Tema 7: Trigonometría.

Tema 7: Trigonometría. Ejercicio 1. Sabiendo que cos α = 0, 63, calcular s = sen α y t = tg α. Mediante la igualdad I, conocido sen α obtenemos cos α, y viceversa. s + 0,63 = 1 s = 1 0,63 = 0,6031 s = 0,6031 = 0,777 (Solo tomamos la raíz positiva, porque sen α ha de ser positivo). 0,777 t = = 1,3 Solución: sen α = 0, 777 tg α = 1, 3 0,63 1. En primer lugar, escribiremos el dato que nos da el ejercicio, que en este caso es el coseno de alfa. Lo llamaremos c para simplificar. Por lo tanto, escribiremos c= y después el valor del coseno. De esta manera, siempre que escribamos c, dentro del mismo bloque, será lo mismo que referirnos al dato que vemos en el enunciado. Figura 1.. En segundo lugar, calcularemos cuánto vale el seno de alfa (al que llamaremos s ) resolviendo una ecuación. Para ello, pinchamos en el icono Resolver ecuación, que encontramos en la pestaña Operaciones. Después rellenamos con nuestros datos (recordamos que no necesitaremos escribir el valor del coseno, sino que sólo escribiremos el nombre que le hemos dado) y pinchamos en el icono = para conocer el resultado.

4º ESO B [EDUCANDO CON WIRIS] Figura 3. Como de la ecuación obtenemos dos soluciones, indicaremos cuál es la que tomaremos para futuros cálculos. Por lo tanto, de igual manera que con el coseno escribimos s= y después, el valor que hemos seleccionado. Figura 3. 4. Por último, calcularemos la tangente, a la que llamaremos t, con un cociente. Para hacerlo, pinchamos en el icono Fracción, que se encuentra en la pestaña Operaciones. Cuando hayamos escrito el nombre, el igual y pinchado en el icono Fracción, sólo nos quedará rellenar con los otros dos nombres y pinchar en =. Figura 4.

[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 7. Trigonometría. Ejercicio. Sabiendo que tg α =, calcular sen α = s y cos α = c. Mediante las igualdades I y II, conocida tg α se obtienen, resolviendo un sistema de ecuaciones, los valores de sen α y cos α : s = s = c c s + c = 1 (c) + c = 1 4c + c = 1 5c = 1 c 1 solo tomamos la raiz positiva 1 racionalizando = c = c = 5 5 5 5 ; 5 s = 5 5 5 Solución: sen α = = 0, 894 cos α = = 0, 447 5 5 1. Para resolver un sistema, pinchamos en el icono Resolver sistema, que se encuentra dentro de la pestaña Operaciones. En ese momento, aparecerá una ventana en la que indicaremos cuántas ecuaciones tendrá nuestro sistema y pincharemos en Aceptar. Figura 5.. Cuando hemos indicado el número de ecuaciones, nos aparecerá un esquema como el siguiente. Este tiene un hueco para cada miembro, y debemos rellenarlo con nuestros datos. Las incógnitas, en lugar de ser x e y como de costumbre, serán s y c, ya que queremos calcular el seno y el coseno. 3

4º ESO B [EDUCANDO CON WIRIS] Figura 6. 3. Cuando lo tengamos todo planteado, sólo tenemos que pinchar en el icono = que vemos al lado del esquema y obtendremos las soluciones del sistema. En este caso nos da dos, pero sólo elegiremos la positiva. Figura 7. Ejercicio 3. sen 37 º = 0,6. Calcula cos 37º y tg 37º. Como la suma del seno y del coseno (ambos elevados a su cuadrado) es igual a 1, por lo que para obtener el valor del coseno, plantearemos una ecuación. sen ( 37º ) + cos ( 37º ) = 1 0,6 + c = 1 c = 1 0,36 c = 0,64 c = ± 0, 8 Elegimos siempre el valor positivo porque es el único que tiene sentido. Además, sabemos que la tangente es el resultado de dividir el valor del seno entre el coseno. 4

