Ejercicios con solución de todo hasta probabilidad Problema 1: Se considera la función siendo a y b parámetros reales. a) Determina los valores de los parámetros a y b para que f(2) = 4 y la recta tangente a la gráfica de f(x) en x = 6 es horizontal. b) Para a = 1 y b = 1 Razona cuál es el dominio de f(x) y la existencia de asíntotas verticales. Determina los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de f(x) Problema 2: Los beneficios anuales B(x), en miles de euros, previstos por una empresa para los próximos años vienen dados por la siguiente función, donde x representa el número de años a partir del actual: a) Cuántos años han de transcurrir para que la empresa obtenga el máximo beneficio y cuál es el valor de dicho beneficio? Justifica que es máximo. b) Puede esta empresa tener pérdidas algún año? Por qué? Problema 3: Una inmobiliaria está interesada en adquirir unos terrenos que pueden ser representados en un determinado plano como la superficie encerrada entre la parábola f(x) = x 2 + 2x + 4 y la recta g(x) = 2x a) Halla la representación gráfica simultánea de estas dos funciones. b) Si una unidad de área en este plano equivale a 1 km 2 y el precio del km 2 es de 30 millones de euros, qué importe debe pagar la inmobiliaria por esos terrenos? Problema 4: Dada la función a) Representa gráficamente f(x) b) Estudia su continuidad. Problema 5: Tres hermanos quieren reunir 26 euros para comprar un regalo a sus padres. Después de una larga discusión han decidido que el mediano debe poner el doble que el pequeño y el mayor debe poner dos terceras partes de lo que ponga el mediano. Cuánto debe poner cada uno? Problema 6: Resuelve las siguientes cuestiones a) Representa gráficamente el recinto definido por el siguiente sistema de inecuaciones:
x 3(y 3); 2x + 3y 36; x 15; x 0; y 0 b) Calcula los vértices del recinto. c) Obtén el valor máximo de la función F(x, y) = 8x + 12y en este recinto e indica dónde se alcanza. Problema 7: Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) = e 2 x en el punto donde ésta corta al eje de ordenadas. Problema 8: Sean A y B dos matrices de tamaño 2 x 2. Es cierta la igualdad (A + B)(A B) = A 2 B 2? Pruébalo si es cierto o busca un contraejemplo si es falso. Problema 9: Se considera la función real de variable real definida por: a) Halla sus asíntotas. b) Calcula sus máximos y mínimos relativos, si existen. c) Con los datos anteriores haz un esbozo de la gráfica. Problema 10: La función f definida por f(x) = x 3 + ax 2 + bx + c verifica que su gráfica pasa por el punto ( 1, 0) y tiene un máximo relativo en el punto (0, 4). Determina la función f (calculando a, b y c). Problema 11: Halla la integral entre 2 y 3 de la función f(x) = 2x 3 3x + 2 Problema 12: Se considera la curva de ecuación. Calcula sus asíntotas. Problema 13: La suma de las tres cifras de un número es 6 y si se intercambian la primera y la segunda, el número aumenta en 90 unidades. Finalmente si se intercambian la segunda y la tercera, el número aumenta en 9 unidades. Calcular dicho número. Problema 14:
Una empresa de equipos informáticos produce dos tipos de microprocesadores: A y B. El trabajo necesario para su producción se desarrolla en dos fases, la de fabricación y la de montaje. Cada microprocesador A requiera 3 minutos de fabricación y 2 minutos de montaje y cada microprocesador B requiere 2 minutos de fabricación y 4 minutos de montaje. Si sólo se dispone diariamente de 4 horas para la fabricación y 4 horas para el montaje, siendo el beneficio obtenido de 160 euros por cada microprocesador A y de 190 euros por cada microprocesador B, se pide justificando la respuesta. Cuántos microprocesadores hay que producir de cada tipo para obtener unos beneficios máximos? Cuál será el valor de dichos beneficios máximos? Problema 15: Si f es la derivada de la función dada por f ( 0,5) calcula Problema 16: Sea la matriz Problema 17: Representa gráficamente la función f(x) = x 3 3x 2 + 4 estudiando: intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativo, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de inflexión. Problema 18: Se quiere fabricar una caja de volumen máximo que sea el doble de larga que de ancha en la que, además, la suma del ancho más el largo más el alto sea igual a un metro. a) Qué medidas debe tener la caja? b) Qué volumen tendrá? Problema 19: Dada la función a) Encuentra la primitiva de f que en el 2 valga 5 b) Dibuja la función f. Halla el área limitada por la curva y el eje de abscisas entre los puntos de abscisa x = 1 y x = 4 Problema 20: Un inversor utiliza la siguiente función para reinvertir en Bolsa parte del capital que obtiene mensualmente. R(x) representa la cantidad reinvertida cuando el capital obtenido es x (tanto la cantidad como el capital en euros):
Es la cantidad reinvertida una función continua del capital obtenido? Problema 21: Tres constructoras invierten en la compra de terrenos de la siguiente forma: la primera invirtió medio millón de euros en terreno urbano, 250000 euros en terreno industrial y 250000 euros en terreno rústico. La segunda, invirtió 125000, 250000 y 125000 euros en terreno urbano, industrial y rústico, respectivamente, y la tercera, 100000, 100000 y 200000 euros en estos mismos tipos de terreno, respectivamente. Transcurrido un año, venden todos los terrenos. La rentabilidad que obtiene la primera constructora es del 13,75%, la de la segunda del 11,25% y, finalmente, la de la tercera es del 10%. Determina la rentabilidad de cada uno de los tipos de terreno por separado. Problema 22: En una confiteria se dispone de 24 kg de polvorones y 15 kg de mantecados, que se envasan en dos tipos de caja del modo siguiente: Caja tipo 1: 200 g de polvorones y 100 g de mantecados. Precio: 4 euros Caja tipo 2: 200 g de polvorones y 300 g de mantecados. Precio 6 euros Cuántas cajas de cada tipo se tendrán que preparar y vender para obtener el máximo de ingresos? Cuál es el importe de la venta? Problema 23: Se considera la función f(x) = ax 3 + b ln x siendo a y b parámetros reales. Determina los valores de a y bsabiendo que f(1) = 2 y que la derivada de f(x) es nula en x = 1 Problema 24: Sean las matrices: Halla el producto de A por B Problema 25: Se considera la función Calcula sus asíntotas y el dominio de definición de la función. a) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento. b) Representa gráficamente la función f(x) Problema 26:
La función representa, en miles de euros, el beneficio neto de un proceso de venta, siendo x el número de artículos vendidos. Calcula el número de artículos que deben venderse para obtener el máximo beneficio y determina dicho beneficio máximo. Problema 27: Dada la función gráfica de f y el eje de abscisas. calcula el área del recinto limitado por la Problema 28: Halla el valor de k para que la siguiente función sea continua en todo punto: Problema 29: Un agricultor compra semillas de garbanzos a 1,30 euros el kilo, de alubias a 1,20 euros el kilo y de lentejas a 0,80 euros el kilo. En total compra 45 kilos de semillas y paga por ellas 43 euros. Sabiendo que el peso de las lentejas es el doble que lo que pesan, conjuntamente, los garbanzos y las alubias, calcula qué cantidad de semillas ha comprado de cada legumbre. Problema 30: Una refinería de petróleo adquiere dos tipos de crudo, ligero y pesado, a un precio de 70 euros y 65 euros por barril, respectivamente. Con cada barril de crudo ligero la refinería produce 0,3 barriles de gasolina 95; 0,4 barriles de gasolina 98 y 0,2 barriles de gasoil. Asimismo, con cada barril de crudo pesado produce 0,1; 0,2 y 0,5 barriles de cada uno de estos tres productos, respectivamente. La refinería debe suministrar al menos 26300 barriles de gasolina 95, 40600 barriles de gasolina 98 y 29500 barriles de gasoil. Determina cuántos barriles de cada tipo de crudo debe comprar la refinería para cubrir sus necesidades de producción con un coste mínimo y calcula éste. Problema 31: Calcula y simplifica la derivada de la función Problema 32: Una empresa fabrica juguetes de tres tipos diferentes T 1, T 2 y T 3. Los precios de costo de cada juguete y los ingresos que obtiene la empresa por cada juguete vendido vienen dados por la siguiente tabla:
T1 T2 T3 Precio de costo 4 euros 6 euros 9 euros Ingresos 10 euros 16 euros 24 euros Los números de ventas anuales son de 4500 juguetes T 1, 3500 juguetes T 2 y 1500 juguetes T 3. Sabiendo que la matriz de costos (C) y la matriz de ingresos (I) son matrices diagonales y que la matriz de ventas anuales (V) es una matriz fila. a) Determina las matrices C, I y V b) Obtén, utilizando las matrices anteriores, la matriz de costos anuales, la matriz de ingresos anuales y la matriz de beneficios anuales, correspondientes a los tres tipos de juguetes. Problema 33: Cierta entidad financiera lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad, en euros viene dada por: R(x) = 0,01x 2 + 5x + 2500, siendo x la cantidad que se invierta. a) Qué rentabilidad obtiene un inversor que invierte 1000 euros? b) Cuánto ha de invertir si quiere obtener una rentabilidad máxima? c) Calcula esa rentabilidad máxima. Problema 34: Dentro del triángulo limitado por los ejes X, Y y la recta 2x + y = 8, se inscribe un rectángulo de vértices (0,0), (a,0), (a,b) y (0,b). Determina el punto (a, b) al que corresponde un área máxima. Problema 35: Dibuja la región limitada por las parábolas y = x 2 4x + 4, y = x 2 + 2x + 4 y calcula el área de la región limitada por ambas curvas. Problema 36: Se considera la función f (x) = x 3 + ln x. Calcula: Problema 37: La edad, en años, de Juan es el doble que la suma de las edades de sus dos hijos: Pedro y Luis. A su vez, Pedro es 3 años mayor que Luis. Si, dentro de 10 años, la edad del padre sobrepasa en 11 años a la suma de las edades de los hijos: a) Plantear el correspondiente sistema de ecuaciones. b) Determinar la edad de cada uno de ellos. Problema 38: Un mayorista de frutos secos tiene almacenados 1800 kg de avellanas y 420 kg de almendras para hacer dos tipos de mezclas que embala en cajas como se indica a continuación: La caja A tiene 6 kg de avellanas y 3 kg de almendras y las vende a 80 euros La caja B tiene 10 kg de avellanas y 1 kg de almendras y las vende a 90 euros
Representar la región factible. Cuántas cajas de cada tipo le conviene hacer para que el beneficio sea máximo? Problema 39: Sea la función f definida por a) Estudia la continuidad y derivabilidad de f b) Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa x = 1 Problema 40: Sean las matrices Calcula la matriz C = B A A t B t
Soluciones Problema 1: que nunca se anula, por tanto no tiene puntos de inflexión. Curvatura: f (0) = 2 > 0 (+) Problema 2: a) B (x) = 0 25x 2 + 400 = 0 x = 4, x = 4 (la solución negativa no tiene sentido) En el cuarto año se alcanza el máximo que es 3125 euros b) Como Luego la empresa no puede tener pérdidas ningún año. Problema 3:
a) Representación gráfica: Abscisas de los puntos de corte de las dos curvas: f(x) = g(x) x 2 + 2x + 4 = 2x x = 2, x = 2 Función diferencia: f(x) g(x) = x 2 + 4 F( 2) = 16/3; F(2) = 16/3 b) Precio = 32/3 30 000 000 = 320 000 000 euros Problema 4: a) b) La función f(x) está definida por tres funciones polinómicas que son continuas en sus dominios. Solo debemos estudiar los valores x = 1, x = 2 Para que sea continua en Se estudian los límites laterales: Para que sea continua en Se estudian los límites laterales:
Problema 5: Dinero que pone el pequeño: x Dinero que pone el mediano: y Dinero que pone el mayor: z El pequeño pone 6 euros, el mediano, 12 euros y el mayor, 8 euros Problema 6: a) Región factible. b) Vértices de la región factible: O(0, 0); A(15, 0); B(15, 2); C(9, 6); D(0, 3) c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible. El máximo es F(15, 2) = F(9, 6) = 144. La solución óptima se alcanza en B(15, 2) y C(9, 6); por tanto en todos los puntos del segmento BC Problema 7: El punto en que corta al eje de ordenadas es para x = 0, f(0) = e 2 P(0, e 2 ) La derivada es f (x) = e 2 x m = f (0) = e 2 Ecuación punto pendiente: y f(a) = f (a)(x a) y e 2 = e 2 (x 0) y = e 2 x + e 2 Problema 8: Es falso, contraejemplo Problema 9: a) Asíntotas Verticales: son las raíces del denominador, x = 3, x = 3 Horizontales:
Tiene una asíntota horizontal en y = 1 Asíntotas oblicuas: no tiene porque el grado del numerador no es uno más que el grado del denominador. b) Máximos y mínimos relativos c) Gráfica de la función Problema 10: Como f( 1) = 0 1 + a b + c = 0 (1) f (0) = 0 f (x) = 3x 2 + 2ax + b b = 0 (2) f(0) = 4 c = 4 (3) Resolviendo el sistema formado por (1), (2) y (3), se tiene: Problema 11: Problema 12: Asíntotas verticales: no tiene Asíntotas horizontales: no tiene. Asíntotas oblicuas: se realiza la división y se obtiene la asíntota oblicua: y = x
Problema 13: Cifra de las centenas (1ª cifra): x Cifra de las decenas (2ª cifra): y Cifra de las unidades (3ª cifra): z El número es 123 Problema 14: a) Tabla con los datos del problema. Microp. A Microp. B Restricciones Nº microprocesadores x y x 0; y 0 Fabricación 3x 2y 3x + 2y 240 Montaje 2x 4y 2x + 4y 240 Beneficios 160x 190y f(x, y) = 160x + 190y Máximo b) Región factible. c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible. O(0, 0); A(80, 0); B(60, 30); C(0, 60). El máximo es f(60, 30) = 15300 euros d) La solución óptima es B(60, 30), es decir, x = 60 microprocesadores del tipo A e y = 30 microprocesadores del tipo B. Beneficios = 15300 euros Problema 15: Problema 16: Problema 17: Máximos y mínimos
f (x) = 3x 2 6x 3x 2 6x = 0 x = 0, x = 2 raíces reales simples. f(0) = 4, A(0, 4) f (x) = 6x 6 f (0) = 6 < 0 A(0, 4) Máximo relativo. f(2) = 0, B(2, 0) f (2) = 6 > 0 B(2, 0) mínimo relativo. Monotonía o crecimiento f (1) = 3 < 0 ( ) Punto de inflexión f (x) = 6x 6 6x 6 = 0 x = 1 f(1) = 2, C(1, 2) f (x) = 6 f (1) = 6 0 C(1, 2) punto de inflexión. Curvatura: f (0) = 6 < 0 ( ) Problema 18: a) Datos, incógnita y dibujo. Función que hay que maximizar es: f(x, y) = 2x 2 y sujeta a la restricción: 3x + y = 1 y = 1 3x Se escribe la función con una sola variable f(x) = 2x 2 (1 3x) = 2x 2 6x 3 Se calculan los máximos y los mínimos f (x) = 4x 18x 2 ; 4x 18x 2 = 0 x = 2/9, x = 0 (x = 0 no tiene sentido) Se comprueba en la 2ª derivada f (x) = 4 36x f (2/9) = 4 < 0 ( ) Para x = 2/9 se alcanza el máximo. Solución Para x = 2/9, y = 1/3, se tiene que las dimensiones de la caja son 2/9 m de ancho, 4/9 m de largo y 1/3 m de alto. b) El volumen será:
Problema 19: b) Dibujo de la función f Raíces de Se tiene el intervalo [1, 4] F(1) = 7/2; F(4) = 7 Problema 20: La función R(x) está definida por una función polinómica que es continua en su dominio y por una función racional que es continua en su dominio siempre que el denominador sea distinto de cero. Como el denominador es distinto de cero para todo x 600, se estudia el caso en x = 600 Para que sea continua en Se estudian los límites laterales: continua en x = 600 no es Problema 21: Rentabilidad del terreno urbano en %: x Rentabilidad del terreno industrial en %: y Rentabilidad del terreno rústico en %: z
La rentabilidad del terreno urbano es del 20%, la del industrial, 10%, y la del rústico, 5% Problema 22: a) Tabla con los datos del problema. Caja tipo 1 Caja tipo 2 Restricciones Nº de cajas x y x 0; y 0 Polvorones 0,2x 0,2y 0,2x + 0,2y 24 Mantecados 0,1x 0,3y 0,1x + 0,3y 15 Ingresos 4x 6y f(x, y) = 4x + 6y Máximo b) Región factible. c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible. O(0, 0); A(120, 0); B(105, 15); C(0, 50). El máximo es f(105, 15) = 510 euros d) La solución óptima es B(105, 15), es decir, x = 105 cajas tipo 1 e y = 15 cajas tipo 2. Ingresos = 510euros Problema 23: f(1) = 2 a 1 3 + b ln 1 = 2 a 1 + b 0 = 2 a = 2 f (x) = 3ax 2 + b/x, como f (1) = 0 3a 1 2 + b/1 = 0 3a + b = 0 b = 3a b = 6 Problema 24: Problema 25: La gráfica es una hipérbola, porque el grado del denominador es uno y el del denominador es uno o cero, en este caso uno.
