VELOCIDAD INSTANTÁNEA EN EL MRUV ( leer ).

Transcripción

1 45 VELOCIDD INSTNTÁNE EN EL MRUV ( leer ). En el oiieno unioreene ariado la elocidad a cabiando odo el iepo. La elocidad inanánea e la que iene el ipo juo en un oeno deerinado. El elocíero de lo auo a arcando odo el iepo la elocidad inanánea. VELOCIDD INSTNTNE elocíero hora quiero que le pree aención a una cueión iporane. Suponé que agarro el gráico de poición en unción del iepo y razo la angene a la parábola en algún lugar. La pendiene de ea reca angene e a a dar la elocidad inanánea en ee oeno. Fijae: E decir, yo engo la parábola. hora lo que hago e agarrar una regla y razar la angene en algún puno deerinado ( por ejeplo en 1 3 eg ). Ea reca a a orar un ángulo ala y a a ener una deerinada inclinación, o ea, una deerinada pendiene. ( pendiene inclinación ). Midiendo ea pendiene yo engo la elocidad inanánea en ee oeno ( a lo 3 egundo ). E un poco largo de eplicar porqué eo e aí, pero e aí. Lo a a er á adelane en análii. ( Deriada y odo eo. E ácil ). De acá puedo acar coo concluión que cuano ayor ea la inclinación de la reca angene, ayor erá la elocidad del ipo en ee oeno. Quiero decir eo:

2 46 En ee gráico la pendiene de la reca para eg e ayor que la pendiene de la reca para 1 eg. Eo e dice la que la elocidad a lo eg e ayor que la elocidad en 1 eg. Eo e razonable. Ee gráico repreena a un ipo que iene aceleración poiia y que e uee cada ez á rápido. Preguna... Cuál erá la elocidad del ipo para? ( ojo ). Ra: Bueno, la elocidad endrá que er cero porque la reca angene ahí e horizonal ( ). NÁLISIS DE L PENDIENTE y DEL ÁRE DEL GRÁFICO () Supongao que engo un gráico cualquiera de elocidad en unción del iepo. Por ejeplo ée: Ee gráico indica que lo que e eá oiendo alió con una elocidad inicial de 4 / y eá auenando u elocidad en /, por cada egundo que paa. Preguna: Qué obengo i calculo la pendiene de la reca del gráico? Ra: Obengo la aceleración. Ea aceleración ale de irar el iguiene dibujio:

3 47 4 Epacio recorrido + 1 ( eg eg En ee cao el opueo e ( la ariación de elocidad ), y el adyacene e ( el ineralo de iepo ). De anera que, hacer la cuena opueo obre adyacene e hacer la cuena dela V obre dela ( / ). Y eo e juaene la aceleración! En ee cao en epecial daría aí: Y i calculo el área que eá bajo la reca que obengo? Veao: er i e eguí: El área del coo aí a a er la de ee + la de ee. hora en el ejeplo que pue ane, el área a a er: celeración 4 8 ady op pend! Recordar recorrido Epacio e Eo 1 a a h b h b + ) 4 8

4 48 MTEMÁTIC: Solución de una ecuación cuadráica Si ee ea no aparece en el parcial aparecerá á adelane, pero en algún oeno e a a opar con él y por eo ené que aberlo. Una ecuación cuadráica e una ecuación del ipo: a X + b X + C ECUCION CUDRTIC Por ejeplo : X - 6 X + 8. Lo que uno iepre buca on lo alore de equi ale que reeplazado en X - 6 X + 8 hagan que odo el choclo dé ( Cero ). Eo alore e llaan olucione de la ecuación o raíce de la ecuación. En ee cao, eo alore on y Son la raíce de la ecuación Una ecuación cuadráica puede ener olucione ( coo en ee cao ); una ola olución ( la do raíce on iguale ), o ninguna olución ( raíce iaginaria ). Para calcular la raíce de la ecuación cuadráica e ua la iguiene órula: Con eo obengo la olucione b ± b 4 a c y de la ec + + 1, 1 a b c a Para el ejeplo que pue que era X - 6 X + 8 engo: 1" 6" + 8" a b c Enonce : 1, b ± b 4 a c a ( 6) ± ojo! ( 6) ; 6 Ee ea ené que aberlo. En algún oeno a a aparecer. No e diícil. Solo hay que replazar lo alore de a, b y c en la órula choclaza. Incluo hay alguna calculadora ienen ya la órula eida adenro.

