7 ENCUENTRO ( Iporane ) Encuenro e un ea que le gua baane. Suelen oarlo en lo exáene y hay que aberlo bien. No e uy diícil. Lee con aención lo que igue. CUÁNDO DOS COSAS SE ENCUENTRAN? Do coa e encuenran cuando paan por el io lugar al io iepo. Fijae que eo úlio lo ubrayé. E que para que coa e encuenren no alcanza con que paen por el io lugar. Tienen que paar por el io lugar al io iepo. El oro día uie al copleaño de u prio. Sabe que juaene yo abién ui al cupleaño de u prio?. Pero no e i. Cóo puede er que no e haya io i euio en el io lugar?. Bueno, eguraene habreo eado a dierene hora, o dierene día. E decir, lo euio en el io lugar pero NO al io iepo. No e coplique. Eo que parece ácil, ES ácil. Una iuación de encuenro podría er la iguiene: Eo uera una rua ia de arriba. ( Típico problea de encuenro ). SISTEMA DE REFERENCIA En algún oeno lo do auo e an a enconrar en alguna pare de la rua. Lo que a a paar ahí e eo:
8 Ee auno del encuenro lo pongo en ora íica aí: IMPORTANTE! x x para A B e Condición de encuenro. Ea condición e cuple en odo lo cao y en odo lo problea de encuenro. E decir, puede er que lo coche eén iajando en el io enido o en enido conrario. Puede er que uno aya renando y el oro acelerando. Puede uno ir con MRUV y el oro con MRU. Lo que ea. La hioria e iepre la ia y la condición erá x A = x B para = e. COMO RESOLVER PROBLEMAS DE ENCUENTRO: Lo problea de encuenro on problea en lo que una coa ale del lugar A y ora ale del lugar B. Pueden alir al io iepo o no. Pueden oere en el io enido o no. Pueden ir con MRU o no. Lo que iepre e an a pregunar e: dónde e encuenran lo ipo y depué de cuáno iepo. Para reoler eo coniene eguir eo pao. Prea aención: - Hago un dibujo de lo que planea el problea. En ee dibujo elijo un iea de reerencia. Sobre ee iea arco la poicione iniciale de lo óile y la elocidad de c/u de ello con u igno. Si la elocidad a en el io enido del eje x e (+). Si a al reé, e (-). ( ojo! ). - Ecribo la ecuacione horaria para c/u de lo óile.( x A =..., x B =...) 3- Planeo la condición de encuenro que dice que la poición de A debe er igual a la de B para = e. 4- Igualo la ecuacione y depejo e. Reeplazando e en la ecuación de x A o de x B calculo la poición de encuenro. 5- Coniene hacer un gráico Poición en unción del iepo para lo óile en donde e ea la poición de encuenro y el iepo de encuenro. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------
9 Ejeplo: Problea de encuenro en MRU Un auo y un colecio eán ubicado coo uera el Dibujo y e ueen a 6 y K/h repeciaene. a)-calcular cuáno iepo ardan en enconrare. b)-hallar el lugar donde e encuenran. c)-hacer el gráico de x() para lo óile y eriicar lo puno a) y b). Bueno, epiezo haciendo un dibujio que explique un poco el enunciado. Para calcular lo que e piden igo lo pao que pue ane: - Hago un equea. Elijo un iea de reerencia. Marco la poicione y la elocidade iniciale: Pue el iea de reerencia en el lugar donde eaba el auo al principio. La do elocidade on ( +) porque an en el io enido del eje x. - Planeo la ecuacione horaria. ( Ojo. Eo hay que reiarlo bien, porque i eán al planeada odo lo que igue a a ear al... ). Para xa Para 6 Kx Ah 6 K h Para Para el A el 6 K h A 6 K h el el auo a auo a Bondi bondi A A x B B K Para,K x K B,K h h el K h K h a Bondi A a B A
3 3 - Planeo la condición de encuenro que dice que la poición de lo ipo debe coincidir en el oeno del encuenro: x A = x B para = e La ecuacione de la poición para A y B eran: x x A B K 6 h K, K h K K 6 e, K e h h K K 6 e e, K h h K 4 e, K h, K e,5h 4K h Una hora on 36 egundo, enonce, uliplicando por 36 : e 9 eg TIEMPO DE ENCUENTRO 4 - Igualo la ecuacione y depejo lo que e piden: Reeplazando ee e en cualquiera de la ecuacione horaria engo la poición de encuenro. Por ejeplo, i reeplazo en la de x A : x e 6 K h e,5 h xe,5 K ( 5 ) POSICION DE ENCUENTRO Para eriicar puedo reeplazar e en la ora ecuación y er i da lo io. A i e gua eriicar, porque i e da bien ya e quedo ranquilo. A er : K xe, h e,5 h x e,5 K ( 5 ) Bien, dió.
