9.1 Prismas Tema 9 Cuerpos geométricos PÁGINA 196 ACTIVIDADES 1. Dí de que tipo es cada uno de los siguientes prismas: a) Prisma recto triangular. Es regular pues la base es un triángulo equilátero. b) Prisma recto cuadrangular. No es regular. c) Prisma recto pentagonal. No regular. d) Prisma recto hexagonal. Es regular pues su base es un hexágono regular. PÁGINA 197 ACTIVIDADES La altura de un prisma recto es de 0 cm. Sus bases son trapecios rectángulos con las siguientes características: las bases mdien 11 cm y 16 cm, y la altura 1 cm. Halla el área total del prisma. El área total será la suma de las áreas de las tapas (superior e inferior) junto con la suma de las áreas de las caras laterales. Área de las tapas: 1
(base mayor base menor)x altura Área trapecio 11 16 1 16 cm Área lateral: hemos de distinguir las que son de los lados que forma ángulo recto los lados del trapecio frente a la que se corresponde con el otro lado. Área lateral de lados en ángulo recto del trapecio: Como se trata de rectángulos será: 11 0 16 0 1 0 780 cm Área lateral del lado no en ángulo recto del trapecio. En primer lugar, tenemos que calcular la medida de ese lado, por lo que aplicaremos el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo NOM : NM ON OM NM 1 5 144 5 169 NM 169 13 cm Área lateral 13 0 60 cm Finalmente, el área total será 16 780 60 16 1364 cm 3 Halla el área total de un cubo de arista 10 cm. Área total del cubo 6 área de un cuadrado 6 10 600 cm 4 Las dimensiones de un ortoedro son 4 cm, 3 cm y 1 cm. Halla el área total y la longitud de la diagonal. Área total 1 3 1 4 3 4 36 48 1 96 19 cm Longitud de la diagonal. Para poderla calcular, vamos a trabajar sobre dos triángulos rectángulos: Triángulo rectángulo ACD Aquí aplicamos el Teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa. AC AD DC AC 1 3 144 9 153 AC 153 1. 369 1. 4 cm
Triángulo rectángulo ACG Aquí aplicamos el Teorema de Pitágoras para calcular la hipotenusa. AG GC CA AG 4 1. 4 16 153. 76 169. 76 AG 169. 76 13. 09 13 cm que es la longitud de la diagonal. 5 La base de un ortoedro es un rectángulo de lados 9 cm y 1 cm. La diagonal del ortoedro mide 17 cm. Calcula la medida de la altura del ortoedro y su área. Vamos a calcular en primer lugar la altura. Aplicamos el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo BDC. BD BC CD BD 1 9 144 81 5 BD 5 15 cm Aplicamos el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo BDG BG BD GD 17 15 GD GD 17 15 89 5 64 GD 64 8 cm Área total 1 9 1 8 8 9 55 cm 3
9. Pirámides PÁGINA 199 ACTIVIDADES 1. Halla el área total de una pirámide regular cuya base es un cuadrado de lado 10 cm de lado y cuya altura es de 1 cm. Área total área de la base 4xárea de los triángulos laterales. Por ahora, área de la base 10 100 cm. base x altura área de un triángulo lateral En esta última fórmula, no conocemos la altura; hemos de calcularla. Para ello trabajamos en el triángulo rectángulo EFG, donde aplicamos el Teorema de Pitágoras: EG EF FG EG 1 5 144 5 169 EG 169 13 cm Ahora, área de un triángulo lateral base x altura 10 13 65 cm Área total 100 4 65 360 cm. La base de una pirámide regular es un pentágono de 16 dm de lado y 11 dm de apotema. La altura de la pirámide es de 6.4 dm. Halla su área total. 4
