Como Calcular la Tasa de Crecimieno de los Agregados Macroeconómicos Mediane el Análisis de Regresión HL Maa 1 La esadísica ha generado diversos indicadores para medir el crecimieno de los agregados económicos, enre oros: Tasas de Variación (o cambios porcenuales): Índices; Relaciones; Tasa de Crecimieno Compuesa (o promedio geomérico); Tasa anual de crecimieno promedio y Tendencia o méodo de los Mínimos Cuadrados Ordinarios (MCO). No obsane, esa diversidad de crierios, en esas noas solo se ilusrará la manera de calcular la asa de crecimieno mediane el méodo de los MCO y el méodo o modelo geomérico. Como se recordará, la asa de crecimieno compuesa, calculada a parir del Modelo geomérico, solo oma en consideración la primera y la úlima observación de la serie objeo de esudio. Es un indicador excelene, siempre y cuando sus valores exremos no varíen demasiado. Cuando el proceso de crecimieno de la variable es muy voláil, enonces la asa de crecimieno calculada a parir de ese méodo pueda ser compleamene engañosa. De los crierios esadísicos mencionados más arriba, solo el méodo Tasa anual de crecimieno promedio y Tendencia o méodo de los Mínimos Cuadrados Ordinarios oman en consideración cada una de las observaciones bajo esudio. Por ora pare, la asas calculadas por MCO son muy sensiiva a las observaciones exremas (ouliers), por lo que se pueden eliminar aquellas que no esén relacionadas con el proceso bajo esudio En esas noas se ilusrará la forma de calcular las asas de crecimieno, a parir de dos ipos de modelo de crecimieno : el modelo de crecimieno Lineal (ML), el modelo de crecimieno Exponencial (ME) y el Modelo de crecimieno geomérico, respecivamene. Objeivos 1. Esimar los parámeros correspondienes de los modelos de crecimieno Lineal (ML) y Exponencial (ME).. Deerminar cual de los modelos esimados se ajusa mejor a las observaciones del Produco Inerno Bruo real (PIB) de Venezuela, correspondiene al período 1968-003. 3. Calcular la asa de crecimieno (PIB) a parir de ambos modelos 4. Predecir el crecimieno del PIB para los años 004 y 005. Meodología Los parámeros de los modelos de crecimieno [1] y [3] se esimarán mediane el méodo de los MCO. Tal como se puede leer en Gujarai (51-111) dicho méodo busca seleccionar la Función de Regresión Muesral (FRM) de al manera que la suma de los residuos al cuadrado sea la mínima posible, es decir: u ˆ ( Y Y ) = ˆ i i i 1 Profesor Tiular de la Faculad de Ciencias Económicas y Sociales (FACES) de la Universidad de los Andes. No hay ninguna preensión de originalidad en esas noas. Las mismas exisen por odas pares. Mi mayor conribución, si acaso alguna, consisió en ubicarlas, sisemaizarlas, adaparlas y publicarlas para beneficio de los Esudianes de la Faculad de Ciencias Económicas y Sociales de la Universidad de los Andes, en Mérida, Venezuela. El presene rabajo aplica la meodología de S. Amirkhailhali e. al., en su arículo An Empirical Sudy of Selecion and Esimaion of Saisical Growh Models.
