Soluciones DESCRIPCION MACROSCOPICA DE UN GAS IDEAL (Serway, Cap 19, vol I) 1. Demuestre que 1 mol de cualquier gas a presión atmosférica de 101 kpa y temperatura de 0ºC ocupa un volumen de 22,4 L. n = 1 P 0 = 101 kpa = 1,01x10 5 Pa T = 0 C = 273 K V = 22,4 L = 22,4x10-3 m 3 R = 8,31 J/molK PV = nrt V = nrt/p = 1x8,31x273/1,01x10 5 = 0,02246 m 3 = 22,46 L 2. Un gas ideal se mantiene en un recipiente a volumen constante. Al principio, su temperatura es de 10ºC y su presión de 2,5 atm. Cuál es la presión cuando la temperatura es de 80ºC? T 1 = 10 C = 283 K P 1 = 2,5 atm T 2 = 80 C = 353 K A volumen constante, se aplica ley de Charles P 1 / T 1 = P 2 / T 2 P 2 = P 1 T 2 / T 1 = 2,5 atm x 353 K / 283 K = 3,12 atm 3. Un globo lleno de helio tiene un volumen de 1 m 3. A medida que asciende por la atmósfera de la Tierra su volumen se expande. Cuál es su nuevo volumen si su temperatura y presión originales son 20ºC y 1 atm, y su temperatura y presión finales son 40ºC y 0,1 atm? V 1 = 1 m 3 T 1 = 20 C = 293 K P 1 = 1 atm T 2 = 40 C = 233 K P 2 = 0,1 atm Como la cantidad de moles no varía, de la ecuación de estado se tiene: P 1 V 1 / T 1 = P 2 V 2 / T 2 V 2 = P 1 V 1 T 2 / T 1 P 2 = 1 x 1 x 233 / 293 x 0,1 = 7,95 m 3 4. Un salón tiene dimensiones de 10 m x 20 m x 30 m. Cuántas moléculas de aire se necesitan para llenar el salón a 20ºC y 101 kpa de presión? V = 10 m x 20 m x 30 m = 6.000 m 3 T = 20 C = P = 101 kpa = 1,01x10 5 Pa R = 8,31 J/molK De la ecuación de estado, PV = nrt, se tiene: n = PV / RT = 1,01x10 5 x 6.000 / 8,31 x 293 = 248.888 mol Y, como el número de moléculas es N = nn A, con N A = 6,022x10 23 moléculas/mol (número de Avogadro), se tiene N = 248.888 x 6,022x10 23 = 1,5x10 29 moléculas 1
5. Un tanque lleno de oxígeno contiene 12 kg de oxígeno bajo una presión de 40 atm. Determine la masa de oxígeno que se ha extraído del tanque cuando la lectura de presión es de 25 atm. Suponga que la temperatura del tanque permanece constante. m 1 = 12 kg P 1 = 40 atm P 2 = 25 atm Esas presiones son manométricas, por lo tanto, las presiones absolutas son: P 1 = 41 atm P 2 = 26 atm Y, como el volumen del tanque no se modifica, se tiene V 1 = V 2 Como la temperatura permanece constante, se utiliza la Ley de Avogadro P 1 / n 1 = P 2 / n 2 Y, como la cantidad de moles es directamente proporcional con la masa de un gas, se tiene n 1 / n 2 = m 1 / m 2 Se obtiene P 1 / m 1 = P 2 / m 2 m 2 = P 2 m 1 / P 1 = 26 x 12 / 41 = 7,61 kg Pero, la masa m 2 es la masa de oxígeno que queda al interior del tanque, por lo que la cantidad que se extrajo fue m = 12 7,61 = 4,39 kg 6. Con un medidor de presión de las llantas de un automóvil se llena una llanta a una presión manométrica de 32 lb/pulg 2 (1 Pa = 1,45x10-4 