2. CINÉTICA DE LA PARTÍCULA

Transcripción

1 39. CINÉTICA DE LA PARTÍCULA. Moimieno recilíneo.. Aceleración conane. Un racor u remolque aumenan uniformemene u rapidez de 36 a 7 km/h en 4. Sabiendo que u peo on, repeciamene, on, calcule la fuerza de racción que el paimeno ejerce obre el racor la componene horizonal de la fuerza que e ejerce en el enganche enre lo ehículo durane ee moimieno. Reolución N F A parir de la información del moimieno, ineigamo la aceleración del ehículo. Comenzaremo coniriendo la elocidade a m/: 36 7 km h km h m m m m d a d Como el aumeno de elocidad e uniforme: a.5 4 Para conocer la fuerza problema cinéico comenzaremo: ) dibujando el diagrama de cuerpo libre del conjuno; ) eligiendo un iema de referencia. Empleamo a coninuación la ecuacione cinéica: F N N

2 4 Cinéica de la parícula Pueo que la aceleración del ehículo e horizonal, ee reulado no e úil para la reolución del problema. F ma F (.5) Como P=mg; enonce m=p/g Q F 5.6 on Q Para conocer la fuerza en el enganche, e puede eudiar cualquiera de lo do cuerpo que la ejercen. Elegiremo el remolque. N F ma Q (.5) Q 5. on Se raa de una enión Podemo comprobar lo reulado analizando el racor: Q Q on Por la ercera le de Newon, la reaccione del remolque obre el racor on iguale a la reaccione del racor obre el remolque, pero de enido conrario. F ma 5.6 Q (.5) Q 5.6 (.5) N Q 5. on

3 Cinéica de la parícula 4. Lo coeficiene de fricción eáica cinéica enre la llana de una camionea de doble racción la pia on.85.65, repeciamene. Diga cuál erá la elocidad eórica máima que alcanzará la camionea en una diancia de 3 f, uponiendo uficiene la poencia de u moor. Reolución p Dibujamo el diagrama de cuerpo libre elegimo el iema de referencia. Como deeamo conocer la elocidad máima depué de recorrer ciera longiud, e requiere que el auomóil adquiera la máima aceleración, por ano, que ejerza la máima fuerza de racción, que e de fricción en ee cao..85 N N F F P N N P ma P.85N a 3. P.85P a 3. a a.85(3.) 7.4 Se raa de una aceleración conane, por ano: a a d d d a( ) d

4 4 Cinéica de la parícula En ee cao, 3 a( ) (7.4)3 8. f Se puede conerir a mi : h f mi h mi h

5 Cinéica de la parícula Un niño arroja una piedra de.5 kg de maa hacia arriba, ericalmene, con una elocidad inicial de m/ dede la orilla de un edificio de m de alura. Deermine: a) la alura máima, obre el uelo, que alcanza la piedra; b) la elocidad con que llega al uelo. m m m/ Reolución Dibujamo la piedra en un diagrama de cuerpo libre que repreene cualquier inane del moimieno, elegimo un iema de referencia. Diponemo de una ecuación cinéica: F ma.5().5a a E decir, en cualquier inane, uba o baje la piedra, u aceleración e la de la graedad e dirige hacia el cenro de la Tierra. A parir de la aceleración, ecribimo la ecuacione del moimieno de la piedra, refiriéndola al iema de referencia que e muera en la figura. a ad d d ( ) d Ahora podemo conear la preguna.

6 44 Cinéica de la parícula a) Cuando alcance la alura máima u elocidad erá nula. Y en ee inane: m que e la alura máima obre el uelo b) Llega al uelo cuando = 4 4 La raíce on: El iempo en que llega al uelo e la raíz poiia la elocidad e: (3.58) 3. El igno negaio indica que u enido e conrario al enido del eje de la e, elegido arbirariamene. 3. m

7 Cinéica de la parícula Se lanza un cuerpo de 4 kg hacia arriba de un plano inclinado con un ángulo de 5º, con una elocidad inicial de m/. Si lo coeficiene de fricción eáica cinéica on.5., repeciamene, enre el cuerpo el plano, cuáno iempo emplea en oler al puno del que fue lanzado?, con qué elocidad paa por él? 4 kg 5º Reolución Dibujamo el diagrama de cuerpo libre mienra el cuerpo ube, elegimo el iema de referencia. Empleamo a coninuación la ecuacione cinéica: 4() F N (4)() co5 N 379 newon. N F ma.n 4()en5 ma 77.4 ma a 4.43 N El igno negaio indica que la aceleración iene enido conrario al eje de la equi que el cuerpo e eá deeniendo. Ecribimo la ecuacione del moimieno: a 4.43 ad d 4.43d d El iempo que arda en ubir lo enconramo haciendo =.

