Universidad de Oriente Núcleo de Bolívar Departamento de Ciencias Área de Matemática Asignatura: Matemática (0081714) UNIDAD N 1 (FUNCIONES) Profesora: Yulimar Matute Octubre 2011
Función Constante: Se define como: f(x) = b, con b R El dominio de la función constante, por ser una función polinomial, está formado por el conjunto de los números reales. Es decir que se puede escribir: Domf: (, + ) ó Domf: {x/x R} El rango de esta función está compuesto por la constante a la que está igualada f(x) ó y. Es decir que se puede escribir: Rgof: {b} La representación gráfica de la función constante es una línea recta horizontal, y la ubicación de la misma depende del valor de la constante b. Si b > 0 Si b = 0 Si b < 0 Ejemplo: Determine dominio, rango y gráfica de las siguientes funciones: a) f(x) = 2 Solución Domf: (, + ) y Rgof = {2} 2
Ejercicios: Determine dominio, rango y gráfica de las siguientes funciones: 1. f(x) = 5 2. f(x) = 7 3. y = 1 2 4. y = 16 5. f(x) = 14 6. f(x) = 10 4 Función Lineal: Se define como: f(x) = mx + b, con m, bεr y m 0 El dominio de la función lineal está formado por el campo de los números reales; es decir, se puede escribir como: Domf: (, + ) ò Domf: {x/x R}. El rango de esta función, también está compuesto por el conjunto de los números reales; es decir, se puede escribir como: Rgof: (, + ) ò Rgof: {y/y R}. La representación gráfica es una línea recta; dado que el valor de m 0, la recta no podrá ser horizontal. Una recta vertical no representa una función; por lo tanto la representación gráfica de la función lineal que se definió anteriormente será una recta oblicua. Si m > 0 Si m < 0 Si no se conoce la ecuación que define a la función lineal, pero se tienen dos puntos por los que pasa dicha recta, entonces, el valor de la pendiente puede ser calculado con la siguiente fórmula: 3
Si A(x 1, y 1 ) y B(x 2, y 2 ), entonces: m = y 2 y 1 x 2 x 1 Ecuación Punto-Pendiente: y y 1 = m(x x 1 ), esta ecuación sirve para encontrar la ecuación de una función lineal, siempre que se conozca un punto de la recta y su pendiente. Para graficar la función lineal, sólo es necesario conocer dos puntos cualesquiera de la recta. Generalmente se buscan los puntos de corte con los ejes. Es decir; Se le da el valor de cero a x en la función y se calcula el valor de y Se le da el valor de cero a y en la función y se calcula el valor de x Ejercicios: Determine el dominio, el rango y la representación gráfica de las siguientes funciones. 1. f(x) = 2x + 1 2. f(x) = 5x + 2 3. y = 1 2 x 3 4. y = 3x 2 5 5. f(x) = 7x 6. y = x 4 7. f(x) = 2 6x 8. y = 1 4 x + 8 3 En cada caso encuentre la pendiente de la recta que pasa por los puntos dados y encuentre la ecuación de dicha recta; luego represente la función gráficamente. 1. A(2, 3) y B(1, 4) 2. C( 5, 2) y D(6, 4 ) 3. E ( 1 3, 0) y F ( 3, 2 5 ) 4. G ( 3 4, 5) y H ( 1 2, 6) 5. I(0, 4) y J( 8, 0) 6. K(0, 0) y L(2, 1) 4
Función Cuadrática: Se define como: f(x) = ax 2 + bx + c, con a, b, c R y a 0 El dominio de la función cuadrática está formado por el conjunto de los números reales; es decir, se puede escribir como: Domf: (, + ) ò Domf: {x/x R}. El rango de la función cuadrática es un subconjunto de los números reales, el cual puede determinarse de la siguiente manera: 4ac b2 Si a > 0, entonces Rf: [ 4a, + ) 4ac b2 Si a < 0, entonces Rf: (, ] 4a La representación gráfica es una curva llamada parábola. Si a > 0 Si a < 0 Puntos necesarios para graficar la parábola: a) Punto de corte con el eje y Es cuando x = 0, el punto es (0, c) b) Punto de corte con el eje x Es cuando y = 0, en este caso ax 2 + bx + c = 0, esta ecuación se resuelve con la siguiente fórmula: 5
