Investigación de Operaciones Método Simplex

FACULTA DE INGENIERIA DE SISTEMAS E INFORMATICA Investigación de Operaciones Método Simplex Integrantes Mayta Chiclote, Ricardo Toledo Fabian, Jimmy Yarleque Esqueche, Jimmy Daniel Método Simplex Página 1

Índice de Contenidos Índice de Contenidos...2 1. Resumen....3 2. Introducción.4 2.1) La Programación Lineal.4 2.2) Historia de la Programación Lineal.....4 2.3) Los Fundadores de la Técnica son......4 3. Descripción General...5 3.1 Soluciones Basales y No Basales...5 3.2 Solución Factibles.5 4. Pasos Generales del Método Simplex.6 5. Procedimiento del Método Simplex..7 6. Conversión a Forma Estándar..8 7. Verificación del Optimo Proceso...9 8. Determinación de la Variable Entrante 9 9. Calculo de la Fila Pivote 10 10 Conclusiones..13 11 Bibliografía..13 Método Simplex Página 2

1. Resumen En este trabajo se exponen los resultados alcanzados mediante el desarrollo de una herramienta de software orientada a facilitar a los usuarios el proceso de modelización, resolución y utilización de la información producida por un sistema, en el marco teórico de la programación lineal. Este método busca la solución, en cada paso, de forma mejorada hasta que no pueda seguir mejorando dicha solución. Al comienzo el vértice principal es un vértice cualquiera, hasta que va mejorando, comparándolo con el vértice anterior, en los pasos de la ecuación. Dicha herramienta consta de tres componentes fundamentales: a) Una interface para la carga de datos utilizando el programa en JAVA. b) Un programa para la exposición de los resultados en pantalla, comprensibles para no matemáticos, con la posibilidad de ser usados en lenguaje JAVA o también Pagina Web. c) La utilización de sistema para mejorar la organización de los recursos de entre Cliente y Servidor Método Simplex Página 3

2. Introducción 2.1) La Programación Lineal: Es un procedimiento o algoritmo matemático mediante el cual se resuelve un problema indeterminado, formulado a través de un sistema de inecuaciones lineales, optimizando la función objetivo o también lineal. Consiste en optimizar (minimizar o maximizar) una función lineal, denominada función objetivo, de tal forma que las variables de dicha función estén sujetas a una serie de restricciones que expresamos mediante un sistema de inecuaciones lineales. 2.2) Historia de la Programación Lineal: El problema de la resolución de un sistema lineal de inecuaciones se remonta, al menos, a Joseph Fourier, después de quien nace el método de eliminación de Fourier-Motzkin. La programación lineal se plantea como un modelo matemático desarrollado durante la Segunda Guerra Mundial para planificar los gastos y los retornos, a fin de reducir los costos al ejército y aumentar las pérdidas del enemigo. Se mantuvo en secreto hasta 1947. En la posguerra, muchas industrias lo usaron en su planificación diaria. 2.3) Los Fundadores de la Técnica son: George Dantzig, quien publicó el algoritmo simplex, en 1947, John von Neumann, que desarrolló la teoría de la dualidad en el mismo año, y Leonid Kantoróvich, un matemático de origen ruso, que utiliza técnicas similares en la economía antes de Dantzig y ganó el premio Nobel en economía en 1975. En 1979, otro matemático ruso, Leonid Khachiyan, diseñó el llamado Algoritmo del elipsoide, a través del cual demostró que el problema de la programación lineal es resoluble de manera eficiente, es decir, en tiempo polinomial. Más tarde, en 1984, Narendra Karmarkar introduce un nuevo método del punto interior para resolver problemas de programación lineal, lo que constituiría un enorme avance en los principios teóricos y prácticos en el área. Método Simplex Página 4