Área total área de la base 5xárea de los triángulos laterales. área de la base 5 área de un triángulo 5 16 11 440 dm Por ahora no conocemos la altura de una cara triangular lateral. Aplicamos el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo FGH : FH GH FG 11 6. 4 817. 96 FH 817. 96 8. 6 dm base x altura área de un triángulo lateral 16 8. 6 8. 8 dm Finalmente área total 440 5 8. 8 1584. 0 dm 9.3 Troncos de pirámide ACTIVIDADES PÁGINA 00 1. Halla el área lateral de un tronco de pirámide hexagonal regular cuyas dimensiones son las del dibujo. Trabajando en el triángulo rectángulo MNQ, vamos a calcular la apotema del tronco de pirámide. Aplicando el Teorema de Pitágoras tenemos que: MN NQ MQ 41 9 MQ MQ 1681 81 1600 MQ 1600 40 cm 5
38 0 40 Área lateral 6 área trapecio 6 6960 cm. Una pirámide regular de base cuadrada de 10 cm de lado y arista lateral de 13 cm es cortada por un plano a mitad de su altura. Halla el área total del tronco de pirámide resultante. Aplicamos el Teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo QRS : QS QR RS 13 QR 5 QR 169 5 144 QR 144 1 cm Por otro lado, los triángulos QRS y QUV están en posición de Tales (tienen un ángulo común y sus lados son paralelos), por lo tanto son semejantes, siendo la razón de semejanza QR QU QS QV UV RS 1 13 6 6. 5 UV 5 UV 5 En particular será UV 5. 5 cm Finalmente, el área total será 5 10 10 5 4 6 305 cm 9.4 Poliedros regulares PÁGINA 01 ACTIVIDADES 1. Considerando la suma de los ángulos que coinciden en cada vértice, justifica por qué no se puede construir un poliedro en los siguientes casos. a) Con seis triángulos equiláteros en cada vértice. Si tuviesemos seis triángulos equiláteros en cada vértice, tendríamos un ángulo de 6 60 360 y esto no se puede "doblar" para hacer un vértice de un figura tridimensional. En un triángulo equilátero, todos sus ángulos son iguales de ahí que midan 180 3 60 b) Con cuatro cuadrados en cada vértice. Si tuviesemos cuatro cuadrados en cada vértice, tendríamos un ángulo de 6
4 90 360 y esto no se puede "doblar" para hacer un vértice de un figura tridimensional. Recordamos que en cada vértice de un cuadrado tenemos un ángulo recto. c) Con cuatro pentágonos regulares en cada vértice. Tenemos el pentágono regular dividido en tres triángulos, por lo que las suma de los ángulo interiores del pentágono regular coincidirán con la suma de todos los ángulos interiores de los tres triángulos. De ahí que un ángulo interior del pentágono regular mida 3 5 180 108 Si tuviesemos cuatro pentágonos regulares en un vértice la suma de los ángulos sería 4 108 43 que es más que 360 siendo imposible por tanto crear un "vértice" de un figura tridimensional. d) Con hexágonos regulares o polígonos regulares de más lados. hexágonos regulares Tenemos el hexágono regular dividido en cuatro triángulos, por lo que la suma de los ángulos interiores del hexágono regular coincidirá con la suma de todos los ángulos interiores de los cuatro triángulos. De ahí que un ángulo interior del hexágono regular mida 4 6 180 10 Si tuviesemos tres hexágonos regulares en un vértice la suma de los 7
ángulos sería 3 10 360 siendo imposible por tanto crear un "vértice" de un figura tridimensional. Vemos por otro lado, que si el polígono regular tiene n lados, entonces lo podemos dividir en n triángulos. Así, el ángulo interior de un n 180 polígono regular de n lados mide n Por ejemplo, en el caso del polígono regular de 7 lados tendríamos que 7 180 cada uno de sus ángulos mide 7 5 7 180 18. 57. Por lo tanto, si juntasemos en un mismo vértice tres heptágonos, nos quedaría un ángulo de 18. 57 3 385. 71 360. De ahí que no se pueda construir un poliedro regular a partir del heptágono. DESARROLLO POLIEDROS REGULARES Tetraedro Cubo o hexaedro Octoedro 8
Dodecaedro Icosaedro 9