x = b ± b2 4ac 2a Al resolverla podemos obtener tres posibles resultados: Que se obtengan dos valores de x, llamados x 1 y x 2 Esto sucede cuando b 2 4ac > 0 Que se obtenga un sólo valor de x Esto sucede cuando b 2 4ac = 0 Que no se obtenga ningún valor de x Esto sucede cuando b 2 4ac < 0 6
c) Punto del vértice de la parábola V = ( b 2a, 4ac b 2 ) 4a Ejercicios: En cada caso determine: Dominio, rango, puntos de corte con los ejes, el punto del vértice de la parábola y la representación gráfica de la misma. 1. f(x) = 2x 2 + 6x 8 2. f(x) = x 2 + 5x + 6 3. y = 3x 2 + 2x 1 4. y = x 2 + 2x 24 5. f(x) = x 2 + 1 6. y = 4x 2 Función Racional: Una función es de tipo racional si puede escribirse como el cociente de dos funciones polinomiales, esto es, si puede escribirse de la siguiente manera: f(x) = p(x) q(x) siendo q(x) 0 Son funciones racionales las siguientes: f(x) = 1 x f(x) = x2 +9 x+6 f(x) = x2 4 x El dominio de este tipo de funciones está constituido por el conjunto de los números reales, excluyendo aquellos valores de x que hagan que el denominador se anule. Es decir: Domf(x) = R {x R/ q(x) = 0} El rango de este tipo de función es un subconjunto de los números reales y se determinará observando la gráfica de la función. 7
Sugerencias para graficar la función: Simplificar algebraicamente (si se puede) la expresión que representa la función racional. Determinar el tipo de función que resulta de la simplificación anterior (en caso de haberse realizado la misma). Si la función resultante de la simplificación, es una de las funciones ya estudiadas (función constante, lineal o cuadrática) proceder a graficarla según lo ya explicado en cada caso. Para la obtención final de la gráfica se debe tomar en consideración los valores de x que no pertenecen al dominio de la función racional. Nota: Con respecto al dominio, se debe tener en cuenta la expresión original y no la expresión final que se obtiene después de una simplificación algebraica. Ejercicios: En cada caso determine: Dominio, rango, y la representación gráfica de la función. 1. f(x) = x2 2x+1 x 1 2. f(x) = x2 16 x+4 3. y = 2x x2 x 4. y = x3 2x 2 x 2 5. f(x) = x3 +x 2 3x 3 x+1 6. y = x3 x 2 +x 1 x 1 7. f(x) = 4 x2 x 2 8. y = x4 +x 3 9x 2 3x+18 x 2 +x 6 9. y = x2 9 x+3 Función Radical: n Se define como: f(x) = P(x) con n Z + 3 Son funciones radicales las siguientes: f(x) = x f(x) = x 2 + 1 6 f(x) = 8 x El dominio de esta función, quedará determinado por el valor que tome n; de aquí se derivan dos casos: 1. Si n es par, entonces, la cantidad subradical debe ser mayor o igual a cero (P(x) 0 ) 2. Si n es impar, entonces, la cantidad subradical puede ser mayor, menor o igual a cero. Entonces el Domf(x) = Dom P(x) 8
En este curso estudiaremos las funciones radicales donde P(x) = ax + b, con a 0 o P(x) = ax 2 + bx + c, con a 0. Cálculo del dominio de funciones radicales de un polinomio de primer grado: n f(x) = ax + b Si n es par, se resuelve la inecuación ax + b 0, el intervalo que dé como solución de la inecuación es el dominio de la función. Ejemplos: Hallar el dominio de las siguientes funciones: 4 1. f(x) = 3x + 7 2. y = 4x + 2 6 3. f(x) = 10 5x Si n es impar, entonces el Domf(x) = (, + ) Cálculo del dominio de funciones radicales de un polinomio de segundo grado: n f(x) = ax 2 + bx + c Si n es par, se resuelve la inecuación ax 2 + bx + c 0, la solución de la inecuación es el dominio de la función. Ejemplo: Hallar el dominio de la siguiente función: 1. f(x) = x 2 + 3x 10 Solución Se resuelve la inecuación x 2 + 3x 10 0 Debemos factorizar el polinomio x 2 + 3x 10 0. Para ello debemos hallar las soluciones de la ecuación x 2 + 3x 10 = 0. 9