5 49 ENCUENTRO EN EL MRUV ( Lo oan ) Lo problea de encuenro en donde uno de lo óile ( o lo ) e ueen con aceleración, e reuelen haciendo lo io que pue ane en la pare de MRU. Te lo uero con un ejeplo: Dado el dibujo de la igura calcular: qué iepo ardan en enconrare lo óile, y el lugar donde e encuenran. Ee e un cao de encuenro enre un óil que e uee con elocidad conane (el caracol) y oro que e uee con aceleración conane (el bicho). Para reoler eo hago: 1 - Equea de lo que paa. Elijo iea de reerencia. Marco poicione iniciale y elocidade iniciale. - Planeo la ecuacione horaria para cada óil. Caracol (MRU) C + 1 C 1 ce a C Bicho (MRUV) B B a B ce. 3 - Ecribo la aoa condición de encuenro: C B para e.

6 5 4 - Igualo la ecuacione y depejo el iepo de encuenro e : 1 e 1 1 e 1 e + 1 e 1 Eo e una ecuación cuadráica que e reuele uando la órula que pue ane: 1, b ± b 4 a c a 1, 1 ± ( 1) 1, 1 ± , eg ; -1618, eg Tiepo de encuenro. E decir que el encuenro e produce a lo 6,18 egundo. La olución negaia no a. Lo que e eá diciendo el ( - ) e que lo ipo e hubieran enconrado 16,18 egundo ane de alir. Coo ea olución no iene enido íico, la decaro.( Signiica: no la oo en cuena ). Para calcular la poición de encuenro reeplazo 6,18 eg en la 1ª ec. horaria. C 1 1 e e 6,18 eg. C 61,8 Poición de encuenro. Para eriicar puedo reeplazar e en la ora ecuación horaria y er i da lo io. Tenía: e 1 1 e e 1 1 ( 6,18 ) e 61,8 ( eriica ) La olución del problea e: El encuenro enre el caracol y el bicho e produce a lo 6,18 eg y a 61,8 del caracol.

7 51 L VELOCIDD Y L CELERCIÓN COMO VECTORES La elocidad y la aceleración on ecore. Qué quiere decir eo?. Quiere decir que puedo repreenar la elocidad y la aceleración por una lecha. Si por ejeplo, la elocidad a aí, la lecha e pone apunando aí. La iuación del dibujio e el cao de un ipo que e uee con elocidad conane. Fijae ahora ea ora poibilidade: Lo que quiero que ea e que i el auo a para la derecha, la elocidad iepre para la derecha, pero la aceleración NO. ( E decir, puede que í, puede que no, pero no e eguro). Ea cueión e iporane por lo iguiene: i la elocidad que iene una coa a en el io enido que el eje, ea elocidad erá ( + ). Si a al reé erá ( - ). Lo io paa con la aceleración ( y acá iene el auno ). Fijae :

8 5 Ejeplo: Un auo que iene con una elocidad de 54 K/h (15 /) rena durane 3 eg con una aceleración de /. Qué diancia recorrió en ee ineralo?. Hago un equea de lo que paa. El auo iene a 54 por hora y epieza a renar: hora oo un iea de reerencia y planeo la ecuacione horaria: 15 1 B + + B 15 + ab - ce. Ecuacione horaria. En la 1ª ec. horaria reeplazo por 3 eg y calculo la poición inal: er 15 3 eg 1 ( 3eg ) 36 Poición inal Concluión: En lo re egundo el ipo recorre 36 ero. Si yo e hubiera equiocado en el igno de la aceleración y la hubiera pueo poiia, la coa habría quedado aí: 15 3 eg + 1 ( 3eg ) X 54 ( Nada que er...)

9 53 Lo io hubiera paado i hubiera calculado la elocidad inal depué de lo 3 eg: eg 1 HORROR! Eo no puede er. La elocidad inal iene que dar enor que la inicial!. ( el ipo eá renando ). Por eo: ojo con el igno de la aceleración. Si lo poné al, odo el problea da al. CÓMO RESOLVER PROBLEMS DE MRUV Generalene hay do ipo de problea de MRUV que uelen oar: 1 - Ejercicio de MRUV donde hay que uar órula y ecuacione. - Ejercicio de MRUV donde hay que uar gráico. Lo problea de gráico no ienen una anera epecial de reolere. Cada uno e dierene. Hay que irar bien el gráico y penar. Suelen dare la repreenación de la poición en unción del iepo o de la elocidad en unción del iepo. Por ejeplo, pueden er coa aí : Dado el gráico pueden pedire que calcule cualquier coa. Puede er la elocidad en un puno, la aceleración en un ineralo, el epacio recorrido. No é, cualquier coa. Para reoler eo hay que ir analizando pendiene, área y penar un poco... Si el problea e de MRUV propiaene dicho, lo que hay que hacer e un equea de lo que el problea planea, oar un iea de reerencia y ecribir la ecuacione horaria. Y por aor acordae de una coa : Todo problea de MRUV iene que poder reolere uando la 1 ra y la da ecuación horaria ND MS. Puede er que haya que uar priero una ecuación y depué la ora. Puede er que haya que cobinar la ecuacione. Puede er cualquier coa, pero odo problea iene que alir de ahí.

