AVISO: Esta página ha sido generada para facilitar la impresión de los contenidos. Los enlaces externos a otras páginas no serán funcionales. U2-T4: Un método personalizado: Gauss 1. Karl F. Gauss. Im agen de Bcrowell bajo licencia Creative Com m ons Querido alumno, si has llegado hasta aquí es porque has sobrevivido a las "x", y a las "y".ves como no era para tanto... Y si añadimos una z? Y una t? Y,...? Bueno, bueno, echa el freno, Madaleno! dirás. En los otros temas, hemos resuelto problemas en los que ha sido necesario plantear una ecuación con una incógnita o un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas. Pero, y si hay más incógnitas? Y si desconocemos más de dos datos? Ha llegado el momento de dar un pasito más. Señoras y señores, con unstedes un nuevo amigo, Gauss, Karl Friedrich Gauss, uno de los matemáticos más importantes de todos los tiempos. Él nos va a ayudar a resolver estos problemas y ya verás que una vez aprendido el método de reducción en el tema anterior, esto va a ser muy parecido. 1/20
En este tema vamos a resolver situaciones en las que vamos a tener que plantear tres incógnitas y como es normal, necesitaremos tres ecuaciones. El método que vamos a aprender sirve para cualquier número de incógnitas, pero nosotros vamos a centrarnos solamente en tres. Lo que hacía Gauss con 10 años: 1. Tres incógnitas, una ecuación El otro día estaba mi hermana Ana en la tienda de Juan y mientras observaba la ropa de los estantes, escuchó la conversación entre Juan y un caballero. Juan: Bien pues entonces lleva usted calcetines, las camisetas y 2/20
estas camisas. Caballero: Sí, exacto. Juan: Muy bien, pues son 52 euros. Ana vio los precios de las ofertas y éstos marcaban: "calcetines: 1 ", "camisetas 6 " y "camisas 18 " Entonces se preguntó, cuánto habrá comprado de cada cosa? 2. Im agen de blog.jm c.bz bajo licencia Creative Com m ons Fíjate que ahora tenemos tres incógnitas, el número de calcetines, el número de camisetas y el número de camisas que hemos comprado. Vamos a utilizar entonces 3 letras; x= nº calcetines, y = nº camisetas, z = nº camisas. Si planteamos una ecuación, ésta será la del dinero gastado y vendrá dada por: x + 6y + 18z = 52 Una solución es, por ejemplo, x=4, y=2, z=2; es decir, que ha comprado 4 pares de calcetines, 2 camisetas y 2 camisas, pues: 4 + 6 2 + 18 2 = 4 + 12 + 36 = 52. Y usando la gran estrategia de la cuenta de la vieja que vimos en el tema 2, podríamos encontrar más soluciones; también nos valdría, x=4, y=5, z=1; y también valdría, x=10, y=4, z=1; y también... Existirían muchas posibilidades de forma que el precio a pagar sea 52. Y eso que en este problema, para que tengan sentido los valores de las soluciones, no puede haber cifras decimales ni números negativos, pero si en lugar de número de camisetas habláramos de kilos, imagínate. Una ecuación lineal con tres incógnitas es una ecuación de la forma: ax + by + cz = d Una solución de esta ecuación es un trío de valores; uno para x, otro para y y otro para z. 3/20
Cualquier ecuación con tres incógnitas tiene infinitas soluciones, pues basta darle un valor cualquiera a una incógnita (por ejemplo, "x"), otro valor a otra (por ejemplo, "y") y ajustar el valor que tiene que tener la tercera(sería en nuestro caso "z") para que se cumpla la igualdad. Contesta verdadero o falso a las siguientes cuestiones 1.- La ecuación 2x2 + 8y - 3z = 6 es una ecuación lineal con tres incógnitas Verdadero Falso 2.- La ecuación -7x +8x y - 3z = 0 es una ecuación lineal con tres incógnitas Verdadero Falso 3.- La ecuación 3x + 5y - 7z = -1, tiene infinitas soluciones Verdadero Falso 4.- El trío (2,1,-1) es una solución de la ecuación x + 2y + 3z = 1 Verdadero Falso 5.