EJERCICIOS DE CÁLCULO DE PROBABILIDADES. Hallar la probabilidad de sacar una suma de 8 puntos al lanzar dos dados.. Hallar la probabilidad de sacar por suma o bien, o bien al lanzar dos dados.. Se escriben a azar las cinco vocales. Cuál es la probabilidad de que la e aparezca la primera y la o la última.. Cuál es la probabilidad de sacar dos bolas negras de una urna que contiene bolas blancas y negras, sin reintegrar la bola extraída?. Una urna contiene bolas blancas y 8 negras. Si se sacan dos bolas al azar. Cuál es la probabilidad de que sean del mismo color? 6. Una urna contiene bolas blancas y 8 negras. Cuál es la probabilidad de sacar dos bolas negras reintegrando la bola extraída? 7. De una baraja española de 0 cartas Cuál es la probabilidad de sacar un caballo seguido de un tres, reintegrando la primera carta? Y sin reintegrarla? 8. Si la probabilidad de que ocurra un suceso es /. Cuál es la probabilidad de que se realice efectuando pruebas. 9. Se sacan dos cartas de una baraja de 0 Cuál es la probabilidad de que sean un caballo y un tres, reintegrando? Y sin reintegrar? 0. Una urna contiene 8 bolas blancas, negras y rojas. Se extraen tres bolas al azar y se desea saber: a) La probabilidad de que las tres bolas sean blancas. b) La probabilidad de que dos sean blancas y una negra.. Se extraen cartas de una baraja de 0: a) Cuál es la probabilidad de que sean tres sotas. b) Y de que sean un as, un dos y un tres? c) Y de que salga un rey, seguido de un cinco y éste de un siete?. Una urna contiene dos bolas blancas y tres negras. Otra contiene seis blancas y cuatro negras. si extraemos una bola de cada urna. Cuál es la probabilidad de que sean las dos negras?. Al lanzar dos veces un dado Cuál es la probabilidad de que la suma de puntos sea divisible por tres?. Con las cifras,,, y se escriben todos los números posibles de tres cifras, sin repetir cifras en cada número. si se señala un número al azar:
a) Cuál es la probabilidad de que sea múltiplo de? b) Y de que sea múltiplo de?. Una caja contiene 8 bolas rojas, azules y 6 verdes. Se extraen bolas al azar y se desea saber: a) La probabilidad de que las tres sean rojas. b) La probabilidad de que dos sean rojas y una verde. c) La probabilidad de que dos sean azules y la otra de otro color. d) La probabilidad de que todas sean de distinto color. e) La probabilidad de que todas sean del mismo color. 6. Se lanza un dado 6 veces. Cuál es la probabilidad de que salga algún en los 6 lanzamientos? 7. Una caja contiene bolas blancas, negras y rojas. Otra contiene blancas, negras y rojas. Se toma una bola al azar de cada caja. Qué probabilidad hay de que sean del mismo color? 8. En una urna hay 0 bolas, aparentemente iguales, numeradas del al 0. Qué probabilidad hay de sacar, una a una, las 0 bolas en el orden natural? 9. La probabilidad de acertar en un blanco de un disparo se estima en 0,. La probabilidad de acertar en dos disparos será p 0,0; p 0,6; p 0,. Determinar qué respuesta el la correcta. 0. Cuál es la probabilidad de torpedear un barco, si sólo se pueden lanzar tres torpedos y la probabilidad de impacto de cada uno se estima en un 0 %?.. Se considera el experimento aleatorio lanzar dos veces un dado. Cuál es la probabilidad de obtener número par en el segundo lanzamiento condicionado a obtener impar en el primero? Son dependientes o independientes estos sucesos? Por qué?.. A un congreso asisten 80 congresistas. De ellos 70 hablan inglés y 0 francés. Se eligen dos congresistas al azar y se desea saber: a) Cuál la probabilidad de que se entiendan sin intérprete? b) Cuál es la probabilidad de que se entiendan sólo en francés? c) Cuál es la probabilidad de que se entiendan en un solo idioma? d) Cuál es la probabilidad de que se entiendan en los dos idiomas?. En una bolsa hay 8 bolas rojas, 0 negras y 6 blancas. Tres niños sacan, sucesivamente, dos bolas cada uno, sin reintegrar ninguna. Hallar la probabilidad de que el primero saque las dos rojas, el segundo las dos negras y el tercero las dos blancas?. Se lanza un dado n veces Cuál es la probabilidad de sacar al menos un 6 en los n lanzamientos?
