Propiedades de los límites

SECCIÓN 3 Cálculo analítico de ites 59 3 Cálculo analítico de ites Evaluar un ite mediante el uso de las propiedades de los ites Desarrollar usar una estrategia para el cálculo de ites Evaluar un ite mediante el uso de técnicas de cancelación de racionalización Evaluar un ite mediante el uso del teorema del encaje Propiedades de los ites En la sección se vio que el ite de f() cuando se aproima a c no depende del valor de f en c Sin embargo, puede darse el caso de que este ite sea f(c) En esta situación, se puede evaluar el ite por sustitución directa Esto es: f fc Sustituir por c c Las funciones con este buen comportamiento son continuas en c En la sección 4 se eaminará con más detalle este concepto TEOREMA ALGUNOS LÍMITES BÁSICOS f(c) = Si b c son números reales n un entero positivo: c f(c) = c = b b c 3 c c c n c n = c c Figura 6 c c DEMOSTRACIÓN Para comprobar la propiedad del teorema, es necesario demostrar que para todo 0 eiste un 0 tal que c siempre que 0 c Para lograrlo, elegir Entonces, la segunda desigualdad lleva implícita a la primera, como se muestra en la figura 6 Con esto se realiza la comprobación (Las comprobaciones de las demás propiedades de los ites de esta sección se encuentran en el apéndice A o se analizan en los ejercicios) NOTA Cuando se tengan nuevas notaciones o símbolos en matemáticas, ha que cerciorarse de conocer cómo se leen Por ejemplo, el ite del ejemplo c se lee el ite de cuando se aproima a es 4 EJEMPLO Evaluación de ites básicos a) 3 3 b) 4 c) 4 TEOREMA PROPIEDADES DE LOS LÍMITES 4 Si b c son números reales n un entero positivo, f g son funciones con los ites siguientes: f L c Múltiplo escalar: Suma o diferencia: 3 Producto: 4 Cociente: 5 Potencias: g K c b f bl c c c c f g L K fg LK f g L K, c fn L n siempre que K 0

60 CAPÍTULO Límites sus propiedades EJEMPLO Límite de un polinomio 4 3 4 3 Propiedad 4 3 4 3 9 Propiedad Ejemplo Simplificar En el ejemplo, se observa que el ite (cuando ) de la función polinomial p() 4 3 es simplemente el valor de p en p p 4 3 9 Esta propiedad de sustitución directa es válida para todas las funciones polinomiales racionales cuos denominadores no se anulen en el punto considerado TEOREMA 3 LÍMITES DE LAS FUNCIONES POLINOMIALES Y RACIONALES Si p es una función polinomial c un número real, entonces: p pc c Si r es una función racional dada por r() p()q() c un número real tal que q(c) 0, entonces r rc pc c qc EJEMPLO 3 Límite de una función racional Encontrar el ite: Solución Puesto que el denominador no es 0 cuando, se puede aplicar el teorema 3 para obtener 4 Las funciones polinomiales racionales son dos de los tres tipos básicos de funciones algebraicas El siguiente teorema se refiere al ite del tercer tipo de función algebraica: el que contiene un radical Ver la demostración de este teorema en el apéndice A EL SÍMBOLO DE RAÍZ CUADRADA El primer uso de un símbolo para denotar a la raíz cuadrada data del siglo XVI Al principio, los matemáticos emplearon el símbolo, que tiene sólo dos trazos Éste se eligió por su parecido con una r minúscula, para representar la palabra latina radi, que significa raíz TEOREMA 4 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN RADICAL Si n es un entero positivo El siguiente ite es válido para toda c si n es impar, para toda c 0 si n es par: n c n c

SECCIÓN 3 Cálculo analítico de ites 6 El siguiente teorema aumentará notablemente su capacidad para calcular ites, a que muestra cómo tratar el ite de una función compuesta Ver la demostración de este teorema en el apéndice A TEOREMA 5 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA Si f g son funciones tales que g L f fl, entonces: c L c fg f c g f L EJEMPLO 4 Límite de una función compuesta a) Puesto que se sigue que b) Puesto que 0 4 0 4 4 4 4 0 4 = 4 0 3 0 8 3 se sigue que 3 3 0 3 8 3 8 38 Se ha visto que los ites de muchas funciones algebraicas se pueden calcular por medio de la sustitución directa Las seis funciones trigonométricas básicas también cuentan con esta deseable propiedad, como se muestra en el siguiente teorema (presentado sin demostración) TEOREMA 6 LÍMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Sea c un número real en el dominio de una función trigonométrica dada sen sen c c 3 tan tan c 4 c 5 sec sec c 6 c cos cos c c cot cot c c csc csc c c EJEMPLO 5 Límites de funciones trigonométricas a) b) c) tan tan0 0 0 cos cos cos 0 sen sen 0 0 0