3 E decir que la repuea al problea e que el coche alcanza al colecio en 9 eg, depué de recorrer 5. De la ia anera podría haber dicho que el encuenro e produce a lo 9 egundo y depué que el colecio recorrió 5. Eo e iporane. Cuando uno dice que el encuenro e produce a lo 5 ero iene que aclarar dede dónde eán edido eo 5 ero. La iuación inal endría a er ea: AUTO ENCUENTRO c) Ora anera de eriicar que lo que uno hizo eá bien e hacer el gráico x () repreenando c/u de la ecuacione horaria. Lo que hago e ir dándole alore a y calcular lo de equi. Fijae. E ólo cueión de hacer alguna cuena: Auo x A x B Colecio x A = 6. x B =, +. 5 3 eg 6 3 eg 6 eg 33 6 eg 5 9 eg 5 9 eg La repreenación de la reca queda aí: POSICION DE ENCUENTRO TIEMPO DE ENCUENTRO
3 El lugar donde e coran la reca indica el iepo de encuenro obre el eje horizonal y la poición de encuenro obre el eje erical. Siguiendo eo pao e pueden reoler odo lo ejercicio de encuenro. Hay abién oro éodo para reoler eo problea, in ebargo nooro epleareo ée,( y que eá pereco porque de odo lo éodo, ée e el ejor a i crierio). IMPORTANTE: PROBLEMAS EN DONDE UNO DE LOS MOVILES SALE ANTES O DESPUES QUE EL OTRO. ( LEER ). Puede paar que en un problea uno de lo ipo alga ane que el oro. Supón por ejeplo que el auo hubiera alido 3 eg ane que el colecio. En ee cao lo que hago e calcular qué diancia recorrió el auo en eo 3 eg y planear un nueo problea de encuenro. E decir, hago eo: Ee éodo de reoler problea de encuenro para óile que no alen en el io oeno ire para odo lo cao de encuenro. Se puede aplicar iepre. Repio: iepre. Lo objeo pueden ear oiéndoe en el io enido, en enido conrario, con MRU, con MRUV, caída libre, iro erical. Lo que ea. Ahora bien ( y a eo apunaba yo ). Hay OTRO éodo para reoler ee ipo de problea. Sin ebargo, ee éodo e á diícil de uar y iene u coplicacione. La coa e aí: En realidad la ecuacione horaria eán ecria en unción de eno cero. ( ). De anera que i uno de lo óile alió 3 eg ane que el oro, lo único que uno iene que hacer e reeplazar e cero por 3 egundo y lio. Haa acá odo uy lindo. Pero lindo, nada.
33 Porque el auno e el iguiene: - La DOS ecuacione horaria ienen el érino ( )... En cuál de la engo que reeplazar?. ( O reeplazo en la? ). Si el óil alió 3 egundo ANTES... Te cero ale 3 eg o -3 eg? ( Y i alió 3 eg depué? ) 3 Si uno de lo objeo a con MRUV ( acelera ), enonce el parénei ( ) iene que ir al. Eo uper-coplica la coa porque e a a quedar el cuadrado de un binoio... Y ahora?. Quién reuele la inernale cuena que quedan?. Reuiendo: El éodo de reeplazar = 3 eg en ( ) ire perecaene. Yo no digo que no. Coo uar, e puede. El problea e que la poibilidad de equiocare e uy grande por odo eo que e dije. Por ee oio yo e recoiendo que no ue ee éodo. Ua el que e expliqué yo que e á ácil y á enendible. Fin Teoría de Encuenro. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- MRUV - MOVIMIENTO RECTLÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (ACELERADO) Supón un coche que eá quieo y arranca. Cada ez e uee á rápido. Priero e uee a por hora, depué a por hora, depué a 3 por hora y aí iguiendo. Su elocidad a cabiando (aría). Eo endría a er un oiieno ariado. Enonce, cuándo uno iene un oiieno ariado?. Ra: cuando la elocidad cabia. ( aría ). Ahora, e dice que un oiieno e unioreene ariado i la elocidad cabia lo io en cada egundo que paa. Mirá el dibujio :