8 46 Cinéica de la parícula Para enconrar la diancia que recorre el cuerpo en el aceno haa deenere uiuimo el iempo hallado (4.5) (4.5) 45. m Habrá recorrido ea diancia ane de deenere. Ahora analizaremo al cuerpo a parir de que comienza a bajar. Uilizando un nueo iema de referencia, enemo: 4() F N (4)() co5 N 379 La fuerza de fricción iene ahora oro enido.. N N F ma 4()en5.N 4a 4()en5.N a 4 a.644 La ecuacione del moimieno, en el nueo iema de referencia omando como origen el puno en el que el cuerpo e deuo, on: a.644 ad.644 d d.644d Vuele al puno de parida en = 45. m

9 Cinéica de la parícula (45.) Por ano, el iempo que arda en oler al puno de donde fue lanzado e la uma de ee iempo má el empleado en ubir T T 6.34 La elocidad con la que paa por dicho puno la hallamo uiuendo el iempo de deceno en la ecuación de la elocidad..644(.83) 7.6 m 5

10 48 Cinéica de la parícula 5. Lo peo de lo cuerpo A B de la figura on, repeciamene, 3 lb, lo de la polea de la cuerda, depreciable. Sabiendo que la cuerda e fleible e ineenible que no ha ninguna fricción en la polea, calcule la aceleración del cuerpo B la enión de la cuerda. # 3 # A B Polea T T Cuerpo A T Cuerpo B T 3 T Reolución Lo cuerpo eán conecado con una ola cuerda, de manera que u aceleración iene la mima magniud. La cuerda ufre la mima enión en oda u longiud, pue la polea e de peo depreciable ( la uma de momeno de la fuerza repeco a u eje de roación iene que er nula). Una ez dibujado el diagrama de cuerpo libre de A, elegimo un iema de referencia dirigido hacia arriba, pue el cuerpo, má ligero que B, acelerará aumenando u rapidez hacia arriba. F ma T 3. a a T ( ) () 3. El iema de referencia para el diagrama de cuerpo libre de B lo elegimo hacia abajo para er coniene con el diagrama anerior. F ma 3 T 3 3. a a T 3( ) () 3. Igualando () () a a ( ) 3( ) 3. 3.

11 Cinéica de la parícula 49 a 3a a 3. 3 a La aceleración de B e, por ano a 6.44 f Y la enión de la cuerda T 6.44 ( ) (.) 3. T 4 lb

12 5 Cinéica de la parícula 6. Lo cuerpo A B pean 4 6 kg, repeciamene. El coeficiene de fricción eáica enre el cuerpo A el plano horizonal e.35, el de fricción cinéica, de.5. Suponiendo depreciable la maa de la polea cualquier reiencia ua al moimieno, calcule ano la enión de la cuerda que une la polea, como la aceleración de lo cuerpo A B. Reolución Cuerpo A 4 F N N N N T F ma 4 T.5N a A 4 T.5(4) a A 4 T a A 4 T a A () Cuerpo B T Analizando el cuerpo B 6 6 T a B 6 T 6 a B () Tenemo la ecuacione con cuaro incógnia. 6

13 Cinéica de la parícula 5 Eudiemo la polea móil. Como u maa e depreciable ma Por ano F 3T T T 3T (3) T T T Y la cuara ecuación la obenemo relacionando la aceleracione de A B, mediane la cuerda que coneca la polea, cua longiud e conane. l A 3 B Deriando repeco al iempo a A A 3 B 3a B T Para reoler el iema de ecuacione, muliplicamo () por (3) e igualamo con () a A 6 a B Ahora, uiuimo (4): a B 6 a ab ab ab () 4 B a B a A m.7 m. T 8.57 kg

14 5 Cinéica de la parícula.. Aceleración ariable 7. A un cuerpo que repoa en una uperficie lia e le aplica una fuerza F cua magniud aría con el iempo, egún e muera en la gráfica de la figura. Deermine el iempo que e requiere para que el cuerpo regree a u poición original. F 6 F(N) 8 () Reolución P 6 De acuerdo con la gráfica, la epreión que define la fuerza horizonal e: F 6 Pue 6 N e la ordenada al origen la pendiene e negaia de N/. Depué de dibujar el diagrama de cuerpo libre para cualquier inane del moimieno elegir el iema de referencia, ecribiremo la ecuación cinéica. F ma P 6 d d Hemo uiuido a por d/d porque la fuerza eá en función del iempo. N Para reoler la ecuación diferencial, eparamo ariable e inegramo. P (6 ) d d P (6 ) d d P 6 C Para,, de donde C

