TIRO OBLICUO

- 17 - TIRO OBLICUO

- 18 - Advertencia. Tiro oblicuo e un tea edio coplicado. Lo concepto no on fácile de entender. Lo ejercicio tienen u vuelta. La ecuacione on larga. Para poder reolver lo problea hay que aber bien-bien tiro vertical, caída libre, MRUV y tabién MRU. Eto no e ala onda. Eto e aí. Sugerencia? Reolvé ucho problea de problea. Mile. ( Oh! ile?! ) Ea e toda la cuetión. Haciendo ucho problea uno terina agarrándole la ano y el tea paa a er un tea á. Pero hay que haacare. ( Y eo lleva tiepo, que e lo que vo no tené ). Por ee otivo yo te voy a explicar tiro oblicuo ahora en un inuto y lo va a entender perfectaente. Pero por favor, repito, no te ponga a hacer problea de tiro oblicuo hata que no haya entendido perfectaente MRU, MRUV, Caída libre y tiro vertical. Eto contituye un gran error por parte de lo chico. Fui claro? Por ete otivo e que a ello le encanta toar tiro oblicuo en parciale y finale. Tiro oblicuo e un tea que cobina lo tea de MRU, MRUV, caída libre y tiro vertical. De anera que i el aluno reuelve bien el problea de tiro oblicuo, e puede coniderar que abe bien MRU, MRUV, caída libre y tiro vertical... Tiro oblicuo no e ipoible. Lee con atención lo que igue. QUÉ ES UN? Rta : Un tiro oblicuo e eto: V 0 TRAYECTORIA E decir, en vez de tirar la coa para arriba coo en tiro vertical, ahora la tiro en fora inclinada, oblicua. Ante, el vector velocidad inicial iba aí y ahora va inclinado aí

- 19 - Ante de eguir con eto neceito que vea tea que on de ateática. Eto tea on trigonoetría y proyección de un vector obre un eje. Lo pongo acá porque probableente no te lo hayan explicado bien en el colegio. Mucho profeore altean eto tea cuando explican tiro oblicuo. Lo dan por abido. Eto confunde a la gente. Por eo te recoiendo que lea lo que igue con atención. TRIGONOMETRÍA FUNCIONES SENO, COSENO y TANGENTE de un ÁNGULO La palabra trigonoetría ignifica edición de triángulo. A grande rago la idea e poder calcular cuánto vale el lado de un triángulo in tener que ir a edirlo con una regla. Para hacer eto, lo tipo inventaron la funcione trigonoétrica eno, coeno y tangente de un ángulo. Eta funcione e uan cuando uno tiene un triángulo que tiene un ángulo de 90 (rectángulo). Para un triángulo rectángulo, e definen la funcione eno, coeno y tg aí: FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Ejeplo: Calcular el valor de la funcione trigonoétrica para un triángulo rectángulo de lado 3, 4 y 5. 5 c 3 c 4 c

- 130 - Para calcular lo valore de eno, coeno y tangente de alfa, hago la cuenta. La funcione trigonoétrica para el ángulo alfa valen: en α = opueto hipotenua = 3 c 5 c = 0,6 coα = adyacente hipotenua = 4 c 5 c = 0,8 tgα = opueto adyacente = 3 c 4 c = 0,75 Para cada ángulo alfa eta funcione toan ditinto valore. Conviene recordar lo valore que á e uan : α 0 30 45 60 90 Sen α 0 0,5 0,707 0,866 1 Co α 1 0,866 0,707 0,5 0 Tg α 0 0,577 1 1,73 E un poco largo de explicar cuále on todo lo uo de la funcione trigonoétrica pero puedo darte un ejeplo: Suponé que vo queré aber la altura de un árbol pero no tené gana de ubirte hata la punta para averiguarlo. Lo que e podría hacer entonce e eto: 1 ro te pará en un lugar y edí la ditancia al árbol. Suponé que te da 8. Depué con un buen tranportador edí al ángulo α hata la punta del árbol. Suponé que te da 30. Equeáticaente ería algo aí: Ahora uo la fórula de tangente: tg = Lado Opueto / Lado adyacente tg 30 = Altura del árbol 8 } 0,577 Altura = 8 tg 30