a) Asíntotas: x = 2, y = 1, b) Intervalos de crecimiento, como k = 2 > 0 es siempre decreciente. c) Representa gráficamente: Problema 26: tiene sentido) B(4) = 1 A(4, 1) (el resultado negativo no es un máximo relativo. Para 4 artículos vendidos se obtiene el máximo beneficio que son 1000 euros Problema 27: a) Puntos de corte de la gráfica con el eje X: x 2 + 4 = 0 x = 2, x = 2; (x = 2 no es válida) x 2 = 0 x = 2 b) c) F( 1) = 11/3; F( 2) = 16/3; G( 1) = 5/2; G(2) = 2
Problema 28: La función f(x) está definida por una función racional que es continua en su dominio y por una polinómica que es continua siempre. El único valor que debemos estudiar es x = 2 La función es continua en f(2) = k Para k = 12 la función es continua. Problema 29: Nº de kg de semillas de garbanzos: x Nº de kg de semillas de alubias: y Nº de kg de semillas de lentejas: z Compra 10 kg de semillas de garbanzos, 5 kg de semillas de alubias y 30 kg de semillas de lentejas. Problema 30: a) Tabla con los datos del problema. Crudo ligero Crudo pesado Restricciones Nº de barriles x y x 0; y 0 Gasolina 95 0,3x 0,1y 0,3x + 0,1y 26300 Gasolina 98 0,4x 0,2y 0,4x + 0,2y 40600 Gasoil 0,2x 0,5y 0,2x + 0,5y 29500 Coste 70x 65y f(x, y) = 70x + 65y Mínimo b) Región factible.
c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible. A(147500, 0); B(90000, 23000); C(60000, 83000); D(0, 263000). El mínimo es f(90000, 23000) = 7795000 euros d) La solución óptima es B(90000, 23000), es decir, x = 90000 barriles de crudo ligero e y = 23000 euros barriles de crudo pesado. Coste = 7795000 euros Problema 31: Es la derivada de un cociente: Problema 32: a) Matrices C, I y V b) Matriz de costos anuales Matriz de ingresos anuales Matriz de beneficios anuales V I V C = (45000 56000 36000) (18000 21000 13500) = (27000 35000 22500) Problema 33: a) R(1000) = 0,01 1000 2 + 5 1000 + 2500 = 2500 euros, pierde dinero. b) R (x) = 0,02x + 5 0,02x + 5 = 0 x = 250 R(250) = 3125, A(250, 3125) R (x) = 0,02; R (250) = 0,02 < 0 A(250, 3125) Máximo relativo. c) La rentabilidad máxima es 3125 euros
Problema 34: a) Datos, incógnitas y dibujo. b) Función que hay que maximizar f(a, b) = a b sujeta a la restricción: 2a + b = 8 b = 8 2a c) Se escribe la función con una sola variable f(a) = a (8 2a) = 8a 2a 2 d) Se calculan los máximos y los mínimos f (a) = 8 4a; 8 4a = 0 a = 2 e) Se comprueba en la 2ª derivada f (a) = 4 f (2) = 4 < 0 ( ) Para a = 2 se alcanza el máximo. f) Solución El área máxima se alcanza para a = 2, b = 4. El punto es (2, 4) Problema 35: a) Abscisas de los puntos de corte de las dos curvas: x 2 4x + 4 = x 2 + 2x + 4 2x 2 6x = 0 x = 0, x = 3 b) Función diferencia: f(x) g(x) = 2x 2 6x c) d) F(0) = 0; F(3) = 9
e) Problema 36: Problema 37: Edad actual Dentro de 10 años Juan x x + 10 Pedro y y + 10 Luis z z + 10 La edad actual de Juan es 42 años, la de Pedro, 12 años y la de Luis, 9 años. Problema 38: a) Tabla con los datos del problema. Caja A Caja B Restricciones Nº de cajas x y x 0; y 0 Avellanas 6x 10y 6x + 10y 1800 Almendras 3x y 3x + y 420 Beneficios 80x 90y f(x, y) = 80x + 90y Máximo b) Región factible. c) Valores de la función objetivo en los vértices de la región factible. O(0, 0); A(140, 0); B(100, 120); C(0, 180). El máximo es f(100, 120) = 18800 euros d) La solución óptima es B(100, 120), es decir, x = 100 cajas A e y = 120 cajas B. Beneficio = 18800euros Problema 39: a) Continuidad
La función está definida por una función racional y una polinómica que no tienen puntos de discontinuidad en sus dominios de definición. El único punto problemático es x = 0 Para que la función sea continua, los límites laterales deben existir y ser iguales al valor de la función. Derivabilidad Para que sea derivable en x = 0, las derivadas laterales deben ser iguales. f (0 ) f (0 + ) La función no es derivable en x = 0 b) Ecuación de la recta tangente: Ecuación punto pendiente: y f(a) = f (a)(x a) x = 1 f(1) = 1 2 + 1 = 2 P(1, 2) f (x) = 2x + 1 f (1) = 2 1 + 1 = 3 y 2 = 3(x 1) y 2 = 3x 3 y = 3x 1 Problema 40: Se hacen las traspuestas, los productos parciales y luego la diferencia