Ecuaciones del plano Cajón de Ciencias Un plano tiene sus propias ecuaciones que lo definen, al igual que ocurría con la recta. Algunas de ellas son bastante parecidas, y de hecho verás que el plano tiene menos tipos de ecuaciones que la recta, lo cual es una buena noticia. En primer lugar, vamos a aclarar unos principios sencillos pero esenciales. Nos estamos moviendo en el espacio, por lo que todos los puntos y vectores tendrán a la fuerza tres coordenadas. Además, para definir un plano, tendremos que partir de una de estas posibilidades: - Conocer tres puntos del plano. - Conocer dos rectas contenidas en el plano. - Conocer un punto y el vector característico del plano (recuerda que el vector de un plano es siempre perpendicular a éste.) z r s Vamos a desarrollar las ecuaciones del plano a partir del segundo caso (conociendo las dos rectas). Cuando hayamos hecho esto, al final explicaremos cómo pasar de los otros dos casos al que ya conocemos. Cogeremos como ejemplo las dos rectas siguientes: r 2x y + z = 1 s x y + 2z = 2 Listos? Pues allá vamos.
Ecuación vectorial La ecuación vectorial del plano es: π P = P 0 + λv + βw Para los que prefieran las cosas explicadas en lengua común, aclararemos que π es el nombre del plano, P es un punto general (el que calcularíamos con la ecuación, no es algo que tenemos que saber), P 0 es un punto cualquiera del plano, λ y β son parámetros que tampoco tenemos que calcular 1, y v y w son los vectores directores de las dos rectas que nos definen el plano. Por lo tanto, para sacar la ecuación vectorial del plano a partir de dos rectas, necesitamos de cada una sus vectores directores 2 y un punto P 0 de cualquiera de ellas. r 2x y + z = 1 v = (1,1,-1) s x y + 2z = 2 w = (3,1,0) P 0 (sacado de s) = (0, 2, 2) Ahora lo único que tenemos que hacer es colocar cada cosa en su sitio: π P = P 0 + λv + βw π P = (0,2,2) + λ(1,1,-1) + β(3,1,0) Cómo funciona el tema de los parámetros: para los que no estéis muy familiarizados con estas cosas, los parámetros (λ y β en este caso) sirven para sacar puntos del plano a partir de la ecuación. Para ello basta con darles valores, los que queramos. Por ejemplo, si λ= 2 y β = -1 P = (0,2,2) + 2(1,1,-1) + -1(3,1,0) P = (0,2,2) + (2,2,-2) + (-3,-1,0) P = (-1,3,0) Y ya tenemos un punto del plano. Cada vez que queramos sacar un punto nuevo, nos basta con dar nuevos valores a los parámetros. Tan sencillo como eso. 1 Según el libro de texto que estés utilizando, pueden aparecer otras letras griegas para simbolizar los parámetros. Da igual cuáles sean, como si escogen letras del alfabeto japonés; lo que importa es que entiendas que son parámetros, cuya función se explica un poco más adelante. 2 Recuerda que una forma sencilla de sacar el vector director de una recta es calcular dos puntos de ella y restarlos. De todas formas, si hay algo de las ecuaciones de rectas que no entiendes y no explicamos aquí, repásalo en el documento correspondiente.