- 131 - Altura = 4,61 Altura del árbol De eta anera e pueden calcular ditancia ( = lado de un triángulo ) en fora teórica. E decir, in tener que dibujar el triángulo y edirlo. ( Se puede hacer, pero e ucho lío y no da exacto ). E á hay vece que hay ditancia difícile de edir. Por á que uno quiera, no puede ir hata ahí y edirla. En eo cao, la única fora de calcularla e uar trigonoetría. Por ejeplo acá te pongo un cao difícil: la ditancia a una etrella. Cóo haría para edirla? Rta: Penalo. A ver i ete dibujito te ayuda un poco. PROYECCIÓN DE UN VECTOR Suponé que e dan un vector coo éte: Hallar la proyección del vector obre el eje x ignifica ver cuánto ide la obra de ee vector obre ee eje. E decir, lo que quiero aber e eto: Hallar la proyección obre el eje y e la ia hitoria:

- 13 - Para aber cuánto ide la proyección de un vector obre un eje, en vez de andar idiendo obra e ua la trigonoetría: op hip en α = Op = hip x en α ady co α = hip Ady = hip co α E decir, i tengo un vector v, la proyeccione v x y v y van a er: Ejeplo: Hallar la proyeccione de un vector que ide 10 c y fora un ángulo de 30 grado con el eje X. Tengo un vector de 10 c con alfa = 30. E decir, algo aí : v = v x co α x v = v x en α y v = 10c V y 0,5 64748 = 10 c en 30 = 5 c v x = 10 c co 14 30 43 = 8,66c 0,866 Entonce la proyección obre el eje X ide 8,66 c y la proyección obre el eje Y ide 5 c. Aprendete ete procediiento. Lo va a uar todo el tiepo para calcular la velocidade iniciale en lo eje x e y. E á, conviene eorizar la forulita que pue recién. ( V x =..., V y =... ). E fácil : La V y e V por eno y la V x e V por coeno. Eo e todo. PITÁGORAS El teorea de Pitágora irve para aber cuánto vale la hipotenua de un triángulo rectángulo abiendo cuánto valen lo cateto. hip op ady

- 133 - Si tengo un triángulo rectángulo e cuple que: hip = ady + op TEOREMA DE PITAGORAS Ejeplo: Tengo un triángulo de lado 6 c y 8 c. Cuánto ide u hipotenua? Rta.: hip = ( 6 c ) + ( 8 c ) hip 6 h = 100 c 8 h = 10 c Hata ahora todo lo que pue de tiro oblicuo fueron coa de ateática. Ahora í voy a epezar con el tea de tiro oblicuo propiaente dicho. Pretá atención : PRINCIPIO DE INDEPENDENCIA DE LOS MOVIMIENTOS Ete principio fue enunciado por el ater Galileo. ( Ídolo! ). Lo que Galileo dijo fue que un tiro oblicuo podía coniderare coo i etuviera copueto por do oviiento: uno rectilíneo y unifore obre el eje x, y otro uniforeente variado obre el eje y. Mirá el dibujo : Cada oviiento actúa coo i el otro no exitiera, e decir, la obra en el eje x no abe ( ni le iporta ) lo que hace la obra en el eje y. Y vicevera, la obra en el eje y no abe ( ni le iporta ) lo que hace la obra en el eje x. E decir ( y ete e el truco ): CADA MOVIMIENTO ACTÚA SIN ENTERARSE DE LO QUE ESTÁ HACIENDO EL OTRO MOVIMIENTO

