ANXO B- Tensones en un clndo debdas a pesón hdáulca ANXO B Tensones en un clndo debdas a la pesón hdáulca. B.1 Tensones en un anllo ccula y en un clndo de paed guesa S se somete un anllo ccula delgado a la accón de fuezas adales unfomemente dstbudas po su ccunfeenca, se poducán fuezas anulaes a lo lago de su espeso que actuaán tangencalmente. S las fuezas que actúan son adales haca fuea se poducá un engandecmento unfome del anllo, mentas que s son adales haca dento se poducá una contaccón unfome. La magntud de la fueza F sobe el anllo puede hallase cotando el anllo po una seccón dametal hozontal, obtenendo el cuepo mostado en la Fg. B.1. Fg. B.1 Tensones adales y anulaes en un anllo delgado S la fueza po undad de longtud de ccunfeenca es q, y el ado del anllo es, la fueza que actúa en un elemento del anllo es qdφ. Sumando las componentes vetcales de todas las fuezas que actúan sobe el anllo semccula obtenemos la ecuacón de equlbo. F = π / 0 q sn φ dφ = q (B.1) F = q (B.) La tensón untaa en el anllo puede obtenese dvdendo la fueza F po el áea A de la seccón ecta del anllo. = q A Laboato de Sstemes Oleohdàulcs y Pneumàtcs LABSON - UPC (B.3) 181
ANXO B- Tensones en un clndo debdas a pesón hdáulca S se consdea que el anllo es una seccón de longtud undad constante de un ecpente clíndco de espeso h sujeto a una pesón ntena p, tendemos que en la ecuacón (B.3) q=p y A=h, y que la tensón anula en el ecpente clíndco es p = (B.4) h La tensón longtudnal puede calculase gualando la pesón total ejecda conta el extemo del clndo con las fuezas longtudnales que actúan en una seccón tansvesal del clndo, como se ndca en la Fg. B.. p 1hπ = pπ 1 = (B.5) h Fg. B. Tensón longtudnal en un clndo B. Módulo de Posson S una baa se somete a taccón pua, ésta no sólo se esta en la deccón axal sno que se poduce una contaccón lateal al msmo tempo. Se ha obsevado que, paa un mateal dado, el ado ente la contaccón lateal untaa y la elongacón axal untaa es constante dento del límte elástco. sta constante se llama módulo de Posson y se denota po µ. Su valo típco paa mateales sotópcos como los aceos paa ecpentes a pesón es 0,3. l msmo fenómeno apaece en el caso de compesón. La compesón axal vene acompañada po una expansón lateal, utlzándose el msmo valo de µ paa calculalas. n un bloque de mateal ectangula sometdo a tensones de taccón en dos deccones pependculaes (Fg. B.3), la elongacón en una deccón no sólo depende de la tensón en esa deccón sno tambén de la tensón en la deccón pependcula. Laboato de Sstemes Oleohdàulcs y Pneumàtcs LABSON - UPC 18
ANXO B- Tensones en un clndo debdas a pesón hdáulca Fg. B.3 Defomacón debda a dos tensones pncpales La elongacón untaa o alagamento en la deccón del esfuezo de taccón 1 es 1 / (ley de Hooke). Al msmo tempo, la tensón de taccón poduce una contaccón lateal en la deccón de 1 de valo en la deccón de 1 seá µ. Po lo tanto, la elongacón µ 1 e 1 = (B.6) Análogamente, en la deccón de µ 1 e = (B.7) S una o ambas tensones son de compesón en luga de taccón, al detemna los alagamentos en las ecuacones (B.6) y (B.7) sólo seá necesao consdealas negatvas. Smlamente, cuando actúan tes tensones de taccón 1,, 3, sobe un cubo de mateal sotópco, la elongacón en la deccón de 1 es µ µ 1 3 e 1 = (B.8) Con las ecuacones (B.6) y (B.7) se pueden obtene las tensones en funcón de las elongacones: ( e1 + µ e) 1 = 1 µ ( e + µ e1) = 1 µ (B.9) (B.10) Laboato de Sstemes Oleohdàulcs y Pneumàtcs LABSON - UPC 183