15 Cinéica de la parícula 53 P 6 (6 ) P Suiuimo por d/d d d 9.8 (6 P Separando ariable e inegrando: d (6 ) d P d (6 ) d P 3 (8 ) C P 3 ) Ecogiendo el origen en el puno de parida. Si, C (8 P 3 ) Ea e la ecuación que define la poición en función del iempo. Si uele al puno de parida, (8 P Diidiendo enre ), pue do raíce on nula: 4 Que e el iempo en que uele al puno de parida.

16 54 Cinéica de la parícula 8. Una embarcación de 966 lb de deplazamieno naega en agua ranquila a 4 nudo cuando u moor ufre una aería. Queda enonce ujea a la reiencia del agua que, en lb, e puede eprear como.9, donde eá en f/. Diga en cuáno iempo la rapidez de la embarcación e reducirá a 6 nudo. Reolución F ma U ma 966 d.9 3. d d.9 3 d d.9d 3 d.9 d C Cuando =, = 4 nudo Dado que la reiencia eá epreada en el iema inglé, realizamo la conerión de nudo a f mi mar. f 4 h mi.mar. 4 f h 85m 4.348m 3 C (4.53) C 3 (4.53) C

17 Cinéica de la parícula 55 Enonce: Cuando la elocidad de la embarcación e = 6 nudo: Nueamene realizamo la conerión, uilizando una regla de re con el reulado anerior f Enonce:

18 56 Cinéica de la parícula 9. Una embarcación de 966 lb de deplazamieno naega en agua ranquila a 4 nudo cuando u moor ufre una aería. Queda enonce ujea a la reiencia del agua que, en lb, e puede eprear como.9, donde eá en f/. Qué diancia naegará haa que u elocidad e reduzca a 6 nudo? Reolución Dibujamo un diagrama de cuerpo libre, que repreene cualquier inane del moimieno, elegimo un eje de referencia en dirección de la elocidad. F ma d d Hemo uiuido a por d/d porque la fuerza eá en función de la elocidad queremo conocer un deplazamieno. U Simplificando la ecuación, enemo: d.9 3 d Separamo ariable d.9d 3 d.9 d L C Elegimo el origen en la poición en que la embarcación ufre la aería, de modo que Si, 4 nudo 3 L 4 nudo C C 3 L 4 nudo

19 Cinéica de la parícula 57 La ecuación queda aí:.9 3 L L L 4 L 4 nudo nudo Por la propiedade de lo logarimo.9 3 L 4 nudo L.3 4 nudo Voliendo a uilizar la propiedade de lo logarimo.3 4 L nudo La poición de la embarcación cuando u rapidez e de 6 nudo e:.3 L 4 nudo 6 nudo L f Que e ambién la diancia que naega haa dicha poición.

20 58 Cinéica de la parícula. Se arroja una pequeña efera de kg de peo hacia arriba, ericalmene, con una elocidad inicial de 5 m/. En u moimieno eperimena una reiencia del aire, que, en kg, e puede coniderar de.4, donde e dé en m/. Deermine: a) el iempo en que alcanza u alura máima; b) la elocidad con que uele al puno de parida. Reolución En el diagrama de cuerpo libre, dibujaremo la reiencia del aire en enido poiio, pero aignamo a la magniud un igno negaio, de modo que i e poiia, la fuerza reula negaia iceera. -.4 F ma.4 g d d g.4 d g.4 Si =, = 5.. d d d.4 L(.4 ) C g L.6 C g.6 L g.4.6 L.g.4 () Nombramo () a la ecuación anerior a que erá uilizada má adelane. Para =

21 Cinéica de la parícula 59.g.337 L.3 De la ecuación ().6.g L.4 e.g e.g.4.6 e.g.g 5 65 e () d d 5 65 e d 5 Si =, = 65.g.g 5 65 e e.g.g d C 65 C.g 65 5.g e.g Se encuenra el alor de para =.8 Suiuendo el iempo enconrado en la ecuación ().47 m

