Tema.1: Función exponencial. Funciones trigonométricas Facultad de Ciencias Experimentales, Curso 008-09 E. de Amo Comenzaremos tratando de de nir la función exponencial sobre todo el plano C de modo que resulte una extensión de la ya conocida exponencial real. Para ello, presentaremos varios bloques de propiedades que veri ca esta última y examinaremos cuál es el que mejor puede servir a nuestro objetivo. Con su ayuda introduciremos las funciones trigonométricas seno y coseno. (Otras, como la tangente y las recíprocas de cada una de ellas, se estudiarán a través de ejercicios.) Bloque I. La exponencial real es una biyección estrictamente creciente de R en R +. Además, lim x! 1 ex 0 y e x! +1; si x! +1: Está claro que estas propiedades nada nos pueden dar como guía, pues ninguna de ellas tiene sentido en C: Bloque II. La exponencial real es la única función f : R! R + veri cando las siguientes propiedades: a. x; y R ) f(x + y) f(x)f(y) b. f es continua en un punto c. f(1) e Analizaremos después este bloque. Bloque III. La exponencial real es la única función f : R! R + veri cando las siguientes propiedades: a. f es derivable en R b. x R ) f 0 (x) f(x) c. f(0) 1 Este método podría ser el que siguiéramos; pero existe otro camino más cómodo, y es el que vamos a elegir: Bloque IV. Para todo x R sabemos que e x x n : Consistirá, ahora, en aprovechar la convergencia de la serie P 1, y cambiar x R por z C. 1
De nición. La función exponencial compleja queda de nida por exp : C! C; exp(z) : Acostumbraremos a escribir exp(z) e z. z n ; 8z C: Claramente, 1. está bien de nida, pues la serie tiene radio de convergencia in nito; y. extiende al caso real. Con esta de nición, el bloque tercero queda superado: Proposición. La exponencial compleja es la única función entera que extiende a la exponencial real (con exp(0) 1, en particular) y cuya derivada coincide consigo misma. Demostración. Por la forma de de nición, vía series de potencias, tenemos que exp H (C) y exp jr (z) e z ; 8z R: Así, su derivada se obtiene por derivación término a término: exp 0 (z) n1 n zn 1 n1 z n 1 +1 (n 1)! X z n exp(z); 8z C: Probemos ya la unicidad: sea f otra tal función. Consideremos la función auxiliar g : C! C; g(z) : f(z) exp( z); 8z C: Esta tal g es entera y su derivada se anula en todos sus puntos: g 0 (z) f 0 (z) exp( z) f(z) exp( z) 0; 8z C; luego (por la conexión de C) ha de ser constante. Pero como se sigue que f exp. g(z) g(0) 1; 8z C; Proposición. e z+w e z e w ; 8z; w C: Demostración. Para a C, jo, pero arbitrario, consideremos la función auxiliar g(z) : e z+a e z ; 8z C: Así de nida, se trata de una función entera con derivada constantemente nula (confírmalo); por tanto: Como a es arbitrario: g(z) g(a) e a ; 8z C: e a e z+a e z ; 8z; a C; luego si ; C son arbitrarios, tomando a : + y la expresión anterior obtenemos lo deseado. z :, al sustituir en
Corolario. La función exponencial es analítica en C: Demostración. Para a C, jo, pero arbitrario, se tiene: e z e z a+a e z a e a e a (z a)n ; 8z C: Proposición. e z e Re z (cos (Im z) + i sin (Im z)) ; 8z C: Demostración. Para z x+iy Re z +i Im z, por la proposición anterior, y gracias al seno y coseno reales: X +1 e z e x+iy e x e iy e x (iy) n e x +1 X ( 1) n y n (n)! + i e x (cos y + i sin y) : ( 1) n y n+1 (n + 1)! Una consecuencia inmediata es que 0 exp (C); es más: Corolario. je z j e Re z e Im z Arg(e z ) ; 8z C: Corolario. Si z Cnf0g; entonces Arg(z) () z jzj e i : Demostración. Si Arg(z) ; entonces z jzj (cos () + i sin ()) jzj e i. Y este mismo argumento es reversible. Corolario. Si z Cnf0g; entonces e w z () w ln jzj + i : Arg(z) : Demostración. ( ) ) e w z ) je w j jzj e Re z ) Re z ln jzj; y, también, Im w Arg(e w ) Arg(z) : ( ( ) Evidente: e lnjzj+i e lnjzj e i jzj e i z, donde Arg(z).! Corolario. Para cada r > 0, se tiene que fe w : jwj > rg Cnf0g: Demostración. Sea r > 0; jo, pero arbitrario, y sea z 6 0: Por el corolario anterior, si consideramos w k : ln jzj + i (k + arg (z)) ; tenemos e w k z. Además, para k N conveniente, se puede hacer jw k j > r; luego z fe w : jwj > rg. Q.E.D. Obsérvese cómo este resultado nos dice que el comportamiento de la función exponencial en el in nito es desastroso. 3