. Se realiza el experimento aleatorio de lanzar sucesivamente cuatro monedas al aire y se pide: a) La probabilidad de obtener a lo sumo tres cruces. b) La probabilidad de obtener dos caras. 6. Una pieza de artillería dispone de 7 obuses para alcanzar un objetivo. en cada disparo la probabilidad de alcanzarlo es /7. Cuál es la probabilidad de alcanzar el objetivo en los 7 disparos? 7. La probabilidad de que un hombre viva más de años es de /, la de una mujer es de /. Se pide: a) La probabilidad de que ambos vivan más de años. b) La probabilidad de que sólo viva más de años el hombre. c) La probabilidad de que sólo viva más de años la mujer. d) La probabilidad de que viva más de años, al menos, uno de los dos. 8. Si de una baraja de 0 cartas se eligen al azar, determinar: a) La probabilidad de elegir dos reyes. b) La probabilidad de que tres de las cartas sean del mismo palo. c) La probabilidad de que todos los números sean menores de siete. 9. Se lanzan tres monedas sucesivamente y se consideran los siguientes sucesos: A obtener cruz en el primer lanzamiento. B obtener alguna cara. C obtener dos cruces. Se desea saber: a) Si A y B son incompatibles. b) Si A y B son independientes. c) Si A y C son incompatibles. d) Si A y C son independientes 0. De las 00 personas que asisten a un congreso 0 hablan francés, 0 inglés, castellano, francés e inglés, francés y castellano y inglés y castellano. Se eligen al azar dos asistentes y se desea saber: a) Cuál es la probabilidad de que ninguno hable francés? b) Cuál es la probabilidad de que hablen castellano? c) Cuál es la probabilidad de que sen entiendan sólo en castellano? d) Cuál es la probabilidad de que sólo hablen un idioma? e) Cuál es la probabilidad de que hablen los tres idiomas?. Un dado está cargado de modo que al lanzarlo, la probabilidad de obtener un número es proporcional a dicho número. Hallar la probabilidad de que, al lanzar el dado, se obtenga un número par.. En una encuesta realizada entre alumnos resulta que 8 fuman ducados, celtas y 8 de las dos clases. Se eligen tres alumnos al azar y se desea saber: a) Cuál es la probabilidad de que los tres fumen?
b) Cuál es la probabilidad de que dos, exactamente dos, fumen ducados.. Si de 800 piezas fabricadas por una máquina salieron defectuosas y se eligen de aquéllas al azar. Cuál es la probabilidad de que haya alguna defectuosa entre las cinco elegidas?.. Se tiene tres urnas de igual aspecto. En la primera hay bolas blancas y negras; en la segunda hay negras y en la tercera hay blancas y negras. Se desea saber: a) Si se extrae una bola de una urna, elegida al azar, cuál es la probabilidad de que la bola extraída sea negra. b) Se ha extraído una bola negra de una de las urnas. Cuál es la probabilidad de que haya sido extraída de la ª urna?. En un hospital especializado en enfermedades de tórax ingresan un 0 % de enfermos de bronquitis, un 0 % de neumonía y un 0 % con gripe. La probabilidad de curación completa en cada una de dichas enfermedades es, respectivamente, 0,7; 0,8 y 0,9. Un enfermo internado en el hospital ha sido dado de alta completamente curado. Hallar la probabilidad de que el enfermo dado de alta hubiera ingresado con bronquitis. 