EJERCICIOS DE RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS (TEMA 7) 1.- La base de un triángulo isósceles mide 5 cm y el ángulo opuesto a dicha base es de 55º. Calcula el área del triángulo. 2.- Hallar el área de un octógono regular de 5 metros de lado. 3.- Halla el área de un hexágono regular de 8 cm de lado. 4.- El lado de un decágono regular mide 40 cm. Halla su área. 5.- Calcula el área de un triángulo de lados 4 m, 6 m y 18 m. 6.- Dos lados adyacentes de un paralelogramo forman un ángulo de 45º 10 y tienen unas longitudes de 30 m y 80 m. Cuál es la superficie del paralelogramo?. 7.- Una tubería tiene la forma y dimensiones que indica el dibujo. Calcula la longitud total de la tubería. 8.- De un trapecio isósceles se sabe que su base menor mide 12 cm, sus ángulos agudos miden 60º y su altura es 8 cm. Calcular: a) la medida de sus dos lados iguales. b) su área. 9.- De un triángulo isósceles se sabe que el ángulo desigual mide 1 25 radianes, y que el lado opuesto a dicho ángulo mide 12 cm. Hallar: a) cuánto mide cada uno de los otros dos ángulos (en radianes). b) el perímetro de tal triángulo. c) el área de dicho y repetido triángulo. 10.- En un triángulo isósceles uno de sus lados iguales mide 10 m, y el ángulo desigual mide 38º. Hallar su perímetro y su área. 11.- Un triángulo tiene de lados a=2 cm, b=7 cm y c=8 cm. Calcula sus ángulos. 12.- En un triángulo se conocen los lados b=3 cm y c=4 cm, y el ángulo comprendido A=60º. Halla el lado a. 13.- Sea ABC un triángulo tal que a=3 cm, B=60º y C=45º. Calcular el perímetro y el área de ABC. 14.- Calcula el área de un triángulo ABC sabiendo que a=43 cm, C=48º y B=79º. 15.- En un triángulo ABC, b=42 cm, c=25 cm y B+C=94º. Calcula el lado a y los tres ángulos. 16.- Los lados de un triángulo son a= 2, b=1 y c=1. Halla el ángulo A. 1
17.- Resuelve los siguientes triángulos: a) a=1792 m, b=4231 m, c=3164 m b) a=4 m, b=3 m, c=6 m c) a=8 m, B=30º, C=105º d) A=60º, B=75º, c= 2 m e) b=43 37, c=30 07, B=61º 8 f) a=60 cm, b=40 cm, A=42º g) a=65 46, A=103º 22, B=42º 47 h) b=5 0505, A=69º18, B=81º 22 i) a=0 7078, b=0 5123, C=64º 38 j) a=6 5, b=5 2, c=3 1 k) a=5, b=10, A=30º l) b=12, c=7, C=60º m) a=6, b=5, c=7 n) C=30º, a=12, c=8 ñ) a=16, b=13, c=9 o) a=57, b=60, c=83 18.- En un triángulo se conocen los lados c=5, a=4 y sen A 4. Calcular el ángulo C. 5 19.- En un triángulo se tiene a=0 051, A=62º 49 y C=81º 25. Con estos datos, calcula b. 20.- Resuelve el triángulo en el que dos lados valen, respectivamente, 98 07 y 122 5, siendo 57º 6 el ángulo comprendido entre ellos. 21.- Los catetos de un triángulo rectángulo son 3 y 4 cm. Halla la altura correspondiente a la hipotenusa. 22.- Determinar si hay dos soluciones, una o ninguna en cada uno de los casos que siguen: a) a=0 847, b=0 912, A=123º 42 b) a=58 23, b=58 23, A=88º 17 c) c=3 871, b=2 152, B=59º 33 d) a=257 8, c=291 4, A=22º 8 23.- En un triángulo se tiene b=459, c=423 y C=38º 28. Con estos datos, calcula B, especificando el número de soluciones. 24.- Existe un triángulo ABC en el que C=26º 31, a=42 17 cm y c=17 21 cm?. 25.- Explica que fórmulas usarías si los datos fueran b, A y C; y si fueran A, B y a. 26.- Sabes que con tres lados, tales que el mayor supere a la suma de los otros dos, no existe ningún triángulo. Imagínate pues, que te han dado tres lados en estas condiciones y que, no dándote cuenta, empiezas a montar la resolución del triángulo. Se pondrá de manifiesto la imposibilidad de la resolución en el curso del propio procedimiento, o no?. En caso afirmativo, de qué modo?. 27.