22 6 Cinéica de la parícula O bien: F ma.4 g d d 5 d 5 g d g d d 5 5 g d d 5 g d d d g 5L( 5) C 5 Si =, = L65 C C 5 5 L65 g L 5 5 Para = : L 5 Reoliendo mediane aproimacione o con auda de una calculadora programable, obenemo: 5 (Cuando comienza el moimieno) m

23 Cinéica de la parícula 6. Una cadena de 4 m de longiud 8 N de peo repoa en el borde de una uperficie rugoa, cuo coeficiene de fricción cinéica e.5. Mediane una fuerza conane de 5-+ N e jala a ora uperficie conigua, lia. Calcule la elocidad con que la cadena ermina de paar compleamene a la uperficie lia. µ 5 Reolución Dibujamo un diagrama de cuerpo libre de la cadena, que repreena un inane cualquiera de u moimieno. Un ramo de ella e encuenra obre la uperficie rugoa oro en la lia. Colocamo el origen del iema de referencia en la unión de la do uperficie, de modo que el ramo obre la uperficie lia iene una longiud. Como el peo de la cadena e de 8 N mide 4 m, u peo por unidad de longiud e: 8 w N 4 m La componene normale de la uperficie obre la cadena ienen la mima magniud que lo peo de u ramo repecio. F ma 8 d 5.5(4 ) d 8 d 5 (4 ) d 8 d 5 4 d 8 d d 8 d d

24 6 Cinéica de la parícula d Hemo uiuido a por a que la fuerza eá en d función de la poición, hemo diidido ambo miembro enre. Separamo ariable e inegramo. 8 ( ) d d 8 ( ) d d 8 C Si, pueo que cuando el eremo derecho de la cadena e halla en el puno de unión de la uperficie comienza a moere. C 4 4 La cadena ermina de paar a la uperficie lia cuando 4, u elocidad enonce e: m

25 Cinéica de la parícula 63. Un cuerpo de maa m unido a un reore, cua conane de rigidez e k, e encuenra en repoo obre una uperficie horizonal lia. Se aleja el cuerpo una diancia o de u poición de equilibrio e uela. Ecriba la ecuacione del moimieno del cuerpo en función del iempo dibuje la gráfica correpondiene. Reolución mg En el diagrama de cuerpo libre, dibujaremo la fuerza del reore en enido poiio, pero aignamo a u magniud un igno negaio, de forma que i e poiia la fuerza reule negaia iceera. -k N F ma k d m d El igno negaio ire para cambiar el enido de la fuerza. Pue i e poiia, e decir, i el cuerpo eá a la derecha del origen, la fuerza e dirige hacia la izquierda; iceera. k C m Cuando ; k C k C Enonce: k m k k k m k m ( ) k( ) m

26 64 Cinéica de la parícula k m k m Sea p d d d d d k m p pd d angen p d p C Si, angen C C 9 angen p 9 Aplicando la función eno de ambo lado de la ecuación: en p 9 co p co p Deriando con repeco al iempo enemo: d p en p p p d en p en p

27 Cinéica de la parícula 65 Deriando nueamene con repeco del iempo enconraremo la aceleración. d d p p p p co p co a p co p a p La gráfica para la poición, elocidad aceleración on, repeciamene: p - p a p -p p π π 3π π 5π

28 66 Cinéica de la parícula 3. Un cuerpo de 6. lb de peo pende de lo re reore morado en la figura. Se jala el cuerpo hacia abajo re pulgada de u poición de equilibrio e uela. Se pide: a) Hallar la conane de rigidez de un reore equialene a lo re de la figura. b) Deerminar i el moimieno que adquiere el cuerpo e armónico imple o no. c) Dar la ampliud, el período la frecuencia del moimieno. d) Calcular la elocidad aceleración máima del cuerpo. Reolución a) La conane de rigidez equialene a la de lo do reore en paralelo e k lb f La conane equialene a lo do reore en erie e: k k k 4 lb f b) Dibujamo el diagrama de cuerpo libre para cualquier inane del moimieno elegimo como origen la poición de equilibrio del cuerpo. En dicha poición la fuerza del reore e igual al peo, de 6. lb, de modo que en cualquier poición la acción del reore iene una magniud de 4 6. F ma a a a 48 Ea ecuación e de la forma a que correponde al moimieno armónico imple, e decir, recilíneo, cua aceleración e proporcional a la poición