lb/pulg 2 ; 1 atm = 1,013x10 5 Pa) en una mañana fría, cuando la temperatura es de 10ºC. Cuál sería la lectura de presión de la llanta cuando ésta se caliente a 35ºC? P 1 = 32 lb/pulg 2 = 2,2x10 5 Pa P 1 = 3,22x10 5 Pa T 1 = - 10 C = 283 K T 2 = 35 C = 308 K (es la presión absoluta) Como el volumen permanece constante, se utiliza la ley de Gay Lussac P 1 / T 1 = P 2 / T 2 P 2 = P 1 T 2 / T 1 = 3,22x10 5 x 308 / 283 = 3,5x10 5 Pa Esa presión es absoluta, entonces, la presión manométrica en la llanta es P 2 = 3,5x10 5 1,01x10 5 = 2,49x10 5 Pa = 36,1 lb/pulg 2 7. La masa de un globo aerostático y su cargamento (sin incluir el aire en su interior) es de 200 kg. El aire exterior está a 10ºC y 101kPa. El volumen del globo es de 400 m 3, a qué temperatura debe calentarse el aire en el globo antes de que éste empiece a ascender? (La densidad del aire a 10ºC es de 1,25 kg/m 3 ) (472ºK) M = 200 kg T 1 = 10 C = 283 K P 1 = 101 kpa = 1,01x10 5 Pa V = 400 m 3 ρ ext = 1,25 kg/m 3 (densidad del aire al exterior del globo) B m int g = ρ int Vg Mg 2
Al momento de empezar a ascender el globo aerostático se cumple que la fuerza de empuje, B, es mayor o igual a la suma de las fuerzas que empujan al globo hacia abajo, el peso del globo más el cargamento y el peso del aire encerrado en el globo. B = ρ int Vg + Mg Si reemplazamos B = ρ ext Vg, se tiene ρ ext Vg = ρ int Vg + Mg De lo anterior se obtiene ρ ext - ρ int = M / V (*) Pero, la densidad es ρ = m / V, por lo tanto se tiene que la densidad del aire desplazado por el globo es ρ ext = m ext / V Y, la masa de aire al interior del globo es ρ int = m int / V Si se despeja V en cada igualdad, se tiene m ext / ρ ext = m int / ρ int Y, como ya se planteó antes, se cumple que n 1 / n 2 = m 1 / m 2 Entonces, se tiene n ext / ρ ext = n int / ρ int Y, de la ecuación de estado, el número de moles es n = PV / RT, por lo tanto (P ext V / RT ext ) / ρ ext = (P int V / RT int ) / ρ int Y, al considerar que P ext = P int por ser presiones atmosféricas (el interior del globo se conecta con el exterior), se tiene que ρ int T int = ρ ext T ext Entonces, ρ int = ρ ext T ext / T int Ahora, si se reemplaza en (*) ρ ext - ρ ext T ext / T int = M / V Por lo tanto: T int = ρ ext T ext / (ρ ext M/V) = 1,25 x 283 / (1,25 200 / 400) = 471,67 C 8. Un tanque que tiene un volumen de 0,1 m 3 contiene gas helio a una presión absoluta de 150 atm. Cuántos globos puede inflar el tanque si cada globo lleno es una esfera de 0,3 m de diámetro a una presión absoluta de 1,2 atm? (Presión absoluta = P = P 0 + ρgh; P 0 presión atmosférica, ρ densidad del gas; ρgh presión manométrica) V 1 = 0,1 m 3 P 1 = 150 atm r g = 0,15 m V g = 4πr g 3 / 3 = 4 x 3,14 x 0,15 3 / 3 = 0,01413 m 3 P g = 1,2 atm Considerando que el gas se distribuye en N globos, se tiene P 1 V 1 = NP g V g N = P 1 V 1 / P g V g = 150 x 0,1 / 1,2 x 0,01413 = 884,6 N = 884 globos 3