3. Descripción General En esta imagen podemos notar como se construye las funciones para la utilización del Método Simplex. Supongamos que se ha convertido un LP con m restricciones a su forma estándar. Asumiendo que cada restricción contiene n variables compuestas (x1, x2,. xn) se tiene: {3.1} Luego se puede definir de la siguiente manera Por lo tanto, las restricciones del problema (2.1) pueden ser escritas como un sistema lineal: [A]f(x) g = f (b) g 3.1) Soluciones Basales y No Basales {3.2} Consideremos que el sistema (2.3) posee m ecuaciones lineales y n variables (sea n m). Definición 1 Se puede obtener una solución basal de (3.2) haciendo n & m variables iguales a cero y resolviendo para encontrar los valores de las restantes m variables. Se asume que hacer n & m variables igual a cero conduce a un único conjunto de valores para las restantes m variables o en forma equivalente, se asume que las columnas de restantes m variables son linealmente independientes. En consecuencia, para resolver el sistema (3.2) asignaremos 0 a n & m variables (variables no basales o NBV) y resolveremos el sistema restante de n (n m) = m variables (variables basales o BV). Evidentemente, una selección distinta de variables no basales conducirá a valores distintos para las variables basales, además pueden existir conjuntos de m variables que no son capaces de constituir variables basales pues conducen a un sistema sin solución. 3.2) Soluciones Factibles Un subconjunto de las soluciones basales de (3.2) es muy importante para la teoría de la Programación Lineal: Definición 2 Una solución basal de (3.2) en el cual todas las variables son no negativas es una Solución basal factible o bfs. Los siguientes dos teoremas explican la importancia de concepto de solución basal factible en LP. Teorema 1 La región factible para cualquier problema de programación lineal es un conjunto convexo. Además, si un LP tiene solución óptima, el óptimo debe ser un punto extremo de la región factible. Método Simplex Página 5

Teorema 2 Para cualquier LP, existe un único punto extremo de la región factible correspondiente a cada solución basal factible. Además, existe a los menos una bfs correspondiente a cada punto extremo de la región factible. Consideremos el LP del Ejemplo 1: 2.4 La región factible asociada al problema se ilustra en la Figura 2.1. R Figura 2.1: Región Factible - Ejemplo 1 En este caso la región factible corresponde al polígono ABCD. Los puntos extremos son: A = (30; 0), B = (20; 20), C = (0; 40) y D = (0; 0). El Cuadro 2.1 muestra la correspondencia entre las soluciones Básicas factibles del problema (2.4) y los puntos extremos de la región factible. Este ejemplo pone de manifiesto que las soluciones básicas factibles de la forma estándar de un LP corresponden en forma natural a los puntos extremos del LP. 4. Pasos Generales del Algoritmo Simplex Paso 1 Convertir el LP a suma forma estándar. Paso 2 Encontrar una solución básica factible. Si todas las restricciones son de tipo =<se pueden usar las variables de holgura si para cada fila i. Paso 3 Si todas las variables no básicas tienen un coeficiente no negativo en 0, la bfs actuales óptima. Si hay variables en 0 con coeficientes negativos, se debe escoger la que acompañe al coeficiente más negativo en 0 para entrar a la base. Esta variable se denomina la variable entrante. Método Simplex Página 6