10 54 claro eo porque a ece o ení con ile de ecuacione planeada. Eá ML. Te eá coplicando. Son ólo DOS la ecuacione que perien reoler el problea. Si el iepo no e dao, al ez pueda conenir uar la ecuación copleenaria, pero eo e hace para ahorrare de hacer cuena, nada á. Uando olaene la 1ª y la ª ecuación horaria el problea TIENE QUE SLIR. Repio: Tal ez haya que hacer á cuena, pero uando olo ecuacione el problea iene que alir. CÍD LIBRE y TIRO VERTICL Fin Teoría de MRUV. Suponé que un ipo a a la enana y deja caer una coa. Una oneda, por ejeplo. Claro, el ipo iene razón. Cuando uno deja caer una coa, lo que cae, cae con MRUV. Toda coa que uno uele a a caer con una aceleración de 9,8 /. Puede er una oneda, una plua o un eleane. Si uponeo que no hay reiencia del aire, oda la coa caen con la ia aceleración. Quién decubrió eo? Obio. Galileo. ( IDOLO! ). Ee hecho e edio raro pero e aí. En la realidad real, una plua cae á depacio que una oneda por la reiencia que opone el aire. Pero i o acá el aire, la plua y la oneda an a ir cayendo odo el iepo juna. ( Ee e un eperieno que e puede hacer). Ea aceleración con la que caen la coa hacia la Tierra e llaa aceleración de la graedad. Se la denoina con la lera g y iepre apuna hacia abajo.

11 55 En el cao de la oneda que cae yo puedo acoar al problea y lo que endría ería un objeo que acelera con aceleración 9,8 /. Vendría a er algo aí : a 9,8 Y i lo hubiera irado con elocidad inicial para abajo endría eo : a 9,8 E decir que un problea de caída libre no e dierencia para nada de un problea de MRUV. E á, la caída libre e ipleene un ejeplo de un MRUV. Para reoler eo problea puedo aplicar lo io razonaieno, la ia ecuacione, odo lo io. La única dierencia e que ane odo paaba en un eje horizonal. hora odo paa en un eje erical. Lo deá e odo igual. Preguna: Y qué paa con el iro erical?. Ra: Y bueno, con el iro erical e la ia hioria. Tiro erical igniica irar una coa para arriba. Si yo acueo una iuación de iro erical, lo que oy a obener a a er eo: a ( ) 9,8 ( + ) E decir, engo la iuación de una coa que ale con una deerinada elocidad inicial y e a renando debido a una aceleración negaia.

12 56 Y eo qué e? Y bueno, e un oiieno recilíneo unioreene ariado. Si hiciera un equea oando un eje erical y, endría algo aí: Concluión: Tano la caída libre coo el iro erical on cao de oiieno recilíneo unioreene ariado. Lo problea e pienan de la ia anera y e reuelen de la ia anera. La ecuacione on la ia. Lo gráico on lo io. Caída libre y iro erical no on un ea nueo, on ólo la aplicación del ea anerior. Quien abe MRUV, abe caída libre y iro erical. ( Sólo que no abe que lo abe ). CÓMO RESOLVER PROBLEMS DE CÍD LIBRE y TIRO VERTICL 1 - Hago un equea de lo que paa. Sobre ee equea oo un eje erical y. Ee eje lo puedo poner apunando para arriba o para abajo ( coo á e conenga ) Puede er algo aí: SIGNOS EN UN TIRO VERTICL. Sobre ee equea arco lo enido de y de g. Si V y g apunan en el io enido del eje y, erán (+).Si alguna a al reé del eje y erá (-).( coo en el dibujo). El eje horizonal puedo ponerlo o no. No e ua en eo problea pero e puede poner. - La aceleración del oiieno e dao y ale g. Generalene e la oa coo 1 /. Ecribo la ecuacione del oiieno. Incluo puedo poner la ecuación copleenaria que e puede llegar a erir i no e dan el iepo.