- Si tenemos un segmento y dos ángulos y queremos construir un triángulo con estos elementos: a) qué condiciones deberán cumplir los datos? b) qué teoremas nos darán las medidas de los demás elementos?. 28.- Calcula la medida de los lados y de los ángulos agudos de un triángulo rectángulo tal que la suma y la diferencia de sus catetos sea de 252 cm y 36 cm, respectivamente. 29.- Calcula el área de un trapecio isósceles sabiendo que sus lados iguales miden 30 cm cada uno, que la base mayor mide 70 cm y que el ángulo que forma dicha base con cada uno de los lados iguales mencionados es de 33º. 30.- Calcula el radio y la apotema de un polígono regular de siete lados, cada uno de los cuales mide 5 cm. 2
31.- Encuentra el ángulo que forman los rayos del Sol con la horizontal cuando un árbol de 15 m de alto proyecta una sombra de 12 m de largo. 32.- De un triángulo sabemos que la suma de las longitudes de dos lados a y b es de 11 m, que el ángulo C opuesto al tercer lado vale 30º y que el área es de 7 m 2. Calcula: a) la longitud de cada uno de los lados del triángulo. b) los ángulos del triángulo. 33.- Prueba que el área de un triángulo ABC cualquiera se puede hallar mediante el cálculo del semiproducto de la longitud de dos de sus lados por el seno del ángulo que forman. Aplicación: Calcula el área del triángulo si A=40º, b=6 cm y c=10 cm. 34.- Halla el radio de una circunferencia sabiendo que una cuerda de 24 6 cm tiene como arco correspondiente uno de 70º. 3 5 35.- La relación entre los lados a, b y c de un triángulo es: a b, a c. Hallar 2 4 ˆ cos A. 2 36.- Siendo A=60º y B=45º, hallar los lados del triángulo ABC sabiendo que tiene 30 cm 2 de superficie. 37.- Los lados de un triángulo son proporcionales a 2, 3 y 4, respectivamente. Calcular su área sabiendo que su perímetro es 27. 38.- En una circunferencia de 16 m de radio, un arco mide 2 m. Halla su ángulo central correspondiente expresado en grados y radianes. 39.- Calcula el valor del ángulo α en la figura sabiendo que AM=MB=5 cm y CA=9 cm. 40.- En el pentágono de la figura todos los lados tienen la misma longitud, 4 cm, y los ángulos A y B son rectos. Calcula la medida del ángulo α=adb y la longitud del segmento AD. 41.- Un coche tarda un minuto en subir una pendiente del 8% con una velocidad de 90 km/h. Cuál es la longitud y el desnivel de la pendiente?. 3
42.- El ángulo de elevación del punto más alto de una montaña, observado desde un punto situado en tierra, es de 32º. Al aproximarnos 1 km en dirección a la montaña, el nuevo ángulo de elevación es de 41º. Cuál es la altura si los dos puntos de observación están al nivel del mar?. 43.- A una distancia de 30 m de una torre observamos el punto más alto de la misma bajo un ángulo de 60º. Si nos alejamos 10 m en la dirección torre observador, bajo qué ángulo observaremos el punto más alto de la misma?. 44.- Se desea calcular la altura de una torre de lanzamiento de cohetes; para ello se hacen dos observaciones desde los puntos A y B, obteniéndose como ángulos de elevación 30º y 45º, respectivamente. La distancia AB=30 metros. Halla la altura de la torre. La torre no está entre las dos personas. 45.- Los padres de Luis han heredado una parcela de forma triangular cuyos lados miden 15, 22 y 17 metros. Luis quiere calcular los ángulos, el perímetro y el área, pero no sabe. Podrías ayudarle?. 46.