Paso 4 Emplear el pivoteo para hacer que la variable entrante ingrese a la base en la que restringido su valor. Una vez obtenida la base, volver al paso 3, empleando la forma canoníca actual. Para aplicar el algoritmo Simplex, la función objetivo 4.1 Debe ser escrita como: 4.2 5. Procedimiento del Método Simplex Un problema de programación lineal, básicamente, se resuelve obteniendo los valores de una serie de variables que componen una función, de manera que a través de esos valores resulte el máximo o el mínimo [según el caso] de esa función, y cuando dichas variables se encuentran sujetas a distintas restricciones, las cuales se expresan mediante inecuaciones lineales. Ejemplo 1 Una mueblería fabrica escritorios, mesas y sillas. La fabricación requiere de materia prima y de mano de obra. La mano de obra se clasifica en dos tipos: carpintería y terminaciones. La cantidad de recurso requerido para cada tipo de producto se muestra en el Cuadro 3.1. Actualmente se dispone de 48 pulgadas madereras, 20 horas para terminaciones y 8 horas para carpintería. Cada escritorio se vende a US$ 60, cada mesa a US$ 30 y cada silla a US$ 20. La empresa piensa que la demanda por escritorios y sillas es ilimitada, pero cree que se venderán a lo más 5 mesas. Debido a que los recursos ya han sido adquiridos, la empresa desea maximizar su beneficio. RECURSOS ESCRITORIO MESAS SILLAS Materiales(Pulgadas) 8 6 1 Terminaciones(Horas) 4 2 1.5 Carpintería(Horas) 2 1.5 0.5 5.1 Cuadro 3.1: Requerimientos por tipo de producto. Considerando las siguientes variables: x1: Número de escritorios producidos x2: Número de mesas producidos x3: Número de sillas producidos 5.2 Método Simplex Página 7

Se puede construir el siguiente modelo: 5.3 6. Conversión a Forma Estándar: 6.1) Comenzamos el método Simplex transformando las restricciones a su forma estándar. Para ello en cada restricción de tipo incorporamos variables de holgura s1, s2, s3 y s4. Escribiremos la función objetivo en la forma la 0 previamente expuesta. Numeraremos las restricciones como fila 1, fila 2, fila 3 y fila 4. 6.1 6.2) El problema anterior puede ser escrito de la forma indicada en el Cuadro 3.2. Esta forma se denomina canónica y se caracteriza porque existe una variable con coeficiente igual a 1 en cada restricción y esa misma variable aparece en las restantes restricciones con coeficiente 0. Si el lado derecho de las restricciones es positivo, se puede obtener una solución basal factible por inspección. En el ejemplo. 6.2 Cuadro 6.1: Forma Canónica (Primera Iteración) Una solución básica factible que puede ser obtenida por simple inspección es x1 = x2 = x3 = 0 y si igual al coeficiente del lado derecho y z = 0, luego. 6.3 Los valores de cada variable se indican en el Cuadro 4.2. Esta solución corresponderá a la base inicial para aplicar el método Simplex. Como se observa en este ejemplo, las variables de holgura son empleadas como parte de la solución basal factible inicial. Método Simplex Página 8

7. Verificación del Optimo 7.1) Una vez determinada una bfs inicial, es preciso establecer si corresponde a una solución óptima. En este caso debemos verificar si existe una forma de mejorar el valor de la función objetivo. Si la bfs no es óptima se debe buscar una bfs adyacente que tenga un mejor valor de función objetivo. Para ello, debemos identificar la variable no basal que incrementa más la función objetivo manteniendo el resto de las variables no básicas en valor 0. Reescribiendo la función objetivo: 7.1 A partir de (5.7) podemos determinar la variable no básica más conveniente. Por ejemplo por cada unidad de aumento de x1 la función objetivo crece en 60 (manteniendo x2 y x3 igual a cero). De acuerdo a esta lógica, conviene buscar la bfs adyacente que contenga a x1, en este caso se dice que x1 se vuelve una variable básica o bien es la variable entrante a la base. Nótese que x1 es la variable con el coeficiente negativas de la fila 0. 8. Determinación del Valor de la Variable Entrante Una vez escogida la variable entrante como la de coeficiente más negativo en la fila 0, necesitamos determinar cuál es el valor máximo que puede tomar esta variable. En el ejemplo si x1 adquiere un valor positivo, los valores de las otras variables basales deben cambiar. Por lo tanto, podría ocurrir que alguna de las variables basales tomara un valor negativo. Teniendo en cuenta ello, podemos calcular cómo cambia el valor de las variables basales en función de valor que tome x1 fácilmente gracias a que x2 = x3 = 0. Por ejemplo en la fila 1 podemos escribir: 8.1 Luego, como se debe satisfacer la restricción de signo de s1, se debe modificar x1 de forma de mantener s1 0, así: 8.2 Repitiendo la misma lógica en todas las restricciones: 8.3 Por lo tanto, para mantener las variables basales no negativas, el máximo valor que puede tomar x1 corresponde a min { 48, 20, 8 } = 4 por lo tanto si se escoge x1 4, s3 se vuelve negativa y la solución basal 8 4 2 deja de ser factible. Cada restricción en la cual el coeficiente de la variable entrante es positivo representa una restricción para el valor máximo que pueda tomar dicha variable. Luego, en términos generales, para cada restricción en la que la variable entrante tiene un coeficiente positivo se debe verificar que: Método Simplex Página 9

