61 TIRO OBLICUO Adertencia. Tiro oblicuo no e un tea fácil. Lo concepto no on fácile de entender. La ecuacione no on iple. Lo problea tienen u uelta. Encia para poder entender tiro oblicuo para poder reoler lo problea ha que aber bien - bien tiro ertical, caida libre, MRUV tabién MRU. Eto no e ala onda. Eto e aí. Sugerencia?. Reolé ile de problea. ( Oh!. ile?! ). Ea e toda la cuetión. Haciendo ucho problea uno terina agarrándole la ano perfectaente el tea paa a er una paada. Pero ha que haacare. ( Y eo llea tiepo, que e lo que o no tené ). Por ee otio o te o a eplicar tiro oblicuo ahora en un inuto lo a a entender perfectaente. Pero por faor, repito, ( Y eto contitue un gran error por parte de lo chico ): no te ponga a hacer problea de tiro oblicuo hata que no haa entendido perfectaente MRU, MRUV, Caida libre tiro ertical. Fui claro?. Por ete otio e tabién que a lo profeore le encanta toar tiro oblicuo en parciale finale. Tiro oblicuo, dicen ello, e un tea que cobina lo 3 tea anteriore. De anera que i el aluno te reuele bien el problea de tiro oblicuo, e puede coniderar que el tipo conoce bien MRU, MRUV, caída libre tiro ertical... ( A grande rago eta afiración e cierta ). Tiro oblicuo no e ipoible. Lee con atención lo que igue. QUÉ ES UN TIRO OBLICUO? Rta.: Un tiro oblicuo e eto: TRAYECTORIA V 0 E decir, en ez de tirar la coa para arriba coo en tiro ertical, ahora la tiro en fora inclinada, oblicua.
6 Ante, el ector elocidad inicial iba aí. Ahora a inclinado aí. Ante de eguir con eto neceito que ea tea que on de ateática. Eto tea on trigonoetría proección de un ector obre un eje. Lo pongo acá porque probableente no te lo haan eplicado bien en el colegio. Mucho profeore altean eto tea cuando eplican tiro oblicuo. Lo dan por abido. Eto confunde a la gente. Por eo te recoiendo que lea lo que igue con atención. TRIGONOMETRÍA FUNCIONES SENO, COSENO TANGENTE de un ÁNGULO La palabra trigonoetría ignifica edición de triángulo. A grande rago la idea e poder calcular cuánto ale el lado de un triángulo in tener que ir a edirlo con una regla. Para hacer eto, lo tipo inentaron la funcione trigonoétrica eno, coeno tangente de un ángulo. Eta funcione e uan cuando uno tiene un triángulo que tiene un ángulo de 90 (rectángulo). Si uno tiene un triángulo de ete tipo, e definen la funcione eno, coeno tg aí: Hipotenua α Adacente Opueto 90 op ad op en α = ; co α = ; tg α = hip hip ad FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Ejeplo: Calcular el alor de la funcione trigonoétrica para un triángulo rectángulo de lado 3, 4 5. 5 c α 4 c 90 3 c
63 Para calcular lo alore de eno, coeno tangente de alfa, hago la cuenta. La funcione trigonoétrica para el ángulo alfa alen: op 3c en α = = = 0,6 hip 5c op co α = = hip 4c = 0,8 5c op tg α = = hip 3c = 0,75 4c Para cada ángulo alfa eta funcione toan ditinto alore. Coniene recordar lo alore que á e uan : α 0 30 45 60 90 Sen α 0 0,5 0,707 0,866 1 Co α 1 0,866 0,707 0,5 0 Tg α 0 0,577 1 1,73 E un poco largo de eplicar cuále on todo lo uo de la funcione trigonoétrica pero puedo darte un ejeplo: Suponé que o queré aber la altura de un árbol pero no tené gana de ubirte hata la punta para aeriguarlo. Lo que e podría hacer entonce e eto: 1 ro te pará en un lugar edí la ditancia al árbol. Suponé que te da 8. Depué con un buen tranportador edí al ángulo α hata la punta del árbol. Suponé que te da 30. Equeáticaente ería algo aí: Ahora, uando la fórula de tangente de un ángulo : tg α = op. ad Entonce : Altura del árbol tg 30 = 8