- x=5, y =0 y z=2 es solución de la ecuación -2x + 8y +3z = 4. Verdadero Falso Si recuerdas, en el tema anterior, cuando queríamos encontrar soluciones de una ecuación con dos incógnitas, le dábamos valores a una de ellas y cálculabamos el valor que le correspondía a la otra haciendo que se cumpliera la ecuación. Bien, pues ahora, como hemos comentado arriba, al tener tres incógnitas, tendremos que darle valores a dos de las incógnitas y calcular el que le corresponde a la tercera sustituyendo en la ecuación y despejando. Por ejemplo, si tenemos la ecuación: x + 2y - 3z =4 y queremos calcular una solución, le damos por ejemplo, el valor 1 a la "y" y el 0 a la "z". Así nos quedaría: de donde x + 2 1-3 0 = 4 x + 2 = 4 y por tanto x = 2, luego una solución sería: x = 2; y = 1; z = 0. Si quisiéramos otra solución, bastaría con darle otros dos valores a dos letras y volver a sustituir y despejar. Por ejemplo, podemos ahora hacer que x valga 1 e y valga 0. 4/20
Entonces: de donde y despejando, z = 3/(-3); o sea z = -1. 1 + 2 0-3z = 4 1-3z = 4 Luego otra solución sería: x = 1; y = 0; z = -1 Y así podríamos seguir de manera infinita, por tanto, existen infinitas soluciones, infinitos tríos para esta ecuación. Al igual que las soluciones de una ecuación con dos incógnitas se representaba como una recta en el plano, podemos representar gráficamente las infinitas soluciones de una ecuación con tres incógnitas. En este caso, el significado geométrico es un plano en el espacio. Es decir, todas las soluciones de una ecuación lineal con tres incógnitas se representan gráficamente como un plano. Por ejemplo, la imagen de la derecha muestra la gráfica del plano: en el espacio. 2x - 6y + 3z = 2, Los puntos sombreados serían todos los puntos que son solución de la ecuación. 5/20
2. Sistemas con varias ecuaciones En numerosas ocasiones se nos presentan situaciones en las que tenemos que poner varias incógnitas, como hemos visto anteriormente, y en las que tenemos que imponer varias restricciones por la propia información de la que disponemos. 3. Im agen de ex novo bajo licencia Creative Com m ons. Por ejemplo, imagínate que en la situación anterior, Ana sabe también que en total ha comprado 8 artículos el caballero. Ahora además de saber que se ha gastado 52 euros, sabemos que ha comprado solamente 8 artículos, así que por ejemplo la solución, 4 pares de calcetines, 5 camisetas y 1 camisa ya no nos vale. Ahora podríamos plantear una nueva ecuación que nos relacione las incógnitas con ese nuevo dato. Puesto que x, y, z contaban el número de calcetines, de camisetas y de camisas respectivamente, tendríamos que: x + y + z = 8. Juntando las dos ecuaciones, tendríamos que cualquier solución del problema deberá cumplirlas a la vez: Esto da lugar a un sistema de ecuaciones. Como hemos visto en el tema anterior, un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones lineales con varias incógnitas para el que se quiere encontrar una solución común, es decir, una solución del sistema debe ser un conjunto de valores, uno para cada incógnita, que cumpla TODAS las ecuaciones. El sistema anterior con dos ecuaciones y tres incógnitas sigue teniendo muchas soluciones, menos que al principio, pero sigue siendo infinito el número de soluciones, 6/20
teniendo en cuenta números decimales y negativos. Por ejemplo, puedes comprobar que: x=-0.8, y= 8.8, z= 0 es una solución del sistema anterior. Otra podría ser x=1.6 y=5.4 z=1, y así hasta infinitas posibilidades. Para que un sistema de ecuaciones tenga una única solución deberemos tener al menos tantas ecuaciones como incógnitas. Por tanto si planteamos problemas con tres incógnitas, deberemos sacar tres ecuaciones para encontrar su solución. Contesta verdadero o falso a las siguientes cuestiones: 1) x=1, y=3, z=1 es una solución del sistema: Verdadero Falso 2) El sistema anterior tiene una única solución. Verdadero Falso 3) El trío x=0, y=4, z=-4 es solución del sistema: Verdadero Falso 7/20