Especificación de los Modelos Modelos de crecimieno a ser esimados: Modelo Lineal: [1] Y = α + β * + ε Modelo Exponencial: ε [] Y = AB e en donde: Y es el Produco Inerno Bruo real (PIB) de Venezuela a precios consanes de 1984. α, β, A y B son los parámeros a ser esimados mediane el méodo de los MCO es el iempo, = 1,,..., T ε son los errores, con sus supuesos caracerísicos: NID (0, σ ) Dado que el modelo [] no puede ser esimado direcamene por MCO se procedió a linealizarlo previamene en logarimos, al y como se indica en [3] [3] LnY = α + β * + ε Los parámeros de [3] son los mismos que los de [1], solo que en ese caso son: α = Ln A y β = Ln ( 1+ r) Dado que los modelo [1] y [3] saisfacen los supuesos del modelo de regresión lineal se procedió a esimar sus parámeros: α, β y σ mediane el méodo de los MCO. A fin de ener una idea preliminar acerca de la forma funcional del modelo a ser esimado, se procedió a preparar un diagrama de dispersión con las observaciones de la variable PIB. Dada la aparene ambigüedad de la gráfica (Lineal? o Exponencial?) se decidió esimar ambas funciones y seleccionar aquel que diera mejor ajuse, en función del crierio Error Medio Absoluo Porcenual (MAPE, por sus siglas en Inglés) 650000 600000 550000 500000 450000 400000 350000 300000 50000 1970 1975 1980 1985 1990 1995 000 PIBR
Fuene de la información: La información es emporal, correspondiene al período 1968-003. Las observaciones del PIB, a precios consanes de 1984, se obuvieron de las siguienes fuenes nacionales e inernacionales: INE, Banco Cenral de Venezuela y la Dirección de Esadísica de la FAO. Esimación del Modelo Lineal: La esimación se realizó con el sofware Economeric Views 3 (EViews), versión 4.1, en un odo de acuerdo con las siguienes insrucciones: 1. Clic en el Menú Quick y seleccionen Esimae equaion. En el cuadro de diálogo Equaion Specificaion escriban: Primero, el nombre de la variable Dependiene (en nuesro caso el agregado macroeconómico, PIB) La consane C, para que el Eviews calcule la ordenada en el Origen El iempo (Tmpo) 3. Al erminar de escribir la variable dependiene y la lisa de regresores opriman el boón de comando OK para ver el resulado de la esimación: 3 Economeric Views, EViews, es marca regisrada de la empresa Quaniaive Micro Sofware en USA, así como ambién en oros países del mundo 3
Los resulados aneriores permien escribir la función esimada: [] P IB ˆ = 30536.0 + 8480.41* (1400.8) (584.4466) R = 0.86 S ˆ = 3648.4 DW = 0.455 Fc Y = 10.536 Los resulados indican que el modelo se ajusa basane bien a los daos, a juzgar por la magniud del coeficiene de deerminación, R = 0. 86. Como se recordará el coeficiene R varía enre 0 (un ajuse pésimo) y 1 (un ajuse perfeco). Los valores de la Prob asociada a los esadísicos c indican que los mismos son esadísicamene diferenes de cero con un alísimo nivel de significación. Igual sucede con el esadísico F c = 10. 53. Su magniud implica que exise una fuere asociación esadísica enre el PIB y el iempo. Finalmene, la magniud del esadísico de Durbin y Wason, DW = 0. 455, revela que los errores esimados esán auocorrelacionados posiivamene, es decir: a una secuencia de errores posiivos sigue ora negaiva y viceversa. Ese problema es caracerísico cuando se esiman modelos uilizando series de daos emporales. Según la economería, la auocorrelación es un problema que depende de los daos uilizados, más no de la forma funcional empleada. Tasa de Crecimieno Lineal La asa de crecimieno se define como la asa a la cual crece (o decrece) una variable (o agregado económico) enre dos períodos de iempo. Siguiendo a Amirkhalkhali e al [0] la asa de crecimieno del modelo lineal, r l, = dpib / d se obiene dividiendo la pendiene esimada ( ) enre la media ariméica de la variable dependiene ( PIB = PIB n ) y muliplicando el resulado por 100 para expresarla en porcenaje, es decir: β r l = ( ˆ β / PIˆ B) * 100 Cómo esimar a r l con la ayuda de EViews? 1. Hagan clic en el Menú Quick y seleccionen Generae Series 4