64 Altura = 0, 577 #"! 8 tg 30 Altura = 4,61 Altura del árbol. De eta anera e pueden calcular ditancia ( = lado de un triángulo ) en fora teórica. E decir, in tener que dibujar el triángulo edirlo. ( Que e puede hacer, pero e ucho lío no da eacto). E á ha ece que ha ditancia difícile de edir. Por á que uno quiera, no puede ir hata ahí edirla. En eo cao, la única anera de calcularla e uar trigonoetría. Por ejeplo acá te pongo un cao difícil: la ditancia a una etrella. Cóo haría para edirla?. Penalo. A er i ete dibujito te auda un poco. PROYECCIÓN DE UN VECTOR Suponé que e dan un ector coo éte: Hallar la proección del ector obre el eje ignifica er cuánto ide la obra de ee ector obre ee eje. E decir, lo que quiero aber e eto: Hallar la proección obre el eje e la ia hitoria:
65 Para aber cuánto ide la proección de un ector obre un eje, en ez de andar idiendo obra e ua la trigonoetría: op en α = hip op = hip en α co α = ad hip ad = hip co α E decir, i tengo un ector, la proeccione an a er: = co α = en α Ejeplo: Hallar la proeccione de un ector que ide 10 c fora un ángulo de 30 grado con el eje X. Tengo un ector de 10 c con alfa = 30. E decir, algo aí : = 10c V 0,5 #$"$! = 10 c en 30 = 5 c = 10 c co ' $& 30 $% = 8,66 c 0,866 Entonce la proección obre el eje X ide 8,66 c la proección obre el eje Y ide 5 c. Aprendete ete procediiento. Lo a a uar todo el tiepo para calcular la elocidade iniciale en el eje en el eje. E á, coniene eorizar la forulita que pue recién. ( V =..., V =... ). E fácil : La V e V por eno la V e V por coeno. Eo e todo.
66 PITÁGORAS El teorea de Pitágora ire para aber cuánto ale la hipotenua de un triángulo rectángulo abiendo cuánto alen lo cateto. Si tengo un triángulo rectángulo e cuple que: hip op ad hip = ad + op TEOREMA DE PITAGORAS Ejeplo: Tengo un triángulo de lado 6 c 8 c. Cuánto ide u hipotenua? Rta.: hip = ( 6 c ) + ( 8 c ) hip 6 h = 100 c 8 h = 10 c Hata ahora todo lo que pue de tiro oblicuo fueron coa de ateática. Ahora í o a epezar con el tea de tiro oblicuo propiaente dicho. Pretá atención : PRINCIPIO DE INDEPENDENCIA DE LOS MOVIMIENTOS Ete principio fue enunciado por el ater Galileo. ( Idolo! )). Lo que él dijo fue que un tiro oblicuo podía coniderare coo i etuiera copueto por do oiiento: uno rectilíneo unifore obre el eje, otro uniforeente ariado obre el eje. Mirá el dibujo :
67 Cada oiiento actúa coo i el otro no eitiera, e decir, la obra en el eje no abe ( ni le iporta ) lo que hace la obra en el eje. Y iceera, la obra en el eje no abe ( ni le iporta ) lo que hace la obra en el eje. E decir ( ete e el truco ): CADA MOVIMIENTO ACTÚA SIN ENTERARSE DE LO QUE ESTÁ HACIENDO EL OTRO. Captá la idea? Cada oiiento e INDEPENDIENTE del otro la uperpoición de eto oiiento da el oiiento real. E decir, tengo eto: La obra en el eje e a oiendo todo el tiepo a la ia elocidad. Su oiiento erá rectilíneo unifore u elocidad erá la proección de la elocidad inicial obre el eje, e decir, V aldrá V 0 por co α. La obra en el eje e uee todo el tiepo con elocidad V = V 0. co α. Eta elocidad no e odifica en ningún oento. E contante. Vo ahora al eje ertical. Bueno, en la obra e uee coo i hiciera un tiro ertical. Su elocidad inicial erá la proección de 0 obre ete eje: E decir, lo que paa en el eje e que la obra ale con una elocidad inicial que ale Vo = V 0. en α. Sube, ube, ube, llega a la altura áia ahí epieza a bajar. Eactaente coo i fuera un tiro ertical. Ve coo e la coa?. Galileo tabién e dio cuenta de que la traectoria en el tiro oblicuo era una parábola.