6 CAPÍTULO Límites sus propiedades Una estrategia para el cálculo de ites En las tres páginas previas se han estudiado diversos tipos de funciones cuos ites pueden calcularse mediante sustitución directa Lo anterior, aunado al teorema siguiente, permite desarrollar una estrategia para calcular ites Ver la demostración de este teorema en el apéndice A TEOREMA 7 FUNCIONES QUE COINCIDEN EN TODO SALVO EN UN PUNTO f() 3 3 Sea c un número real f() g() para todo c en un intervalo abierto que contiene a c Si eiste el ite de g() cuando se aproima a c, entonces también eiste el ite de f() f g c c EJEMPLO 6 Cálculo del ite de una función Encontrar el ite: 3 f g coinciden salvo en un punto Figura 7 3 g() Solución como Sea f() ( 3 )( ) Al factorizar cancelar factores, f se puede escribir f De tal modo, para todos los valores de distintos de, las funciones f g coinciden, como se muestra en la figura 7 Puesto que el g() eiste, se puede aplicar el teorema 7 concluir que f g tienen el mismo ite en 3 3 g, Factorizar Cancelar factores idénticos o factores comunes Aplicar el teorema 7 Usar sustitución directa Simplificar AYUDA DE ESTUDIO Cuando se aplique esta estrategia al cálculo de ites, recordar que algunas funciones no tienen ite (cuando se aproima a c) Por ejemplo, el siguiente ite no eiste 3 UNA ESTRATEGIA PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES Aprender a reconocer cuáles ites pueden evaluarse por medio de la sustitución directa (estos ites se enumeran en los teoremas a 6) Si el ite de f() cuando se aproima a c no se puede evaluar por sustitución directa, tratar de encontrar una función g que coincida con f para todo distinto de c [Seleccionar una g tal que el ite de g() se pueda evaluar por medio de la sustitución directa] 3 Aplicar el teorema 7 para concluir de manera analítica que ( ) g( ) g( c) c c 4 Utilizar una gráfica o una tabla para respaldar la conclusión

SECCIÓN 3 Cálculo analítico de ites 63 Técnicas de cancelación de racionalización En los ejemplos 7 8 se muestran dos técnicas para calcular ites de manera analítica La primera utiliza la cancelación de factores comunes la segunda, la racionalización del numerador de una fracción EJEMPLO 7 Técnica de cancelación Encontrar el ite: 3 6 3 Solución Aunque se trata del ite de una función racional, no se puede aplicar el teorema 3 debido a que el ite del denominador es 0 6 3 3 6 0 3 La sustitución directa falla 3 4 f() 6 3 3 0 3 Puesto que el ite del numerador también es 0, numerador denominador tienen un factor común: ( 3) Por tanto, para toda 3, se cancela este factor para obtener 5 f no está definida para 3 Figura 8 f 6 3 3 3 Empleando el teorema 7, se sigue que g, 3 NOTA En la solución del ejemplo 7, cerciorarse de distinguir la utilidad del teorema de factorización del álgebra Este teorema establece que si c es un cero de una función polinomial, entonces ( c) es un factor del polinomio Por tanto, si se aplica sustitución directa a una función racional se obtiene rc pc qc 0 0 puede concluirse que ( c) es un factor común de p() de q() 6 3 3 3 5 Aplicar el teorema 7 Usar sustitución directa Este resultado se muestra de forma gráfica en la figura 8 Observar que la gráfica de la función f coincide con la de la función g(), sólo que la gráfica de f tiene un hueco en el punto (3, 5) En el ejemplo 7, la sustitución directa produce la forma fraccionaria 00, que carece de significado A una epresión como 00 se le denomina forma indeterminada porque no es posible (a partir sólo de esa forma) determinar el ite Si al intentar evaluar un ite se llega a esta forma, debe reescribirse la fracción de modo que el nuevo denominador no tenga 0 como ite Una manera de lograrlo consiste en cancelar los factores idénticos o comunes, como se muestra en el ejemplo 7 Otra manera consiste en racionalizar el numerador, como se hace en el ejemplo 8 CONFUSIÓN TECNOLÓGICA Puesto que las gráficas de 3 5 + 3 + f 6 3 g Gráfica incorrecta de f Figura 9 Irregularidades (3, 5) 5 difieren sólo en el punto (3, 5), la configuración normal de una herramienta de graficación podría no distinguir entre ellas No obstante, debido a la configuración de puntos ( pieles ) a los errores de redondeo, quizá sea posible encontrar configuraciones de pantalla que distingan las gráficas De manera específica, aplicando el zoom repetidas veces cerca del punto (3, 5) en la gráfica de f, la herramienta de graficación podría mostrar fallas o irregularidades que no eisten en la gráfica real (ver la figura 9) Si se modifica la configuración de pantalla, podría obtenerse la gráfica correcta de f