. En la sección Ener equaion del cuadro de diálogo Generae Series by Equaion escriban la siguiene expresión: r l = 100*(8480.41/@ MEAN( PIB)) : 3. Al concluir hagan clic en el boón de comando OK Observen que EViews realizó el cálculo y colocó el resulado en la venana del archivo de rabajo 4. Hagan doble clic sobre el icono r l, en la venana del archivo de rabajo, con el fin de conocer el resulado Ese resulado se inerprea diciendo que la Variable PIB se ha incremenado ineranualmene a una asa del 1.835071%. Error Absoluo Medio Porcenual (MAPE) Ese crierio se uiliza para examinar cual de los modelos esimados se ajusa mejor a la serie objeo de esudio, en ese caso el PIB. El MAPE es un número posiivo, el cual no depende de las unidades de medida. Amirkhalkhali e al [03] sosienen que para efecos de decidir cual de los modelos se ajusa mejor a los daos, se deben comparar sus MAPEs y seleccionar aquel que exhiba el MAPE más bajo, generalmene igual o por debajo del nivel 0.05 ó 5% La fórmula para el cálculo de ese crierio es el siguiene: MAPE = 100 * (@ SUM (@ ABS( Y ˆ Y ) / Y Y )) Observaciones: 1. MAPE significa Error Medio Absoluo Porcenual. Y es la variable o agregado macroeconómico objeo de esudio, en nuesro caso el PIB 3. En la expresión del MAPE aparecen las siguienes funciones del EViews: @SUM(). Se uiliza para calcular la sumaoria de una variable @ABS(). Se usa para calcular el valor absoluo de un número o de una serie @OBS(). Se usa para deerminar el número de observaciones en una serie 4. La diferencia enre los valores observados y esimados de la variable dependiene son los errores esimados, es decir: ε = Y Yˆ. 5
Cómo se recordará, an prono como el EViews realiza la esimación inmediaamene almacena los residuos esimados en un arreglo de nombre RESID. Dicho arreglo se encuenra en el archivo de rabajo. A fin de poder rabajar con los errores esimados los usuarios deben asignarlos a una nueva variable. Vamos a uilizar la orden Generae Series del Menú Quick con el fin de realizar dicha asignación. Para ello siga los siguienes pasos: 1. Hagan clic en el menú Quick y seleccionen el comando Generae Series. En la sección Ener equaion del cuadro de diálogo Generae Series by Equaion escriban la siguiene expresión: RESL = RESID, es decir: Dicha expresión no hace ora cosa que asignar los residuos esimados a la nueva variable RESL (residuos esimados correspondienes al modelo lineal): 3. Al concluir la rascripción hagan clic en el boón de comando OK Noen que EViews genera inmediaamene la nueva variable y la coloca en la venana del archivo de rabajo, para que Uds. La uilicen en su rabajo Vamos a uilizar a coninuación los residuos esimados a parir del modelo Lineal con el fin de calcular el crierio MAPE. Cálculo del MAPE a parir del Modelo Lineal A coninuación se reproduce, por conveniencia, la expresión original del MAPE con el fin de ilusrar su esimación con el EViews: MAPE = 100 * (@ SUM (@ ABS( Y ˆ Y ) / Y Y )) Dado que el modelo de crecimieno esimado fue el Lineal vamos a reemplazar en la expresión anerior la variable Y por el PIB, es decir: MAPE = 100 * (@ SUM (@ ABS( PIB ˆ PIB ) / PIB PIB )) Si recordamos que los residuos esimados no son ora cosa que la diferencia enre los valores observados y esimados del PIB, se puede escribir que ε = PIB PIˆ B. 6
Ahora bien, si recordamos adicionalmene que los residuos esimados del modelo Lineal habían sido asignados a la nueva variable RESL (para diferenciarlos con los residuos del modelo exponencial a ser esimados, es decir RESe), podemos escribir, por lo ano, la expresión final para el cálculo del MAPE L, correspondiene al modelo Lineal, es decir: MAPE L = 100*(@ SUM (@ ABS( RESL) / PIB PIB )) A coninuación sigan los siguienes pasos para esimar el al modelo Lineal: MAPE L correspondiene 1. Hagan clic en el menú Quick y seleccionen el comando Generae Series. En la sección Ener equaion del cuadro de diálogo Generae Series by Equaion escriban: MAPE L = 100*(@ SUM (@ ABS( RESL) / PIB PIB )) es decir: 4. Al concluir