r (, ) r e cos e sen 5r 5r e cos 3e sen (, r ) 3r 3r 3e sen e cos r 5r 5r e (cos 3sen ) e ( sen ) Luego: 5r (, r ) e (, ) 5r (, ) e ( sen ) sen (, r ) 8 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao

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EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL [5.] Obtener los etremos locales de la función f 3 (, ) 6 6 3 Solución: Se determinan los puntos críticos (valores que anulan a las derivadas parciales): f 3 660 3 f(, ) 663 f 630 7 7 5, P 5, 6 3 3 3, P, 650 Hallamos la matriz hessiana Y los dos menores preferentes H f f 6 6 f f 6 H f 6 6 6 H H 36 6 P 5, ha un mínimo local a que H 30 0 H 60 36 4 0 En 7 En 7 7 f 5, 4 3 P, ha un punto silla, H 36 4 0 f 3, 4 0 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES [5.] Determinar los etremos locales de la función f definida por: Solución 4 4 f (, ) e 4e f f f 0 0 f 3 8 8e 0 8 ( e) 0 f 4 4e 4 e 0 e e 3 (4 4 ) 0 3 4 0 e (4 e ) 0 4e 0 imposible 3 e 0 e (4e 4 e ) 0 4 e ( e ) 0 e 0 0 8 ( e) 0 Como e Se obtienen dos puntos críticos: P(,0) P(,0). Hallamos la matriz hessiana H f f 4 8e 8e 8e 6e 4 e 4 f f Y los dos menores preferentes f H 4 8e H H e e e 4 (4 8 )(6 4 ) (8 ) En En P (, 0) ha un mínimo local a que H H f 4 8 6 0 6. 64 8 0, 0 P (,0) ha también un mínimo local, H H f, 0 4 8 6 0 4. 64 8 0 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao

EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL [5.3] Sea la función f definida por: f (, ) donde es un número real. Hallar los valores de de forma que la función f tenga etremos locales. Solución f 0 0 f 0 0 0 4 0 (4 ) 0 0 Si 0 0 el punto (0,0) P es un punto crítico Si los puntos P (, ) son puntos críticos Si los puntos P3 (, ) son puntos críticos Veremos si son etremos estudiando la matriz hessiana los menores preferentes en cada uno de ellos. f f H f f f H 0 H H 4 ( )() ) P (0,0) H 0 H Al ser estudiamos las diferentes posibilidades para según el valor de (a) H, 0 4 0 ( ) P es un mínimo local (b) H 0 4 0 un punto de silla no es un etremo sino H 0 es un caso dudoso con este criterio, (c) Si pero observamos que f (, ) ( ) f (, ) ( ), en ambos casos, para todos los puntos (, ) cumple que f(, ) f(0,0) 0 en P (0,0) ha un mínimo local P de un entorno del origen se Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES P (, ) ) f(, ) ( ) 0 mínimo local 3) 3 mientras que f P P (, ) f(, ) ( ) 0 mínimo local mientras que 3 ( ) f(, ) 0 en ha un P f( P) f(, ) 0 en ha un P 3 [5.4] Sean las funciones f f definidas por: f(, ), f (, ) f (, ) 0 Hallar los etremos locales de f condicionados por la ecuación. Solución Consideramos la función auiliar L (,, ) ( ) críticos que cumplan la ecuación 0 buscamos los puntos L 0 L 0 0 0 Si donde donde Si donde donde luego los puntos críticos son: Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao 3

EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL P, P, asociados al valor P3, P4, asociados al valor = Además, la matriz (, ) (0,0) A f f 0 0 es de rango siempre que Hallamos la matriz hessiana orlada: f f 0 0 f L L H( L) f L L : Para P, = 0 80, P H L Mínimo local condicionado f, P Para :, = 0 80, P H L Mínimo local condicionado f, 4 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao

FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES P Para 3 :, = 0 HL 8 0 P 3, f, Máimo local condicionado Para 4 : P, = 0 80, P4 H L Máimo local condicionado f, [5.5] Hallar los etremos condicionados de la función. a b las variables e por la relación z(, ), estando ligadas Solución: Consideramos la función Lagrangiana: L (,, ) a b Igualando a cero las derivadas parciales de la función Lagrangiana teniendo presente la condición (, ) f 0 a b se obtienen los posibles etremos relativos: L ab 0 a a b a a b L a b 0 b b 0 a b a b 0 ab 0 a b a b a b Además, la matriz A f f 0 0 / / a b es de rango a que ab 0 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao 5

EJERCICIOS RESUELTOS DE CÁLCULO INFINITESIMAL Para determinar si el punto es máimo o mínimo se calcula el determinante de la matriz hessiana orlada en dicho punto: f f 0 0 / a / b f L L H( L) / a 0 0 b a / b 0 f L L ab a b La función tiene un mínimo local en el punto, a b a b ab ab ab la ecuación. Además, z, a b a b a b a b condicionado por [5.6] Sean las funciones f f definidas por: f ( z,, ) z z, f( z,, ) z 8 Hallar los etremos locales de f condicionados por la ecuación f (,, z) 0. Solución Resolveremos el problema por el método de los multiplicadores de Lagrange. Consideramos la función auiliar L(,, z, ) z z ( z 8) puntos críticos que cumplan la ecuación z 8 0 buscamos los L z z 0 L zz 0 L 0 z z 8 z z z z z z z z z z z z 8 z 8 z 8 z z 3 8 Obtenemos un sólo punto crítico, el P (,,) asociado al valor 6 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao

Además, la matriz A z z FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES f f f 0 z 0 0 4 4 4 en el punto P (,,) es de rango. Hallamos la matriz hessiana orlada f f f 0 z f 0 L L L z z z z 0 z H( L) f z z 0 L L L z 0 f L L L z z z z que evaluada en el punto (,,) es: 0 4 4 4 4 0 H( L) 4 0 4 0 los dos últimos menores preferentes: H f f 0 0 4 4 4 0 663 0 4 0 f L L f L L 3 H 4 0 0 H 6 48 0 0 0 cuos signos coinciden con (-) nº de condiciones =(-) Se deduce que la función f ( z,, ) z z tiene un mínimo local en el punto (,,) condicionado por la ecuación f (,, z ) z80 Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica Industrial Bilbao 7

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