Señala los tríos que sean solución del sistema: (-1, 1, 4) (3, 5, 0) (4, 2, 1) (1.5, 0.5, 1.5) 3. El método de Gauss 4. Sello de correos alem án con la im agen de Gauss. Im agen de Nobbip bajo licencia Creative Com m ons Bueno, pues después de introducir las ecuaciones con tres incógnitas y los sistemas de ecuaciones con tres incógnitas, ha llegado el momento de ver cómo resolverlos, es decir, de ver cómo llegar a la solución común a todas las ecuaciones. En los ejemplos anteriores hemos comprobado si un conjunto de valores es o no solución de un sistema. Ahora, al igual que hemos hecho en el tema 3 con los métodos de sustitución, igualación y reducción, vamos a ver cómo se resuelven estos sistemas de ecuaciones con tres incógnitas. Como ya hemos mencionado antes, si tenemos tres incógnitas, deberemos tener también, al menos, tres ecuaciones para que el sistema tenga una sola solución. Sabías qué Gauss tuvo una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia y se le tiene como uno de los matemáticos más influyentes de la historia? Gauss es considerado "el príncipe de las matemáticas" y "el matemático más grande desde la antigüedad" 8/20
En el siguiente enlace de divulgamat tienes una breve biografía de Gauss 3.1. Todo consiste en reducir Vamos a replantear el problema con el que empezamos el tema. Recuerdas, Ana estaba en la tienda de Juan y observa que una persona se lleva calcetines, camisetas y camisas y paga 52. Antes había visto que los pares de calcetines estaban a 1, las camisetas a 6 y las camisas a 18. Y como queríamos saber el número de prendas de cada tipo que compraba el caballero, habíamos llamado x= nº calcetines; y= nº camisetas; z= nº camisas. 5. Im agen de opendeco.es bajo licencia Creative Com m ons gastó 36. Ahora vamos a añadirle dos nuevas restricciones, y es que, sabemos que el caballero compró tantas camisetas como camisas y que en camisas se Cuántos calcetines, camisetas y camisas compró el caballero? Comenzamos traduciendo el enunciado al lenguaje algebraico: Paga 52 y los pares de calcetines estaban a 1, las camisetas a 6 y las camisas a 18 x + 6y + 18z = 52 Compró tantas camisetas como camisas y = z ; o lo que es lo mismo y - z = 0 6. Im agen de solostocks.com bajo licencia Creative Com m ons En camisas se gastó 36 9/20
18z = 36 Por tanto juntando las tres ecuaciones, tendríamos el sistema: Un sistema de esta forma tiene fácil solución, pues de la última ecuación sacamos que z = 2, Sustituyendo en la segunda ese valor de z, sacamos que y = 2, y sustituyendo ambos valores en la primera, obtenemos que x = 4 Como hemos visto en el ejemplo, si tenemos un sistema en el que en cada ecuación hay una incógnita menos, encontrar la solución es muy fácil, pues basta calcular el valor de la incógnita de la última ecuación e ir sustituyendo en las anteriores. La clave estará en reducir el sistema que nos den a uno del tipo anterior, es decir, a un sistema que tenga: Una ecuación con tres incógnitas, otra con dos incógnitas y una última con una sola incógnita. Cuando el sistema está de esa forma decimos que está escalonado o en forma escalonada. 10/20
Para conseguir que el sistema sea escalonado utilizaremos procedimientos similares a los usados en el método de reducción. Vamos a practicar antes de seguir. Resuelve los sistemas: Debe salirte como solución x = 2; y = 3; y z = -2 en el primer sistema y x =1; y = -1; z = 1 en el segundo. 3.2. Gauss resuelve el sistema Lo habitual es que el sistema que nos salga no sea tan fácil de resolver como los que hemos visto en el punto anterior, pero como ya hemos mencionado, la clave consistirá en transformarlo en otro equivalente que sí sea de esa forma triangular. Para resolver estos sistemas utilizaremos el método de Gauss, que consiste en encontrar otro sistema con la misma solución en el que cada una de las ecuaciones tiene una incógnita menos que la anterior. Para conseguirlo podemos usar las siguientes transformaciones: Cambiar de orden dos ecuaciones. Multiplicar o dividir los dos miembros de una ecuación por un mismo número. Cambiar una ecuación por la suma de ésta más otra ecuación. 7. Monum ento a Gauss-Weber en Göttingen. Im agen de Longbow4u bajo licencia Creative Com m ons Si te fijas, estas transformaciones son las mismas que aplicábamos en el tema anterior cuando resolvíamos un sistema por el método de reducción. Había que multiplicar las ecuaciones por números para que cuando las sumaramos una de las incógnitas desapareciera. 11/20