hagan clic en el boón de comando OK 5. Hagan doble clic sobre el icono del MAPEL en la venana del archivo de rabajo para conocer su valor El valor del MAPE L correspondiene al modelo Lineal es igual a 6.56 %. Dicho valor esá ligeramene por encima del valor considerado normal, 0.05 ó 5%. A fin de decidir si ése modelo se ajusa bien a los daos de la muesra se hace necesario esimar el modelo exponencial, calcular su MAPE e y compararlo con el del lineal. Finalmene se seleccionará aquel modelo que presene el MAPE más bajo, de acuerdo con el crierio indicado más arriba. Resumen de los principales resulados de la esimación: Cuadro1. Resulados de la esimación del Modelo de Crecimieno Lineal Modelos de Crecimieno Ordenadas en el origen Pendienes esimadas Tasas de Crecimieno % MAPE % [1] Y = α + β * + ε 30536.0 8480.41 1.83 6.56 [] Y ε = AB e No se puede esimar mediane MCO [3] LnY = α + β * + ε 7
Modelo Exponencial El modelo de crecimieno lineal se especificó de la siguiene manera: ε [] PIB = AB e Donde: PIB se refiere al Produco Inerno Bruo de Venezuela durane el período 1968-003 A es el Inercepo u ordenada en el origen B es igual a (1+r) r e es la asa de crecimieno promedio anual del período se refiere al iempo en años, desde = 1,,..., 36 ε son los errores con sus supuesos caracerísicos NID (0, σ ) Tal como se indicó al principio, si se oman logarimos en ambos lados de la ecuación [] ésa queda linealizada, pudiéndose esimar mediane el méodo de los MCO [3] LnY = α + β * + ε la función [3] es una función semilogarímica con el iempo como variable independiene. La linealización de la función [] se realizó con el EViews en un odo de acuerdo con el siguiene procedimieno: 1. Hagan clic en el menú Quick y seleccionen el comando Generae Series. En la sección Ener equaion del cuadro de diálogo Generae Series by Equaion escriban la siguiene expresión: LPIB = Log(PIB), es decir: 3. Al concluir hagan clic en el boón de comando OK 4. Hagan doble clic sobre el icono de LPIB en la venana del archivo de rabajo para ver la serie en logarimos 8
Esimación del Modelo Exponencial: La esimación se realizó con el EViews, en un odo de acuerdo con las siguienes insrucciones: 1. Clic en el Menú Quick y seleccionen Esimae equaion. En el cuadro de diálogo Equaion Specificaion escriban: Primero, el nombre de la variable Dependiene (en nuesro caso el agregado macroeconómico, LPIB) La consane C, para que el Eviews calcule la ordenada en el Origen El iempo (Tmpo) 3. Al erminar de escribir la variable dependiene y la lisa de regresores opriman el boón de comando OK para ver el resulado de la esimación: Los resulados aneriores permien escribir la función esimada: [] LP IB ˆ = 1.6577 + 0.019591* (0.031775) (0.001498) R = 0.83 S ˆ = 0.093347 DW = 0.95 Fc Y = 171.109 9
El modelo exponencial se ajusa basane bien a los daos, a juzgar por la magniud del coeficiene de deerminación, R = 0. 83. Los valores de la Prob asociada a los esadísicos c indican que los mismos son esadísicamene diferenes de cero con un alísimo nivel de significación. Igual sucede con el esadísico F c = 171. 1. Su magniud implica que exise una fuere asociación esadísica enre el PIB y el iempo. Los errores esán auocorrelacionados posiivamene a juzgar por la magniud del esadísico de Durbin y Wason, DW = 0. 95. Como se recordará, la auocorrelación produce esimados insesgados, lineales, consisenes, pero no eficienes, es decir no ienen varianza mínima Tasa de Crecimieno Promedio Anual Siguiendo a Amirkhalkhali e al [0] la asa de crecimieno del modelo exponencial, r e, se obiene omando el anilogarimo de la asa de crecimieno insanánea, βˆ, resarle 1 y muliplicar el resulado por 100, al y como se indica en [7], es decir: [7] = ( EXP(0.019591) 1) * 100 r e Cómo esimar a r e con la ayuda de EViews? 1. Hagan clic en el Menú Quick y seleccionen Generae Series. En la sección Ener equaion del cuadro de diálogo Generae Series by Equaion escriban la siguiene expresión: = ( EXP(0.019591) 1) * 100, es decir: r e 3. Al concluir hagan clic en el boón de comando OK Observen que EViews realiza el cálculo y coloca el resulado en la venana del archivo de rabajo 4. Hagan doble clic sobre el icono r e, en la venana del archivo de rabajo, con el fin de conocer el resulado De acuerdo con el resulado el PIB creció en Venezuela a una asa de crecimieno promedio anula del 1.99 % durane el período 1968-003 10