29 Cinéica de la parícula 67 con repeco al puno de equilibrio e dirige hacia él. Por lo ano, el cuerpo adquiere moimieno armónico imple. c) Como la ampliud e la diancia máima que la parícula e aleja del origen, 3 in, que e la longiud eñalada en el enunciado. Como f in.5 f El periodo T e el iempo en que el cuerpo da una ocilación complea: pt T p En donde p k 4 6. m.5 3. k m 4 p Enonce: T T.97 Y la frecuencia, que e el número de ciclo compleo por unidad de iempo: f p T f.3 Hz

30 68 Cinéica de la parícula d) Como e raa de moimieno armónico imple, la ecuacione del moimieno on: p en a p co p p co p p que, para ee cao paricular, on:.5co 4 3en 4 a co El alor de la elocidad máima e alcanza cuando en p, por ano: ma p 3.73 ma f La aceleración máima correponde a la poición erema,. 5 a ma p 48(.5) a f ma

31 Cinéica de la parícula 69. Moimieno curilíneo.. Componene careiana 4. La corredera A, de 5 lb de peo, e muee denro de la ranura conforme e elea el brazo horizonal, que iene una elocidad conane de 3 in/. Sabiendo que cuando = 6 in, u elocidad iene una pendiene poiia de / u aceleración e horizonal de 3 in/ dirigida hacia la derecha, deermine oda la fuerza eerna que acúan obre ella en ea poición. Reolución Dibujamo el diagrama de cuerpo libre de la corredera. La reaccione normale del brazo de la ranura erán llamada NB NR repeciamene, en donde NB endrá la dirección del eje, mienra que NR erá normal a la elocidad en el puno. F ma N N R R N R.868 lb F N N B B 5 N R 5 N R 5 5 N B 5.8 lb

32 7 Cinéica de la parícula 5. Dede la orilla de un edificio de m de alura, un niño arroja una piedra con una elocidad de 5 m/, cua pendiene e de 4/3. Sabiendo que la piedra iene una maa de.5 kg la reiencia del aire e depreciable, deermine la alura máima h obre el uelo que alcanza la piedra, la diancia horizonal R que e aleja del edificio la elocidad con que llega al uelo. Reolución.5 () El diagrama de cuerpo libre de la piedra en cualquier inane del moimieno e el que e muera. Elegimo un eje de referencia unilaeral hacia arriba. F ma.5().5a a a m Pariendo de ee dao, elegimo un iema de referencia compleo para planear la ecuacione del moimieno de la piedra. Componene horizonale m a 9 9 a d d 9 d 3 5 5

33 Cinéica de la parícula 7 Componene ericale a 4 ( ) d 5 d 5 d Alcanza la alura máima h cuando la componene erical de la elocidad e nula. Y ea alura e = h h h 7.3 m La piedra llega al uelo en un puno iuado a una diancia R del edificio. E decir, cuando La raíce de ea ecuación on: En 3. 58, =R R 9(3.58) R 3.3 m

34 7 Cinéica de la parícula.. Componene inríneca 6. Un péndulo cónico de 8 kg de peo iene una cuerda de m de longiud, que forma un ángulo de 3º con la erical. Cuál e la enión de la cuerda? Cuál e la rapidez lineal del péndulo? Reolución 8 kg 3 T F T co T co 3 T 9.4 kg n Fn ma Ten3 Ten3 n 8 8 en3 T en 3 8 T en m

35 Cinéica de la parícula Calcule el ángulo de perale que debe ener la cura horizonal de una carreera para que lo ehículo al raniar por ella no produzcan fuerza de fricción obre el paimeno. El radio de la cura e de f de 6 mi/h la elocidad de dieño. Reolución Conerimo la 6mi h a f mi 44 f f h 3 Dibujamo el diagrama de cuerpo libre de un ehículo en el que el paimeno ólo ejerce una fuerza normal. z El iema de referencia requiere que el eje normal e dirija hacia el cenro de la cura; elegimo oro eje perpendicular a él (el eje angencial e perpendicular al plano del dibujo). n F z N co P P N co N θ P F n ma P Nen 3. n Suiuendo: P P (88) en co 3. en (88) co 3 (88) an 3 3.5º

36 74 Cinéica de la parícula 8. Un cuerpo de 4 kg de maa e encuenra ujeo por do cuerda, una horizonal (AC) ora (AB) de.8 m de largo, que forma un ángulo de 3º abajo de la horizonal. Deermine la enión que oporará la cuerda AB en el inane en que e core la cuerda AC. Diga ambién cuál erá la aceleración del cuerpo. Reolución Fn ma T 4()en 4a n T 4()en 4 T 4()en 4.8 n n T 4()en 5 Cuando 3 ; T 4()en3 T 4()en3 T 9.6 N F ma 4() co 4a Si 3 : 4() co 34a a a 4() co m a 33.9 m 6

