1 1 SLUINES LS EJERIIS E L UNI Pág. 1 Página 175 PRTI Semejanza de figuras 1 uáles de estas figuras son semejantes? uál es su razón de semejanza? La primera y la cuarta son semejantes, porque todos los lados de la primera figura miden el doble de los de la segunda figura. opia en una hoja de papel cuadriculado estas dos figuras. Modifica la de la derecha para que sean semejantes. La solución no es única. Estas dos figuras son semejantes, porque: 6,5 1,5 1,5 razón de semejanza 1 6 1,5 1,5 En un mapa cuya escala es 1:1 500 000, la distancia entre dos ciudades es,5 cm. a) uál es la distancia real entre ellas? b) uál será la distancia en ese mapa entre dos ciudades y cuya distancia real es 60 km? a) omo la escala es 1:1 500 000, cada centímetro en el mapa corresponde a 1 500 000 cm en la realidad, que equivalen a 15 km.,5 cm en el mapa serán:,5 15 7,5 km en la realidad. b) 6 000 000 cm 1 500 000 Unidad 1. Semejanza
1 1 SLUINES LS EJERIIS E L UNI Pág. En una oficina de venta de pisos han hecho este plano a escala 1/50. SLÓN MER a) alcula las dimensiones reales del salón y su área. b) Halla las dimensiones de la mesa y del sillón. Te parecen razonables? Es posible que los vendedores hayan dibujado los muebles para dar la sensación de que la habitación es más grande de lo que realmente es? a) ada centímetro del plano equivale a 0,5 m en la realidad. imensiones del salón: (6 0,5 m) ( 0,5 m) m m Área del salón: 6 m b) Mesa: (0,75 0,5 m) (1,55 0,5 m) 0,75 m 0,775 m Podemos considerar (por errores de medición) que la mesa mide: 0, m 0,8 m, es decir, 0 cm 80 cm. Sillón : (0,7 0,5 m) (0,65 0,5 m) 0,5 m 0,5 m 5 cm,5 cm Las medidas no son razonables en absoluto: un salón de 6 m es una estancia algo pequeña. En una mesa de 0 cm 80 cm no caben, se apoyen como se apoyen, seis comensales y, para finalizar, en un sillón de estas medidas no hay quien se siente. onclusión: el plano está hecho hábilmente para engañar al comprador. onstrucción de figuras semejantes 5 La figura ''''E' se ha construido de modo que sus lados sean paralelos a los correspondientes de E y los vértices correspondientes alineados con. e este modo se obtiene una figura semejante a la que había. ' ' ' Halla la razón de semejanza. ' E' E Unidad 1. Semejanza
1 1 SLUINES LS EJERIIS E L UNI Pág. También procediendo como ves a la derecha se obtiene una figura semejante. opia en tu cuaderno el pentágono E y reprodúcelo mediante este método con razón de semejanza. ' cm y 5 cm, es decir, La razón de semejanza es En la segunda figura, el objetivo es conseguir que: 5 5 ' ' ' ' ' E' E '' '' '' E 'E' Los segmentos de ''''E' son paralelos o coinciden con los de E. 6 a) opia en tu cuaderno esta figura y redúcela a 1/ de su tamaño tomando como punto de proyección. b) mplíala al doble tomando como punto de proyección. a) b) '' ' '' '' ' ' '' Unidad 1. Semejanza
1 1 SLUINES LS EJERIIS E L UNI Pág. Semejanza de triángulos 7 os triángulos y ''' son semejantes y su razón de semejanza es /. alcula los lados del triángulo ''' si sabemos que: 1 m, 9 m y 7,5 m Si son semejantes se cumple que: '' '' '' '' '' 1 8 m 1 '' '' 9 6 m 9 '' '' 7,5 5 m 7,5 Página 176 8 En la figura adjunta, MN es paralelo a. alcula M y MN. 1 cm 6 cm N M 8, cm,8 cm Los triángulos NM y están en posición de Tales. Tenemos, pues, las siguientes igualdades: MN N M 8, 1 + 6 MN 8, 1 5,6 MN 5,6 cm MN N MN 1 18 Llamamos x M: MN 8, 5,6 8,x 5,6(,8 + x) M,8 + x x 8,x 5,6x 6,88 x 6,88 9,6,8 Luego M 9,6 cm. Unidad 1. Semejanza