ANXO B- Tensones en un clndo debdas a pesón hdáulca B.3 Dlatacón de ecpentes a pesón La dlatacón o cecmento adal de un ecpente a pesón puede obsevase, ntegando el alagamento anula desde un eje que pasa po el cento de otacón y es paalelo al ado. Así, y según la Fg. B.4, la dlatacón es δ = π / 0 e cos φ dφ = e (B.11) Susttuyendo el valo de e en la ecuacón (B.7) y posteomente los valoes de 1 de (B.3) y de (B.4) se tene: µ 1 (B.1) p ( µ ) h (B.13) δ = δ= Fg. B.4 Dlatacón de un ecpente debda a pesón nteo B.4 Clndo de paed guesa Un clndo se consdea de paedes guesas s el espeso de su paed es mayo que una décma pate de su ado medo. n estos casos, las vaacones de tensón ente la supefce nteo y exteo se hacen apecables, y las fómulas odnaas de tensón meda no son aceptables. Veamos un clndo de paedes guesas solctado po una pesón nteo p y una exteo po. A consecuenca de la smetía axal del clndo y de las cagas, las tensones y defomacones en el clndo seán tambén smétcas con especto a su eje. Laboato de Sstemes Oleohdàulcs y Pneumàtcs LABSON - UPC 184
ANXO B- Tensones en un clndo debdas a pesón hdáulca Sepaemos medante dos seccones pependculaes al eje del clndo un anllo de longtud untaa de dcho anllo cotamos un elemento mnm1n1 po medo de dos planos que pasan a tavés del clndo y que foman ente sí un ángulo dφ y dos supefces clíndcas de ados y +d. Fg. B.5 Tensones en un clndo de paedes guesas Po las caas de ese elemento actuaán las tensones adales y tangencales t que susttuyen la accón de la pate elmnada del clndo y satsfacen las condcones de equlbo del elemento. s evdente que y t seán las tensones pncpales. La tensón adal nomal a la caa mn es, y vaía con el ado a lo lago de una dstanca d una cantdad (d/d)d. Po lo tanto, la tensón adal en la caa m1n1 es + d d d (B.14) La ecuacón de equlbo paa el elemento se obtene sumando las fuezas en la deccón de la bsectz del ángulo dφ, entendendo que paa ángulos pequeños el seno y el ángulo en adanes son sustancalmente guales. ntonces dφ + t ddφ ( + d d )( + d )dφ = 0 d (B.15) Desaollando la expesón anteo: dφ + t ddφ dφ ddφ d d ddφ d dφ = 0 (B.16) d d Despecando los nfntésmos de segundo oden y smplfcando se obtene: t d =0 d Laboato de Sstemes Oleohdàulcs y Pneumàtcs LABSON - UPC (B.17) 185
ANXO B- Tensones en un clndo debdas a pesón hdáulca La ecuacón da una elacón ente las tensones y t. Se puede obtene una segunda elacón de la defomacón del clndo y de supone que la defomacón longtudnal de todas las fbas es gual. ntonces la defomacón del clndo es smétca especto del eje y consste en un desplazamento adal de todos los puntos de la paed del clndo. ste desplazamento es constante en la deccón ccunfeencal, peo vaa con la dstanca a lo lago del ado. S u denota el desplazamento adal de una supefce clíndca de ado, el desplazamento adal de una supefce de ado +d es du u + d (B.18) d Po lo tanto, un elemento mnm 1 n 1 sufe una elongacón total en la deccón adal de (du/d)d, o una elongacón untaa de e du d du = d = (B.19) d d n la deccón ccunfeencal, la elongacón untaa del msmo elemento es gual a la elongacón untaa del coespondente ado, paágafo 1.3, o: u et = (B.0) De este modo, s susttumos estas expesones de la elongacón untaa en las ecuacones (B.9) y (B.10) obtenemos las tensones en témnos de elongacones: du u 1 µ d µ = + (B.1) u du 1 µ µ = + d (B.) Intoducendo estas expesones en (B.17) hallamos la ecuacón dfeencal de los desplazamentos: du 1 du u d + 0 d = (B.3) C Cuya solucón geneal es u = C 1 + (B.4) Laboato de Sstemes Oleohdàulcs y Pneumàtcs LABSON - UPC 186