Cálculo del MAPE a parir del Modelo Exponencial A coninuación 4 se reproduce, por conveniencia, la expresión original del MAPE con el fin de ilusrar la esimación de ese crierio para el modelo exponencial: MAPE = 100* (@ SUM (@ ABS( Y ˆ Y ) / Y Y )) Si revisan las noas al final de la página 5 y recuerdan, por ora pare, que la serie del PIB se ransformó en logarimos con el fin de esimar el modelo exponencial, se puede rescribir dicho crierio de la siguiene forma: MAPE = 100 * (@ SUM (@ ABS( LnPIB ˆ LnPIB ) / LnPIB LnPIB )) A fin de esimar el MAPE del modelo exponencial hace fala ransferir los residuos esimados por el modelo exponencial desde al arreglo RESID, hasa una nueva variable al como RESe. Para ello sigan los siguienes pasos: 1. Hagan clic en el menú Quick y seleccionen el comando Generae Series. En la sección Ener equaion del cuadro de diálogo Generae Series by Equaion escriban la siguiene expresión: RESe = RESID, es decir: 3. Hagan clic en el boón de comando OK 4. Para ver los residuos del modelo exponencial hagan clic en el icono RESe en el archivo de rabajo La esimación del MAPE, el cual designaremos con las siglas MAPEe, pasa por los siguienes pasos: 1. Hagan clic en el menú Quick y seleccionen el comando Generae Series. En la sección Ener equaion del cuadro de diálogo Generae Series by Equaion escriban: MAPEe = 100 * (@ SUM (@ ABS( RESe) / LnPIB LnPIB )), es decir: 3. Al concluir hagan clic en el boón de comando OK 4. Hagan doble clic sobre el icono del MAPEe en la venana del archivo de rabajo para conocer su valor 4 UNESCAP: XIII. Saisical Noes hp://www.unescap.org/cd/pubs/files/review001_ch13.pdf 11
El valor esimado del MAPE e correspondiene al modelo exponencial, permie complear el cuadro con el fin de decidir cual de los modelos de crecimieno ajusados se ajusa mejor a las observaciones del PIB correspondiene al período 1968-003: Cuadro. Resulados de la esimación de los Modelo de Crecimieno (1968-003) Modelos de Crecimieno α β + ε Ordenadas en el origen Pendienes esimadas Tasas de Crecimieno % MAPE % [1] Y = + * 30536.0 8480.41 1.83 6.56 [] Y ε = AB e No se puede esimar mediane MCO α β + ε [3] LnY = + * 1.6 0.019591 1.98 0.54 La úlima columna del Cuadro muesra los MAPE calculados para ambos modelos. De acuerdo con ese crierio, mienras mas bajo sea el MAPE mejor será la habilidad prediciva del modelo. En nuesro caso el modelo exponencial. Por lo ano, dicho modelo se uilizará a efecos de ilusrar la predicción con el EViews Cómo realizar la Predicción No obsane la fuere auocorrelación posiiva en los errores, vamos a ilusrar la manera de predecir o pronosicar el PIB para los años 004 y 005, respecivamene. Para ello sigan los siguienes pasos: 1. La función debe haber sido esimada previamene para que el EViews conserve los valores de los parámeros esimados en el arreglo C. Cambie el Rango (Range) del archivo de rabajo a fin especificar el período o los años de la predicción: Clic en el menú Procs del archivo de rabajo y seleccionen Change Workfile Range En el cuadro de diálogo Change Workfile Range amplíen la fecha (end dae) de 003 a 005: Clic en el boón de comando OK Observen en la venana del archivo de rabajo que EViews realizó el cambio del Rango, de 1968 003 a 1968 005. 1