Si x 2 + 3x 10 = 0 (x + 5)(x 2) = 0 x = 5 y x = 2 Representamos ahora sobre la recta real los valores que hemos encontrado. Estas soluciones definen los intervalos (, 5) ; ( 5,2) ; (2, + ) como lo muestra la figura siguiente: -5 2 + (x + 5) (x 2) (x + 5)(x 2) (, 5) ( 5,2) (2, + ) Ahora seleccionamos un número de prueba en cada intervalo, para determinar que signo tiene cada factor en los mismos. Luego en la última fila se multiplica los signos de los factores en cada intervalo. ( 7) 5 (1) 2 (4) + (, 5) ( 5,2) (2, + ) (x + 5) + + (x 2) + (x + 5)(x 2) + + SOL 1 SOL 2 Como la inecuación que se está resolviendo es x 2 + 3x 10 0, entonces su solución son los intervalos donde el producto de los factores (x + 5)(x 2) haya dado positivo, y se debe incluir los números -2 y 5. Es decir; que se debe escribir la solución de la inecuación como: Solución: (, 5] [2, + ) Luego el dominio de la función es: Domf(x) = (, 5] [2, + ) En general, el procedimiento para resolver inecuaciones cuadráticas, donde ax 2 + bx + c = 0, tiene dos soluciones reales distintas x 1 y x 2 es el siguiente: Factorizamos el polinomio dado e igualamos a cero para encontrar las raíces reales. Se construye una recta numérica y ubicamos sobre ella los valores reales obtenidos. Se obtiene el signo de cada binomio en cada uno de los intervalos originados, asignando valores arbitrarios comprendidos en el intervalo. Se determina el signo del producto de dichos binomios en cada intervalo. 10
La solución estará ubicada en los intervalos donde el signo del producto satisfaga la inecuación; siendo la solución la unión de los intervalos. Si n es impar, entonces el Domf(x) = (, + ). El rango se determinará observando la gráfica de la función. Ejemplo: Dada la función f(x) = x 2 5x + 6, determine Dominio, rango, y representación gráfica. x 2 5x + 6 0 Domf(x) = (, 2] [3, + ) Rgof = [0, + ) Ejercicios: En cada caso determine: Dominio, rango, y la representación gráfica de la función. 1. f(x) = 5x 3 2. f(x) = 3 x 3. y = x + 6 4. y = x 2 2x 3 5. f(x) = x 2 + 5x + 4 6. y = 4 + 3x x 2 7. f(x) = x 2 64 8. y = x 2 4 9. y = x 2 25 11
Función Valor Absoluto: Si x es un número real, el valor absoluto de x, indicado por x, se define como x si x 0 x = { x si x < 0 Es claro que, x 0; esto es, el valor absoluto de un número real siempre es no negativo. Llamaremos a f(x) = x la función valor absoluto. El dominio de f es el conjunto de todos los números reales y el rango es el conjunto de todos los reales no negativos. Es decir: Domf: (, + ) y Rgof: [0, + ) La representación gráfica de y = x se aprecia en la siguiente figura. Ejercicios: En cada caso determine: Dominio, rango, y la representación gráfica de la función. 1. f(x) = x 2 2. f(x) = 3x + 4 3. y = 6 3x 4. y = 5x 5. f(x) = 6 x 6. y = 7x + 2 12
7. f(x) = x 2 4 8. y = x 2 2x 8 9. y = x 2 5x + 6 Funciones Ramificadas: Las funciones ramificadas, o también llamadas funciones definidas en intervalos o a trazos, son aquellas en las cuales la obtención de las imágenes varía de acuerdo al intervalo del eje x que se esté utilizando. Ellas se caracterizan porque contienen varias expresiones algebraicas. La expresión analítica no es única, sino que depende del valor de la variable independiente. Para determinar su dominio es preciso unir los diferentes subconjuntos para los cuales está definida. El rango depende de las estructuras funcionales que conforman la función ramificada y de los intervalos en que estén definidas cada una. Ejemplo: x 2 si x 0 Sea la función definida