ANXO B- Tensones en un clndo debdas a pesón hdáulca Susttumos la ecuacón (B.4) en las ecuacones (B.1) y (B.), y tenendo en du C cuenta que = C 1 : d 1 µ = C 1(1 + µ ) C 1 µ (B.5) 1 µ t = C 1(1 + µ ) + C 1 µ (B.6) Las constantes de ntegacón C 1 y C se detemnan con las condcones de contono en las supefces nteo y exteo del clndo: = -p y = -p. l sgno negatvo denota que la tensón es de compesón. a ( ) 1 µ ap bp o 1+ µ ab p p o C1 = C = b a b a b o (B.7) Intoducendo el valo de las constantes en las ecuacones (B.5) y (B.6) obtenemos las expesones geneales paa detemna las tensones: ap bp ( p p) ab = b a ( b a ) o o (B.8) ap bp ( p p) ab t = + b a ( b a ) o o (B.9) sta solucón se conoce como las fómulas de Lamé, o fómulas paa clndo gueso. De ellas se deduce que el valo máxmo de t se da en la supefce nteo, y la máxma sempe seá la mayo de las dos pesones, p y p o. Tambén se puede nota que la suma de las dos tensones se mantene constante: + t = cte. s dec, que las seccones tansvesales del clndo duante la defomacón sguen sendo planas después de la defomacón, y la defomacón de todos los elementos en la deccón axal es la msma. Las fómulas de Lamé son justas paa un clndo nfntamente lago y paa la utlzacón en las seccones del clndo bastante alejadas de los fondos, s estos exsten. Cuando hay fondos, en las paedes del clndo apaecen tensones axales debdas a las cagas axales N: z N = π b a ( ) (B.30) Laboato de Sstemes Oleohdàulcs y Pneumàtcs LABSON - UPC 187
ANXO B- Tensones en un clndo debdas a pesón hdáulca Y en la fómula de Lamé del desplazamento apaeceá el z sumando u = µ, sendo las tensones y t las msmas que sn z. La tensón cotante máxma en cualque punto del clndo es gual a la mtad de la dfeenca algebaca de las tensones pncpales máxmas y mínmas en ese punto. Como la tensón longtudnal (axal) es un valo ntemedo ente y t : p p ab τ = = b a t o (B.31) B.4.1 Clndo bajo pesón ntena solamente Como p o = 0, las fómulas de Lamé se educen a: ap b = 1 b a ap b t = 1 + b a (B.3) (B.33) Y muestan que ambas tensones son máxmas en la supefce nteo, donde tene valo mínmo. sempe es una tensón de compesón, y meno que t, mentas que t sempe es una tensón de taccón cuyo valo máxmo (que se da en la supefce nteo) es gual a: p ( a + b ) t max = b a (B.34) De la últma ecuacón se obtene que tmax sempe es numécamente mayo que la pesón nteo, peo se apoxma a medda que b aumenta. La Fg. B.6 lusta la vaacón de la tensón tangencal t a lo lago de la paed de un clndo cuya elacón ente ado exteo e nteo es (K=b/a=). S compaamos la tensón máxma obtenda po las fómulas de Lamé y la obtenda po las fómulas de tensón meda paa clndos delgados veemos que paa paedes delgadas (K~1) los valoes obtendos medante una o medante ota son smlaes, mentas que paa K alejados de 1 se dfeencan sgnfcatvamente. Laboato de Sstemes Oleohdàulcs y Pneumàtcs LABSON - UPC 188
ANXO B- Tensones en un clndo debdas a pesón hdáulca Fg. B.6 Vaacón de la tensón tangencal a tavés de la paed de un clndo gueso, K = b/a = Al dseña clndos paa pesones muy elevadas apaece la necesdad de utlza mateales con un punto de fluenca muy elevado, o utlza métodos de dseño y constuccón que ceen una tensón esdual ncal de compesón en la supefce nteo, paa que sopote las elevadas tensones aplcadas en este punto. La tensón cotante es máxma en la supefce nteo, de la ecuacón (B.31)paa = a, se obtene pb τ = b a (B.35) B.4. Defomacón de un clndo de paed guesa l desplazamento adal de cualque punto de la paed del clndo puede hallase con la ecuacón (B.4) susttuyendo los valoes de las constantes C 1 y C de las ecuacones (B.7), esultando: ( ) µ ap bp µ 1 o 1+ p po a b u = + b a ( b a ) (B.36) n el caso de un clndo sometdo úncamente a pesón nteo, el desplazamento adal de la supefce nteo ( = a) y en la supefce exteo ( = b) son: u a pa a + b b a = + µ (B.37) u b pab = b ( a) (B.38) Laboato de Sstemes Oleohdàulcs y Pneumàtcs LABSON - UPC 189