- 134 - Captá la idea? Cada oviiento e INDEPENDIENTE del otro y la uperpoición de eto oviiento da el oviiento real. E decir, tengo eto: La obra en el eje x e va oviendo todo el tiepo a la ia velocidad. Su oviiento erá rectilíneo y unifore y u velocidad erá la proyección de la velocidad inicial obre el eje x, e decir, V x valdrá V 0 por co α. La obra en el eje x e ueve todo el tiepo con velocidad Vx = V 0. co α. Eta velocidad no e odifica en ningún oento. E contante. Voy ahora al eje vertical. Bueno, en y la obra e ueve coo i hiciera un tiro vertical. Su velocidad inicial erá la proyección de v 0 obre ete eje: E decir, lo que paa en el eje y e que la obra ale con una velocidad inicial que vale Vo y = V 0. en α. Sube, ube, ube, llega a la altura áxia y ahí epieza a bajar. Exactaente coo i fuera un tiro vertical. Ve coo e la coa? Galileo tabién e dio cuenta de que la trayectoria en el tiro oblicuo era una parábola. E decir, i bien uno decopone el oviiento en do para poder entenderlo, el oviiento en realidad e uno olo: la parábola de tiro oblicuo.

- 135 - Ahora, ete oviiento parabólico puede entendere coo i fuera la uperpoición de lo otro do oviiento. Eto e todo lo que tené que aber. Éte e todo el concepto. Do oviiento independiente, uno obre cada eje, tale que cobinado, uperpueto, dan el oviiento original. ( O ea, la parábola de tiro oblicuo ).Quiero que vea ahora uno ejeplo ejeploo. EJEMPLOS DE INDEPENDENCIA DE LOS MOVIMIENTOS (ver) Iaginate un helicóptero que etá quieto a una deterinada altura y deja caer una coa. Supongao que la coa tarda 0 egundo en caer ( por ejeplo ). Supongao ahora que el tipo epieza a avanzar en fora horizontal oviéndoe a 50 k por hora en dirección equi. Te pregunto... Qué paa i ahora deja caer el objeto? Va a tardar á o eno en tocar el pio? Bueno la repueta a eto parece fácil pero no e tan fácil. ( Atento ). El aunto e que teniendo el helicóptero velocidad horizontal, el paquete... Va a tardar lo io que ante en tocar el uelo! Por qué paa eto? ( Eta e una buena pregunta ). Bueno, hay que tratar de iaginárelo un poco. El tiepo de caída e el io porque a lo que paa en el eje y ( caída libre ), no le iporta lo que paa en el eje x ( MRU ). La caída libre e produce coo i el oviiento en el eje x no exitiera ( Atençao con eto! ). Mirá eta otra ituación. Supongao que un tipo viene corriendo y e tira de un trapolín. ( Eto lo habrá hecho alguna vez ). Y tabién upongao que en el io oento otro tipo e deja caer parado... Te pregunto: Cuál de lo llega priero al agua?

- 136 - CUAL DE LOS DOS LLEGA MAS RAPIDO AL AGUA? Rta: E lo io que ante. Lo do tocan el agua al io tiepo. Por qué eto e aí? Rta: Por lo io de ante. El oviiento rectilíneo y unifore que tiene en el eje x el que viene corriendo no afecta para nada obre lo que paa en el eje y. Vayao ahora a ete otro ejeplo bien aldito conocido coo ahí va la bala. Suponete que un tipo dipara un revolver en fora horizontal y la bala cae a 1 kilóetro. Y upongao tabién que exactaente en el io oento en que el tipo dipara, uelta con la otra ano una bala vacía. Te pregunto: Cuál de la bala toca 1ro el uelo? La repueta a eta pregunta e la ia de iepre. El tiepo que tardan la do bala en tocar el uelo e el io. La llegan al io tiepo al pio. Por qué? Rta: Por el principio de independencia de lo oviiento de Galileo Ídolo. ECUACIONES EN EL ( Leer ) Del principio de independencia de lo oviiento urge que puedo decoponer el vector velocidad inicial en u coponente V ox y V oy. Entonce puedo decir que:

- 137 - Tengo un tiro vertical en el eje y, de velocidad inicial V oy, y un MRU de velocidad V ox, en el eje x. Entonce la ecuacione en el eje x van a er la de MRU y la del eje y, van a er la del tiro vertical. E decir: Eje x x = x + v v x = v 0 0 x 0 x t = cte Eje y y = y + v v fy 0 = v 0 y 0 y t + + g t 1 g t a = 0 x a = cte = g y Ecuacione para el oviiento de la obra en el eje x (MRU) Ecuacione para el oviiento dela obra en el eje y (Tiro vertical) En la práctica eta 6 ecuacione paan a er eta tre : CÓMO SE RESUELVEN LOS PROBLEMAS DE? Supongao que e dan un problea de tiro oblicuo en donde un tipo patea una pelota. ( Típico problea de parcial ). Para reolver un problea de ete etilo, hay que eguir una erie de pao. Lo que generalente conviene hacer e lo iguiente : ( Atención ). 1-Too un itea de referencia. Lo pongo donde yo quiero y coo á e gute. y ( En general yo iepre lo uelo toar aí: x ). Sobre ete dibujo arco V 0x, V 0y y g, cada una con u igno. Si alguna de eta cantidade apunta al revé de coo va el eje, e (-).

- 138 - Por ejeplo, g apunta iepre aí, de anera que i yo too el eje y aí, g va a er ( - ). E decir que al poner g en la fórula tengo que poner 10 /. - Ecribo la ecuacione horaria para el eje X y para el eje Y : 3 - En la ecuacione pongo g con u igno y V x con u igno y V 0y con u igno. ( V x = V 0. co α y V 0y = V 0. en α ), Si alguno de eto vectore va al revé de lo eje, va NEGATIVO en la ecuación ( Ojo ) 4 - Reeplazo por lo dato y depejo lo que e piden. Con eta 3 ecuacione e puede reolver cualquier problea. Atención: Sólo e uan TRES ecuacione para reolver un tiro oblicuo. Tratar de inventar á ecuacione e un error. Todo ejercicio de tiro oblicuo tiene que alir de ahí, de ea 3 ecuacione. EJEMPLOS DE Un tipo que viene en oto a 90 por hora ( 5 / ) ube una rapa inclinada 30. Suponiendo que la rapa e uy corta y no influye en diinuir u velocidad, Calcular: a ) - A qué altura áxia llega. b ) - Cuánto tiepo etá en el aire. c ) - A qué ditancia de la rapa cae. He aquí un típico problea de tiro oblicuo. Hagao un dibujito aclarador : MOTO RAMPA Para reolver ete problea igo lo pao para reolver cualquier problea de Tiro

- 139 - Oblicuo: 1 - Elijo el itea de referencia. Marco en el dibujo toda la velocidade, la aceleración de la gravedad y todo eo. A la velocidad V 0 la decopongo en la coponente horizontal y vertical. Decopongo la Vo en Vo x Y en Vo y. Me queda : V = V x co α = 5 x co 30 = 1,65 0x 0 V = V x en α = 5 x en 30 = 1,5 0y 0 En el eje X la obra de la oto tiene un MRU. La velocidad de ete oviiento e contante y vale V 0x = 1,65 /. En el eje y la obra de la oto e ueve haciendo un tiro vertical de V 0y = 1,5 /. La ecuacione horaria quedan aí: Eje x x = 0 + 1,65 t v x = v0 x = 1,65 a = 0 x Ecuacione para el eje horizontal ( MRU). Para trabajar en el eje y voy a uponer g = 9,8 /. En el eje vertical la coa quedan de eta anera: Eje y (MRUV) Y = 0 + 1,5 t + V fy a y 1 = 1,5 + 9,8 t = 9,8 = cte 9,8 t ECUACIONES PARA EL EJE VERTICAL

- 140 - Todo lo tiro oblicuo e reuelven uando olaente la priera ecuacione en Y y la 1ª ecuación en X. ( Tre en total ). La otra 3 ecuacione igual la puedo poner porque on iportante conceptualente. Lo que quiero decir e que: a ) - Hallar la altura áxia x = 1,65 t y = 1,5 t 4,9 t v = 1,5 9,8 t fy Sólo eta ecuacione e uan. Cuando el tipo llega a la altura áxia, la obra obre el eje y ya no igue ubiendo á. ( Tratá de iaginártelo ). Exactaente en ee oento la velocidad en y tiene que er cero. ( cero ). Atento, la que e CERO e la velocidad EN Y. En x el objeto igue teniendo velocidad que vale V x. ( = 1,65 / ). Entonce reeplazando la velocidad final en y por cero : V y = 0 0 = 1,5 9,8 t 9,8 t = 1,5 t = 1,5 9,8 t ax = 1,75eg Tiepo que tardala oto en llegar a la altura áxia. b ) - Cuánto tiepo etá la oto en el aire? Todo lo que ube tiene que bajar. Si el tipo tardó 1,75 eg para ubir, tabién va a tardar 1,75 eg para bajar. E decir, el tiepo total que el tipo etá en el aire va a er vece el t de ubida. Atención, eto vale en ete cao porque la oto ale del pio y llega al pio. t tot = x t x ax t tot = 1,75eg