6. Hay una epidemia de cólera. Un síntoma muy importante es la diarrea, pero ese síntoma también se presenta en personas con intoxicación, y, aún, en personas que no tienen nada serio. La probabilidad de tener diarrea teniendo cólera, intoxicación y no teniendo nada serio es de 0,99; 0, y 0,00 respectivamente. Por otra parte, se sabe que el % de la población tiene cólera, el 0, % intoxicación y el resto (97, %), nada serio. Se desea saber: a) Elegido un individuo de la población Qué probabilidad hay de que tenga diarrea? b) Se sabe que determinado individuo tiene diarrea Cuál es la probabilidad de tenga cólera? 7. La probabilidad de que un artículo provenga de una fábrica A es 0,7, y la probabilidad de que provenga de otra A es 0,. Se sabe que la fábrica A produce un por mil de artículos defectuosos y la A un 8 por mil. a) Se observa un artículo y se ve que está defectuoso. Cuál es la probabilidad de que provenga de la fábrica A? b) Se pide un artículo a una de las dos fábricas, elegida al azar. Cuál es la probabilidad de que esté defectuoso? c) Se piden artículos a la fábrica A Cuál es la probabilidad de que haya alguno defectuoso? 8. En una población animal hay epidemia. El 0 % de los machos y el 8 % de las hembras están enfermos. Se sabe además que hay doble número de hembras que de machos y se pide: a) Elegido al azar un individuo de esa población Cuál es la probabilidad de que esté enfermo? b) Un individuo de esa población se sabe que está enfermo Qué probabilidad hay de que el citado individuo sea macho? 9. En una clase mixta hay 0 alumnas, estudiantes que repiten curso, de los que 0 son alumnos, y hay alumnos que no repiten curso. Se pide:
a) Cuántos estudiantes hay en la clase? b) Elegido al azar un estudiante Cuál es la probabilidad de que sea alumno? c) Elegido al azar un estudiante Cuál es la probabilidad de que sea alumna y repita el curso? d) Elegidos al azar dos estudiantes Cuál es la probabilidad de que ninguno repita curso? 0. La probabilidad de que un alumno apruebe Matemáticas es 0,6, la de que apruebe Lengua es 0, y la de que apruebe las dos es 0,. Hallar: a) La probabilidad de que apruebe al menos una de las dos asignaturas. b) La probabilidad de que no apruebe ninguna. c) La probabilidad de que se apruebe Matemáticas y no Lengua.
SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE CÁLCULO DE PROBABILIDADES. El espacio muestral es:,,,,,,6,,,,,,6,,,,,,6,,,,,,6,,,,,,6 6, 6, 6, 6, 6, 6,6 donde las casillas sombreadas son los casos favorables. La probabilidad pedida será: p 6. El espacio muestral es el mismo de antes, es decir:,,,,,,6,,,,,,6,,,,,,6,,,,,,6,,,,,,6 6, 6, 6, 6, 6, 6,6 Y la probabilidad pedida es: p 6. Al escribir al azar las vocales tenemos P! 0 casos posibles. De entre ellos, si la e ha de aparecer la primera y la o la última, tenemos las otras vocales que han de permutar en los tres lugares centrales, es decir, los casos favorables son P!6. La probabilidad pedida es: 6 p 0 0! 66. Las bolas negras pueden tomar de en de! 0! maneras distintas (casos favorables). Mientras que las 7 bolas totales pueden 7 7! 7 6 tomarse de en de!! maneras distintas (casos posibles). La probabilidad pedida es, pues: 66 p 7
. Sean los sucesos: A Sacar las dos bolas blancas B Sacar las dos bolas negras C sacar las dos bolas del mismo color Según la composición de la urna se tiene que: p (A) 0 9 80 8 7 6 p (B) 0 9 80 9 9 Como una bola no puede ser al mismo tiempo blanca y negra (los sucesos A y B son incompatibles), se tiene que: p (C) p(a) + p(b) + 9 9 6. Sean los sucesos: A ser negra la primera bola B ser negra la segunda bola. 7 9 Los sucesos A y B son independientes pues el hecho de que la primera bola sea negra no afecta al hecho de que lo sea la ª (ya que la ª se devuelve a la urna de nuevo), se tiene: 8 8 6 p (A I B) p(a) p(b) 0 0 00 7. Llamamos: A sacar un caballo B sacar un tres Si reintegramos la primera carta, los sucesos son independientes y se tiene: p (A I B) 0 0 0 0 00 Si no reintegramos la primera carta los sucesos son dependientes y se tiene: Llamando: C sacar un caballo la ª carta D sacar un la ª carta 6 p (C I D) p(c) p(d / C) 0 9 60 8. Sean los sucesos: A realizarse el suceso efectuando pruebas A realizarse el suceso en la ª prueba A realizarse el suceso en la ª prueba A realizarse el suceso en la ª prueba 9