68 E decir, i bien uno decopone el oiiento en para poder entenderlo, el oiiento en realidad e uno olo: la parábola de tiro oblicuo. Ahora, ete oiiento puede entendere coo i fuera una uperpoición de lo otro do. Eto e todo lo que tené que aber. Éte e todo el concepto. Do oiiento independiente, uno obre cada eje, tale que cobinado, uperpueto, dan el oiiento original. ( = la parábola de tiro oblicuo ). Quiero que ea ahora uno ejeplo ejeploo. EJEMPLOS DE INDEPENDENCIA DE LOS MOVIMIENTOS (er) Iaginate un helicóptero que etá quieto a una deterinada altura deja caer una coa. Supongao que la coa tarda 0 egundo en caer ( por ejeplo ). Supongao ahora que el tipo epieza a aanzar en fora horizontal oiéndoe a 50 k por hora en dirección equi. Te pregunto... Qué paa i ahora deja caer el objeto?. Va a tardar á o eno en tocar el pio?. Bueno la repueta a eto parece fácil pero no e tan fácil. ( Atento ). El aunto e que teniendo el helicóptero elocidad horizontal, el paquete... Va a tardar lo io que ante en tocar el uelo!.
69 Por qué paa eto?. ( Eta e una buena pregunta ). Bueno, ha que tratar de iaginárelo un poco. El tiepo de caída e el io porque a lo que paa en el eje ( caída libre ), no le iporta lo que paa en el eje ( MRU ). La caída libre e produce coo i el oiiento en el eje no eitiera ( atençao con eto! ). Mirá eta otra ituación. Supongao que un tipo iene corriendo e tira de un trapolín. ( Eto lo habrá hecho alguna ez ). Supongao que en el io oento otro tipo e deja caer parado... Te pregunto: Cuál de lo llega priero al agua?. CUAL DE LOS LLEGA MAS RAPIDO AL AGUA? Rta: E lo io que ante. Lo do tocan el agua al io tiepo. Por qué eto e aí?. Rta: Por lo io de ante. Porque el oiiento rectilíneo unifore que tiene en el eje el que iene corriendo no afecta para nada, ni influe obre lo que paa en el eje. Vaao ahora a ete otro ejeplo bien aldito conocido coo ahí a la bala. Suponete que un tipo dipara un reoler en fora horizontal la bala cae a 1 kilóetro. Y upongao tabién que eactaente en el io oento en que el tipo dipara, uelta con la otra ano una bala acía. Te pregunto: Cuál de la bala toca 1ro el uelo? La repueta a eta pregunta e la ia de iepre. El tiepo que tardan la bala en tocar el uelo e el io. La llegan al io tiepo al pio. Por qué?. Por el principio de independencia de lo oiiento de Galileo Idolo.
70 ECUACIONES EN EL TIRO OBLICUO ( leer ) Del principio de independencia de lo oiiento urge que, i decopongo el ector elocidad inicial en u coponente, V o V o puedo decir que: Tengo un tiro ertical en el eje, de elocidad inicial V o, un MRU de elocidad V o, en el eje. Entonce la ecuacione en el eje an a er la de MRU la del eje, an a er la del tiro ertical. E decir: Eje = = 0 0 + 0 t = cte Eje = f 0 = + 0 0 t + + g t 1 g t a = 0 a = cte = g Ecuacione para el oiiento de la obra en el eje (MRU) Ecuacione para el oiiento dela obra en el eje (Tiro ertical) CÓMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMAS DE TIRO OBLICUO? Supongao que e dan un problea de tiro oblicuo en donde un tipo patea una pelota. ( Típico problea de parcial ). Para reoler un problea de ete etilo, ha que eguir una erie de pao. Lo que generalente coniene hacer e lo iguiente : ( Atención ).