9. Un cuarto de 80 m 3 de volumen contiene aire cuya masa molar promedio es de 29 g/mol. Si la temperatura del cuarto se eleva de 18ºC a 25ºC, qué masa de aire, en kg, saldrá del cuarto? Suponga que la presión del aire en el cuarto se mantiene a 101 kpa. V 1 = 80 m 3 M = 29 g/mol T 1 = 18 C = 291 K T 2 = 25 C = 298 K P 1 = P 2 = 101 kpa = 1,01x10 5 Pa Como la presión y el volumen permanecen constantes, se tiene PV = n 1 RT 1 y P = n 2 RT 2 V Entonces n 1 T 1 = n 2 T 2 Como n = m / M, siendo m la masa del gas de n moles y M su masa molar, se tiene m 1 T 1 / M = m 2 T 2 / M m 1 T 1 = m 2 T 2 De la expresión PV = nrt, se obtiene n 1 = P 1 V 1 / RT 1 = 1,01x10 5 x 80 / 8,31 x 291 = 3.341,3 Entonces m 1 = n 1 M = 3.341,3 x 29 = 96.898 g Y, se tiene m 2 = m 1 T 1 / T 2 = 96.898 x 291 / 298 = 94.622 g Entonces, salieron de la sala m = m 1 m 2 = 96.898 94.622 = 2.276 g 2,28 kg de aire 10. A 25 m de bajo de la superficie del mar (ρ = 1025 kg/m 3 ), donde la temperatura es 5ºC, un buzo exhala una burbuja de aire que tiene un volumen de 1 cm 3. Si la temperatura de la superficie del mar es igual a 20ºC, cuál es el volumen de la burbuja justo antes de que se rompa en la superficie? h = 25 m ρ = 1.025 kg/m 3 T 1 = 5 C = 278 K V 1 = 1 cm 3 T 2 = 20 C = 293 K P 2 = P 0 = 1,01x10 5 Pa La presión a 25 m de profundidad, es P 1 = P 0 + ρgh = 1,01x10 5 + 1.025 x 9,8 x 25 = 3,52x10 5 Pa Como el número de moles de aire en la burbuja de aire no se modifica, se tiene P 1 V 1 / T 1 = P 2 V 2 / T 2 Entonces V 2 = P 1 V 1 T 2 / T 1 P 2 = 3,52x10 5 x 1 x 293 / 278 x 1,01x10 5 = 3,67 cm 3 4
11. Si 9 g de agua se ponen dentro de una olla de presión de 2 L y se calienta hasta 500ºC, cuál es la presión dentro del recipiente? m = 9 g = 0,009 kg V = 2 L = 2x10-3 m 3 T = 500 C = 773 K Como n = m/m, y la masa molar del agua es 18 g/mol, se tiene n = 9 / 18 = 0,5 mol De la expresión PV = nrt, se tiene P = nrt / V = 0,5 x 8,31 x 773 / 2x10-3 = 1.605.908 Pa = 15,9 atm 12. En sistemas de vacío con la tecnología más avanzada se logran presiones tan bajas como 10-9 Pa. Calcule el número de moléculas en un recipiente de 1 m 3 a esta presión si la temperatura es de 27ºC. P = 10-9 Pa V = 1 m 3 T = 27 C = 300 K De PV = nrt, se tiene n = PV / RT = 4,01x10-13 mol Y, como el número de moles es n = N/N A, donde N es el número de moléculas y N A es el número de Avogadro, se tiene N = nn A = 4,01x10-13 x 6,022x10 23 = 2,41x10 11 moléculas 13. La llanta de una bicicleta se llena con aire a una presión manométrica de 550 kpa y 20ºC. Cuál es la presión manométrica de la llanta