Vamos a ver con un ejemplo cómo se resuelve un sistema utilizando este método. 8. Im agen de Jual bajo licencia Creative Com m ons Tres amigos han decidido invertir parte de sus ahorros comprando acciones de tres valores bursátiles: La empresa aseguradora "XAFXA", el Banco "BANKCESTO" y la constructora "SURCO". Queremos averiguar cuánto valen las acciones de esas empresas y disponemos de la siguiente información: Sebastián ha comprado 100 acciones de XAFXA, 60 del banco y 20 de la constructora y en total ha pagado 1.660. Miguel Ángel ha comprado 60 acciones de la aseguradora, 10 del banco y 100 de la constructora SURCO y ha desembolsado 1.570. Por último, Adrián, más confiado en los valores de la construcción, ha invertido de la siguiente forma: 30 acciones de XAFXA y 150 de SURCO y ha gastado 1.560. Vamos a comenzar traduciendo todo ese enunciado al lenguaje algebraico. Como queremos saber el precio de cada acción, vamos a llamarle x al precio de una acción de la aseguradora, y al precio de una acción del banco y por último z al precio de una acción de la constructora. A continuación, vamos a convertir cada una de las condiciones en una ecuación: 9. Im agen de brucknerite, bajo licencia Creative Com m ons Sebastián ha comprado 100 acciones de XAFXA, 60 del banco y 20 de la constructora y en total ha pagado 1.660. 100x + 60y + 20z = 1.660 Miguel Ángel ha comprado 60 acciones de la aseguradora, 12/20
10 del banco y 100 de la constructora SURCO y ha desembolsado 1.570. 60x + 10y + 100z = 1.570 Adrián, más confiado en los valores de la construcción, ha invertido de la siguiente forma: 30 acciones de XAFXA y 150 de SURCO y ha gastado 1.560. 30x + 150z = 1.560 Juntando las tres ecuaciones llegamos al sistema: Aunque si te fijas, este sistema podemos simplificarlo, pues en cada ecuación podemos dividir los dos términos por 10. Así que el sistema que vamos a resolver va a ser: En el siguiente vídeo te explicamos cómo encontrar la solución de ese sistema: Luego la solución del problema es que las acciones de "XAFXA" cuestan 12 euros, las del banco "BANKCESTO" están a 5 euros y las de la constructora "SURCO" a 8 euros 13/20
Como has visto en el ejemplo, el método de Gauss consiste en eliminar los elementos que se encuentran por debajo de la diagonal. Para ello, se multiplican las filas por números adecuados para que al sumarlas se vaya el elemento deseado, tal como se hace en el método de reducción para eliminar una incógnita. Para hacer ceros en la primera columna, utilizamos la primera fila y la que ocupa el elemento que queremos eliminar. Para hacer ceros en la segunda columna, utilizamos la segunda fila y la que ocupa el elemento que queremos eliminar. A veces suele usarse la notación matricial del sistema para simplificar la escritura, como en el siguiente ejemplo. Aquí puedes ver otro sistema resuelto aplicando el método de Gauss con números más pequeños y por tanto más fácil. Pincha en el botón para avanzar en la presentación. 14/20
10. Anim ación de m atesym as.es bajo licencia Creative Com m ons Selecciona las respuestas que sean correctas. Queremos resolver el sistema: Para eliminar "3x" de la segunda ecuación: Multiplico la 1ª ecuación por 3, la segunda la dejo igual y sumo. Multiplico la 1ª ecuación por -3, la segunda la dejo igual y sumo. Multiplico la 1ª por 3, la segunda por -1 y sumo. Para eliminar el término -2x de la tercera ecuación: Multiplico la 1ª ecuación por 2, la tercera la dejo igual y sumo. Multiplico la 2ª ecuación por 2 y la tercera por 3 y sumo Multiplico la 1ª ecuación por -2, la tercera por -1 y sumo 15/20