[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 7. Trigonometría. tg 37º 0,6 37 º = sen = = 0,75 cos 37º 0,8 1. Haremos un cálculo trigonométrico, escribimos la abreviatura que corresponda a la función y después entre paréntesis, los grados. Para insertar el símbolo de grado (º), pinchamos en su icono, que encontramos dentro de la pestaña Unidades. Figura 8.. Para calcular un coseno seguimos las indicaciones del primer paso, sólo que la abreviatura es cos. Cuando lo tengamos planteado, pinchamos en = y conoceremos la solución. Figura 9. 3. Igual que el apartado anterior, escribimos la abreviatura para tangente, que es tan a continuación, entre paréntesis, el número de grados. Cuando esté todo planteado, pinchamos en el icono =. Figura 10. 5

4º ESO B [EDUCANDO CON WIRIS] Ejercicio 4. tg 8 º = 0,53. Calcula sen 8º y cos 8º. Mediante las igualdades I y II, conocida tg α se obtienen, resolviendo un sistema de ecuaciones, los valores de sen α y cos α : s = 0,53 s = 0,53c c s + c = 1 (0,53c) + c = 1 0,8c + c = 1 1,8c = 1 c 1 solo tomamos la raiz positiva 1 racionalizando = c = c = 1,8 1,8 1,8 ; 1,8 0,53 1,8 s = 1,8 0,53 1,8 1,8 Solución: sen α = = 0, 4683 cos α = = 0, 8836 1,8 1,8 1. Resolveremos este ejercicio con un sistema de ecuaciones. Para plantearlo pinchamos en la pestaña Operaciones y después en el icono Resolver sistema. Después nos aparecerá una ventana en la que escribiremos, ya que es el número de ecuaciones que queremos que tenga el sistema. Figura 11.. Rellenamos los huecos de las ecuaciones y pinchamos en el icono = para conocer el resultado. Recordaremos que al seno lo llamaremos s y al coseno c. 6

[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 7. Trigonometría. Figura 1. Ejercicio 5. Los dos catetos de un triángulo rectángulo miden 17 cm y 40 cm. Hallar los ángulos del triángulo. Figura 13. 17 El ángulo α se relaciona con los dos catetos mediante su tangente: tg α = = 0, 45 40 Hallamos con la calculadora el ángulo cuya tangente es 0,45. Es decir, α = 3º1 3". El otro ángulo es su complementario: 90º - 3º1 3" = 66º58 8" 1. El primer paso, es calcular la tangente, a la que llamaremos t con un cociente. Para insertarlo, pinchamos en el icono Fracción y rellenamos el numerador y el denominador. Para todos los pasos que demos, cuando tengamos todo planteado, al pinchar en el icono = obtenemos nuestra solución. 7

4º ESO B [EDUCANDO CON WIRIS] Figura 14.. Lo siguiente que haremos será calcular el ángulo de la tangente que hemos calculado. Como al obtener la tangente le hemos dado nombre, ahora sólo debemos escribir t entre los paréntesis. Para calcular el ángulo, utilizamos la función arcotangente, cuya abreviatura es atan. Figura 15. 3. Nuestro tercer paso es convertir el resultado que nos da la función arcotangente a grados angulares. Para ello, usaremos la función convertir. Escribimos convertir y después el valor a convertir t el símbolo de grados separados por una coma y entre paréntesis. Figura 16. 8

[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 7. Trigonometría. 4. Para calcular el complementario del ángulo que hemos obtenido, escribimos 90º (sabemos que insertaremos el símbolo de grado pinchando en su icono, dentro de la pestaña Unidades ) y le restamos el resultado obtenido en el paso anterior. Para insertar el signo de restar utilizaremos el guión del teclado (-). Figura 17. 5. Por último, los decimales que obtenemos en el resultado del ángulo complementario, los convertiremos en minutos, y los decimales del resultado en minutos los convertiremos en segundo. Usaremos la función convertir y los minutos y los segundos los insertaremos pinchando en sus iconos correspondientes, dentro de la pestaña Unidades. Figura 18. 9