34 En el ejeplo ée, cuando el ipo e al onruo e pone a correr. Depué de egundo u elocidad e de K/h y depué de egundo e de K/h. E decir, u elocidad eá auenando, de anera uniore, a razón de K/h por cada egundo que paa. Aención: Acá en íica, la palabra uniore igniica Siepre igual, iepre lo io, iepre de la ia anera. Digo enonce que el oiieno del ipo e unioreene ariado auenando = K/h en cada = eg. ACELERACIÓN ( Aeno ) El concepo de aceleración e uy iporane. E la bae para poder enender bien-bien MRUV y abién ora coa coo caída libre y iro erical. Pero no e diícil. Ya iene una idea del auno porque la palabra aceleración abién e ua en la ida diaria. De oda anera lee con aención lo que igue y lo a a enender ejor. En el ejeplo, el ipo paa de á K/h en eg. Pero podría haber paado de á K/h en un año. En ee cao earía acelerando á depacio. Digo enonce que la aceleración e la rapidez con la que eá cabiando la elocidad. Enre á rápido auena ( o diinuye ) la elocidad, ayor e la aceleración. Digao que la aceleración endría a er una edida de la bruquedad del cabio de la elocidad. Para ener enonce algo que e indique qué an rápido eá cabiando la elocidad, diido ee cabio de elocidad V por el iepo que ardó en producire. E decir : a Deinición de aceleración Supón un auo que iene una elocidad V en y ora elocidad V al iepo :
35 En ee cao la aceleración del ipo a a er: a Aí e calcula Una coa. Fijae por aor la aceleración que cuando en íica e habla de aceleración, hablao de auenar o diinuir la elocidad. Lo que ipora e que la elocidad CAMBIE. ( Varié ). Para la íica, un auo que eá renando iene aceleración. Aención porque en la ida diaria no e ua aí la palabra aceleración. Por eo alguno chico e conunden y dicen: Pará, pará, herano. Cóo puede ear acelerando un auo que a cada ez á depacio?! Vao a un ejeplo. EJEMPLO DE MRUV Un coche que e uee con MRUV iene en un deerinado oeno una elocidad de 3 / y, egundo depué, una elocidad de 4 /. Calcular u aceleración. Para calcular lo que e piden aplico la deinición anerior : a 4 3 a eg a eg a Aceleración del ipo. Fijae que el reulado dio en /. Éa on la unidade en la que e ide la aceleración. E decir, ero diidido egundo cuadrado o cualquier ora unidad de longiud diidida por una unidad de iepo al cuadrado ( coo K/h ). Qué igniica eo de /?. Bueno, / lo puedo ecribir coo: Variación de elocidad. Ineralo de iepo.
36 Eo úlio e lee aí: La aceleración de ee coche e al que u elocidad auena ero por egundo, en cada egundo que paa ( Aención! ). Un equea de la iuación ería ée: Con eo quiero que ea algo iporane: Al ener ya una idea de lo que e la aceleración puedo decir que la caraceríica del oiieno unioreene ariado e, juaene, que iene aceleración conane. Ora anera de decir lo io ( y eo e e en el dibujio ) e decir que en el MRUV la elocidad auena odo el iepo ( o diinuye odo el iepo ) y ee aueno ( o diinución ) e LINEAL CON EL TIEMPO. Fin del ejeplo SIGNO DE LA ACELERACIÓN: La aceleración que iene un objeo que e uee puede er (+) o (-). Eo depende de coa: De i el ipo e eá oiendo cada ez á rápido o cada ez á depacio. De i e eá oiendo en el io enido del eje x o al reé. (! ). Eo quiero que lo ea con un ejeplo nuérico. Voy a uponer que en odo lo cao el e de egundo y aco el igno de la aceleración de : a
37 Eo on lo 4 cao poible. Má no hay. La concluión que aco de acá e que hay que ener cuidado con el igno de la aceleración al hacer lo problea. La coa e que lo aluno uelen decir: Bueno, no e an diícil. Si el ipo a cada ez á rápido, u aceleración a a er poiia y i a cada ez á depacio, u aceleración a a er negaia. Hu... Cuidado!. Eo ale olaene i el ipo e uee en el enido poiio del eje x. ( cao y ). Pero i el ipo a para el oro lado, lo igno on exacaene al reé.( cao 3 y 4 ). No lo oe a al. Eo no lo inené yo ni lo ineno alguien, eo ipleene ale de reeplazar lo alore de la elocidade en la ecuación: a ECUACIÓN DE UNA PARÁBOLA
38 En aeáica, una parábola e repreenaba por la iguiene ecuación: y a. x b. x c ECUACIONDE UNA PARABOLA. Por ejeplo una parábola podría er : Y 3x 5x ) Dándole alore a X oy obeniendo lo alore de Y. Aí puedo conruir una abla. Repreenando eo alore en un par de eje x-y oy obeniendo lo puno de la parábola. Eo puede dar una coa aí: La parábola puede dar á arriba: á abajo: á a la derecha: á a la izquierda: á abiera: á cerrada: puede incluo dar para a bajo: Puede dar cualquier coa, dependiendo de lo alore de a, b y c, pero iepre endrá ora de parábola. Aeno con eo!. La parábola iepre aparecen en lo problea de MRUV.