1 1 SLUINES LS EJERIIS E L UNI Pág. 5 9 a) Por qué son semejantes los triángulos PQ y? b) alcula x Q. a) El ángulo ^ es común a los dos triángulos y los ángulos P^ y ^ son rectos, luego los ángulos Q^ y ^ son iguales. Por lo tanto, ambos triángulos son semejantes. b) Por ser triángulos semejantes: P Q 5 cm P Q cm 7 cm x alculamos P aplicando el teorema de Pitágoras: P 5 16 cm P + P + 7 11 cm 11 5 + x 55 0 + x x 5 8,75 P Q 5 x 8,75 cm 10 7 m 18 m m b 9 m a Estos dos triángulos tienen sus lados paralelos. uánto miden los lados a y b? omo los lados respectivos son paralelos: ^ ^', ^ ^', ^ ^' y los triángulos son semejantes. '' a 9 a 9 7 1 m a 1 m '' 7 '' 1 9 b 18 9 7,71 m b 7,71 m '' 18 b 1 11 Si es paralelo a E, y 15 cm, E 11 cm, 6, cm: a) alcula. b) Podemos saber cuánto vale E sin medirlo directamente? c) Si 7 y 80, calcula E, y. 7 80 E Los triángulos E y son semejantes, luego: Unidad 1. Semejanza
1 1 SLUINES LS EJERIIS E L UNI Pág. 6 a) E 11 11 6,,7 cm 15 6, 15 b) No se puede. c) ^ 7, ^ 80 E^ 180 7 80 6 ^ ^ 7 ^ E^ 6 1 Los lados mayores de dos triángulos semejantes miden 8 cm y 1,6 cm, respectivamente. Si el área del primero es 6 cm. uál es el área del segundo? Si la razón de semejanza entre dos triángulos es k, la razón entre sus áreas es k. Razón entre áreas 1,6 ( ) (1,7),89 8 primero 6 cm ',89 ',89 6 75,1 cm 6 El área del segundo triángulo mide 75,1 cm. 1 i cuál es la relación entre los radios de dos círculos si la razón entre sus áreas es 16/9. 16 R 16 ' 9 r 9 plicaciones de la semejanza 1 Para medir la altura de la casa, Álvaro, de 165 cm de altura, se situó a 1,5 m de la verja y tomó las medidas indicadas. uánto mide la casa? a,5 1,65 1,85 m 5,5 + 1,5 h h 7 1,85, m 1,5 1,85 1,5 La altura de la casa es:, + 1,65,95 m Unidad 1. Semejanza
1 1 SLUINES LS EJERIIS E L UNI Pág. 7 15 ibuja un triángulo y, desde cada vértice, traza una recta paralela al lado opuesto. sí obtendrás un nuevo triángulo más grande. a) Justifica por qué es semejante al inicial. b) uál es la razón entre las áreas? a) omo a//a' y b//b', entonces α α'. omo b//b' y c//c', entonces β β'. Por tanto, γ γ'. Los tres ángulos del triángulo grande son iguales a los respectivos del triángulo pequeño. mbos triángulos son semejantes. γ' a' c β b' α b α' a γ c' β' b) Si la razón entre los lados es k, la razón entre las áreas es k. 16 uál es la profundidad de un pozo, si su anchura es 1,5 m y alejándote 0,5 m del borde, desde una altura de 1,7 m, ves que la visual une el borde del pozo con la línea del fondo? Los triángulos y E son semejantes. 1,5 0,5 E h 1,7 h 1,5 m 0,5 m E 1,7 m h 1,7 1,5 0,5 5,1 m La profundidad del pozo es 5,1 m 17 Si una plancha cuadrada de plástico de m de lado pesa 1 kg, cuánto pesará otra plancha, de igual material y grosor, de m de lado? m m m Razón de semejanza: 9 m Razón entre áreas: 1 kg 5, kg pesa la plancha de m de lado. 9 Unidad 1. Semejanza
1 1 SLUINES LS EJERIIS E L UNI Pág. 8 18 Las diagonales de un rombo miden 1 cm y 16 cm. Halla el área de otro rombo semejante al primero, cuyo perímetro sea igual a 1 m. a 6 + 8 100 10 cm P 0 cm P' 100 cm Razón 0 0, 100 d 19 96 cm Razón entre áreas (0,) 0,16 96 ' 8 6 a 16 cm 0,16 ' 96 600 cm 0,16 1 cm 19 uál es la altura de una casa que proyecta una sombra de 68 m, al mismo tiempo que una persona de 1,65 m de altura proyecta una sombra de m? h 68 h h 56,1 m 1,65 La casa tiene una altura de 56,1 m. 1,65 m m 68 m Página 177 0 Esta figura representa, a escala 1: 500, una parcela de terreno. alcula su perímetro y su área, tomando las medidas necesarias. Tomamos las medidas sobre el plano de la parcela: MEI EN EL PLN MEI REL,9 cm 16,5 m, cm 119 m,1 cm 108,5 m h,6 cm 91 m,9 cm Perímetro 6 m Área h 6 10,75 m,1 cm,6 cm, cm Unidad 1. Semejanza
1 1 SLUINES LS EJERIIS E L UNI Pág. 9 1 Para calcular la altura de un árbol, Eduardo ve la copa reflejada en un charco y toma las medidas que indica el dibujo. uál es la altura del árbol? mbos triángulos son semejantes: 1,6 5, 1, 1, La altura del árbol es de 5, m. 1,6 m 1, m m Unidad 1. Semejanza