después de un paseo en un día caluroso cuando la temperatura del aire de la llanta es 40ºC? Suponga volumen constante y presión atmosférica constante de 101 kpa. P 1 = 550 kpa = 5,5x10 5 Pa T 1 = 20 C = 293 K T 2 = 40 C = 313 K Como P = P 0 + P, se tiene: P 1 = 1,01x10 5 + 5,5x10 5 = 6,51x10 5 Pa Y, al ser un proceso con el volumen constante, se tiene P 1 / T 1 = P 2 / T 2 De donde se obtiene P 2 = P 1 T 2 / T 1 P 2 = 6,51x10 5 x 313 / 293 = 695.437 Pa = 6,95x10 5 Pa Luego, la presión manométrica a 40 C sería: P 2 = P 2 P 0 = 6,95x10 5 1,01x10 5 = 5,94x10 5 Pa = 594 kpa 14. A una profundidad h de debajo de la superficie del mar (densidad ρ), donde la temperatura es T 1 un buzo exhala una burbuja de aire que tiene un volumen V 0. Si la temperatura de la superficie del mar es T 2, Cuál es el volumen de la burbuja justo antes de que se rompa en la superficie? Este problema tiene un razonamiento idéntico al propuesto en el ejercicio 10, por lo tanto. V 2 = = P 1 V 1 T 2 / T 1 P 2 5
15. La llanta de un automóvil se infla usando aire originalmente a 10ºC y presión atmosférica normal. Durante el proceso, el aire se comprime hasta 28% de su volumen original y la temperatura aumenta a 40ºC. Cuál es la presión de la llanta? Después de que la llanta se maneja a alta velocidad, la temperatura del aire dentro de la misma se eleva a 85ºC y su volumen interior aumenta 2%. Cuál es la nueva presión (absoluta) de la llanta? primera pregunta. T 1 = 10 C = 283 K P 1 = 1,01x10 5 Pa V 1 = V V 2 = 28% de V 1 = 0,28V T 2 = 40 C = 313 K Como el número de moles no se modifica, se tiene P 1 V 1 / T 1 = P 2 V 2 / T 2 P 2 = P 1 V 1 T 2 / T 1 V 2 = 1,01x10 5 x V x 313 / 283 x 0,28V = 398.953 Pa = 3,99x10 5 Pa Para la segunda pregunta T 3 = 85 C = 358 K V 3 = 102% de V 2 = 1,02V 2 Con el mismo razonamiento anterior P 3 V 3 / T 3 = P 2 V 2 / T 2 P 3 = P 2 V 2 T 3 / T 2 V 3 = 3,99x10 5 x V 2 x 358 / 313 x 1,02V 2 = 447.416 Pa = 4,47x10 5 Pa 16. Una campana de buzo en forma de cilindro, con una altura de 2,5 m, está cerrada en el extremo superior y abierta en el extremo inferior. La campana desciende del aire al interior del agua (ρ =1,025 g/cm 3 ). Al principio el aire en la campana está a 20ºC. La campana baja a una profundidad (medida hasta el fondo de la campana) de 82,3 m. A esta profundidad la temperatura del agua es 4ºC, y la campana está en equilibrio térmico con el agua. A) A qué altura el agua de mar asciende en la campana?, b) A qué presión mínima debe elevarse el aire en la campana para expulsar el agua que ha entrado? h = 2,5 m ρ = 1,025 g/cm 3 = 1.025 kg/m 3 T 1 = 20 C = 293 K P 1 = P 0 H = 82,3 m T 2 = 4 C = 277 K h Antes de sumergirse la campana, se satisface la ecuación P 1 V = nrt 1 P 0 ( Ah ) = nrt 1 (1) H Cuando está a una profundidad H, en el aire al interior de la campana la presión es P 2 V 2 = nrt 2 x Y como V 2 = A(h x), y P 2 es la presión a una profundidad tiene H x, se tiene P 2 A(h x) = nrt 2 La presión en el agua, a una profundidad H x, aproximando H x a H, ya que x es menor a 2,5 m P 2 = P 0 + ρgh Entonces, reemplazando en la ecuación anterior 6
