Esudios de Adminisración, vol. 14, Nº 1, 2007, pp. 71-80 Noa écnica duración modificada en caso de TIR efeciva Jaime Valenzuela O. Universidad Adolfo Ibañez,Chile jaime.valenzuela@uai.cl Absrac The objecive of his echnical noe is o clarify how Macaulay s duraion should be modified when he inernal raes of reurn (IRR) on fied income financial asses are epressed in erms of an effecive annual rae. In Chile he usual marke pracice is o uilize effecive IRR, and i leads o an error when modifying Macaulay s duraion using he usual ebook formula (simple TIR). This echnical noe demonsraes mahemaically he correc formula o modify duraion for he case of effecive IRR. Keywords: Duraion, modified duraion, effecive IRR. Resumen El objeivo de esa noa es aclarar cómo la duración de Macaulay debe ser modificada para los casos en que las asas inernas de reorno (TIR) de los insrumenos de rena fija se epresan en asa efeciva anual. En Chile, la prácica de mercado es uilizar TIR efeciva, por lo que al modificar la duración de Macaulay uilizando la fórmula usual de los libros de eo (TIR simple) se comee un error. Se demuesra maemáicamene la forma correca de modificar la duración para el caso de TIR efeciva. Palabras clave: Duración, duración modificada, TIR efeciva. 71
72 ESTUDIOS DE ADMINISTRACIÓN 14 (2007) PP. 71-80 1. Inroducción El objeivo de la presene noa es aclarar la forma como la duración de Macaulay debe ser modificada en el caso de que las asas inernas de reorno (TIR) de los insrumenos de rena fija se epresan en asa efeciva anual. Eise una amplia endencia a realizar la modificación mencionada de la misma forma como se ajusa la duración de Macaulay en el caso de que la TIR se epresa en érminos simples, probablemene por el hecho de que las fórmulas de duración mayoriariamene se oman de los eos de finanzas noreamericanos, los cuales rabajan con TIR simple, que corresponde a la prácica en USA. Sin embargo, en oros países como Chile la prácica de mercado es uilizar la TIR efeciva, por lo que al modificar la duración uilizando la fórmula de USA se comee un error. En la segunda sección se define la diferencia enre una TIR simple y una TIR efeciva, y se eplica por qué, en érminos concepuales, es lógico que en el caso de TIR simple en la modificación de la duración de Macaulay se considere el número de pagos de cupones por año, y en el caso de TIR efeciva no se considere. Las secciones 3 y 4 demuesran en forma empírica y maemáica que la forma de modificar la duración que se propone en esa noa es la correca para el caso de TIR efeciva. En la sección 5 se presenan las conclusiones. 2. TIR efeciva y TIR simple La TIR efeciva anual corresponde a la TIR a la que se descuenan los cupones de un bono calculado uilizando la siguiene fórmula: 1 TIR n anual TIR cupones 1,
Noa écnica duración modificada en caso de TIR efeciva 73 donde n : corresponde al número de cupones por año que paga el bono. La TIR simple es la TIR a la que se descuenan los cupones de un bono, calculada uilizando la siguiene fórmula: TIR anual TIR cupones. n La diferencia fundamenal es que la TIR efeciva anual, al como su nombre lo sugiere, es siempre la misma, independiene del número de cupones pagados por año. En cambio, la TIR efeciva anual que se obenga cuando la TIR se epresa en forma simple va a ser función del número de cupones. Cuando las TIR son epresadas en forma efeciva, las TIR efecivas anuales de disinos insrumenos se pueden comparar en forma direca, en cambio en el caso de TIR epresadas en forma simple, al comparar insrumenos se debe calcular la denominada asa efeciva anual (TEA), la cual se calcula de la siguiene forma: TEA ) n ( 1 TIR cupones. La duración de Macaulay es ampliamene uilizada para medir la sensibilidad del precio de un insrumeno a cambios en su TIR. Su definición es: Duración Macaulay n 1 PV ( C) Pr ecio donde PV(C) : Valor presene del cupón que se paga en el período, n : número de cupones del bono.