13 57 y y + + g a ce g + 1 g Ecuacione Horaria g ( y y ) Ec. Copleenaria Si, por ejeplo en el dibujo V uera 1 /, la aceleración de la graedad uera 9,8 / y la alura del ediicio uera de, la ecuacione horaria quedarían: Y V ,8 a - 9,8 ce Dao 3 - Uando la priera ecuacione horaria depejo lo que e piden. - 9,8 Reeplacé por lo En ee ipo de problea uelen pedire iepre la ia coa. Puede er el iepo que arda en llegar a la alura áia. Puede er la elocidad inicial con la que ue lanzado. Puede er cuáno arda en caer. Siepre on coa por el eilo. Pueden oare un problea de encuenro abién. En ee cao hay que planear la ecuacione horaria para cada uno de lo cuerpo y depué eguir lo pao de iepre para reoler problea de encuenro. Ejeplo ( CID LIBRE Y TIRO VERTICL ) Un ipo eá parado a de alura. Calcular qué iepo arda y con qué elocidad oca el uelo una piedra i el ipo: a)- La deja caer. b)- La ira para abajo con V 1 /. c)- La ira para arriba con V 1 /. Un equea de lo que paa e el iguiene:

14 58 Voy al cao a) donde el ipo deja caer la piedra. Elijo i iea de reerencia y arco y g con u igno. En ee cao V o ale cero porque la piedra e deja caer. Reeplazo por lo alore y la ecuacione del oiieno quedan aí : Y + V a - 1-9, ,8 9,8 ce Ecuacione horaria El iepo que la piedra arda en caer lo depejo de la 1ª ecuación. Cuando la piedra oca el uelo u poición e y. Enonce en la priera ecuación reeplazo y por cero. Me queda : 4, 9 1 9, 8 4, 9, eg Tiepoque arda Reeplazando ee iepo en la egunda ecuación engo la elocidad con que oca el pio : V 9,8, V 19,8 Velocidad de la piedra al ocar el uelo.

15 59 El igno negaio de V e indica que la elocidad a en enido conrario al eje y Siepre coniene aclarar eo. b) - La ira para abajo con V 1 /. Too el io iea de reerencia que oé ane. Eje Y poiio erical hacia arriba. hora la elocidad inicial e (-) porque a al reé del eje Y. ( eno ). Igual que ane, cuando la piedra oca el uelo, y. Enonce: ( y ) 1 4,9 4, &#%#$ &#%#$ &%$ c a b Eo e una ecuación cuadráica. Fijae que e arqué lo alore de a, b y c. Enonce reeplazo lo alore de a, b y c en la órula de la ecuación cuadráica. 1, b ± b 4 a c a 1, 1 ± Haciendo la cuena : 1, 1 4,9 4 4,9 1 ±, 18 9, 8 ( ) 1 3, 8 eg ; 1,4 eg Tiepo de caida. ( Taché la 1ª olución porque iepo negaio no ienen enido íico ). hora oy a reeplazar ee iepo de 1,4 egundo en la ª ecuación:

16 6 Reeplazando 1,4 eg en V V o + g calculo la elocidad inal. ( al ocar el pio ). Me queda : V 1 9,8 1,4 V,18 Velocidad al ocar el pio. c) - Para el cao cuando el ipo la ira para arriba con V 1 /, el igno de V o cabia. hora V e poiia. Pero... Ojaldre!. El igno de g NO cabia!. La graedad igue apunando para abajo ( coo iepre ). Enonce al ir al reé del eje Y u igno e negaio. La ecuacione horaria quedan: Haciendo lo io que en lo cao aneriore e queda: Fijae que en lo cao b) y c) el iepo de caída no dio lo io. Eo e lógico. En un cao eoy irando la piedra para arriba y en el oro para abajo Pero en lo cao b) y c) la elocidad de la piedra al ocar el pio... SI dio lo io!. Hu... Eará bien? Eo e earía diciendo que al irar una piedra con una elocidad inicial e cero para arriba o para abajo, éa oca el pio con la ia elocidad. ( Raro ). Podrá er eo?... Ra: Sí. No e que puede er que ea aí. Tiene que er aí. ( Penalo ). Fin Teoría de Caída Libre y Tiro Verical. Próio ea: Tiro oblicuo!