64 CAPÍTULO Límites sus propiedades EJEMPLO 8 Técnica de racionalización Encontrar el ite: 0 Solución Al utilizar la sustitución directa, se obtiene la forma indeterminada 00 0 0 0 0 0 La sustitución directa falla En este caso, se puede reescribir la fracción racionalizando el denominador: f(), 0 Ahora, cuando se emplea el teorema 7, se puede evaluar el ite como se muestra a continuación: 0 0 El ite de f() cuando se aproima a 0 es Figura 0 Una tabla o una gráfica puede servir para fortalecer la conclusión de que el ite es (ver la figura 0) se aproima a cero por la izquierda se aproima a cero por la derecha 05 0 00 000 0 000 00 0 05 f 05359 053 0503 0500? 04999 04988 0488 047 f() se aproima a 05 f() se aproima a 05 NOTA La técnica de racionalización en el cálculo de ites se basa en multiplicar por una forma conveniente de En el ejemplo 8, la forma apropiada es

SECCIÓN 3 Cálculo analítico de ites 65 f g h h() f() g() Teorema del encaje Figura f queda aquí c h g f Teorema del encaje El siguiente teorema se refiere al ite de una función que está encajada entre otras dos, cada una de las cuales tiene el mismo ite en un valor dado de, como se muestra en la figura (ver la demostración de este teorema en el apéndice A) TEOREMA 8 TEOREMA DEL ENCAJE Si h() f() g() para todos los en un intervalo abierto que contiene a c, por la posible ecepción de la propia c, si h L g c c entonces el c f eiste es igual a L En la demostración del teorema 9 se aprecia la utilidad del teorema del encaje (también se le llama teorema del emparedado o del pellizco) TEOREMA 9 DOS LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS ESPECIALES sen 0 cos 0 0 (cos, sen ) (, tan ) DEMOSTRACIÓN Con el fin de evitar la confusión entre dos usos distintos de, se presenta la demostración utilizando la variable, donde denota un ángulo agudo positivo medido en radianes En la figura se muestra un sector circular encajado o emparedado entre dos triángulos (, 0) tan sen Sector circular utilizado para demostrar el teorema 9 Figura Área del triángulo Área del sector Área del triángulo tan Al multiplicar cada epresión por sen resulta cos sen sen tomando sus recíprocos e invirtiendo las desigualdades se obtiene: cos sen Puesto que cos cos () (sen ) [sen ()](), se conclue que esta desigualdad es válida para todo distinto de cero dentro del intervalo abierto (, ) Por último, dado que cos, se puede aplicar el teorema del encaje para con- 0 0 cluir que (sen ) La demostración del segundo ite se deja como ejercicio para 0 el lector (ver el ejercicio 3)

66 CAPÍTULO Límites sus propiedades EJEMPLO 9 Un ite en el que interviene una función trigonométrica f() = tan 4 Encontrar el ite: Solución La sustitución directa tiene como resultado la forma indeterminada 00 Para resolver este problema, se puede escribir tan como (sen )(cos ) obtener Ahora, puesto que se puede obtener tan 0 tan 0 0 sen cos sen 0 0 cos El ite de f() cuando se aproima a 0 es Figura 3 tan 0 sen 0 0 (Ver la figura 3) cos EJEMPLO 0 Un ite en el que interviene una función trigonométrica Encontrar el ite: 0 sen 4 g() = sen 4 El ite de g() cuando se aproima a 0 es 4 Figura 4 6 Solución La sustitución directa tiene como resultado la forma indeterminada 00 Para resolver este problema, se puede escribir el ite como sen 4 0 Al ser ahora 4 observar que 0 si sólo si 0, se puede escribir 0 (Ver la figura 4) 4 sen 4 0 4 sen 4 4 4 sen 0 4 4 sen 4 0 4 Multiplicar dividir entre 4 Aplicar el teorema 9() TECNOLOGÍA Utilizar una herramienta de graficación para confirmar los ites de los ejemplos del conjunto de ejercicios Por ejemplo, las figuras 3 4 muestran las gráficas de: f tan g sen 4 Observar que la primera gráfica parece contener el punto (0, ) la segunda al punto (0, 4), lo cual respalda las conclusiones obtenidas en los ejemplos 9 0