TEMA 11. Autovalores y autovectores. Diagonalización y formas canónicas.

TEMA 11 F MATEMÁTICOS TEMA 11 Autovalores y autovectores Diagonalización y formas canónicas 1 Introducción Definición 1 (Matrices semejantes) Sean A y B dos matrices cuadradas de orden n Decimos que A es semejante a B si existe una matriz cuadrada P invertible tal que A = P 1 BP Propiedades de las matrices semejantes 1 Si A es semejante a B, entonces A = B 2 Si A es semejante a B, A k es semejante a B k 3 Si A es semejante a B y p(t) es un polinomio con coeficientes en R, entonces p(a) es semejante a p(b) 4 Si A es semejante a B y A es regular, entonces B es regular y A 1 es semejante a B 1 2 Autovalores y Autovectores Definición 2 Dada una matriz cuadrada A, decimos que λ K es un autovalor o valor propio de A si X K n, X Θ / AX = λx Al vector X se le llama autovector o vector propio asociado al autovalor λ Definición 3 Se llama espectro de A, y se designa σ(a), al conjunto de todos los autovalores de la matriz A σ(a) {λ K /λ es autovalor de A} Definición 4 (Subespacio propio) Al conjunto de todos los autovectores asociados a un autovalor λ junto con el vector 0 se le suele notar A λ y se le llama subespacio propio asociado al autovalor λ A λ = {X / AX = λx} { 0} 21 Propiedades de los autovalores 1- Dos autovalores distintos } no tiene autovectores comunes λ 1, λ 2 σ(a) A λ 1 λ λ1 A λ2 = { 0} 2 Es equivalente a decir: Un autovector X admite sólo un autovalor El recíproco, en general, no es cierto 2- A y A t tienen los mismos autovalores 3- Si λ es autovalor de A, kλ es un autovalor de ka 4- Si λ es un autovalor de A, λ k es un autovalor de A ki ITI MECÁNICA Curso 2006/07 1 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

TEMA 11 F MATEMÁTICOS 5- Si λ es un autovalor de A, y A es regular ( A = 0), 1 λ es autovalor de A 1 6- Autovectores correspondientes a autovalores distintos son linealmente independientes 7- Si λ es autovalor de A, λ k es autovalor de A k 3 Polinomio característico λ K es un autovalor o valor propio de A si X K n, X Θ / AX = λx En este caso AX λx = Θ = (A λi)x = Θ Esta última relación representa un sistema homogéneo Recordemos que para que un sistema homogéneo admita solución distinta de la trivial, debe ocurrir que el determinante de la matriz del sistema sea cero, es decir A λi = 0 Para obtener pues, los autovalores de A, bastará resolver la ecuación A λi = 0, llamada ecuación característica de A a 11 λ a 12 a 1n a 21 a 22 λ a 2n A λi = = 0 a n1 a n2 a nn λ que desarrollando se obtiene el polinomio en λ llamado polinomio característico de A P (λ) = a 0 λ n + a 1 λ n 1 + + a n 1 λ + a n = 0 Los autovalores de A son, pues, los ceros de su polinomio característico Definición 5 (Multiplicidad algebraica) Si λ 0 es una raíz de multiplicidad α de la ecuación característica de A, se dirá que λ 0 es un autovalor de orden α de A A α se le llama multiplicidad algebraica de λ y se suele notar m a (λ) Se observa fácilmente que: a 0 = ( 1) n a 1 = ( 1) n 1 traza(a) a n = A Teniendo en cuenta las relaciones existentes entre los coeficientes de una ecuación y sus soluciones, se observa que si λ 1, λ 2,, λ n son las raíces del polinomio característico (no necesariamente autovalores de A, pues pudiera darse el caso de que λ i / K) λ 1 + λ 2 + + λ n = traza(a) λ 1 λ 2 λ n = A Una vez resuelta la ecuación característica y obtenidos por tanto, los autovalores de A, para calcular los autovectores habrá que resolver el sistema (A λ i I)X = Θ para obtener los autovectores correspondientes Nota- De la igualdad λ 1 λ 2 λ n = A, se deduce que si A es una matriz regular, no puede tener ningún autovalor nulo Proposición 6 Si B y A son semejantes, tienen el mismo polinomio característico y, por lo tanto, los mismos autovalores ITI MECÁNICA Curso 2006/07 2 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