- Dos puntos A y B de la costa están separados 100 m. Las visuales desde dichos puntos a una isla forman con la línea AB ángulos de 45º y 57º, respectivamente. Calcula la distancia IH desde la isla a la costa. 47.- Desde un barco A se observa el vuelo de un helicóptero bajo un ángulo de elevación de 30º. Desde un barco B situado a 350 m de A, según la figura, se observa dicho helicóptero bajo un ángulo de 50º. A qué altura vuela el helicóptero?. 48.- Calcula la altura de un árbol, sabiendo que desde un punto determinado le vemos bajo un ángulo de 30º y, si nos acercamos en horizontal 12 m, le observamos bajo un ángulo de 60º. 49.- Un árbol está situado en la orilla de un río. Un observador ubicado en la orilla opuesta y frente al árbol ve la copa con un ángulo de 40º. Si se aleja del árbol 20 m en dirección perpendicular a la orilla, ve la copa con un ángulo de 20º. Calcula la anchura del río y la altura del árbol. 50.- La pirámide de Keops mide 138 m de altura y su base es un cuadrado de lado 225 m. Calcula la altura de cada una de las caras, el ángulo que cada cara forma con la base y el ángulo que forma una de las aristas laterales con la diagonal de la base que la corta. 51.- En un instante dado, un observatorio da los siguientes datos: la distancia del observatorio al satélite A es de 400 km, la distancia del observatorio al satélite B es de 520 km, y el ángulo bajo el cual se observan los dos satélites es de 41º 28. Hallar la distancia entre ambos satélites. 52.- Ana, Luis y Pedro van a escalar una montaña de la que desconocen la altura. A la salida del pueblo han medido el ángulo de elevación que mide 30º. Han avanzado 100 m hacia la base de la montaña y han vuelto a medir el ángulo de elevación siendo ahora 45º. Calcula la altura de la montaña. 4
53.- Juan (B) y Rosa (A) se encuentran a ambos lados de la orilla de un río. Rosa se aleja hasta una caseta (C) distante 100 m del punto A, desde la que dirige visuales a los puntos A y B que forman un ángulo de 30º y desde A ve los puntos C y B bajo un ángulo de 120º. Qué distancia hay entre A y B?. 54.- Dos individuos A y B observan un globo que está situado en un plano vertical que pasa por ellos. La distancia entre los individuos es de 4 km. Los ángulos de elevación del globo desde los observadores son 46º y 52º, respectivamente. Halla la altura del globo y su distancia a cada observador. 55.- Sea AB una altura de pie accesible, situado en terreno horizontal. Desde el punto E, situado a 23 41 m de A, con un aparato colocado en C a un metro del suelo, se dirige una visual a B, que forma un ángulo de 4º 12 con la horizontal. Cuánto mide la altura AB?. 56.- Se desea saber la altura de un árbol situado en la orilla opuesta de un río. La visual del extremo superior del árbol desde un cierto punto forma un ángulo de elevación de 17º. Aproximándose 25 9 m hacia la orilla en la dirección del árbol, el ángulo es de 31º. Calcula la altura del árbol. 57.- Un río tiene las dos orillas paralelas. Desde los puntos A y B de una orilla se observa un punto P de la orilla opuesta; las visuales forman con la dirección de la orilla unos ángulos de 42º y 56º, respectivamente. Calcular la anchura del río sabiendo que la distancia entre los puntos A y B es de 31 5 m. 58.- Calcula la distancia entre los puntos A y B entre los que hay una montaña sabiendo que sus distancias a un punto fijo O son de 315 m y 375 m, respectivamente, y que el ángulo AOB es de 48º 54. 59.- Un barco A y otro B salen de un puerto con rumbos que difieren en un ángulo de 35º 20. Hallar la distancia entre los dos barcos al cabo de 3 horas sabiendo que la velocidad de A es de 37 km/h y la de B 41 km/h. 60.