TEMA 4: INECUACIONES Y PROGRAMACIÓN LINEAL 1. Sistemas de inecuaciones lineales con dos incógnitas (Recuerda: Si multiplicamos o dividimos por un número negativo los dos miembros de una inecuación, debemos invertir el sentido de la desigualdad) Llamamos sistema lineal de inecuaciones con dos incógnitas a un conjunto de dos o más inecuaciones lineales con dos incógnitas que deben verificarse simultáneamente. Las soluciones del sistema son los pares (x, que satisfacen a la vez todas las inecuaciones. Para resolverlo debemos representar en unos ejes de coordenadas cartesianas los semiplanos solución de cada inecuación y marcar la región común a todas ellas. Ejemplo: Resuelve el siguiente sistema de inecuaciones. Como en la primera inecuación aparece el signo, el segmento de esa recta que limita la 3x 4y 1 4x y > 3 x + y < 7 región solución es cerrado (trazo continuo); mientras que los otros dos lados son abiertos (trazo discontinuo) ya que sus desigualdades eran estrictas. Ejercicios: 1º) Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de inecuaciones a) b) x > 0 x + y < y > 0 1 y x 1 y > 0 x 1 y 2x > 1 x > 0 c) d) y 2x x 0 y 2x 0 y x < 0 y + x < 2 y x + 1 2º) Indica todos los números de dos cifras con las siguientes características: la cifra de las unidades menos la cifra de las decenas es mayor que 3 y la suma de las dos cifras es menor que 8. [15 y 16] 3º) Dos espías amigos contrastan sus respectivas claves numéricas de tres cifras y observan que la suma de ambas es menor que 1.000 y su diferencia mayor que 500. Es posible que un espía posea la clave 400? 1/6 IBR IES LA NÍA
4º) Se sabe que dos hermanos tienen como mínimo un año. Determina sus edades en los siguientes casos: a. Si la suma de sus edades es menor que 8 y su diferencia es mayor que 4. [6 y 1] b. Si se llevan 5 años y entre los dos suman menos de 16 años [(6,1),(7,2),(8,3),(9,4),(10,5)] 5º) La edad de un padre es mayor que el doble de la de su hijo, mientras que dentro de 10 años la edad del hijo será mayor que la mitad de la del padre. Halla un par de edades posibles. 6º) Con un stock de 60 cuadernos, 50 carpetas y 40 bolígrafos se forman lotes de tipo A con 2 cuadernos, una carpeta y 2 bolígrafos y lotes de tipo B con 3 cuadernos, una carpeta y un bolígrafo. Cuántos lotes de cada tipo puede formar? 7º) Una compañía tiene dos minas: la mina A produce diariamente una tonelada de carbón de antracita de alta calidad, 2 toneladas de carbón de calidad media y 4 toneladas de carbón de baja calidad; la mina B produce 2 toneladas de cada una de las tres clases. La compañía necesita 70 toneladas de carbón de alta calidad, 130 de calidad media y 150 de baja calidad. Cuántos días deberán trabajar en cada mina para satisfacer sus necesidades? 8º) Una compañía produce dos mezclas de café, Cabanyal y Olivereta, que se obtienen combinando 4 tipos de granos de café: Amazonia, Guinea, Panamá y Ecuador. La cantidad disponible de los distintos tipos, así como la necesaria para conseguir 1 kg de cada mezcla, se describe en la tabla. Analiza las cantidades de cada mezcla que se pueden producir. Grano Disponible Cabanyal Olivereta Amazonia 2500 kg 0,2 kg 0,5 kg Guinea 1500 kg 0,6 kg 0,1 kg Panamá 700 kg 0,2 kg Ecuador 600 kg 0,4 kg 9º) Un trabajador dedica parte de su jornada laboral al reparto de revistas. El trabajador debe repartir por lo menos 30 ejemplares de BOOK, pero el nº total de ejemplares de esta revista nunca debe ser superior al doble de los ejemplares de la otra. Si se puede repartir un máximo de 148 ejemplares cada día, averigua cuántas revistas de cada empresa puede repartir. 10º) (PL) Una destilería produce dos tipos de whisky mezclando sólo dos maltas destiladas distintas, malta A y malta B. El primer tipo de whisky tiene un 70% de malta A(el resto de malta B) y se vende a 12 /litro, mientras que el segundo tiene un 50% de malta A y se vende a 16 /litro. La disponibilidad de las maltas A y B son 132 y 90 litros, respectivamente. Si la demanda del segundo whisky nunca supera a la del primero en más del 80%, cuántos litros de cada whisky debe producir la destilería para maximizar sus ingresos? Cuáles serían en este caso los ingresos de la destilería? 2. Problemas de Programación Lineal. Resolver un problema de programación lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una función lineal F ( x, = ax + by + c, llamada función objetivo, cuando las variables están sometidas a restricciones expresadas mediante inecuaciones lineales. En ocasiones, alguna restricción puede ser una ecuación lineal en lugar de una inecuación. 2/6 IBR IES LA NÍA