A realizarse el suceso en la ª prueba Se tiene que: p(a ) p(a p(a ) p(a ) p(a ) p(a ) p(a ) p(a ) ) Además se cumple que A A I A I A I A siendo los cuatro sucesos últimos independientes entre sí, por tanto se tendrá para el suceso complementario de A: p(a) Y para el suceso A: p(a) p(a) 6 8 6 8 9. (Este problema se diferencia del nº 7 en que allí había que sacar primero el caballo y luego el, ahora hay que sacar caballo y no importa en que orden). Llamando a los sucesos: A sirve la ª carta (es caballo o tres) B sirve la ª carta (es caballo o tres) Reintegrando: 8 p (A I B) p(b / A) p(a) 0 0 600 0 Sin reintegrar: 8 p (A I B) p(b / A) p(a) 9 0 60 0. Los casos posibles (en ambos casos) son las combinaciones de! elementos tomados de en, es decir!! 6 9 a) En este caso los casos favorables son las diferentes formar de tomar las 8 bolas blancas en grupos de, es decir: 8 8! 8 7 6!! 6 6
siendo la probabilidad pedida: 6 p 8 6 b) En este segundo caso los casos favorables son el producto de las diferentes maneras de tomar las 8 bolas blancas de dos en dos por las diferentes maneras de tomar las bolas negras de uno en uno, es decir: 8 8! 8 7 0! 6! y la probabilidad es: 0 8 p 9. a) Como el ejercicio está planteado sin devolución de las cartas extraídas previamente, se tendrá que, llamando A, A y A respectivamente a los sucesos ser sota la primera, la segunda y la tercera, tenemos que: p(a I A I A ) 0 9 8 980 70 ya que tras haber extraído la primera sota, sólo quedan tres y, tras haber extraído las dos primeras sólo quedan. b) Llamemos: A sirve la ª carta (es un as un dos o un tres) B sirve la ª carta C sirve la ª carta. Se tiene: p(a) 0 8 p(b) 9 p(c) 8 ya que para la ª teníamos casos favorables ( ases, doses y treses) y 0 posibles. Para la segunda, si la primera ha servido, sólo quedan 8 casos favorables y 9 posibles. Para la ª, si las dos primeras han servido, sólo quedan casos favorables y 8 posibles. Tenemos pues para la probabilidad pedida: 8 8 p (A I B I C) 0 9 8 980 c) En este caso sean: 8
A sacar un rey en la ª B sacar un cinco en la ª C sacar un siete en la ª Será: p(a) 0 0 p(b / A) 9 p(c / A I B) 8 9 p(a I B I C) 0 9. Sean los sucesos: 9 8 70 70 A sacar una bola negra de la ª urna B sacar una bola negra de la ª urna p (A) p(b) Se tiene que: 0 y, dado que los dos sucesos son independientes: p (A I B) 6. En la siguiente tabla de casos posibles aparecen sombreados los favorables (aquellos en los que la suma de puntos es divisible por ),,,,,,6,,,,,,6,,,,,,6,,,,,,6,,,,,,6 6, 6, 6, 6, 6, 6,6 La probabilidad pedida es, pues: p 6. a) Sea A es suceso señalar un número de cifras no repetidas que sea múltiplo de necesariamente ha de acabar en,,,. De todos ellos terminan en los que resulten de tomar las cifras restantes (, y ) de una en una influyendo el orden y sin repetición, esto es son V. El mismo razonamiento es válido para las otras tres posibles terminaciones, es decir, los casos favorables son V, mientras que los casos posibles son V, entonces tenemos que:
V (A) V p!!!! b) Sea B es suceso señalar un número de cifras no repetidas que sea múltiplo de. Necesariamente uno de estos números ha de estar formado por los números de cualquiera de los conjuntos siguientes: {,, }, {,, }, {,, } y {,, } ya que son los únicos la suma de cuyas cifras es múltiplo de. Pero los números de cada uno de los conjuntos anteriores se pueden poner en cualquier orden, es decir, de cada uno de esos conjuntos obtenemos P elementos. Los casos favorables serán pues P y los casos posibles son los mismos que en apartado a), luego tenemos: P (B) V p!!!. a) Sea A extraer las tres bolas rojas, se tiene: 8 8!!! 8 7 6 6 p (A) 8 8! 8 7 6 896!! 7 0 b) Sea B extraer dos bolas rojas y una verde : 8 6 8! 8 7 6 6! 6! 8 7 6 008 p (B) 8 8! 8 7 6 8 7 6 896!! c) Sea C extraer dos azules y una no azul :!!! 0 p (C) 8 8! 8 7 6 8 7 6 896!! d) Sea D extraer todas de distinto color : 7 7 68
8 6 8 6 8 6 p (D) 8 8 7 6 8 7 6 896 e) Sean los sucesos: R extraer las tres rojas A extraer las tres azules V extraer las tres verdes. Se tiene que: 8 7 p(r) 8 0 p(a) 8 0 6 p(v) 8 0 Y por ser los sucesos R, A y V incompatibles dos a dos se tiene que la probabilidad pedida es: 7 7 0 p (R U A U V) + + 0 0 0 0 6. Sea el suceso A sacar algún en 6 lanzamientos y sean A, A, A, A, A, A 6, los sucesos sacar un en el primero (segundo, tercero, cuarto, quinto, sexto) lanzamientos. Se tiene que: p(a ) p(a p(a ) p(a ) p(a ) p(a ) p(a ) p(a ) )... p(a Y como el suceso complementario de A (no sacar ningún en los seis lanzamientos) es la intersección de estos seis últimos y éstos son independientes, se tiene: 6 6 6 ) 6
p(a) 6 6 p(a) 6 6 6 666 0 666 7. Sean los sucesos: A sacar las dos bolas blancas B sacar las dos bolas negras C sacar las dos bolas rojas Se tiene que los tres sucesos son incompatibles dos a dos y sus probabilidades son: 6 p(a) 9 08 p(b) 9 08 6 p(c) 9 08 Siendo la probabilidad pedida: 6 6 p (A U B U C) + + 08 08 08 7 08 8. Sea el suceso A sacar las 0 bolas en el orden,,,...0. El número de casos posibles son todas las permutaciones de 0 y solamente una de ellas constituye el caso favorable luego: p(a) P 0 0! 9. Sean los sucesos: A acertar en dos disparos A acertar el primer disparo A acertar el segundo disparo Se tiene que: p(a ) p(a p(a ) p(a A A I A ) 0, ) 0,8 Y siendo estos dos últimos sucesos independientes se tiene: p (A) p(a I A ) p(a) p(a ) 0,8 0,8 0,6 p(a) 0,6 0,6 0. Sean los sucesos: A Acertar en alguno de los tres lanzamientos
A acertar en el primer lanzamiento A acertar en el segundo lanzamiento A Acertar en el tercer lanzamiento. Se tiene que: p(a ) p(a p(a ) p(a ) p(a ) p(a ) 0, ) 0,7 A A I A I A y siendo estos tres últimos sucesos independientes se cumple que: p (A) p(a I A I A ) 0,7 0,7 0,7 0, siendo entonces la probabilidad pedida: p (A) p(a) 0, 0,67. Sean los sucesos: A sacar impar en el primer lanzamiento B sacar par en el segundo lanzamiento La tabla del espacio muestral es (en ella se han señalado los casos favorables al suceso intersección de A y B):,,,,,,6,,,,,,6,,,,,,6,,,,,,6,,,,,,6 6, 6, 6, 6, 6, 6,6 Se tiene que: p(a) p(b) p(a I B) p(b / A) 9 6 8 6 p(a I B) p(a) Que es la probabilidad pedida. Como además: p (B / A) p(b) Queda demostrado que los sucesos A y B son independientes.. Observemos el siguiente diagrama de Venn:
donde hemos llamado x al número de congresistas que son capaces de hablar al mismo tiempo francés e inglés: habiéndose de cumplir que: (70-X)+X+(0-X)80 Y de ahí, resolviendo la ecuación obtenemos que X0 Es decir, 0 de los congresistas hablan tanto francés como inglés. 0 hablan sólo inglés y 0 hablan sólo francés. a) Sea ahora el suceso A los dos congresistas se entienden sin intérprete. Se tiene que: 0 0 0 0 0 0 600 p (A) 80 80! 80 79 60! 78! entonces: p (A) 8 8 b) Sea ahora el suceso: B los dos congresistas se entienden sólo en francés (ello supone que sólo hablan francés o que pueden hablar ambos idiomas): tenemos que: 8
0 0 0 p(b) + 80 80 890 89 60 6 0! + 0 0! 8! 80!! 78! 0 9 + 0 0 80 79 c) Sean ahora los sucesos: C los dos congresistas se entienden en un solo idioma C Se entienden sólo en inglés. C Se entienden sólo en francés. Se tiene que: 0 0 0 + 0! 0 9 + 0 0 + 0 0! 8! 70 p(c ) 80 80! 80 79 60! 78! Como el suceso C coincide con el suceso b) del apartado b) su probabilidad ya ha sido calculada allí. Entonces se tiene para el suceso C: 7 89 6 p(c) p(c U C ) p(c) + p(c ) + 6 6 6 79 d) Sea ahora el suceso: D los dos congresistas se entienden en los dos idiomas. Se tiene que: 0 0!! 8! 0 9 6 p (D) 80 80! 80 79 6! 78!. Sean los sucesos: A el primer niño saca las dos rojas. B el segundo niño saca las dos negras habiendo sacado el º las dos rojas. C el tercer niño saca las dos blancas habiendo sacado el º las dos rojas y el segundo las dos negras. D el primer niño saca las dos rojas y el segundo las dos negras y el tercero las dos blancas Se tiene: 9 8 7 6
8 8!! 6! 8 7 p(a)!!! 0 0!! 8! 0 9 p(b)!! 0! 6 6!!! 6 p(c) 0 0! 0 9! 8! 7 p(d) 69 77 8 089 6 90 6 0 80 96 7 69 77 Ya que los sucesos A, B y C de esta forma definidos son independientes y D es la intersección de los tres.. Sea el suceso: A sacar al menos un 6 en los n lanzamientos A i sacar un seis en el i-ésimo lanzamiento (donde i varía entre y n) Se tiene que: p(a i ) 6 entonces: i i n p(ai ) 6 A A I A I... I A n siendo estos n sucesos independientes. Se tiene pues que: 8 p(a) p(a ) p(a p(a) p(a) 6 )...p(a n n ) 6. El espacio muestral tiene RV 6 elementos que son: CCCC +CCC +CC+ +C++ CCC+ CC++ C++C ++C+ CC+C C+C+ ++CC +++C C+CC +C+C C+++ ++++ a) Sea A obtener a lo sumo tres cruces (es decir, 0,, ó ) n
p (A) 6 b) Sea B obtener exactamente dos caras : 6 p (B) 6 8 6. Sea el suceso A alcanzar el objetivo en al menos uno de los siete disparos A i alcanzar el objetivo en el disparo i-ésimo (i varía de a 7) Se tiene: p(a i ) 7 6 p(a i ) 7 A A I A i i i 7 i 7 I... I A 7 siendo estos 7 sucesos independientes, por lo tanto: 6 p(a) 7 7 6 p(a) p(a) 7 7 7996 8 607 8 7. Sean los sucesos: a) A el hombre vive más de años. B la mujer vive más de años. C ambos viven más de años. Se tiene que: p(a) p(b) p(c) p(a I B) b) D sólo el hombre vive más de años. p (D) p(a I B) a) c) E sólo la mujer vive más de años :
p (E) p(a I B) d) F que viva más de años al menos uno de los dos 9 + 0 6 p (F) p(a U B) p(a) + p(b) p(a I B) + 8. a) Sea A sacar cartas de la baraja entre las que haya dos reyes y dos no reyes 6 p(a) 0 b) Sea B sacar cuatro cartas de la baraja entre las que haya tres del mismo palo y uno no. Para un palo cualquiera dado, la probabilidad de obtener tres de ese palo de entre cartas es: 0 0 p 0 Y la probabilidad pedida es: 0 0 p(b) p 0 a) c) Sea C sacar cuatro cartas de la baraja y que todas ellas sean menores que 7 p(c) 0 9. a) Al lanzar tres monedas al aire obtenemos como posibles resultados las Variaciones con repetición de elementos tomados a, esto es RV 8. Estos son: CCC C++ CC+ +C+ C+C ++C +CC +++ El suceso A está formado por los sucesos elementales:
A {(+CC), (+C+), (++C), (+++)} El B por: B {(CCC), (CC+), (C+C), (+CC), (C++), (+C+), (++C)} Y el C por: C {(C++), (+C+), (++C)} Como A I B {( + CC),( +,C+),( + + C)} φ, A y B no son incompatibles. b) Para ver si A y B son independientes hay que comprobar si p(b/a)p(b), en caso de ser falsa la igualdad anterior no serán independientes. Veamos: p(b / A) p(a I B) p(a) 8 8 7 p(b) 8 Luego A y B no son independientes. c) Como A I C {( + C+ ),( + + C) } φ d) Calculemos: p(c / A) p(a I C) p(a) 8 8, A y C no son incompatibles. p(c) 8 y siendo distintos ambos resultados, los sucesos A y C no son independientes. 0. Observemos el siguiente diagrama de Venn: donde los números salen de: Llamando x a los que hablan las tres lenguas, tenemos que:
0 hablan inglés. 0 hablan francés hablan castellano hablan francés e inglés hablan francés y castellano hablan inglés y castellano -x hablan sólo francés e inglés -x hablan sólo inglés y castellano -x hablan sólo francés y castellano 0-(-x)-x-(-x)6+x hablan sólo inglés 0-(-x)-x-(-x)7+x hablan sólo francés -(-x)-x-(-x)6+x hablan sólo castellano Se ha de verificar, pues la siguiente ecuación: hablan sólo inglés+hablan sólo francés+hablan sólo castellano+hablan sólo inglés y castellano+hablan sólo francés e inglés+ hablan sólo francés y castellano+ hablan los tres idiomas 00 6+x+7+x+6+x+-x+-x+-x+x00 y de ahí se obtiene que hablan los tres idiomas: x -x6 hablan sólo francés e inglés -x8 hablan sólo inglés y castellano -x7 hablan sólo francés y castellano 6+x hablan sólo inglés 7+x hablan sólo francés 6+x hablan sólo castellano a) A ninguno habla francés. Hay +8+60 que no hablan francés, luego 60 p(a) 00 b) B los dos hablan castellano. Como hay en esas condiciones: p(b) 00 c) C los dos se entienden sólo en castellano. Hay que sólo hablan castellano; 9 (+8) que hablan castellano e inglés pero no francés; 8 (+7) que hablan castellano y francés pero no inglés; 6 (+) que hablan castellano sólo o los tres idiomas, por tanto:
8 7 + + + p(c) 00 d) D los dos hablan un solo idioma. Hay 7 (++) que hablan un solo idioma, luego: 7 p(d) 00 e) E hablan los tres idiomas. Hay sólo que lo hacen, por tanto: p(e) 00. El hecho de que la probabilidad de obtener un determinado número en el dado sea proporcional a dicho número significa que (siendo i un número comprendido entre y 6 ambos inclusive), se tiene: p(i)ki como la probabilidad de que salga cualquier número del dado es (suceso seguro), se tendrá que: p()+p()+p()+p()+p()+p(6) k+k+k+k+k+6k k k/ entonces, llamando A sal suceso sacar un número par, este suceso es la unión de los tres sucesos incompatibles sacar, sacar ó sacar 6, es decir: 6 p (A) p() + p() + p(6) + +
. Observemos el siguiente diagrama: donde x representa al número de alumnos que no fuman ni celtas ni ducados. Como hay alumnos en total, se tiene que: 0+8++x Y de ahí: x -0-8- a) A los tres alumnos fuman :! 0 0 70 p (A)! 9!! 9!! b) B de los tres fuman ducados. Ha de haber de los 8 que fuman ducados y uno de los 6 que o no fuman o fuman celtas, es decir: 6 8 6 p(b) 9 0 8! 6! 6!!!! 8 7 6 8 7 6 08 77 06. Sea el suceso A entre cinco piezas elegidas al azar hay alguna defectuosa, la probabilidad del suceso contrario (que no haya ninguna defectuosa) es:
p(a) 77 800 Y la probabilidad de A es: 77 p(a) p(a) 800.Sean los sucesos: A extraer bola negra A extraer una bola de la primera urna A extraer una bola de la segunda urna. A extraer una bola de la tercera urna. Por el enunciado sabemos que: p(a) P(A ) p(a) p(a / A) 7 p(a / A ) p(a / A ) a) Aplicando el Teorema de la probabilidad total tenemos: p(a)p(a/a )p(a )+p(a/a )p(a )+p(a/a )p(a ) que en nuestro caso da como resultado: p (A) + + + + 7 b) Por el Teorema de Bayes nos queda: 76 0 p(a 7 / A) p(a / A)p(A + + ) + 76 0 p(a / A)p(A ) p(a / A )p(a ) + p(a / A )p(a ) 0 8 76