71 1-Too un itea de referencia. Lo pongo donde o quiero coo á e gute. ( En general o iepre lo uelo toar aí: ). Sobre ete dibujo arco V 0, V 0 g, cada una con u igno. Si alguna de eta cantidade apunta al reé de coo a el eje, e (-). Por ejeplo, g apunta iepre aí, de anera que i o too el eje aí, g a a er ( - ). E decir que al poner g en la fórula tengo que poner 9,8 / - Ecribo la ecuacione horaria para el eje X para el eje Y : = 0 + 0 t = 0 + 0 t + 1 g t Eje = 0 = cte Eje f = 0 + g t a = 0 a = g = cte 3 - En eta ecuacione reeplazo por lo dato, pongo g con u igno, arco 0 ( = V 0. co α ) V 0 ( = V 0. en α ), con u igno. Una ez que tengo toda la ecuacione con lo alore nuérico depejo lo que e piden. Sólo e uan la 1 ra ec. para el eje la 1ª ª para el eje. Con eta 3 ecuacione e puede reoler cualquier problea. Repito: Sólo e uan TRES ecuacione para reoler un tiro oblicuo. Tratar de inentar á ecuacione e un error. Todo ejercicio de tiro oblicuo tiene que alir de ahí, de ea 3 ecuacione. EJEMPLOS DE TIRO OBLICUO Un tipo que iene en oto a 90 por hora ( 5 / ) ube una rapa inclinada 30. Suponiendo que la rapa e u corta no influe en diinuir u elocidad, Calcular: a ) - A qué altura áia llega. b ) - Cuánto tiepo etá en el aire. c ) - A qué ditancia de la rapa cae. He aquí un típico problea de tiro oblicuo. Hagao un dibujito aclarador : MOTO RAMPA
7 Para reoler eto elijo un itea de referencia. Marco en el dibujo toda la elocidade, la aceleración de la graedad todo eo. A la elocidad V 0 la decopongo en la coponente horizontal ertical. Decopongo la Vo en Vo Y en Vo. Me queda : V0 = V0. co α = 5 V0 = V0. en α = 5. co 30 = 1,65. en 30 = 1,5 En el eje X la obra de la oto tiene un MRU. La elocidad de ete oiiento e contante ale V 0 = 1,65 /. En el eje la obra de la oto e uee haciendo un tiro ertical de V 0 = 1,5 /. La ecuacione horaria quedan aí: Eje = 0 + 1,65 t = 0 = 1,65 a = 0 Ecuacione para el eje horizontal ( MRU). Para el eje ertical la coa quedan de eta anera: Eje (MRUV) Y = 0 + 1,5 t + 1 9,8 t V f a = 1,5 + 9,8 t = 9,8 = cte ECUACIONES PARA EL EJE VERTICAL
73 Todo lo tiro oblicuo e reuelen uando olaente la priera ecuacione en Y la 1ª ecuación en X. ( 3 en total ). La otra 3 ecuacione igual la pongo porque on iportante conceptualente. Lo que quiero decir e que: = 1,65 t = 1,5 t 4,9 t = 1,5 9,8 t f Sólo eta ecuacione e uan. a ) - Hallar la altura áia. Cuando el tipo llega a la altura áia, la obra obre el eje a no igue ubiendo á. ( Tratá de iaginártelo ). E decir, que eactaente en ee oento la elocidad en tiene que er cero. ( cero ). Entonce reeplazando la elocidad final en por cero : V = 0 0 = 1,5 9,8 t 9,8 t = 1,5 t = 1,5 9,8 t a = 1,75eg Tiepo que tarda la oto en llegar a la altura áia. b ) - Cuánto tiepo etá en el aire? Si para ubir el tipo tardó 1,75 eg, para bajar tabién a a tardar 1,75 eg. ( Todo lo que ube tiene que bajar ). E decir, el tiepo total que el tipo etá en el aire a a er ece el t de ubida. Pero atención, eto ale en ete cao porque la oto ale del pio llega al pio. ttot = ta t tot = 1,75 eg