Ejemplos: Escribe la función objetivo y las restricciones correspondientes a los siguientes enunciados: 1. Una empresa tiene 8 autocares de 40 plazas y 10 autocares de 50 plazas para trasladar cada día a 400 trabajadores hasta el lugar donde se ubica la fábrica, pero únicamente dispone de 9 conductores. Si el coste por viaje de un autocar grande es de 48 y el de un autocar pequeño es de 36, cuántos autocares de cada tipo utilizará la empresa para trasladar a sus trabajadores de manera que el coste sea el mínimo posible? Cuál será este coste? 2. Un trabajador autónomo coloca cierres de collares y pulsera. Por cada cierre de collar gana 42 céntimos y por cada cierre de pulsera, 30 céntimos. Cada día va a buscar el material a la fábrica con dos estuches de joyería, en uno caben 100 collares y en el otro, 120 pulseras. Si cada día es capaz de colocar 150 cierres como máximo, determina el número de cierres de cada tipo que debe colocar para que su beneficio sea el mayor posible. 3. Métodos de resolución En primer lugar resolveremos el sistema de inecuaciones formado por las restricciones; la región del plano obtenida se denomina región factible. Ésta puede ser acotada o no acotada, abierta o cerrada respecto a cada lado, según se incluya o no en la solución. Lo que pretendemos es encontrar los puntos de esa región factible en los que la función objetivo toma el mayor y el menor valor. Se puede demostrar que la solución se encuentra siempre en los puntos extremos de la región factible. La solución de los problemas de programación lineal puede hallarse mediante métodos algebraicos o gráficos. a) Método algebraico: Obtener todos los vértices de la región factible. Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para determinar en cuál de ellos toma el valor máximo o mínimo. Cuando la función objetivo tome el mismo valor en dos vértices consecutivos, entonces toma ese valor en todo el segmento que los une. Ejercicios: 11º) Dibuja el polígono de vértices (10,0), (11,0), (11,1) y (6,6) y averigua en qué punto de la región limitada por ese polígono alcanza el máximo la función F( x, = 7x + 4y. 3 12º) Calcula el valor máximo y el valor mínimo de la función F ( x, = x + y en el conjunto 2 definido por: x 0, y 0, 3x + 4y 12 0, 3x + 2y 2 0. [segmento] 3/6 IBR IES LA NÍA
b) Método gráfico: Método de las rectas de nivel Si F ( x, = ax + by es la F.O. representamos la recta de ecuación ax + by = 0. Trazamos rectas paralelas a esta recta que pasen por los puntos de la R.F., especialmente por los vértices (rectas de nivel). Aquellas rectas cuya ordenada en el origen (corte con eje Y) alcancen los valores extremos nos darán la solución. Si b>0, la recta de nivel cuya ordenada en el origen (corte eje Y) sea mayor (D en el dibujo) nos dará el vértice en el que alcanza el máximo, y aquella cuya ordenada en el origen sea menor (B en el dibujo) nos dará el vértice que minimiza la función objetivo. Si b<0, la recta de nivel cuya ordenada en el origen (corte eje Y) sea mayor (D en el dibujo) nos dará el vértice en el que alcanza el mínimo, y aquella cuya ordenada en el origen sea menor (B en el dibujo) nos dará el vértice que maximiza la función objetivo. Ejercicios: 13º) Razona si la función F ( x, posee máximo y mínimo en el conjunto solución dado por la inecuaciones: 2x + y 2 a. F( x, = 2x + 3y ; x + y 1 (max 2x y 2 (3,4),min(1,0)) b. F ( x, = x + y ; en c. F( x, = x y ; en x 0 (mín (0,0), no max) y 0 x 0 (ni max ni min) y 0 14º) En una carnicería se prepara fiambre de calidad normal y superior. Un kg de fiambre de calidad normal contiene 0 2 kg de ternera y 0 2 kg de carne de cerdo. Un kg de fiambre de calidad superior contiene 0 4 kg de ternera y 0 2 kg de carne de cerdo. Por cada kg de fiambre de calidad 4/6 IBR IES LA NÍA