Ecuación paramétrica Para sacar la ecuación paramétrica a partir de la vectorial lo único que tenemos que hacer es separar cada una de las coordenadas del punto P (que es lo mismo que se hacía con la ecuación paramétrica de la recta, si te acuerdas): π P = P 0 + λv + βw (x,y,z) = (a,b,c) + λ(v x, v y, v z ) + β(w x, w y, w z ) x = a + λv x + βw x y = b + λv y + βw y z = c + λv z + βw z En nuestro ejemplo, quedaría así: π P = (0,2,2) + λ(1,1,-1) + β(3,1,0) x = 0 + λ + 3β y = 2 + λ + β z = 2 - λ Ecuación general La ecuación general del plano tiene este aspecto: Ax + By + Cz + D = 0 Si te has dado cuenta de que es igual que la ecuación general de la recta, tienes un positivo. Para cambiar de la ecuación paramétrica a la general, primero pasamos los términos independientes al otro lado de la igualdad, y dejamos solos los parámetros: x = 0 + λ + 3β x = λ + 3β y = 2 + λ + β y 2 = λ + β z = 2 - λ z 2 = - λ
Ahora colocamos todo en un determinante (del lado derecho sólo se cogen los coeficientes, no los parámetros): x 1 3 y - 2 1 1 z - 2-1 0 Por último, resolvemos el determinante. Igualando el resultado a cero tendremos la ecuación general del plano: x 1 3 y - 2 1 1 = 3(y-2) + (z-2) 3(z-2) + x = x + 3y 2z - 2 = 0 z - 2-1 0 Otra forma de representar un plano A menudo te encontrarás un plano definido a través de dos rectas, de este modo: π r 2x y + z = 1 s x y + 2z = 2 No es nada raro. Ya hemos visto que a partir de dos rectas puedes sacar todas las ecuaciones del plano. Así que puedes utilizarlas para llegar a la ecuación que te interese, o bien dejarlas así si te es más útil para el ejercicio. Sacar el vector normal del plano Recuerda que el vector normal es el perpendicular que define el plano. Para ello, multiplicaremos vectorialmente los dos vectores directores de las rectas que nos definen el plano: i j k 1 1-1 = k 3j - 3k + i = i -2k 3j (1, -2, -3) 3 1 0
Cómo llegar a las ecuaciones del plano si tenemos tres puntos Visualiza, estamos en este caso: Pan comido si recuerdas cómo hallar la ecuación de una recta a partir de dos puntos. Primero coge la pareja AC (restas C menos A y tienes el vector director, y con el vector y uno de los dos puntos sacas la recta) y luego haces lo mismo con la pareja BC (o AB, la que más te guste). ATENCIÓN: hay un caso en el que no se puede calcular las ecuaciones de un plano a través de dos puntos, y es cuando todos ellos están alineados. Para comprobar si estás en este caso o no y ahorrarte trabajo, en cuanto tengas calculada la primera recta (por ejemplo la AC) sustituye el tercer punto en su ecuación para ver si encaja. Si es así, B pertenecerá a la recta, y no podrás obtener las ecuaciones del plano 3. Cómo llegar a las ecuaciones del plano si tenemos un punto y el vector normal Y ahora tenemos esto: z Es más fácil de lo que parece. Lo único que nos hace falta es hallar dos vectores que sean perpendiculares a z. Con cada uno de ellos y el mismo punto para los dos, construiremos dos rectas, y ya estaremos de nuevo en una situación que sabemos manejar. 3 Esto es así porque si B está en la recta AC, cuando intentes sacar las rectas AB o BC, todas serán la misma.
Vale, vale, cómo sacamos dos vectores perpendiculares a z? Sencillo: recuerda que el producto escalar de dos vectores da cero, así que si como ejemplo suponemos que el enunciado nos dice que z es (2,-1,3), sólo tenemos que hallar un par de vectores que cumplan: (v x,v y,v z ) (2, -1, 3) = 0 2v x - v y + 3v z = 0 De nuevo pensarás: Muy bonito, sí, pero cómo se supone que se resuelve un sistema de una ecuación y tres incógnitas?. Que no cunda el pánico. Lo único que tienes que hacer es elegir una v x, una v y y calcular la v z. Por ejemplo, elegimos v x = 1 y v y = 2: 2 1-2 + 3v z = 0 v z = 0 Ya tenemos un vector: (1,2,0). Para sacar el segundo vector de recta repetimos la operación con otros valores para v x y v y. Para acabar, si alguien se siente confuso o culpable por poder dar los valores que quiera a dos de las coordenadas del vector, aclararemos que existen infinitas rectas dentro del plano, y por lo tanto infinitos vectores posibles perpendiculares a z. Haciendo que el producto escalar valga cero, forzamos a que el vector que buscamos sea uno de ellos.