Para concluir con la "política de bloques", probaremos que el bloque II no es una buena alternativa. De hecho, funciones como z! exp (z) o bien z! exp (Re z) veri can tales propiedades. Concluimos el estudio de la función exponencial abordando el problema de su periodicidad. Como e z e Re z e i Im z e x (cos y + i sin y) e x [cos (y + ) + i sin (y + )] e z+i ; se tiene que i es período de la función exponencial. Pasamos a estudiar este hecho con detalle. De nición. Sea f una función compleja de variable compleja, f : A C! C, y sea w C. Decimos que w es período para f si: a. z A ) z + w; z w A b. z A ) f(z + w) f(z) Proposición. El conjunto de los períodos de una función compleja de variable compleja es un subgrupo aditivo de C: De nición. Una función compleja de variable compleja se dirá periódica si tiene algún período no nulo. Proposición. La función exponencial exp : C! C, es periódica con iz como grupo de períodos. Demostración. Para z; w C, se tiene e z e w () e z w 1. Tomando módulos, 1 e Re z Re w ; luego Re z Re w. También: Im(z w) Im z Im w Arg(e z w ) Arg(1) Z; luego existe un entero k tal que w z + ik. De nición. Diremos de una función periódica que es simplemente periódica cuando su grupo de períodos sea cíclico. Cualquier generador del grupo de los períodos de una función simplemente periódica se dirá período fundamental (de la tal función). Corolario. La función exponencial es simplemente periódica con período fundamental i: Concluimos ya este tema con unos contenidos mínimos sobre las funciones seno y coseno complejas. El hecho de que e z e x (cos y + i sin y) ; 4
para x R, nos da: cos (x) Re e ix eix + e ix sin (x) Im e ix eix e ix i y, por tanto, nos sugiere la siguiente de nición. eix + e ix eix e ix ; i De nición. Las funciones seno y coseno complejas de variable compleja, quedan dadas por las fórmulas: sin (z) eiz e iz ; i cos (z) eiz + e iz ; 8z C: De modo inmediato, se sigue el Teorema. Seno y coseno son funciones enteras con derivadas: Y también, la siguiente sin 0 (z) cos (z) y cos 0 (z) sin (z) ; 8z C: Proposición. Para z; w C, se tiene: i. sin ( z) sin (z) ii. cos ( z) cos (z) iii. sin (z) + cos (z) 1 iv. sin (z + w) sin (z) cos (w) + sin (w) cos (z) v. cos (z + w) cos (z) cos (w) sin (z) sin (w) Ojo con la a rmación iii. en esta proposición: jsin (z)j + jcos (z)j 1; es falso, en general! Proposición. Seno y coseno son funciones (simplemente) periódicas de período fundamental : Proposición. Para z C: cos (z) ( 1) n z n (n)! y sin (z) ( 1) n z n+1 : (n + 1)! Proposición. Las funciones seno y coseno son analíticas en todo el plano. 5
Demostración. Lo haremos para el seno, pues el caso del coseno opera de forma totalmente análoga. La clave, la expresión del seno de una suma. Para a C, jo, pero arbitrario, tenemos: sin (z) sin [(z a) + a] sin (z a) cos (a) + sin (a) cos (z a) : ( 1) n cos (a) (n + 1)! (z a) n+1 + a n (z a) n ; 8z C; para convenientes coe cientes a n. EJERCICIOS PROPUESTOS. ( 1) n sin (a) (n)! (z a) n : 1. Las funciones seno hiperbólico y coseno hiperbólico se de nen por: sinh (z) : ez e z ; cosh (z) : ez +e z ; 8z C: Encuéntrese la relación entre las funciones sinh, cosh y las funciones sin y cos, y utilícese esta relación para expresar Re(sin z), Im (sin z), jsin (z)j, Re (cos (z)), Im (cos (z)) y jcos zj en términos de Re (z) e Im (z) :. Sea w Cnf1g : w 3 1. Exprésese exp (z) + exp (wz) + exp w z como serie de potencias. Evalúense las series numéricas 8 n (3n)! ; a. +1 P 7 n (3n+1)! : b. +1 P 3. Sea una función f : C! C veri cando la condición f(z + w) f(z)f(w); 8z; w C: Pruébese que, si es derivable en un punto, entonces es entera. Determínense todas las funciones que veri can la propiedad anterior. 4. Estúdiese la convergencia de las siguientes series de funciones complejas de variable compleja: a. P exp ( nz) ; b. P exp nz : 5. Dado w T, discútase la existencia del límite lim exp (rw) : r!+1 6. Pruébese que es un período fundamental para las funciones seno y coseno. 6
7. Estúdiese el comportamiento en el in nito de las funciones seno y coseno. 8. Calcúlense los radios de convergencia de las series de potencias siguientes P a. cos (in) z n P ; b. exp i n z n ; P P 1 c. sin n (1+in) zn ; d. cosh n i z n : 9. Hágase un estudio, lo más detallado posible, de la función tangente como función compleja de variable compleja. 10. Den los coe cientes de orden menor o igual a tres en las series de potencias correspondientes a las funciones siguientes: a. e z sin (z) ; b. (sin z) (cos z) ; c. e z 1 z ; d. e z cos z e. 1 cos z ; f. cos z sin z ; 11. Resuélvanse las ecuaciones siguientes con z C: g. sin z cos z ; h. e z z ; sin z : a. cos z p 3; b. cos z 1 ; c. cos z cosh z; d. sin z i sinh z; e. cos z i sinh z: 1. Pruébense las fórmulas siguientes: (a) jcos zj 1 (cosh y + cos x) sinh y + cos x cosh y sin x: (b) jsin zj 1 (cosh y cos x) sinh y + sin x cosh y cos x: Dedúzcase que jcos zj + jsin zj 1, z R. 13. Discútanse funciones inversas para las funciones seno y coseno. Por ejemplo, es z! sin z inyectiva en 0 Re z <? Es sobre? 7