8.4 Si una variable tiene un coeficiente no positivo en una fila (por ejemplo x1 en la fila 4), la variable básica de la fila sigue siendo positiva para cualquier valor de la variable entrante. En suma, para determinar el valor máximo de una variable entrante basta con aplicar (8.4) en todas las filas con coeficiente de la variable entrante positivo y escoger el mínimo. El valor menor corresponderá a la fila más restrictiva y por lo tanto la que controla el valor entrante. 9. Calculo de la Nueva Solución Básica Factible Pivote Siempre se debe incorporar una variable entrante en la fila que controló su valor máximo. En el ejemplo, para hacer que x1 sea la variable basal en la fila 3 se debe emplear operaciones fila elemental para conseguir que x1 tenga coeficiente 1 en dicha fila y 0 en las otras filas. El procedimiento se denomina pivoteo en la fila 3. El resultado final es que x1 reemplace a s3 como variable básica de la fila 3. Los pasos a seguir son los siguientes: Pasó 1 Se crea un coeficiente 1 para x1 en la fila 3 multiplicando la fila completa por 1. La fila resultante de las 2 operaciones: 9.1 Pasó 2 Se crea un coeficiente 0 para la variables x1 en la fila 0. Para ello basta multiplicar por 60 (9.1) y restarle a la fila 0 actual: 9.2 Pasó 3 Para fabricar un coeficiente 0 para la variables x1 en la fila 1 se multiplica por - 8 (9.1) y se restarle a la fila 1 actual: 9.3 Pasó 4 Creamos un coeficiente 0 para la variables x1 en la fila 2 multiplicando por - 4 (9.1) y sumándosela a la fila 2 actual: 9.4 Debido a que en la fila 4 no aparece la variable x1, no es necesario aplicar operaciones filas para eliminar x1 de la fila. Luego, la fila 4 queda igual que antes: 9.5 Efectuando todas las modificaciones descritas se completa el Cuadro 3.3. Las variables basales y no basales en este caso definen los siguientes conjuntos: 9.6 Método Simplex Página 10

Cuadro 9.2: Forma Canónica (Primera Iteración) La forma canónica actual está asociada a la solución factible z = 240, s1 = 16, s2 = 4, x1 = 4, s4 = 5 y x2 = x3 = s3 = 0. Se podría haber predicho el valor de z considerando que cada unidad de x1 incrementa el valor de z en 60 y que se determinó que x1 entraría a la base con valor 4. Luego 9.7 9.7 En el paso de la forma canónica inicial a una mejorada (mayor valor de z posible) se cambió de una bfs a una bfs adyacente, pues sólo cambió una variable básica. Este procedimiento de cambiar de una bfs a la bfs adyacente con mayor valor de la función objetivo se denomina iteración del método Simplex. A continuación, repetiremos el procedimiento a partir de la forma canónica del Cuadro 9.2. Para ello examinamos la la 0 del Cuadro 9.2 y buscamos la variable que más hace crecer la función objetivo unitariamente (manteniendo las otras variables no basales en cero): 9.8 De la expresión (3.19), un cambio unitario de la variable x3 aumenta la función objetivo en 5. Luego, se selecciona la variable x3 (las otras tienen coeficiente negativo). A continuación debemos determinar el valor máximo que puede tomar x3 de modo de no violar alguna restricción. De acuerdo al procedimiento previamente descrito se tiene (recordando que x2 = s3 = 0): 9.9 De las expresiones anteriores se concluye que sin importar el valor que tome x3, se tiene: s1 0 y s4 0. Luego, imponiendo la condición que s2 y x1 sean no negativas: 9.10 Método Simplex Página 11