- 141 - t tot =,55eg TIEMPO TOTAL QUE LA MOTO ESTA EN EL AIRE Eto io lo podé coprobar de otra anera. Cuando el tipo toca el uelo la poición de la obra obre el eje y e y = 0. Entonce, i reeplazo y por cero en : Y = 1,5 /. t 4,9 /.t, e queda : 1,5 x t - 4,9 x t = 0 4,9 x t = 1,5 x t 1,5 / t = =,55 eg ( verifica ). 4,9 / c ) - Calcular a qué ditancia de la rapa cae el tipo con la oto. El tiepo total que el tipo tardaba en caer era,55. Para calcular en qué lugar cae, lo que e tengo que fijar e qué ditancia recorrió la obra obre el eje x en ee tiepo. Veao. La ecuación de la poición de la obra en equi era X = 1,65 /.t, entonce reeplazo por,55 egundo y e queda: x caída = 1,65 x,55eg x caída = 55, DISTANCIA A LA QUE CAE LA MOTO OTRO EJEMPLO DE El cañoncito de la figura tira balita que alen horizontalente con velocidad inicial 10 /. En el oento en que e dipara la balita ale el cochecito a cuerda que etá a 8 del cañón. A qué velocidad tendría que overe el cochecito para que la balita le pegue? Ete e un problea de de tiro horizontal. Lo problea de tiro horizontal on un

- 14 - poco á fácile porque inicialente no hay velocidad en y. Voy a toar ete itea de referencia: Ete problea parece er difícil pero no lo e. Tiene la pequeña trapa de parecer un problea de encuentro. Pero no e un problea de encuentro. Fijate. Epiezo dándoe cuenta que la velocidad inicial e horizontal. Sólo tiene coponente en equi. Entonce irando el dibujo: V X = 10 / Y V 0y = 0 Ete reultado tabién ale i planteá que V X = V 0 Co alfa y V 0Y = V 0 Sen alfa. La obra de la balita en el eje x e ueve con un MRU. La obra de la balita en el eje y e ueve en una caída libre. La ecuacione horaria para cada eje on: Eje x x = 0 + v x a x = v 0 x = 0 10 t = 10 PROYECCION SOBRE EL EJE HORIZONTAL ( MRU, V X = Contante) Para el eje vertical conidero la aceleración de la gravedad coo g = 9,8 / 1 Y= 1 + 0 t + - 9,8 t Eje y V fy =0 + (-9,8 ).t a y = - 9,8 = cte PROYECCION SOBRE EL EJE VERTICAL. ( MRUV, a = 9,8 / ) De toda eta ecuacione que on la 6 de tiro oblicuo, iepre e uan 3, una en equi y en Y. Entonce ólo voy a uar la iguiente: X = 10. t Y = 1 4,9. t V fy = 9,8. t Unica ecuacio - ne que voy a uar.

- 143 - Lo priero que neceito aber e el tiepo que tarda la balita en tocar el uelo. Eo lo aco de la ecuación en y. Cuando la balita toca el pio, y e cero, entonce: ( Y = 0 ) 4,9 t caída 0 = 1 4,9. t = 1 = 0,45 eg. t TIEMPO QUE TARDA EN CAER El lugar donde toca el uelo lo aco de la ecuación en x. Sé que llega al pio en 0,45 egundo. Entonce reeplazo t = 0,45 egundo en la ecuación de equi: X = 10 0,45 eg X caída = 4,5 DISTANCIA A LA QUE CAE LA BALITA E decir que i reuo lo que calculé hata ahora tengo eto: Entonce, en el tiepo que tarda la balita en caer ( 0,45 eg ), el cochecito tendrá que recorrer 3,5 hacia la izquierda. Entonce u velocidad va a er: x 3,5 V A = = t 0,45 v = 7,77 A VELOCIDAD QUE TIENE QUE TENER EL AUTO ( HACIA LA IZQUIERDA ) Fin teoría de Tiro Oblicuo.