3. Cambien la muesra (Sample) del archivo de rabajo en un odo de acuerdo con la siguiene insrucción: Clic en el menú Procs del archivo de rabajo y seleccionen Sample En el cuadro de diálogo Sample amplíen la fecha final de 003 a 005 4. Hagan doble clic sobre el icono de la variable (Tmpo) para mosrar el iempo en una venana individual: Arrasren la barra de desplazamieno verical compleamene hacia abajo hasa mosrar los años 004 y 005 donde aparece la leyenda NA (No disponible) Hagan clic en el menú Edi+/- de la venana del archivo de rabajo para ediar (inroducir el iempo) Hagan clic en la celda en blanco a la derecha del año 004 y escriban 37 Hagan clic en la celda en blanco a la derecha del año 005 y escriban 38 5. Aciven la venana de los resulados (para colocarla en primer plano) haciendo clic en alguna de sus pares: Clic en el menú Forecas (Predicción) del archivo de rabajo o seleccionen Procs/Forecas En el cuadro de exo nombre de la predicción (Forecas name), borren el nombre sugerido por EViews (generalmene el nombre de la variable dependiene seguido de la lera f de forecas) y en su lugar escriban un nombre adecuado. Escriban un nombre en el cuadro de exo S.E. (opional) para que EViews guarde el Error Sandard de la Predicción Finalmene hagan clic en el boón de comando OK para ver los resulados de la predicción: Inervalo de confianza para la predicción: 13
Crierios para evaluar la predicción: Raíz del Error Cuadrado Medio (Roo Mean Squared Error): RMSE = @ SQRT (@ SUM ( Y Yˆ ) /@ OBS( Y )) Error Absoluo Medio (Mean Absolue Error): MAE = @ SUM (@ ABS( Y Yˆ Y )) Error Absoluo Medio Relaivo (Mean Absolue Percen Error, MAPE): MAPE = 100*(@ SUM (@ ABS( Y ˆ Y ) / Y Y )) Coeficiene de desigualdad de Theil (Theil Inequaliy Coefficien): ( ˆ @ SQRT (@ SUM ( Y Y Y ) @( SQRT(@ SUM ( Y ˆ Y )) @( SQRT (@ SUM ( Y Y ))) TIC = + Los dos primeros esadísicos dependen de la escala de medida de la variable dependiene. Esas deberían usarse como medidas relaivas para comparar la predicción de la misma variable realizada en diferenes modelos; mienras más bajo sea el error, mejor habilidad predicaiva de ese modelo de acuerdo a ese crierio. Las resanes medidas son invarianes con respeco a la escala de medida de la variable dependiene. El coeficiene de Desigualdad de Theil siempre oscila enre o y 1, en donde cero indica un ajuse perfeco. 14
Proporciones: La proporción del sesgo le dice al invesigador que an lejos esá la media de la predicción de la media de la serie acual u observada La proporción de la varianza dice que an lejos esá la variación de la predicción de la variación de la serie acual u observada. La proporción de la covarianza mide el reso de los errores no sisemáicos de la predicción Noen que la suma del sesgo, la varianza y la proporción es igual a uno Si la predicción es buena, el sesgo y la proporción de la varianza deben ser muy pequeñas, de al manera que la mayor pare del sesgo debe esar concenrado en la proporción de la covarianza. Para una discusión adicional sobre la evaluacion de la predicción consule a Pindiyck y Rubinfeld (1991, Capíulo 1). En nuesro rabajo el sesgo de la proporción es inexisene indicando con ello que la media de la predicción hace un excelene rabajo al ajusarse en forma perfeca a la media de la variable dependiene Además de esos resulados EViews coloca en la venana del archivo de rabajo una variable con los resulados de la predicción. Esa variable iene por lo general el mismo nombre de la variable dependiene seguido de la lera f (de forecas), es decir: (LPIBf) Ver el resulado de la predicción: Siga los siguienes pasos para ver el resulado de la predicción: 1. Hagan doble clic sobre el icono de la predicción LPIBF que se encuenra en la venana del archivo de rabajo Noen que el resulado de la predicción aparece en logarimos. Sigan las siguienes pasos para calcular el anilogarimo de los valores: Clic en el menú Quick y seleccionen Generae Series En el inerior del cuadro de exo Ener equaion, escriban: PREDICCION=EXP(LPIBF) OK 3. Para ver el resulado de la predicción hagan doble clic en el icono Predicción que se encuenra en el archivo de rabajo 4. Noen que la predicción para los años 004 y 005, son respecivamene: 648609.8 y 66144.0 miles de millones de bolívares, respecivamene 15
Méodo de Crecimieno Geomérico ( r) ValorFinal = ValorInicial 1 + Valor Final r = ( Valor Inicial 1 No. de años 1) *100 16