74 t tot =,55 eg Tiepo total que la oto etá en el aire. Eto io lo podé coprobar de otra anera. Cuando el tipo toca el uelo la poición de la obra obre el eje e = 0. Entonce, i reeplazo por cero en : Y = 1,5 /. t 4,9 /.t, e queda : 1,5. t 4,9 4,9. t = 1,5. t,55 ( erifica ). c ) - Calcular a qué ditancia de la rapa cae el tipo con la oto. 1,5 t = = 4,9 El tiepo total que el tipo tardaba en caer era,55. Para calcular en qué lugar cae, lo que e tengo que fijar e qué ditancia recorrió la obra obre el eje en ee tiepo. t eg = 0 Veao. La ecuación de la poición de la obra en equi era X = 1,65 /.t Reeplazo por t =,55 egundo e queda: caída = 1,65,55 eg caída = 55, Ditancia a la que cae la oto. OTRO EJEMPLO DE TIRO OBLICUO El cañoncito de la figura tira balita que alen horizontalente con elocidad inicial 10 /. En el oento en que e dipara la balita ale el cochecito a cuerda que etá a 8 del cañón. A qué elocidad tendría que oere el cochecito para que la balita le pegue?
75 En realidad, éte no e un problea de tiro oblicuo ino de tiro horizontal. Lo problea de tiro horizontal on un poco á fácile porque inicialente no ha elocidad en. Vo a toar ete itea de referencia: Ete problea lo aqué de un parcial. Etá bueno porque parece er difícil pero no lo e. E eactaente igual a cualquier otro problea de tiro oblicuo. Tiene la pequeña trapa de parecer un problea de encuentro. Pero no e un problea de encuentro. Epiezo dándoe cuenta que la elocidad inicial e horizontal. Sólo tiene coponente en equi. Entonce irando el dibujo: 0 = 0 = 0 = 10 La obra de la balita en el eje e uee con un MRU. La obra de la balita en el eje e uee en una caída libre. La ecuacione horaria para cada eje on: Eje = 0 + 10 a = 0 = 0 = t 10 PROYECCION SOBRE EL EJE HORIZONTAL ( MRU, V X = Contante) Eje Y = 1 + 0 t + V f 1 = 0 + ( 9,8 ). t a = 9,8 = cte 9,8 t PROYECCION SOBRE EL EJE VERTICAL. ( MRUV, a = 9,8 / )
76 De toda eta ecuacione que on la 6 de tiro oblicuo, iepre e uan 3, una en equi en Y. Entonce ólo o a uar la iguiente: X = 10. t Unica ecuacio - Y = 1 4,9. t ne que o a uar. V = 9,8. t f Lo priero que neceito aber e el tiepo que tarda la balita en tocar el uelo. Eo lo aco de la ecuación en. Cuando la balita toca el pio, e cero, entonce: ( Y = 0 ) 4,9 t caída 0 = 1 4,9. t. t = 1 = 0,45 eg TIEMPO QUE TARDA EN CAER El lugar donde toca el uelo lo aco de la ecuación en. Sé que llega al pio en 0,45 egundo. Entonce reeplazo t = 0,45 egundo en la ecuación de equi: X = 10 0,45 eg Xcaída = 4,5 Lugar donde cae la balita. E decir que i reuo lo que calculé hata ahora tengo eto: Entonce, en el tiepo que tarda la balita en caer ( 0,45 eg ), el cochecito tendrá que recorrer 3,5 hacia la izquierda. Entonce u elocidad a a er: 3,5 VA = = t 0,45 A = 7,77 Velocidad que tiene que tener el auto. ( hacia la izquierda )
77 Fin Teoría de Tiro Oblicuo. Próio tea: Dináica.