Por lo tanto, para mantener las variables basales no negativas, el máximo valor que puede tomar x3 corresponde a mín. ( 4 ) = 8 luego x3 = 8. En este caso, la fila que controló el valor de máximo de x3 + 4 0.5 25 fue la fila 2, por lo tanto se debe emplear el pivoteo para conseguir una forma canónica en la que x3 sea la variable básica de la fila 2. Esto se consigue siguiendo los siguientes pasos: Paso 1 Se crea un coeficiente 1 para la variable x3 en la fila 2 de la forma canónica del Cuadro 9.2 multiplicando la fila completa por 2: 9.10 Pasó 2 Construimos un coeficiente 0 para la variable x3 en la fila 0 sumándole 5 veces (3.22) a la fila 0 actual: 9.11 Pasó 3 Para generar un coeficiente 0 para la variable x3 en la fila 1 se le suma (3.22) a la fila 1 actual: 9.12 Pasó 4 Creamos un coeficiente 0 para la variable x3 en la la 3 multiplicando por ( 1 4 ) a (3.22) y sumándosela a la fila 3 actual: 9.13 Debido a que la variable x3 no aparece en la fila 4, la fila queda igual: 9.14 Haciendo todas las modificaciones expuestas, la forma canónica resultante se muestra en el Cuadro 3.4. Determinando la variable básica en cada fila se obtiene: La forma canónica actual está asociada a la solución factible z = 280, s1 = 24, x3 = 8, x1 = 2, Cuadro 9.3: Forma Canónica del Problema (Segunda Iteración) s4 = 5 y s2 = s3 = x3 = 0. Se podría haber predicho el valor de z considerando que cada unidad de x3 incrementa el valor de z en 5 y que se determinó que x3 entraría a la base con valor 8. Luego: 9.15 Debido a que las bfs previa y actual tienen 4-1 = 3 variables en común (s1; s4 y x1), corresponden a soluciones basales factibles adyacentes. Volviendo a escribir la fila 0 de la última base y despejando z se tiene: Método Simplex Página 12

9.16 En la expresión anterior se observa que el incremento a un valor distinto de cero de cualquier variable no básica provocaría una reducción de la función objetivo. Por lo tanto, se puede concluir que la solución básica factible mostrada en el Cuadro 3.4 corresponde a una solución óptima. El criterio empleado para determinar que se ha alcanzado se puede generalizar: una forma canónica es óptima (para un problema de maximización) si cada variable no básica posee un coeficiente no negativo en la fila 0 de la forma canónica. 10. Conclusiones. El método simplex permite localizar de manera eficiente la óptima solución entre los puntos extremos de un problema de programación lineal. La gran virtud del método simplex es su sencillez, método muy práctico, ya que solo trabaja con los coeficientes de la función objetivo y de las restricciones. Es muy importante en el área empresarial ya que lo utilizan para obtener solución a los problemas de las empresas en cuanto a inventario, ganancias y pérdidas. 11. Bibliografía. Sitios de Internet: 1. Apuntes/simplex. http://www.inf.utfsm.cl/~esaez/fio/s2_2004/apuntes/simplex_s2_2004.pdf 2. investigaciones. http://www.ub.edu.ar/investigaciones/tesinas/173_ivanoff.pdf Método Simplex Página 13