así: f(x) = { x + 1 si 0 < x < 5 3 si x 5 De acuerdo a la expresión dada notamos que la función posee tres tramos y entre los tres cubren completamente el conjunto de los números reales. Esto indica que su dominio es el conjunto de los números reales. Es decir; Domf: (, + ) Esto se deduce de la siguiente manera: x 0 esto es (, 0] ; 0 < x < 5 esto es (0, 5) ; x 5 esto es [5, + ) Luego se unen todos estos intervalos para construir el dominio de la función: Domf: (, 0] (0, 5) [5, + ) = (, + ) La representación gráfica se puede realizar, con ayuda de tablas de valores La gráfica contiene una semi-parábola entre y 0. Luego tiene una recta entre 0 y 5. Finalmente una recta entre 5 y +. Rgof: [0, + ) { 3} 13
Ejercicios: En cada caso determine: Dominio, rango, y la representación gráfica de la función. 5x 3 si x < 2 1. f(x) = { x 2 4 si x 2 2. f(x) = { x2 1 si x < 0 2 x si x > 1 5 si x 3 3. y = { x 2 si x > 0 4. f(x) = { x 3 si x 3 x 2 si x < 0 x + 5 si x < 5 5. y = { 25 x 2 si 5 < x 5 x 5 si x > 5 x + 2 si 3 < x < 4 6. y = { 5 si 4 < x < 5 2x 10 si x 5 Funciones par e impar: Las funciones par e impar son importantes por sus propiedades de simetría. Definición de función par: Una función f se considera una función par si f( x) = f(x) para cada x de su dominio. En este caso, la ecuación y = f(x) no cambia cuando se sustituye x por x. Por lo tanto, al graficar una función par se tiene simetría con respecto al eje y. La simetría se debe a que para cada punto (x, y) que se encuentra en la gráfica de la función, el punto ( x, y) también se encuentra en la gráfica de la función. Definición de función impar: Una función f se considera una función impar si f( x) = f(x) para cada x de su dominio. En este caso, todos los signos de la ecuación y = f(x) cambian cuando se sustituye x por x. Por lo tanto, al graficar una función impar se tiene simetría con respecto al origen. La simetría se debe a que para cada punto (x, y) que se encuentra en la gráfica de la función, el punto ( x, y) también se encuentra en la gráfica de la función. 14
Función Propiedad Simetría Ejemplo Gráfica Par f( x) = f(x) Respecto al eje y f(x) = x 2 Impar f( x) = f(x) Respecto al origen f(x) = x 3 Ejercicios: En cada caso determine si la función es par, impar o ninguno de los casos anteriores. 1. f(x) = x 2 + 1 2. f(x) = 2x 3 x 3. f(x) = 4x 2 x + 12 4. f(x) = x x 2 5. f(x) = x 6. f(x) = x 3 3x Función Exponencial: Definición de función exponencial Se define de manera general como f(x) = a x, donde a es una constante positiva distinta del número 1 (a > 0 y a 1) y es la base de la función. Las funciones exponenciales más utilizadas son: a) y = 10 x, función exponencial con base 10. b) y = e x, función exponencial con base e, donde e es una constante igual a 2,718281. y = 10 x y = e x 15
Notas importantes de la función exponencial de la forma f(x) = a x a) La gráfica de toda función exponencial pasa por el punto (0,1). b) El dominio son todos los números reales, es decir, Domf: (, + ). c) El rango son todos los reales positivos, es decir, Rgof: (0, + ). Como una preparación para el estudio de funciones exponenciales, a continuación se resumen las leyes y propiedades más importantes de los exponentes. Si a > 0, b > 0 y x, y R entonces: a) a x a y = a x+y b) (a x ) y = a xy c) (ab) x = a x b x d) a 0 = 1 e) a x ay = ax y f) ( a b )x = ax b x g) y si la ecuación a x = a y entonces x = y Ejercicios: En cada caso determine: Dominio, rango, y la representación gráfica de la función. 1. f(x) = 2 x 2. f(x) = 3 x 3. f(x) = ( 1 2 )x 4. f(x) = ( 1 3 )x 5. f(x) = 2 x 1 6. f(x) = 3 x + 1 Aplicaciones de la función exponencial: Muchas situaciones de la vida real pueden ser descritas por medio de funciones exponenciales, ya sea de crecimiento o de decrecimiento. Una función de la forma: Q(t) = Q 0. a kt, k > 0 Representa un crecimiento exponencial, mientras que Q(t) = Q 0. a kt, k < 0 Representa un decrecimiento exponencial 16