37 Cinéica de la parícula Un péndulo de 4 kg de maa comienza a ocilar cuando u cuerda, de.8 m de longiud, forma un ángulo de 3º abajo de la horizonal, como e muera en la figura. Cuál erá la máima rapidez que alcance? Cuál, la enión correpondiene de la cuerda? Reolución Pueo que la rapidez del péndulo e ariable, dibujaremo un diagrama de cuerpo libre que repreene un inane arbirario de u moimieno. Uilizaremo un iema de referencia inríneco: el eje normal e dirige hacia el cenro de la raecoria circular del péndulo; el angencial iene la dirección de la elocidad de ée. n F ma 4() co 4a La máima rapidez la alcanza cuando a, o ea, 4co co 9 Y para hallar ea rapidez, uiuimo d 4() co 4 d d θ dθ.8.8 Simplificando d co d Se puede relacionar el ángulo el arco diferencial d : el ángulo d e, como odo ángulo, la razón del arco al radio. d d.8 d.8d

38 76 Cinéica de la parícula De donde: d co.8d Separando ariable:.8co d d.8co d d.8en C Si 3,.8 C De donde.8en.4.4 en ma.8()().8 ma m F n ma n T 4() en 4 r Para 9 (en ), ma r. 8.8() T 4() 4.8 T 8() T 78.5 N

39 Cinéica de la parícula 77. Por el puno A de la uperficie lia morada en la figura, paa una parícula de maa m con una rapidez o. Diga con qué rapidez llegará al puno B, i la diferencia de niel enre A B e h. h Reolución Elegimo una poición arbiraria de la parícula, como la que e muera en la figura, dibujamo el diagrama de cuerpo libre. Uilizamo un iema de referencia inríneco: el eje normal dirigido hacia el cenro de la cura el angencial en dirección de la elocidad. Como no inerea conocer la rapidez, empleamo la ecuación: N F ma d mg co m d θ g co d d n mg Para poder inegrar, relacionamo la longiud d con el ángulo, como e e en la figura: dh θ d dh co d dh d co Por ano g g dh d B A dh d

40 78 Cinéica de la parícula gh gh o gh o gh Si =, e iene gh Siempre que no haa fuerza de fricción.

41 Cinéica de la parícula 79. Un niño coloca una canica en la pare ala de un globo erráqueo. Diga en qué ángulo la canica abandona el globo e coniere en proecil. Deprecie oda fricción. Reolución Aunque la canica eá originalmene en equilibrio, ée e an ineable que el moimieno e inminene. n N θ mg Dibujaremo un diagrama de cuerpo libre que repreene cualquier inane del moimieno de la canica obre la uperficie del globo erráqueo. Elegimo un iema de referencia inríneco, con el eje normal hacia el cenro del globo el eje angencial en dirección de la elocidad. Pueo que la componene angencial de la aceleración mide el cambio de magniud de la elocidad, que e ariable en ee cao, comenzaremo con la iguiene ecuación. F ma d mg en m d Se puede relacionar el ángulo el arco diferencial d, a que odo ángulo e mide con la razón del arco al radio. d d r d rd De donde: d g en rd gr en d d gr en d d

42 8 Cinéica de la parícula gr co C Como = cuando θ = (co θ = ) gr () C gr co gr gr gr co gr( co ) Uilizando la ora ecuación cinéica: F n ma n mg co N m r Cuando la canica eá a puno de eparare del globo, N = θ = β mg co m r Del reulado anerior: gr( co ) g co r gr( co ) co gr co co 3co co 3 48.

43 Cinéica de la parícula 8. El aro lio de la figura, cuo radio e de.5 m, gira con rapidez angular conane alrededor de un eje erical. Calcule dicha rapidez angular, abiendo que el collarín, aunque puede delizare libremene obre el aro, maniene fija u poición relaia a él. Reolución z Dibujamo el diagrama de cuerpo libre del collarín. Como la raecoria que decribe e una circunferencia en el plano horizonal, el eje normal, que e dirige hacia el cenro de la raecoria, e ambién horizonal. n P N El eje angencial e perpendicular al plano del dibujo no aparece en el diagrama. F Z N en3 P N P F ma n. P Nco3 r 3 P. P r. 3 r n r

44 8 Cinéica de la parícula El radio de la raecoria e.5 3 r.5co 3.5 De donde 3 ( rad 3) 3