TEMA 11 F MATEMÁTICOS Cálculo del polinomio característico de una matriz mediante sus menores diagonales Anteriormente, al estudiar el polinomio característico A λi de una matriz, sólo obtuvimos tres de sus coeficientes Intentamos ahora calcular esos coeficientes que restan sin necesidad de desarrollar A λi Definición 7 (Menor diagonal) Se llama menor diagonal de orden p de una matriz a los menores de las submatrices de orden p que están situadas simétricamente respecto de la diagonal; esto es, aquellas que se obtienen tomando los índices de sus filas iguales a los de sus columnas Teorema 1 Se verifica A λi = ( 1) n λ n + ( 1) n 1 Traza(A)λ n 1 + a n 2 λ n 2 + + a 2 λ 2 + a 1 λ + A [ ( ) ] n donde a h = ( 1) h suma de los menores de orden n h de A h 4 Subespacios invariantes Proposición 8 El subespacio propio asociado a un autovalor λ (A λ ) de una matriz es un subespacio vectorial invariante Definición 9 (Multiplicidad geométrica) Se llama multiplicidad geométrica de λ al número de autovectores linealmente independientes asociados o, lo que es lo mismo, a dim(a λ ) Se suele notar m g (λ) Proposición 10 Sea A M n y λ σ(a) La dimensión del subespacio vectorial propio A λ por dim(a λ ) = dim(n(a λi)) = n rango(a λi) viene dado Proposición 11 Sea A M n y λ σ(a) Si m a (λ) = r entonces la multiplicidad geométrica de λ verifica 1 m a (λ) r 5 Teorema de Cayley-Hamilton Teorema 2 (Teorema de Cayley-Hamilton) Toda matriz cuadrada A sobre un cuerpo K es raíz de su polinomio característico Es decir, si p(λ) = a 0 λ n + a 1 λ n 1 + + a n es el polinomio característico y Θ n es la matriz nula de orden n, entonces p(a) = a 0 A n + a 1 A n 1 + + a n I = Θ n ITI MECÁNICA Curso 2006/07 3 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

TEMA 11 F MATEMÁTICOS 51 Aplicación al cálculo de A 1 51 Aplicación al cálculo de A 1 Sea A una matriz invertible (es decir, A = 0 ) Teniendo en cuenta que a 0 A n + a 1 A n 1 + + a n I = Θ n, se obtiene a 0 A n + a 1 A n 1 + + a n 1 A = a n I Al ser a n = A = 0, I = a 0 A n a 1 A n 1 a 2 A n 2 a n 1 A a n a n a n Multiplicando por A 1 A 1 = a 0 A n 1 a 1 A n 2 a 2 A n 3 a n 1 I a n a n a n a n a n 6 Matrices diagonalizables Definición 12 (Matriz diagonalizable) Sea A M n (K) Diremos que A es diagonalizable sobre K si es semejante a una matriz diagonal Dada una matriz A K n, queremos ver si es semejante a una matriz diagonal, es decir, si P M n tal que P 1 AP = D Supongamos P = X 1 X 2 X n D = D{d 1,, d n } = d 1 d 2 dn Si σ(a) = {λ 1, λ 2,, λ n } y existe una base de A λ formada por autovectores B = { x 1, x 2,, x n }, entonces se verifica que P 1 AP = D{λ 1,, λ n } Recíprocamente, si A es diagonalizable, entonces P M n tal que P 1 AP = D y, por lo tanto, B = { x 1, x 2,, x n }, donde las coordenadas de cada vector x i vienen dadas por las componentes de la columna i de la matriz A, es una base formada por autovectores Así pues, es bastante importante obtener la mencionada base formada por autovectores Es siempre posible encontrar dicha base? En general, la respuesta es NO Teorema 3 La condición necesaria y suficiente para que una matriz sea diagonalizable sobre el cuerpo K es: a) que el polinomio característico se pueda factorizar en K b) que la multiplicidad de cada autovalor λ sea igual a la dimensión del subespacio propio asociado A λ, es decir, que las multiplicidades algebraica y geométrica coincidan m a (λ) = m g (λ) ITI MECÁNICA Curso 2006/07 4 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

