Epresiones Algebraicas Racionales EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES Llamaremos epresiones algebraicas racionales a las de la forma A() donde A() y B() son B() polinomios de variable, y B() 0. Por ejemplo, es una epresión algebraica racional porque el numerador A() es un polinomio y el denominador B() también es un polinomio. También es una epresión algebraica racional 5 Es una epresión algebraica racional?... La epresión 9 es también racional porque 9 es un polinomio y, su denominador, también lo es. Simplificación de epresiones racionales Recordamos que, dado el racional podemos hallar otros equivalentes con él... 6 a a n donde con n 0. b b n A() Análogamente para la epresión racional pueden hallarse epresiones racionales B() A() A() N() equivalentes siendo N() cualquier polinomio no nulo. B() B() N() En Z muchas veces se nos presenta el problema de encontrar la fracción equivalente más simple que una dada. Por ejemplo, También es posible simplificar epresiones algebraicas racionales cuando eisten factores comunes al numerador y al denominador, de lo contrario la epresión racional es irreducible. Consideremos ( )( ) Entonces.. Factorizamos su numerador y su denominador ( ) ( ) ( )( ( )( ) ( )( )( ) ) ( )( )( ) si y Las dos epresiones racionales, y son equivalentes para y.
Epresiones Algebraicas Racionales La epresión final es equivalente a la dada para todo valor de que no anule el factor cancelado porque ello equivaldría a dividir por cero. Veamos otros ejemplos ( ) ( )( ) ( ) I) si ( ) ( )( ) 5 5 II) R Por qué esta epresión es válida para 5 ( 5) ( 5) 5 cualquier número real?... Actividad Nº Simplificar, indicando para qué valores de la epresión resultante es equivalente a la dada. a) 6 6 9 9 9 d) 6 Operaciones con Epresiones Algebraicas Racionales Para operar con epresiones racionales, aplicamos las mismas propiedades y técnicas que para operar con fracciones numéricas. Adición y Sustracción Recordamos que para sumar necesitamos hallar fracciones equivalentes a los sumandos, de igual denominador. Para sumar (o restar) epresiones racionales de distinto denominador, debemos sumar (o restar) epresiones equivalentes a ellas que tengan el mismo denominador. Para hallarlo, factorizamos los denominadores y luego multiplicamos los factores comunes y no comunes con el mayor eponente con el que figura (mínimo común múltiplo). Veamos el siguiente ejemplo 6 Factorizamos los denominadores ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) Buscamos epresiones equivalentes con igual denominador ( ) ( ) ( ) ( ) 8 Operamos en el numerador y sumamos ( ) ( ) 8 ( ) ( ) El numerador no tiene raíces reales, por lo tanto la epresión obtenida es irreducible.
Epresiones Algebraicas Racionales 0 Vamos a calcular 0 0 Factorizamos los denominadores ( ) ( 5) ( ) ( ) Elegimos un denominador común y hallamos las epresiones equivalentes ( 0) ( ) ( ) ( 5) ( ) ( 5) ( ) ( ) ( 5) ( ) 0 0 0 0 Aplicamos propiedades y restamos ( ) ( 5) ( ) ( ) ( 5) ( ) 8 0 0 0 ( 0) ( ) ( 0) ( ) ( 5) ( ) ( ) ( 5) ( ) ( ) ( 5) ( ) ( ) ( 5) La suma de epresiones algebraicas racionales es asociativa, conmutativa, cumple la ley de cierre y posee elemento neutro 0. Recordemos que restar es sumar el opuesto. Actividad Nº Calcular a) 9 6 9 ( ) ( ) 5 5 6 0 Multiplicación A() C() Para multiplicar dos epresiones racionales y, procedemos así B() D() A() C() A() C() B() D() B() D() ( ) 6 Por ejemplo I) ( )( ) 5 5 ( )(5 5) II) Calculamos ahora 9 ( 9)( ) ( )5( ) Factorizamos cada uno de los polinomios ( )( ) ( ) 5 Simplificamos y obtenemos el resultado si y. ( ) La multiplicación de epresiones algebraicas racionales cumple con la ley de cierre, es asociativa, conmutativa, tiene elemento neutro () y es distributiva respecto de la suma y la resta. A() Eiste inverso multiplicativo para toda epresión?... B()
Epresiones Algebraicas Racionales Actividad Nº Resolver a) 6 6 8 ( ) División Se llama inverso multiplicativo de una epresión algebraica racional si A es no nulo. Para dividir dos epresiones algebraicas racionales conjunto Q Por ejemplo A() B() C() D() A() B() y C() D() A() D() A() D() con C() 0 B() C() B() C() ( )( ) ( ) 6 A() B() a la epresión B(), A() operamos igual que en el Actividad Nº ) Con las epresiones P() y T() calcular 9 6 a) P(). T() P() T() T() P(). ) Resolver a) 6 9 5 0 6 Actividad Nº 5 Efectuar los siguientes ejercicios combinados 9 a) 6 0 d) ( )
Epresiones Algebraicas Racionales EJERCICIOS DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS RACIONALES Realizar las siguientes operaciones, simplificando los resultados cuando sea posible a) ) ( 6 d) 5 9 6 e) 9 ) ( f) 9 ) ( g)