4º ESO B [EDUCANDO CON WIRIS] Ejercicio 6. En un triángulo rectángulo, un ángulo agudo mide 7º y la hipotenusa 46 m. Hallar los dos catetos. Figura 19. b es el cateto opuesto al ángulo de 7º. Por tanto: b sen 7 º = b = 46 sen 7º = 0, 88 m 46 c Análogamente: cos 7º = c = 46 cos 7º = 40,99 46 m 1. Obtendremos los catetos planteando una ecuación. Para ello, pinchamos en el icono Resolver ecuación, que encontraremos en la pestaña Operaciones. Después, rellenaremos los huecos con la ecuación que queramos resolver y pinchamos en el icono =. Debemos saber que para utilizar en la función un valor de seno o coseno, sólo tenemos que escribirlo como hemos aprendido y Wiris lo calculará a la vez que la ecuación. Figura 0.. Como hemos indicado en el paso anterior, planteamos la ecuación, en la que insertaremos un seno, cuya abreviatura es sen y un símbolo de grado angular que introduciremos pinchando en su icono correspondiente, dentro de la pestaña Símbolos. 10

[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 7. Trigonometría. Figura 1. 3. Repitiendo los pasos del apartado anterior, planteamos la ecuación en la que utilizaremos un coseno con su abreviatura cos y pinchamos en el icono = para conocer la solución. Figura. Ejercicio 7. Iris está haciendo volar su cometa. Ha soltado 36 m de hilo y mide el ángulo que forma la cuerda con la horizontal, 6º. A qué altura se encuentra la cometa sabiendo que la mano de Iris que sostiene la cuerda está a 83 cm del suelo? Figura 3. 11

4º ESO B [EDUCANDO CON WIRIS] a es la altura de la cometa por encima de la mano de Iris. a es el cateto opuesto al ángulo de 6º. El seno es la razón trigonométrica que la relaciona con la hipotenusa: a sen 6 º = a = 36 sen 6º = 31, 79 m 36 La cometa está a una altura de 31,79 + 0,83 = 3,6 m. 1. La primera operación es una ecuación. Para plantearla, pinchamos en el icono Resolver ecuación, dentro de la pestaña Operaciones. Necesitaremos también insertar una fracción, lo que haremos pinchando en el icono Fracción, dentro de la misma pestaña. Cuando lo tengamos planteado, pinchamos en =. Figura 4.. El último paso, es sumar dos valores, para lo que solamente tenemos que escribir los números y entre ellos, escribir un signo de suma con el teclado (+). Cuando la operación esté resuelta, pincharemos en el icono = y aparecerá la solución. Figura 5. 1

[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 7. Trigonometría. Ejercicio 8. Cuánto mide la apotema de un pentágono regular de lado l = 10 cm? Figura 6. α = 360 º:10 = 36º tg 5 5 36 º = a = = 6,88 a tg 36º La apotema mide 6,9 cm. 1. En primer lugar, calcularemos el valor de α mediante una división. Escribiremos el nombre del ángulo (nos ayudaremos de la primera imagen), y a continuación, después de un signo =, la operación. Utilizamos como signo de división la barra que encontraremos en el teclado (/). Figura 7. Figura 8. 13

4º ESO B [EDUCANDO CON WIRIS]. Ahora, calcularemos cuánto vale la apotema, para lo que plantearemos una ecuación. Esto lo haremos pinchando en el icono Resolver ecuación, dentro de la pestaña Operaciones ; rellenando los huecos y pinchando en el icono = para conocer el resultado. Figura 9. Ejercicio 9. Desde un satélite artificial se ve la Tierra bajo un ángulo de 140º. Calcular: Radio de la Tierra: R = 6366 km Figura 30. Figura 31. 14