39 ECUACIONES HORARIAS Y GRÁFICOS EN EL MRUV ( IMPORTANTE ) La ecuacione horaria on iepre la de poición, elocidad y aceleración en unción del iepo. Quiero que ea cóo da cada una en el MRUV. Voy a epezar de ará para adelane porque aí e á ácil de enender. 3ª Ecuación horaria ( a = () ) La caraceríica undaenal de un oiieno unioreene ariado e que la aceleración e conane. No cabia. Siepre e igual. Siepre ale lo io. Eo pueo en ora aeáica ería: a ce 3 ra Ecuación horaria El gráico correpondiene e una reca paralela al eje horizonal. O ea, algo aí: ª Ecuación horaria ( V = () ) Ora anera de decir que la aceleración e conane e decir que la elocidad auena ( o diinuye ) linealene con el iepo. Eo ale de la deinición de aceleración, que era: a = enonce, i de- pejo : V - V = a ( ) == > V = V + a ( ) Cai iepre e cero ale cero. Enonce la ecuación de la elocidad queda aí: V = V + a. da ECUA- CION HORA RA- RIA
4 Eo e la ecuación de una reca. Tiene la ora y = ee equi + be.( Y = X + b). La repreenación e aí: Por ejeplo, una ª ecuación horaria ípica podría er: V = + El ipo que e oiera iguiendo ea expreión habría alido con una elocidad inicial de / y endría una aceleración de /. Eo lo a a enender ejor cuando ea algún ejeplo hecho con núero o cuando epiece a reoler problea. ra Ecuación horaria ( x = () ) Ea e la ecuación iporane y e la que hay que aber bien. La ecuación de la poición en unción del iepo para el oiieno unioreene ariado e éa: X = X + V + ½ a ra ECUACION HORARIA. Preiero no explicare la deducción de ea ecuación porque e un poco largo. ( En lo libro eá ). Lo que í quiero que ea e que e la ecuación de una parábola. Fijae: x x. a. y c b x a. x VER LA CORRESPONDEN- CIA DE CADA TERMINO Cada érino de la ecuación X = X + V + ½ a iene u equialene en la expreión Y = a X + b X + C. La expreión coplea-coplea de la ª ecuación horaria endría a er en realidad el iguiene choclazo: x x ( ) a ( ) Pero aí ecria con (- ) e ua poco en lo problea. Eo e porque cai iepre en lo problea ale cero. Yo iepre oy a uar la ecuación con, alo que en algún ejercicio enga que uar obligaoriaene (- ). La repreenación de la poición en unción del iepo e ea:
4 Ee dibujio quiere decir ucha coa. Fíjae bien : Señor, ée no e un dibujio!. E un gráico uy iporane que repreena la ariación de la poición en unción del iepo para un oiieno unioreene ariado. Ee gráico no da nada á ni nada eno que la poición del óil para cualquier inane. De ea anera eneo el oiieno copleaene decripo dede el puno de ia cineáico. Ee dibujio lindo coo ued lo llaa ( Qué ala de repeo ) e la repreenación gráica de la unción X = X + V + ½ a. Ea unción no e cualquier coa. No eñor. E una ecuación cuadráica. ( eá al cuadrado ). Eo e iporane porque e da una caraceríica undaenal del oiieno unioreene ariado. Supongo que no la debe aber, aí que e la digo a er i aprende algo úil: EN EL MRUV LA POSICIÓN VARÍA CON EL CUADRADO DEL TIEMPO. X = ( ). EQUIS DEPENDE DE CUADRADO. Sigo. Te decía enonce que la repreenación gráica de X = X + V + ½ a da una parábola. Ea parábola puede dar para derecha, para la izquierda, uy cerrada, uy abiera. Eo a a depender de lo alore de equi cero, de Ve cero y de a. Ahora, el hecho de que la parábola aya para arriba o para abajo depende ÚNICAMENTE del igno de la aceleración. Si a e ( + ), irá para arriba ( ). Si a e ( - ), irá para abajo ( ). Eo lo puede recordar de la iguiene anera:
4 a = + a = - La parábola poiia eá conena. La parábola negaia eá rie. Concluión: Hay que er poiio en la ida!. No. Concluión: irá el iguiene ejeplo a er i lo eniende ejor: Ejeplo. Supongao que engo ea ecuación horaria para algo que e uee con MRUV : 4.. X Ee ería el cao de algo que alió de la poición inicial 4 con una elocidad de / y una aceleración de 4 /. Para aber cóo e el gráico le oy dando alore a y oy acando lo alore de x. E decir, oy haciendo la cuena y oy arando una ablia. x [] [eg] 4 7 4 TABLA CON LOS VALO- RES DE LAS POSICIO- NES Y LOS TIEMPOS. Ahora repreeno eo y e da una coa aí: Ee gráico e la repreenación de la ª ecuación horaria. Me guaría que noara do coa:
43 ) -La parábola a para arriba ( ) porque a e poiia. ) -Aunque uno ea ólo un arco aí eo e una parábola. La pare que ala earía a la izquierda y no la dibujé. La podría repreenar i le diera alore negaio a ( coo eg, - eg, ec ). En ee cao el auno daría aí: UN EJEMPLO DE MRUV Fin Explicación Ec. Horaria. Una horiga picadoru ale de la poición X = y coienza a oere con aceleración a = /.( V = ). a)- Ecribir la ecuacione horaria. b)- Hacer lo gráico x(), () y a(). Voy a hacer un equea de lo que paa y oo un iea de reerencia: La ecuacione horaria para una coa que e uee con oiieno recilíneo unioreene ariado on: x x a a ce a Ecuacione horaria ecria en ora general ECUACIONES HORARIAS ESCRITAS EN FORMA GENERAL. x y alen cero. Reeplazando por lo oro dao el auno queda aí: x Ecuacione horaria para lahoriga a ce Ahora, dando alore a oy acando lo alore de equi y de. Con eo alore hago ea abla:
44 X V a / / / 4 4 / / Teniendo la abla puedo repreenar la ecuacione horaria. LA ECUACIÓN COMPLEMENTARIA ( leer ) Fin del Ejeplo. Hay una órula á que e ua a ece para reoler lo problea. La uelen llaar ecuación copleenaria. La órula e éa: a x x Ecuación copleen aria. Ea ecuación endría a er una ezcla enre la ra y la da ecuación horaria. La deducción de ea ecuación e un poco larga. Pero e puedo explicar de dónde ale. Fijae: Ecribo la priera ecuacione horaria. Depejo de la ª y lo reeplazo en la ª. x x a a a REEMPLAZO Si e oa el rabajo de uiuir y de hacer odo lo pao que iguen, erina quedándoe la aoa ecuación copleenaria. Sobre ea ecuación e guaría que ea alguna coia. Fijae:
45 (eriica) 4 : por Reeplazando 4 Priero: La ecuación copleenaria NO e una ecuación horaria. En ella no aparece el iepo. Segundo: Ea órula no e una ecuación nuea. E ezcla de la ora do ( de la ª y la ª ). Tercero: Nunca e iprecindible uar la ecuación copleenaria para reoler un problea. Todo problea de MRUV puede reolere uando olaene la ª y la ª ecuación horaria. Lo que iene de bueno la expreión V V = a ( X X ) e que acilia la cuena cuando uno iene que reoler un problea en donde el iepo no e dao. Eo e odo. Ejeplo: En el problea anerior, calcular la elocidad que iene la horiga picadoru depué de recorrer. Uando la ecuación copleenaria: Lo hago ahora in uar la ecuación copleenaria: Ecribo la ec. horaria. V x x a... : era horaria ec. ª La picadoru en recorrer la Tiepo queardó horaria : ecuación ª la De a x x a a VELOCIDAD FINAL