74 ESTUDIOS DE ADMINISTRACIÓN 14 (2007) PP. 71-80 La duración que se debe uilizar para esimar un cambio porcenual en el precio ane un cambio en la TIR no es direcamene la de Macaulay, sino la duración modificada (dealles se muesran en sección de demosraciones maemáicas). La forma de modificar la duración de Macaulay en el caso de que las TIR de los insrumenos se epresan en forma simple es: 1 Duración Modificada Duración de Macaulay y 1 n (1), donde y : TIR anual simple del bono De acuerdo a lo mencionado en la inroducción, es frecuene que la fórmula anerior ambién se uilice para modificar la duración cuando las TIR se epresan en forma efeciva. Ese error es muy común en aquellos mercados cuya prácica es usar TIR efeciva, como es el caso de Chile. La presene minua propone que la fórmula que debe uilizarse para modificar la duración en caso de TIR efeciva es la siguiene: 1 Duración Modificada Duración de Macaulay (2). 1 y Concepualmene parece correco que en el caso de TIR efeciva la modificación de la duración no considere el número de cupones por año, ya que, al como se afirmó, la TIR efeciva anual es siempre la misma, independiene del número de cupones. En cambio, en el caso de TIR simple sí parece razonable que al modificar la duración se considere el número de cupones, ya que la TIR efeciva anual en ese caso sí depende del número de cupones.
Noa écnica duración modificada en caso de TIR efeciva 75 3. Ejemplo numérico Se usará como ejemplo un bono a 2 años, emiido a una asa del 10% anual, con cupones semesrales sólo de inereses. El valor facial del bono es de $1.000.000. Se esimará el precio del bono uilizando la duración modificada, asumiendo una TIR de colocación del 11%. Primero se uilizará TIR simple y luego TIR efeciva, y se evaluará qué fórmula de ajuse de duración, la (1) o la (2), logra una aproimación más cercana al cambio eaco en el precio en cada caso. A. Tasa de emisión simple y TIR simple En ese caso la asa de los cupones es de 5%, por lo que los res primeros cupones son de $50.000 cada uno, y el cuaro es de $1.050.000. El precio eaco a una TIR del 11% es de: 50.000 50.000 50.000 1.050.000 Pr ecio 982.474. 2 3 4 1,055 1,055 1,055 1,055 La duración de Macaulay del bono es: 50.000 50.000 50.000 1.050.000 1 2 3 4 2 3 4 1, 05 1, 05 1, 05 1, 05 D. Macaulay 3, 7232 semesres 1.000.000 La duración de Macaulay en años es: 3, 7232 D. Macaulay 1,8616 años. 2 Para esimar el cambio en el precio se modifica la duración de Macaulay uilizando la fórmula mosrada en (1):
76 ESTUDIOS DE ADMINISTRACIÓN 14 (2007) PP. 71-80 Duración Modificada 1 D. Macaulay 1 1,8616 1, 773 y 1, 05 1 n Ahora procedemos a esimar el cambio en el precio muliplicando la duración ajusada por el cambio en TIR: Cambio en precio 1,773 11% 10% 0,01773 1,773%. Aplicando al precio inicial de $1.000.000, se llega a que el precio esimado uilizando la duración modificada es de $982.270. Como el precio calculado en forma eaca es de $982.474, el uso de la duración modificada se equivoca en -$204. Si se uiliza la fórmula de modificar la duración de Macaulay dividiendo por (1+y), el precio esimado sería $983.087, y la equivocación sería de $613, es decir en el caso de TIR simple vemos que la duración modificada con (1+y/n) esima mejor el cambio en el precio que la modificada usando (1+y). B. Tasa de emisión y TIR efeciva En ese caso la asa de los cupones es la siguiene:.5 Tasa cupones 1,1 1 4,88%. Los res primeros cupones son de $ 48.800 y el úlimo cupón es de $1.048.800. El precio del bono a una TIR efeciva del 11% es: Tasa semesral.5 1,11 1 5,357% 48.800 48.800 48.800 1.048.800 Pr ecio 983.272 2 3 4 1, 05357 1, 0537 1, 0537 1, 0537 La duración de Macaulay es:
Noa écnica duración modificada en caso de TIR efeciva 77 48.800 48.800 48.800 1.048.800 1 2 3 4 2 3 4 1, 0488 1, 0488 1, 0488 1, 0488 D. Macaulay 3, 7293 semesres 1.000.000 Después de dividir en 2 para epresarla en años la procedemos a modificar, pero dividiendo por (1+y): 1.86465 D. Modificada 1, 6951. 1.1 El cambio esimado en el precio es: Cambio esimado 1,6951 11% 10% 1,6951%. Aplicando al precio inicial de $1.000.000 se llega a que el precio esimado es de $983.049. Como el precio eaco es de $983.272, la esimación por duración modificada se equivoca en $-223. Si en vez de modificar la duración por (1+y) la modificáramos por (1+y/n) el precio esimado sería de $982.241, y por ende la equivocación sería de $-1.031. Como vemos en esos ejemplos, si se usan asas de emisión y TIR simple lo correco es uilizar la fórmula (1) para modificar la duración, al como lo muesran la mayoría de los eos de finanzas, que son escrios según la prácica de mercado de USA (por ejemplo ver a Fabozzi). Sin embargo, para el caso de asas y TIR efecivas la mejor aproimación se logra modificando la duración según la ecuación (2). La prácica ampliamene empleada en aquellos mercados que uilizan TIR efecivas de modificar la duración usando la misma fórmula que en USA no es correca.
78 ESTUDIOS DE ADMINISTRACIÓN 14 (2007) PP. 71-80 4. Demosración maemáica Fala demosrar en forma maemáica que: i) parece concepualmene correco para el caso de TIR efeciva, y ii) en el ejemplo de la segunda sección funciona mejor. A. Uilizando TIR efeciva La ecuación del precio de un bono que paga cupones de inereses y el capial al final uilizando TIR efeciva anual es: donde P C m 1 1 1 n n y y C : Cupón por período, m : principal, : plazo en períodos = n muliplicado por plazo en años. Diferenciando la ecuación anerior respeco a y enemos: C m Pr ecio n n y facorizando enemos:, 1 1 yn 1 y 1 yn 1 y Pr ecio 1 1 C m y y n 1 (1 y) 1. 1 yn n
Noa écnica duración modificada en caso de TIR efeciva 79 El múliplo denro del parénesis redondo corresponde a la duración de Macaulay epresada en períodos, el cual, al muliplicarse por 1/n nos lleva a la duración de Macaulay epresada en años (parénesis cuadrado). Como vemos, la modificación se alcanza muliplicando el parénesis cuadrado por 1/(1+y), al como se posula en las secciones aneriores. B. Uilizando TIR simple En el caso de TIR anual simple, la ecuación del precio para un bono con cupones de inereses y pago del capial al final es: P 1 C y 1 n m y 1 n, derivando respeco a y enemos: P C m y y y n1 n1 n n, 1 1 1 facorizando enemos: P 1 1 C m. y y n 1 1 y y 1 1 n n n El érmino que esá en el parénesis redondo corresponde a la duración de Macaulay epresada en períodos. Al muliplicarla por 1/n llegamos a la duración de Macaulay epresada en años (parénesis cuadrado). Por ende, para modificar la duración de
80 ESTUDIOS DE ADMINISTRACIÓN 14 (2007) PP. 71-80 Macaulay epresada en años se muliplica por 1/(1+y/n). Se confirma lo planeado en las secciones aneriores: para modificar la duración en casos de asas simples se divide por (1+y/n). 5. Conclusión La presene noa corrige un error muy recurrene en aquellos mercados de capiales en los cuales la prácica es ransar los bonos con más de un cupón por año en base a TIR efeciva. En esos mercados simplemene se modifica la duración de la misma forma que se hace en los mercados que usan TIR simple, es decir, dividiendo la duración de Macaulay por (1+y/n). Eso no es correco, ya que al uilizar TIR efeciva la duración se debe modificar dividiendo la duración de Macaulay por (1+y). Referencias FABOZZI, FRANK J. Bonds Markes, Analysis, and Sraegies, Quina Edición, Pearson Prenice Hall. KOPPRASCH, R.W. (1985), Undersanding Duraion and Volailiy, Salomon Brohers Inc, sepiembre 1985.