normal el carnicero obtiene un beneficio de 8, mientras que si es de calidad superior el beneficio es de 10 por kilo fabricado.. Si el el carnicero dispone de 30 kg de ternera y 20 de carne de cerdo, cuántos kg de fiambre de calidad normal y superior debe fabricar para maximizar sus beneficios? [50,50] 15º) Una persona tiene 5000 para invertir en dos tipos de acciones A y B. El tipo A tiene bastante riesgo con un interés anual del 10% y el tipo B es bastante segura con un interés anual del 7%. Decide invertir como máximo 3000 en A y como mínimo 1000 en B, e invertir en A por lo menos tanto como en B. Cómo debería invertir sus 5000 para maximizar sus intereses anuales? [300A,200B] 16º) Un abono para jardines ha de contener como mínimo 15 unidades de un componente químico líquido y 15 unidades de otro componente sólido. En el mercado se encuentran dos clases de abono: el de tipo A, que contiene una unidad de componente líquido y 5 de sólido, y el de tipo B, que contiene 5 unidades de componente líquido y una de sólido. El precio del tipo A es de 10 y el tipo B es de 30. Qué cantidades han de comprarse de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo? [2 5 u de cada uno] 17º) Un laboratorio fabrica los complejos vitamínicos REVIT y VITAL que se venden a 192 y 221 la caja, respectivamente.. La tabla adjunta indica los contenidos en vitaminas A y B por caja de cada producto. A B REVIT 4 g 6 g VITAL 7 g 3 g El coste de un gramo de vitamina A es de 5, y el coste de 1 gramo de vitamina B es de 12. Justifica que el beneficio obtenido al vender x cajas de REVIT e y cajas de VITAL es de 100x+150y. Se dispone de 38 gramos de vitamina A y 42 gramos de vitamina B. Cuántas cajas de REVIT y cuántas cajas de VITAL deberán fabricarse para que el beneficio sea máximo? [6,2] 18º) Un frutero necesita 16 cajas de naranjas, 5 de plátanos y 20 de manzanas. Dos mayoristas pueden suministrarle para satisfacer sus necesidades, pero sólo venden la fruta en contenedores completos. El mayorista A envía en cada contenedor 8 cajas de naranjas, 1 de plátanos y 2 de manzanas. El mayorista B envía en cada contenedor 2 cajas de naranjas, una de plátanos y 7 de manzanas. Sabiendo que el mayorista A se encuentra a 150 km de distancia y el mayorista B se encuentra a 300 km, calcula cuántos contenedores habrá de comprar a cada mayorista, con objeto de ahorrar tiempo y dinero, reduciendo al mínimo la distancia. [(3,2)] 19º) La fábrica Gepetto SA construye soldados y trenes de madera. El precio de venta al público (PVP) de un soldado es de 27. EL PVP de un tren es de 21. Gepetto SA estima que fabricar un soldado supone un gasto de 10 en materia prima y de 14 en costes laborales. Fabricar un tren exige 9 en materias primas y 10 en costes laborales. La construcción de ambos tipos de juguetes requiere un trabajo previo de carpintería y un proceso final de acabado (pintura, revisión, empaquetado,..). Para fabricar un soldado se necesita una hora de carpintería y dos horas para los trabajos finales de acabado. Un tren necesita una hora de carpintería y una hora para el proceso final de acabado. Gepetto SA no tiene problemas de abastecimiento de materias primas, pero sólo puede contar semanalmente con un máximo de 80 horas de carpintería y un máximo de 100 horas para los trabajos de acabado. Por exigencias del mercado, Gepetto SA fabrica como máximo 40 soldados a la semana. Con los trenes no hay ningún tipo de restricción. Obtén el número de soldados y de trenes que semanalmente deberá fabricar la empresa para maximizar sus beneficios. [20,60] 20º) La compañía aérea Let-al SA tiene comprometido un viaje a Ibiza para 900 pasajeros. Esta empresa tiene aviones pequeños con capacidad para 150 pasajeros y medianos con capacidad para 200 pasajeros. Debido a compromisos anteriores de su flota de aviones medianos sólo puede disponer de tres de ellos. Desplazar a Ibiza un avión pequeño cuesta 6000 y uno mediano 7200. 5/6 IBR IES LA NÍA