( P 0 + ρgh ) ( h x ) A = nrt 2 (2) Despejando A de la ecuación (1) y de la (2) y luego igualándolas, se llega a x = h P 0 ht 2 / T 1 (P 0 + ρgh) x = 2,5 1,01x10 5 x 2,5 x 277 / 293 (1,01x10 5 + 1.025 x 9,8 x 82,3 ) = 0,256 m = 25,6 cm Segunda parte: P 2 = P 0 + ρgh = 1,01x10 5 + 1.025 x 9,8 x 82,3 = 9,28x10 5 Pa 17. Una burbuja de gas de los pantanos se eleva desde el fondo de un lago de agua dulce, a una profundidad de 4,2 m y una temperatura de 5ºC, hasta la superficie, donde la temperatura es 12 C. Cuál es la proporción de los diámetros de la burbuja en los dos puntos? Suponga que el gas de la burbuja está en equilibrio térmico con el agua en cada posición. h = 4,2 m T 1 = 5 C = 278 K T 2 = 12 C = 285 K P 2 V 2 / T 2 = P 1 V 1 / T 1 V 1 = 4πR 1 3 / 3 V 2 = 4πR 2 3 / 3 Entonces: P 2 (4πR 2 3 / 3) / T 2 = P 1 (4πR 1 3 / 3) / T 1 P 2 R 2 3 / T 2 = P 1 R 1 3 / T 1 Pero, P 1 = P 0 + ρgh P 2 = P 0 R 2 3 / R 1 3 = (P 0 + ρgh)t 2 / P 0 T 1 R 2 3 / R 1 3 = (1,01x10 5 + 1000 x 9,8 x 4,2) x 285 / 1,01x10 5 x 278 = 1,44 Como el diámetro D es igual a R/2, la razón entre los diámetros es equivalente a la razón entre los radios. R 2 / R 1 = 3 1, 44 = 1,13 18. Un cilindro expansible tiene su parte superior conectada a un resorte de 2x10 3 N/m de constante de fuerza. El cilindro está lleno con 5 L de gas con el resorte sin estirar a 1 atm y 20ºC. A) Si la tapa tiene un área de sección transversal de 0,01 m 2 y masa despreciable, qué tan alto sube la tapa cuando la temperatura aumenta a 250ºC?, b) Cuál es la presión del gas a 250ºC? k = 2x10 3 N/m V 1 = 5 L = 5x10-3 m 3 P 1 = 1 atm = 1,01x10 5 Pa T 1 = 20 C = 293 K a) A = 0,01 m 2 V 2 = V 1 + Ah T 2 = 250 C = 523 K P 2 = P 0 + F/A = P 0 + kh/a Como el número de moles no cambia P 1 V 1 / T 1 = P 2 V 2 / T 2 P 1 V 1 / T 1 = ( P 0 + kh / A )( V 1 + Ah ) / T 2 P 1 V 1 / T 1 = ( P 0 V 1 + P 0 Ah + khv 1 / A + kh 2 ) / T 2 P 1 V 1 T 2 / T 1 = (P 0 V 1 + P 0 Ah + khv 1 / A + kh 2 ) 7
Reemplazando en forma parcial 1,01x10 5 x 5x10-3 x 523 / 293 = 1,01x10 5 x 5x10 -.3 + 1,01x10 5 x 0,01 h + 2x10 3 x 5x10-3 h / 0,01 + 2x10 3 h 2 Reduciendo términos, se tiene 901,42 = 505 + 1010 h + 1000 h + 2000 h 2 2000 h 2 + 2010 h 396,4 = 0 Entonces h = 2010 ± 2010 2 4x2000x( 396,4) 2x2000 = 2010 ± 2685 4000 h = 0,169 m b) P 2 = P 0 + kh/a P 2 = 1,01x10 5 + 2x10 3 x 0,169 / 0,01 = 134.800 Pa = 1,35x10 5 Pa 8