TEMA 11 F MATEMÁTICOS 7 Forma canónica de Jordan Hasta ahora hemos visto cuándo una matriz es diagonalizable Hemos dado condiciones en las cuales una matriz cuadrada A era semejante a una matriz diagonal Ahora bien, ese resultado no es siempre posible (basta encontrar autovalores múltiples cuya multiplicidad algebraica no coincida con su multiplicidad geométrica, o bien que el polinomio característico no se pueda factorizar en el cuerpo en que estemos trabajando) Ejemplo- La matriz cuadrada de orden n : J (n) λ = λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ 1 0 λ no es diagonalizable (estas matrices se conocen con el nombre de bloques de Jordan) El problema es que aunque λ tiene multiplicidad algebraica igual a n, no da lugar a n autovectores independientes sino a uno sólo Finalizaremos con el resultado más conocido para matrices no diagonalizables: el teorema de Jordan Este teorema prueba que cualquier matriz cuadrada es semejante a una matriz formada por bloques de Jordan Teorema 4 Sea A una matriz cuadrada Entonces existen r autovalores λ 1, λ 2,, λ r (que pueden ser iguales) y r números naturales m 1, m 2,, m r tales que A es semejante a la matriz diagonal por bloques: J = J (m 1) λ 1 J (m 2) λ 2 J (mr) λ r Esta matriz recibe el nombre de forma canónica de Jordan de la matriz A En ella un mismo autovalor λ aparece en tantos bloques como indica m g (λ) y el número de veces que aparece en la diagonal de J es m a (λ) Si P es la matriz que reduce A a su forma de Jordan, entonces sus m 1 primeras columnas satisfacen: Ax 1 = λ 1 x 1, ie, x 1 es un autovector correspondiente a λ 1 Ax i = λ 1 x i + x i 1 i = 2,, m 1 Los vectores x i (i = 2,, m 1 ) se llaman autovectores generalizados de A, y la sucesión x 1,, x m1 se dice que es una cadena de Jordan correspondiente a λ 1 Naturalmente, cada bloque tiene su cadena correspondiente En el caso de que haya autovalores complejos (simples o múltiples), la forma canónica real de Jordan de la matriz A adopta la forma ITI MECÁNICA Curso 2006/07 5 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

TEMA 11 F MATEMÁTICOS P 1 AP = B = D I 2 D I 2 D I 2 D [ ] [ ] a b 1 0 siendo D = e I b a 2 = para λ = a ± ib, pues si λ es un autovalor, 0 1 también lo es su conjugado λ y con la misma multiplicidad Para clarificar los conceptos veamos un ejemplo: Sea A una matriz cuadrada de orden 9 con λ 1 autovalor real simple siendo x 1 su correspondiente autovector, λ 2 autovalor real doble siendo x 2 su autovector y x 3 su autovector generalizado, λ 3 = a + ib autovalor complejo simple y x 4 = u 1 +i v 1 su correspondiente autovector y por último λ 4 = c+id autovalor complejo doble con x 5 = u 2 + i v 2 como autovector y x 6 = u 3 + i v 3 como autovector generalizado: A x 1 = λ 1 x 1 A x 2 = λ 2 x 2 A x 3 = λ 2 x 3 + x 2 { A u1 = a u A x 4 = λ 3 x 4 A( u 1 + i v 1 ) = (a + ib)( u 1 + i v 1 ) 1 b v 1 { A v 1 = b u 1 + a u 1 A u2 = c u A x 5 = λ 4 x 5 A( u 2 + i v 2 ) = (c + id)( u 2 + i v 2 ) 2 d v 2 A v 2 = d u 2 + c u { 2 A u3 = c u A x 6 = λ 4 x 4 + x 5 A( u 3 + i v 3 ) = (c + id)( u 3 + i v 3 ) + ( u 2 + i v 2 ) 3 d v 3 + u 2 A v 3 = d u 3 + c u 3 + v 2 En definitiva, AP=PB siendo P = x 1 x 2 x 3 u 1 v 1 u 2 v 2 u 3 v 3 y B = λ 1 [ λ2 1 λ 2 ] [ a b ] b a [ ] [ ] c d 1 0 d c [ 0 1 ] c d d c 8 Método de Caros para el cálculo de J 1 ō Se calculan los autovalores de A λ 1, λ 2,, λ k con sus multiplicidades correspondientes m 1, m 2,, m k 2 ō Para cada autovalor λ de multiplicidad m se calculan los rangos de las matrices (A λi) p (a lo sumo habría que calcular la potencia (A λi) m rg(a λi) = r 1 x 1 = n r 1 si x 1 < m, seguimos rg(a λi) 2 = r 2 x 2 = r 1 r 2 si x 1 + x 2 < m, seguimos rg(a λi) p = r p x p = r p 1 r p si x 1 + x 2 + + x p = m, FIN ITI MECÁNICA Curso 2006/07 6 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