Un avión pequeño necesita seis tripulantes mientras que el número de tripulantes de un avión mediano es de ocho. Actualmente la empresa dispone únicamente de 48 tripulantes. Obtén el número de aviones de tipo pequeño y mediano que hace mínimo el coste de los 900 pasajeros a Ibiza. [2 y 3, 33600 ] 21º) Una tienda solicita dos tipos de prendas ligeras, Gekko y Hayate. El fabricante dispone para su confección de 1'5 km de tejido natural y 1 km de tejido sintético. Ambos artículos se confeccionan con 4 m de tejido, pero cada Gekko precisa un 50% de tejido natural, mientras que cada Hayate utiliza un 75% de tejido natural. Si el precio de venta del Gekko es de 100 y el del Hayate es de 80, qué número de prendas de cada tipo debe suministrar el fabricante a la tienda para conseguir que el importe de la venta sea máximo?[375, 250] 22º) Una empresa fabrica dos clases de tornillos, A y B. En la producción diaria, el nº total de tornillos de ambas clases no supera las 3.000 unidades. Además, los tornillos de la clase B siempre alcanzan las 1.000 unidades pero su nº no puede ser superior al nº de tornillos de la clase A más 1.000 unidades. Si los tornillos de la clase A valen 5 céntimos de la unidad y los de la clase B valen 4 céntimos de cada uno, calcula el coste máximo y el coste mínimo de la producción diaria, y di cuántos tornillos de cada clase deben fabricarse para alcanzar este máximo y este mínimo. [máx(2000,1000); mín(0,1000)] 23º) Una peña futbolística prepara el viaje de 130 socios para asistir a un partido. La peña tiene en propiedad 8 vehículos de seis plazas y otros 8 de quince plazas, pero para el día del partido sólo cuentan con doce conductores. El viaje de ida y vuelta con un vehículo de seis plazas cuesta diez euros, mientras que el mismo recorrido con uno de quince plazas cuesta diecisiete euros. Determina cuántos vehículos de cada tipo debe utilizar la peña para que el transporte le resulte lo más económico posible. 24º) Para fabricar dos tipos de cable, A y B, que se venderán a 9 y 6 euros el metro, respectivamente, se emplean 16 kg de plástico y 4 kg de cobre para cada hectómetro del tipo A y 6 kg de plástico y 12 kg de cobre para cada hectómetro del tipo B. Sabiendo que la longitud del cable fabricado del tipo B no puede ser mayor que el doble de la del tipo A y que, además, sólo disponemos de 252 kg de plástico y de 168 kg de cobre, determina la longitud, en hm, de cada tipo de cable que debe fabricarse para que la cantidad de dinero obtenida en su venta sea máxima. (1 hm =100 m) [12 A, 10 B] 25º) Un puesto de venta de productos pirotécnicos dispone de 78 cohetes del tipo CRASH y de 135 del tipo BOOM. Para su comercialización, los distribuye en dos tipos de cajas de cuatro cohetes cada una. Las cajas del tipo BLITZ contienen un cohete CRASH y tres BOMM, mientras que las del tipo KRIEG contienen cohetes CRASH y BOOM a partes iguales. El precio de venta de cada caja BLITZ es de 5 euros y el de cada caja KRIEG de 6 euros. Determina el número de cajas de cada tipo que deben preparar para que los ingresos por la venta sean máximos. [(28,25)] 26º) Las 20 chicas y los 10 chicos de una clase organizan un viaje, para el cual necesitan dinero. Deciden pedir trabajo por las tardes en una compañía encuestadora que contrata dos tipos de equipos: Tipo A: una chica y un chico Tipo B: equipos de 4, formados por 3 chicas y un chico Se paga a 54 euros la tarde a la pareja y 90 euros la tarde al equipo de 4. Cómo les conviene distribuirse para sacar la mayor cantidad posible de dinero? Qué ocurre si pagan 36 a la pareja y 108 al equipo? [(5,5); segmento con soluciones enteras (2,6) y (5,5)] 6/6 IBR IES LA NÍA