- 144 - - EJERCICIOS SACADOS DE PARCIALES Pongo acá alguno ejercicio que aqué de exáene. PROBLEMA 1 Dede una torre de 40 de altura e lanza una piedra con una velocidad inicial de 30 /, forando un ángulo de 30 hacia arriba repecto a la horizontal. Calcular: a) El ódulo y dirección de la velocidad al cabo de 1 egundo. b) A qué ditancia horizontal de la bae de la torre ipactará la piedra? Hago un dibujito de lo que plantea el problea. Too itea de referencia poitivo para arriba. La gravedad entonce e negativa. Si le llaao x a la poición horizontal e y a la poición vertical, teneo la iguiente ecuacione horaria: * Dirección horizontal: ( Eje x ) x(t) = x 0 + V H. t x(t) = V H. t V H (t) = V H velocidad horizontal contante * Dirección vertical: ( Eje Y ) y(t) = y 0 + V V. t + ½. a. t

- 145 - La gravedad vale 10 /. Entonce, reeplazando : y(t) = 40 + V V. t 5 /.t V V (t) = V V + a. t = V V 10 /eg.t Una vez que teneo la ecuacione horaria podeo reolver cualquier coa que no pidan, porque abeo en que poición y la velocidad de la piedra a cada intante t. Todavía no faltan la velocidad inicial: u coponente vertical (V V ) y la horizontal (V H ). Eo no e tan grave, porque no dicen que inicialente la piedra ale con una velocidad de 30 /eg y forando un ángulo de 30º hacia arriba. O ea, e algo aí: V = 30/eg V V 30º V H V H = V. co 30 = 30 /eg. 0,866 = 5,98 /eg V Y = V. en 30 = 30 /eg. 0,5 = 15 /eg O ea, que teneo: x(t) = 5,98 /eg. t ; V H (t) = 5,98 /eg y(t) = 40 + 15 /eg.t 5 /. t V V (t) = 15 / 10 /. t Ahora veao qué no piden. Lo que ea, lo podeo calcular con eta fórula: a) La velocidad depué de un egundo. Todo lo que hay que hacer e poner t = 1 eg. en la fórula de velocidad que vio recién V H(t = 1 eg) = 5,98 /eg. V V(t = 1 eg) = 5 /eg Pero eta on la coponente horizontal y vertical. No piden el ódulo y la dirección. Bueno, para eo todo lo que hay que hacer e forar el vector a partir de éta do: V V = 5/ V =? α =? V H = 5,98 /

- 146 - V = V H + V V = 5 + 5,98 V = 6,46 /eg. tg α = V V / V H = 0,194 α = 10,9º b) Si quereo aber cuando choca contra el pio la piedra, etao bucando el tiepo t para el cual vale y = 0. Entonce, todo lo que hay que hacer e reolver eta ecuación: y (t =?) = 0 40 + 15 /eg.t 5 /. t = 0 Eta e una ecuación cuadrática (o ea de la fora at + bt + c = 0). Entonce : t = ± b b 4ac a = 15 15 4.( 5).40 ±.( 5) t = - 1,7 eg. ó t = 4,7 eg. Coo cai toda la ecuacione cuadrática, tiene do olucione. Pero ólo una tiene entido, porque no puede er un tiepo negativo. Entonce, abeo que la piedra choca contra el pio a lo 4,7 egundo. Y ahora que conoceo ee tiepo, podeo calcular a qué ditancia horizontal de la torre cae, aí: x (t = 4,7 eg) = D = 5,98 /eg. 4,7 eg = 1,1 la piedra cae a D = 1,1. PROBLEMA Dede un buque e dipara un iil que a lo 4 egundo e encuentra a 9.600 en dirección horizontal y a 4.30 de altura obre el nivel del ar. Calcular: a) El alcance áxio obre el ar b) La altura áxia alcanzada obre el nivel del ar. SOLUCIÓN : Ete e un típico problea de tiro oblicuo: La única fuerza que actúa e el propio peo del iil, la aceleración erá la de la gravedad. La gravedad va para abajo y vale g = - 10 /. La velocidad horizontal e antiene contante (M.R.U.), ienta que habrá un oviiento uniforeente variado en el eje vertical (M.R.U.V.).