Completa los cuadro en blanco con los números y signos que correspondan. Ojo: no dejes espacios en blanco entre los signos y los números. Escríbelo todo seguido. Para resolver el sistema comenzamos haciendo cero el término 3x. Para ello multiplicamos la primera ecuación por (-3) y le sumamos la segunda, quedando entonces 0x y z =. Para eliminar el -2x, multiplicamos la primera ecuación por 2 y sumamos con la tercera, quedando ésta entonces 0x y z = Y por tanto el sistema queda: 1ª Ecuación: 2ª Ecuación: 3ª Ecuación: Encuentra la solución de los siguientes sistemas usando el método de Gauss: y El primero debe salirte x= 1; y = -1; z = 2 y el segundo x= 0; y = 3; z = 1 16/20
4. A veces muchas, a veces ninguna Todos los sistemas del punto anterior podían resolverse y encontrábamos una solución para cada incógnita. Es decir, el sistema tiene una única solución. Como ya vimos en el tema anterior, cuando ocurre esto, decimos que el sistema es COMPATIBLE DETERMINADO. Hay veces en las que a pesar de tener tres ecuaciones en el sistema, una de ellas no aporta ninguna información nueva; no añade nada nuevo, por lo que en realidad tenemos dos ecuaciones y por tanto infinitas soluciones para el sistema. Esto ocurre cuando al aplicar el método de Gauss en el último paso, sucede que se van todas las incógnitas y los términos independientes, es decir, llegamos al caso en el que la última ecuación queda: Como esto siempre es verdad, volvemos a insistir en que el sistema tendrá infinitas soluciones (siempre, claro está, que las dos ecuaciones que quedan no sean contradictorias). En este caso, como vimos en el tema anterior, decimos que el sistema es COMPATIBLE INDETERMINADO. 0=0 Un sistema de ecuaciones diremos que es compatible indeterminado si tiene infinitas soluciones. Esto ocurre si al resolver el sistema, llegamos a la situación 0 = 0 y nos quedamos con menos ecuaciones que incógnitas. Vamos a resolver el siguiente sistema y vamos a ver que ocurre lo que acabamos de comentar: 17/20
Aplicando el método de Gauss, hacemos que sea 0 los coeficientes de x en la 2ª y 3ª ecuación: Sustituimos la segunda ecuación por: 1ª ecuación - 2 (2ª ecuación) Sustituimos la tercera ecuación por: (-3) (1ª ecuación) + 2 (3ª ecuación) Entonces el sistema queda: Por último, hacemos que desaparezca el término con "y" de la tercera ecuación. Para ello: Sustituimos 3ª ecuación por la suma de la 2ª y 3ª ecuación, y nos queda el sistema: Por lo que en realidad, la última ecuación sobra y nos quedamos con las dos primeras. Como nos quedamos con dos ecuaciones para tres incógnitas, el sistema tiene infinitas soluciones. Igualmente puede ocurrir que al aplicar el método de Gauss, la parte de las incógnitas desaparezca en alguna ecuación, pero no así los términos independientes. En este caso llegamos a una situación de la forma: 0 = K, con K un número distinto de cero. Como eso no es verdad, llegamos a que el sistema no tiene solución. A estos sistemas, como ya vimos, se les llama SISTEMAS INCOMPATIBLES. 11. im agen de Fascinating Girl bajo licencia Creative Com m ons 18/20
Un sistema de ecuaciones decimos que es incompatible si carece de solución. Esto ocurre cuando al aplicar el método de Gauss, llegamos a la situación 0 = k, y por tanto, en una ecuación se van las incógnitas pero no los términos independientes. Vamos a ver que el siguiente sistema no tiene solución: Siguiendo los mismos pasos que en el ejercicio resuelto anterior, obtenemos en primera instancia el sistema: Y sumando la 2ª y3ª ecuación para eliminar el término 7y, obtenemos el sistema: Como la en la última ecuación llegamos a una expresión que nunca es cierta, pues 0 10, el sistema no tiene solución. 1.- El sistema de ecuaciones 19/20
Es Compatible Determinado Es Compatible Indeterminado Es un sistema incompatible 2.- El sistema de ecuaciones: Es un sistema Compatible Determinado Es un sistema Compatible Indeterminado Es incompatible 20/20