[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 7. Trigonometría. a) La distancia a la que se encuentra la Tierra: En el triángulo OTS: cos 0º = OT OS = R R + d R R R + d = d = R = 408, 56 cos 0º cos 0º km b) El área de la porción de la Tierra visible desde el satélite. Para calcular el área del casquete esférico visible desde S hemos de conocer la altura, h, del casquete, pues A = πr h En el triángulo OHT, cos 0º OH R h = = R h = R cos 0º OT R h = R R cos 0º = R(1 cos 0º ) = 383, 9 km Área del casquete = π Rh = 1535633 km 1. En primer lugar, aprenderemos a dar nombre a un valor o cálculo de un resultado. En este caso es un sólo dato. Para conseguirlo, escribimos el nombre que queramos darle y después un = y el dato. Figura 3.. Ahora operaremos y en vez de escribir el dato, escribiremos R que es su nombre. La operación, será una ecuación. Para plantearla, pinchamos en el icono resolver ecuación, dentro de la pestaña Operaciones y entonces rellenamos los huecos. Debemos recordar que para calcular un coseno, escribimos cos y entre paréntesis los grados. Cuando lo tengamos planteado, pinchamos en el icono =. 15

4º ESO B [EDUCANDO CON WIRIS] Figura 33. 3. Ahora, calcularemos la altura y le daremos un nombre (h). Escribiremos el nombre y después del =, la operación (en ella nos remitiremos también al valor R). Cuando pinchemos en el icono = Wiris entenderá que el valor que resulte es igual que escribir h. Figura 34. 4. Por último, calculamos el área multiplicando varios valores, entre los que hay dos a los que les dimos nombre en pasos anteriores (R y h). También necesitaremos utilizar π, para lo que pinchamos en su icono, que se encuentra en la pestaña Símbolos. Figura 35. 16

[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 7. Trigonometría. Ejercicio 10. A qué altura sobre la superficie terrestre hemos de subir para ver un lugar situado a 1000 km de distancia? Figura 36. Un cuadrante de meridiano terrestre tiene 10.000 km y corresponde a un ángulo de 90º. A un arco de 1.000 km le corresponde un ángulo de 9º. En el triángulo OTS: cos 9º = OT OS R R R = R + d = d = R R + d cos9º cos9º 1 d = 6366 1 = 79, 353 cos9º Deberíamos elevarnos a 79353 m. km 1. Deberemos realizar una operación, para lo que introducimos todos los valores y pinchamos en el icono =. Calcularemos un coseno, para lo que escribiremos cos y entre paréntesis los grados. Para insertar el símbolo º, pinchamos en su icono, dentro de la pestaña Unidades. Figura 37. 17

4º ESO B [EDUCANDO CON WIRIS] Ejercicio 11. Expresar con valores comprendidos entre -180º y 180º los ángulos siguientes: a) 775º 775 360 55 775 º = 360º + 55º = 55º b) 1400º 1400 360 30 3 1400º = 360º 3 + 30º = 30º = 30º 360º = 40º 1. Para realizar una división euclidiana, pincharemos en el icono División euclidiana, que encontramos en la pestaña Operaciones. Figura 38.. Sustituimos los datos del primer apartado en los dos huecos del esquema de la división. Cuando lo tengamos planteado, pinchamos en el icono = y conoceremos el resultado. 18

[RESOLUCIÓN DE EJERCICIOS GUIADOS] TEMA 7. Trigonometría. Figura 39. 3. Repetiremos el paso que realizamos con el apartado anterior y después, realizaremos una resta, y para insertar un signo de restar, utilizaremos el guión que encontramos en el teclado (- ). Cuando lo tengamos todo planteado, pinchamos en = y obtendremos nuestra solución. Figura 40. 19