. Sean los sucesos: A el enfermo se cura A el enfermo ingresa con bronquitis. A el enfermo ingresa con neumonía A el enfermo ingresa con gripe Sabemos del enunciado que: p(a ) 0, p(a ) 0, p(a ) 0, p(a/a ) 0,7 p(a/a ) 0,8 p(a/a ) 0,9 Aplicando el Teorema de Bayes: p(a / A)p(A ) p(a / A) p(a / A )p(a ) + p(a / A )p(a ) + p(a / A )p(a ) 0,7 0, 0, 0, 0,7 0, + 0,8 0, + 0,9 0, 0,77 6. Sean los sucesos: A tienen diarrea A tienen cólera A tienen intoxicación A no tienen nada serio Sabemos que: p(a ) 0,0 p(a ) 0,00 p(a ) 0,97 p(a/a ) 0,99 p(a/a ) 0, p(a/a )0,00 a) Por el Teorema de la probabilidad total: b) Por el Teorema de Bayes: 7. Sean los sucesos: A el artículo es defectuoso A el artículo procede de la ª fábrica A el artículo procede de la ª fábrica. Sabemos que: p(a ) 0,7 p(a ) 0, p(a/a ) 0,00 p(a/a ) 0,008 (A) p(a / A )p(a ) + p(a / A )p(a ) + p(a / A )p(a ) p 0,99 0,0 + 0, 0,00 + 0,00 0,97 0,06 p(a / A)p(A ) p(a / A) p(a / A )p(a ) + p(a / A )p(a ) + p(a / A )p(a ) 0,99 0,00 0,0098 0,076 0,99 0,00 + 0, 0,00 + 0,00 0,99 0,06
p(a a) Por el Teorema de Bayes: / A) p(a / A)p(A ) p(a / A )p(a ) + p(a / A )p(a ) 0,008 0, 0,00 0,7 + 0,008 0, 0,00 0,00 0,6 b) Por el Teorema de la probabilidad Total: p(a) 0,00 ya que las operaciones a realizar en dicho Teorema coinciden con el denominador de la fórmula de Bayes anteriormente calculado. c) Sean los sucesos: B entre los artículos servidos por la fábrica A hay alguno defectuoso B i es defectuoso el objeto i ( i varía de a ) Se cumple que: p(b )p(b )p(b )p(b )0,00 p(b ) p(b ) p(b ) p(b ) p(b B B I B I B I B I B Y siendo estos últimos sucesos independientes entre sí, se tiene que: p (B) p(b I B I... I B ) 0, 996 siendo entonces la probabilidad pedida: ) 0,996 p(b) p(b) 0,996 0,0000098 0,99999 8. Sean los sucesos: A el animal está enfermo A el animal es macho A el animal es hembra Se sabe que: p(a ) / p(a ) / p(a/a ) 0, p(a/a )0,8 a) Por el Teorema de la probabilidad Total:
(A) p(a / A )p(a ) + p(a / A )p(a ) p 0, + 0,8 0, b) Por el Teorema de Bayes: p(a / A)p(A ) p(a / A) p(a / A )p(a ) + p(a / A )p(a ) 0, 0, + 0,8 0,0 0, 0,8 9. a) Observemos la siguiente tabla de contingencia: no repiten total repiten alumnos 0 alumnas 0 estudiantes 0 Donde están señalados en negrita los datos no proporcionados por el enunciado pero que fácilmente se obtienen de él. b) Sea el suceso A ser alumno un estudiante elegido al azar. Será: p (A) c) Sea el suceso B ser alumna y repetidora un estudiante elegido al azar. Será: p (B) d) Sea el suceso C ser no repetidores dos estudiantes elegidos al azar. Tendremos: 0 0! 0 9! 8! 0 9 60 6 p (C)! 970 97!! 99 0. Sean los sucesos: A aprobar matemáticas un alumno B aprobar lengua C aprobar matemáticas y lengua
Se sabe que: p(a) 0,6 p(b) 0, p(c)0, a) Sea D aprobar una de las dos. p(d) p(a U B) p(a) + p(b) p(a I B) 0,6 + 0, 0, 0,9 b) Sea E no aprobar ninguna de las dos. p (E) p(d) p(d) 0,9 0, c) Sea F aprobar matemáticas y no lengua. F A I B A A I ( B U B) (A I B) U (A I B) donde hemos tenido en cuenta que el suceso del primer paréntesis es el suceso seguro (de probabilidad ) y hemos aplicado la propiedad distributiva de la intersección respecto de la unión. Como los dos sucesos obtenidos en el último miembro son incompatibles, tenemos: p(a) p(a I B) + p(a I B) p(a I B) p(a) p(a I B) 0,6 0, 0,