TEMA 11 F MATEMÁTICOS x 1 + x 2 + + x p = multiplicidad de λ 3 ō Al valor propio λ le corresponden: x 1 x 2 bloques de Jordan de orden 1 x 2 x 3 bloques de Jordan de orden 2 x p 1 x p bloques de Jordan de orden p 1 x p bloques de Jordan de orden p 9 Cálculo de P Una vez calculada la matriz J por el método de CAROS, procedemos a calcular la matriz P Para ello, llamemos N k,λ = N(A λi) k Tomemos un vector v i N i,λ \ N i 1,λ o lo que es lo mismo, un vector para el cual, según el método de CAROS, exista un bloque de Jordan de orden i Una vez obtenido v i, calculamos: v i 1 v i 2 = (A λi) v i = (A λi) v i 1 v 2 = (A λi) v 3 v 1 = (A λi) v 2 y el vector v 1 resulta ser un autovector de A (o una combinación lineal de ellos) y los vectores { v j } j = 2,, i son sus autovectores generalizados Esta operación se repite para cada bloque de Jordan que nos indique el método de CAROS, obteniendo así m autovectores (propios o generalizados) asociados al autovalor λ Repitiendo el proceso para cada λ llegamos a obtener la matriz P ITI MECÁNICA Curso 2006/07 7 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

TEMA 11 F MATEMÁTICOS Ejercicios 1 Calcular los autovalores y subespacios invariantes asociados a las matrices: A = 1 2 0 1 3 1 B = 5 0 4 0 3 0 0 1 1 2 0 1 2 Diagonalizar las siguientes matrices, calculando la matriz de paso A = 1 0 2 7 5 5 0 1 4 B = 5 2 4 0 0 1 5 4 2 3 Determinar la matriz A = (1ad2be3cf de manera que admita por autovectores a los vectores (1,0,1), (-1,1,0) y (0,1,-1) 4 Sea la matriz A = a b 1 2 p q c 1 r Sabiendo que admite como autovectores (1, 1, 0), ( 1, 0, 2), (0, 1, 1), hallar los autovalores y los elementos de la matriz 5 Sea A = 1 2 1 Expresar A 1 en función de I 3 y de A 1 1 2 6 Dada la matriz A = 1 0 1 a 2 2 3 0 1 a) Calcular los valores de a para los que A es diagonalizable b) Para dichos valores de a, calcular los autovalores y los autovectores de A 1 c) Para dichos valores de a, calcular A n 7 Dada la matriz A = 3 1 b 3 0 a 2 0 c a) Calcular A de forma que (2, 0, 1) sea un autovector cuyo autovalor correspondiente es λ = 1 b) Hallar los demás autovalores y autovectores 8 Estudiar para qué valores de los parámetros a y b, la matriz A = 5 0 0 0 1 b es diagonalizable Calculando: 3 0 a a) Forma canónica de Jordan y matriz de paso para los valores a = 1 y b = 1 b) Forma canónica de Jordan y matriz de paso para a = 1 y b = 10 Calcular en este caso A 129 9 a) Determinar una matriz A cuadrada de orden tres, sabiendo que tiene por autovalores λ = 1 (doble) y λ = 0 y siendo los autovectores para λ = 1 el (1, 2, 1) y su vector asociado es (0,1,0) y el autovector asociado a λ = 0 es (1,-2,0) b) Dada la matriz A = (111011000, obtener la forma canónica de Jordan y su matriz de paso 10 Sabiendo que la matriz A = 0 c a 1 0 b es diagonalizable, tiene un autovector de la forma 1 1 0 (d, 0, 1) con d > 0, y el autovalor correspondiente a (d, 0, 1) es doble, calcular a, b y c ITI MECÁNICA Curso 2006/07 8 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS

TEMA 11 F MATEMÁTICOS 11 Estudiar, según los diferentes valores de a y b, la diagonabilidad de la matriz 11 0 9 A = 9 a b 12 0 b Obtener la forma de Jordan y la matriz de paso para a = 2 y b = 3 12 Dada la matriz A = 2α + 4 1 α 2α 0 4 α 0 0 0 4 (a) Estudiar para qué valores de α es diagonalizable (b) Calcular la forma canónica de Jordan y la matriz de paso para α = 0 13 Hallar la forma canónica de Jordan de la matriz, calculando la matriz de paso, de las matrices: 2 0 2 0 2 0 1 0 A = 1 2 0 2 0 0 2 0 B = 3 2 0 1 0 0 2 0 0 0 1 2 0 0 3 2 14 Resolver la ecuación en diferencias Z n = Z n 1 1 2 Z n 2 con valores iniciales Z 1 = 2 y Z 2 = 1 15 Resolver la ecuación en diferencias dada por x n = 3x n 1 + 4x n 2, con x 1 = 1 y x 2 = 4 16 Obtener la expresión general de la sucesión {X n } dada por la ecuación en diferencias X n = 2 n 1 + 3X n 2, X 1 = 1, X 2 = 2 17 Resolver la ecuación en diferencias D n = 5D n 1 6D n 2, D 1 = 5, D 2 = 19 ITI MECÁNICA Curso 2006/07 9 FUNDAMENTOS MATÉMATICOS