Donde, Q 0 es la cantidad inicial, a es la base de la función exponencial, t es el tiempo y k es una constante que determina si se trata de un crecimiento o un decrecimiento exponencial, según sea éste positivo o negativo. Ejemplos: 1. La población de un país crece a ritmo exponencial de acuerdo con la siguiente ecuación: Q(t) = Q 0. e 0,012t millones Si en el año 1980 la población era de 30 millones, cuál será la población en el año 2000? 2. La cantidad de bacterias en un cultivo está dado por f(t) = 3000. e 0.04t donde t está dado en minutos: a) Con cuántas bacterias se inició el cultivo? b) Cuántas bacterias hay después de 10 minutos? c) Después de media hora? d) Hacer la gráfica de f, desde t = 0 hasta t = 3 Función Logarítmica: Definición de función logarítmica Se define de manera general como: y = log a x, donde a es la base de la función y es una constante positiva distinta de uno. Las funciones logarítmicas más utilizadas son: a) y = log 10 x, función logarítmica de base 10, (generalmente se escribe como: y = logx) b) y = lnx, función logarítmica natural (con base e). y = logx y = lnx 17
Notas importantes de la función logarítmica f(x) = log a x a) La gráfica de toda función logarítmica pasa por el punto (1,0). b) El dominio son todos los números reales positivos, es decir, Domf: (0, + ). c) El rango son todos los números reales, es decir, Rgof: (, + ). Leyes de los logaritmos 1. log a xy = log a x + log a y 2. log a ( x y ) = log a(x) log a (y) 3. log a x y = y log a x 4. log a a = 1 5. log a 1 = 0 Propiedades entre la función exponencial y la función logarítmica y = a x, si y sólo si, x = log a y y = a x es la inversa de y = log a x, y viceversa. log a a x = x, para toda x. a log a (x) = x, x > 0 La función exponencial es la inversa de la función logarítmica y viceversa. Ejercicios: En cada caso determine: dominio, rango, y la representación gráfica de la función. 1. y = log 2 x 2. y = log 3 x 3. y = log ( 1 2 ) x 4. y = log ( 1 3 ) x 5. f(x) = lnx 6. f(x) = lnx + 1 18
Algebra de Funciones: Sean f y g funciones de dominios D f y D g, respectivamente. Entonces, las operaciones se definen de la siguiente manera: 1. (f ± g)(x) = f(x) ± g(x), donde D(f ± g) = D f D g 2. (f g)(x) = f(x) g(x), donde D(f g) = D f D g 3. ( f f(x) ) (x) =, g g(x) hagan que g(x) = 0 Ejercicios: donde D (f g ) = (D f D g ), excepto los valores del D g que Dadas las funciones f y g, encuentre en cada caso f + g ; f g ; f g ; respectivo dominio. f g y determine su 1. f(x) = x 2 + x 6 ; g(x) = x 2 2. f(x) = x 2 5x ; g(x) = 7x 3. f(x) = 2 x ; g(x) = 2x + 6 4. f(x) = x 2 ; g(x) = 7x 9 5. f(x) = x+1 x ; g(x) = 1 x x 1 6. f(x) = x ; g(x) = x 2 4 Función Compuesta: Definición de composición de funciones Sean f y g funciones. La función composición, denotada por fog, es la función definida por: (fog)(x) = f(g(x)) El dominio de fog es el conjunto de todas las x en el dominio de g, de tal manera que g(x) esté en el dominio de f, esto es, D: {x/x D g, g(x) D f } Ejercicios: Dadas las funciones f y g, encuentre en cada caso fog y gof y determine su respectivo dominio. 19
1. f(x) = 2x 3; g(x) = x 2 + 1 2. f(x) = x; g(x) = 5 x 3. f(x) = x + 1 ; g(x) = x 4 4. f(x) = 1 x ; g(x) = x+2 x 2 5. f(x) = 3 ; g(x) = x + 1 6. x 2 1 f(x) = x ; g(x) = x 2 4 20