- 147 - El iil tiene una cierta velocidad horizontal inicial V 0x hacia adelante y una velocidad vertical V 0y hacia arriba. Too que la poición inicial e 0. La velocidade, aceleracione y poicione on poitiva hacia arriba y hacia adelante. Mi itea de referencia e ete: La ecuacione horaria quedan: Dirección horizontal x) x (t) = x 0 + V 0x. t = V 0x. t V x = V 0x Dirección vertical y) y (t) = y 0 + V 0y. t + ½. a t = V 0y. t 5 /. t V y(t) = V 0y + a. t = V 0y 10 /. t Hay un pequeño inconveniente: no conoceo la velocidade iniciale V 0x y V 0y. Bueno, pero para eo no dicen el dato de donde e encuentra el iil a lo 4 egundo. Si reeplazao eo dato en la ecuacione horaria: X (t = 4 eg) = V 0x. 4 eg = 9600 V 0x = 400 / Y (t = 4 eg) = V 0y. 4 5 /. (4 ) = 430 V 0y = 300 / Ahora í, con eto dato ya conoceo por copleto la ecuacione horaria y teneo la herraienta para realizar cualquier cálculo que no pidan: a) El alcance áxio obre el ar e la ditancia horizontal áxia que puede

- 148 - recorrer el iil ante de volver a caer al ar, o ea ante de llegar a y = 0. Para poder calcular eta ditancia, ante neceitao aber cuándo cae al ar: y(t) = 300 /. t 5 /. t = 0 t = 0 ó t = 60 egundo La olución t = 0 e batante obvia, porque abeo que en el intante inicial etaba al nivel del ar. Lo que no interea e la otra olución: el iil vuelve a caer al ar depué de 1 inuto. Y la ditancia horizontal que puede recorrer en ee tiepo de vuelo la calculao directaente reeplazano en la ecuación horaria: x áx = X (t = 60 eg) = 400 /. 60 eg = 4.000 El alcance áxio del iil obre el ar e de 4 k b) La altura áxia la alcanza cuando la velocidad vertical e cero; y eto e da para V y(t) = 300 / 10 /. t = 0 t = 30 egundo. Y la altura que correponde a ete intante la calculao aí: y áx = y (t = 30 eg) = 300 /. 30 5 /. (30) y áx = y(t = 30 eg) = 4.500. El iil alcanza una altura áxia de 4,5 k a lo 30 egundo del diparo PROBLEMA 3 Dede el borde de un acantilado de 0 etro de altura e lanza una piedra en fora horizontal. Bajo el acantilado hay 30 etro de playa (edido dede la bae del acantilado hata el agua). 3.a.- Deterinar u velocidad V 0 ínia para que alcance el agua. 3.b.- Hallar la velocidad (ódulo y dirección) en el intante del ipacto. Tirao una piedra dede un acantilado en fora horizontal. Quiere decir que tengo

- 149 - un tiro en donde V 0Y = 0. Eto e lo que e llaa TIRO HORIZONTAL. Hago un dibujito y pongo el itea de referencia : La velocidad horizontal e contante en equi. En la dirección vertical la aceleración e la de la gravedad: g = - 10 /. La ecuacione horaria quedan: Dirección horizontal ( M.R.U. ) x(t) = x 0 + V 0x. t = V 0. t V x = V 0 Dirección vertical ( M.R.U.V. ) y(t) = y 0 + V 0y. t + ½. a. t = 0 5 /. t V y (t) = V 0y + a. t = - 5 /. t Quereo aber cuál e la velocidad ínia V 0 con que debeo lanzar la piedra para que alcance el agua (ubicada a 30 etro de ditancia) ante de caer al uelo. Para eo, neceitao conocer cuánto tiepo tarda en caer al uelo, o ea en llegar a y = 0. y(t) = 0 = 0 5 /. t t = egundo Y en ee tiepo recorre una ditancia horizontal x (t = eg) = V 0. Seg. Piden que ea ditancia ea á grande que 30 etro, o ea: V 0. > 30 V 0 > 30 / V 0 > 15 /eg Ahora, i toao V 0 = 15 /, podeo calcular la velocidad en el oento del ipacto; o ea a t = eg V x = 15 / ; V y = - 10 /