- Se desea conocer lo que costaría conectar los puntos A y B con una carretera directa. El terreno es llano y cada metro de carretera vale alrededor de 600 euros. Haz un presupuesto aproximado y calcula el ángulo que ha de formar la nueva carretera con la general, visto desde A. A B 30 km 12 km 42º 61.- Dos montañeros que han ascendido en fines de semana sucesivos a dos picos querrían saber qué distancia hay entre dichos picos. Para ello han medido desde la base del pico A los ángulos 1 =85º y 2 =30º, después han caminado hasta la base del pico B y han medido los ángulos 1 =40º y 2 =93º. La distancia que hay entre dichas bases es 600 m. Podrías calcularlo?. 5
62.- Dos móviles parten de un punto A con direcciones que forman entre sí un ángulo de 60º, uno a 30 km/h y el otro a 50 km/h. Al cabo de cuánto tiempo distarán uno del otro 100 km?. x tiempo que tardan en separarse 100 km 63.- Un barco A pide socorro y las señales son recibidas por dos estaciones de radio B y C que distan entre sí 80 km. La recta que une B y C forma con la dirección Norte un ángulo de 48º. B recibe señales con una dirección de 135º con el Norte, mientras que C las recibe con una dirección de 96º con el Norte. A qué distancia de cada estación se encuentra el barco?. 64.- Un barco parte del puerto C con velocidad constante de 15 km/h y el rumbo que muestra la figura. El radar situado en A tiene un alcance de 4 km. Halla el intervalo de tiempo durante el cual el radar detecta al barco. 65.- Para localizar una emisora clandestina, dos unidades receptoras R 1 y R 2 distantes entre sí 6 km, orientan sus antenas en la dirección de recepción óptima. Tras medir los ángulos que forman estas direcciones con R 1 R 2, a qué distancia de R 1 y de R 2 se encuentra la emisora?. 6
66.- Se quiere tender un puente desde A hasta B. El observador se desplaza desde B hasta un punto cualquiera C y mide los datos que aparecen en la figura. Calcula la longitud del puente. 67.- Como ejemplo de belleza y simplicidad, observa el método que empleó Aristarco (280 a.c.) para calcular, por vez primera, la distancia de la Tierra al Sol: esperó hasta que la mitad del disco lunar estuviese iluminado, pues pensó con razón que en ese momento el ángulo Sol Luna observador sería recto. Como conocía la distancia Tierra Luna, que él mismo había calculado estudiando un eclipse, le bastó medir el ángulo T, y aun con error considerable, resolvió el problema. Hazlo tú, usando los siguientes datos actuales: TL=384.000 km, Tˆ =89 85º 68.- Si en un triángulo cualquiera sen A ˆ 0' 41, cos B ˆ 0' 37 Ĉ =... 69.- En un triángulo, sen A ˆ 0' 314, a 21 m, B ˆ 52º b =..., Ĉ =..., c =... 70.- En un triángulo, B ˆ 62º, C ˆ 41º, h (la altura) sobre b vale 6 metros a =..., b =..., c =..., Â =... 71.- Si una circunferencia tiene radio 16 m, y en ella un arco AB mide 2 m, el ángulo AOB mide... radianes =... sexagesimales. 72.- Hallar cuántos radianes mide un ángulo central del pentágono regular. 73.- Si las puntas de un compás están separadas 165 mm, y cada rama de dicho compás mide 9 cm, su abertura es de... radianes. 74.- Si un triángulo tiene a 1m, B ˆ 30º, C ˆ 45º, su área es... m 2. 75.- El área de un pentágono regular cuyo lado mide 10 km es... km 2. 76.- Si un trapecio isósceles tiene de base pequeña 10 cm, su ángulo mayor es de 132º y los lados iguales miden 14 cm, tendrá de perímetro... cm, y de área... cm 2. 7