- 150 - O ea que coo vector, teneo: V = V + V = X Y (15 / ) + ( 10 / ) V = 18,07 / tang α = -V y / V x = 10/15 = /3 α = 33,7 PROBLEMA 4 Un objeto e lanza dede el uelo con una velocidad inicial de 0 / que fora un ángulo de 60º con la horizontal. Si e arroja un egundo objeto bajo un ángulo de 30 º. cuál debería er el valor de la velocidad inicial, en /, para que alcance la ia altura áxia que el priero? a) 8,7 b) 10 c) 11,5 d) 17,3 e) 34,6 f) 0 SOLUCIÓN: Para que el objeto alcance la ia altura debe tener la ia velocidad inicial en y. Halleo priero la velocidad v 0y cuando v 0 = 0 / y α = 60 º. En el dibujo e ve que: v 0y = v 0. en 60º. Haciendo la cuenta: v 0y = 17,3 /. Ahora cabiao el ángulo, pero quereo que v 0y e antenga. Entonce e: 17,3 / = v 0. en 30º. Haciendo la cuenta no queda: v 0 = 34,6 / Entonce, la repueta correcta e la e). PROBLEMA 5 Un iil e diparado en el ar con una velocidad V o y un ángulo β con repecto al plano horizontal ayor que cero. Al cabo de 6 eg. u velocidad e V = 80 / i, el alcance en el ar erá de:

- 151 - a) 80 b) 960 c) 180 d) Se debe conocer el valor nuérico de V o e) Se debe conocer el ángulo β con que fue diparado el iil. SOLUCION A lo 6 la velocidad e v = 80 / en i, o ea, en la dirección horizontal. En ee oento la velocidad en y e cero, o ea, el tipo a lo 6 eg etá en la altura áxia. Hago un dibujito : Sabeo que una parábola (coo eta trayectoria) e iétrica repecto de una recta paralela al eje x que pae por el punto á alto. Entonce, i tardó 6 en llegar al vértice, va a tardar otro 6 en volver al uelo. Adeá, en un tiro oblicuo la velocidad en x e iepre la ia. Por lo tanto, el alcance erá: x = 80 /. ( 1 ). Haciendo la cuenta e: x = 960. Entonce, la repueta correcta e la b). PROBLEMA 6 Se dipara un proyectil dede la uperficie (x = 0, y = 0) de odo que upere una valla de h = 8 de altura ituada a una ditancia horizontal D = 5 del punto de lanzaiento. a) Cuál debe er el ángulo de diparo para que el proyectil pae en fora raante por encia de la valla juto en el intante en el que alcanza u altura áxia? b) Calcular el ódulo de la velocidad inicial del proyectil. SOLUCION La ecuacione horaria on: x = v. x t ( poición en x), 0 y = v ( poición y) 1 0. t.10 y. t

- 15 - La ecuación de velocidad en Y e = v 0 y 10 t. Hagao un dibujito y pongao el itea de referencia: v y. Sabeo que en la altura áxia v y = 0. En la últia ecuación reeplazao y teneo: v 0y = 10 /. t. Reeplazando en la egunda ecuación, para y = 8, teneo: t = 1,6. Uando ete tiepo, calculao v 0y y v 0x. Me da: v 0y = 1,6 / y v 0x = 19,84 /. Para calcular v 0 uao: ( ) + ( ) v0 = 10 15, teneo: v 0 = 3,5 /. Ahora, para calcular el ángulo alfa planteo : v0y tg α = α = 3,41º v 0x FIN