Junio 0. Ejercicio B. (Puntuación máxima: puntos) Un estadio de futbol con capacidad para 7000 espectadores está lleno durante la celebración de un partido entre los equipos y B. Unos espectadores son socios del equipo, otros lo son del equipo B, y el resto no son socios de ninguno de lo equipos. través de la venta de localidades sabemos lo siguiente: (a) No hay espectadores que sean socios de ambos equipos simultáneamente. (b) Por cada socios de alguno de los dos equipos hay espectadores que no son socios. (c) Los socios del equipo B superan en 600 a los socios del equipo Cuántos socios de cada equipo hay en el estadio viendo el partido? x nº de socios de y nº de socios de B z nº de no socios Datos: ( a) x + y + z 7000 x + y + z 7000 x + y z ( b) : x + y z 0 ( c) y 600 + x x y 600 El sistema se puede resolver de forma muy sencilla por reducción. + y + z 7000 x + y z 0 y 600 Restando las dos primeras ecuaciones se calcula z 6 ª + ª: z 7000 z 00 El sistema se reduce a dos incógnitas y dos ecuaciones + y 800 Sumando x 000 : y 600 Restando y 6000 x 6000 y 00 Del equipo 6000 socios, del equipo B 00 socios Modelo 0. Ejercicio. (Puntuación máxima: puntos) Un estudiante ha gastado un total de 8 euros en la compra de una mochila, un bolígrafo y un libro. Si el precio de la mochila se redujera a la sexta parte, el del bolígrafo a la tercera parte y el del libro a la séptima parte de sus respectivos precios iniciales, el estudiante pagaría un total de 8 euros por ellos. Calcular el precio de la mochila, del bolígrafo y del libro, sabiendo que la mochila cuesta lo mismo que el total del bolígrafo y el libro. Sea x el precio de la mochila, y el precio del bolígrafo y z el precio del libro. Se sabe que la suma de ambos ha de ser 8, lo que nos lleva a la primera ecuación del problema: x + y + z 8 Por otra parte se sabe que el precio de la mochila reducido a la sexta parte, más el del bolígrafo reducido a la tercera y el del libro a la séptima suman un total de 8 euros: x 6 + y + z 7 8 Finalmente, el precio de la mochila (x) es igual a la suma del precio del bolígrafo (y) y del libro (z). x y + z Juntando las ecuaciones se tiene el sistema que es necesario resolver para obtener los precios de los productos:
x + y + z 8 x + y + z 8 x y z F + + 8 F 7x + + 6z 6 6 7 + x y + z x y z El sistema se resuelve por cualquier método, obteniendo de solución: x ; y ; z Modelo 009. Ejercicio B. (Puntuación máxima: puntos) Un hotel adquirió un total de 00 unidades entre almohadas, mantas y edredones, gastando para ello un total de 700 euros. El precio de una almohada es de 6 euros, el de una manta 0 euros y el de un edredón 80 euros. demás, el número de almohadas compradas es igual al número de mantas más el número de edredones. Cuántas almohadas, mantas y edredones ha comprado el hotel? El problema se resuelve mediante un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. Las incógnitas son: x Número de almohadas compradas por el hotel. y Número de mantas compradas por el hotel. z Número de edredones comprados por el hotel. Ecuaciones. Un hotel adquirió un total de 00 unidades entre almohadas, mantas y edredones. x + y + z 00 Gastando para ello un total de 700 euros. El precio de una almohada es de 6 euros, el de una manta 0 euros y el de un edredón 80 euros. 6x + 0y + 80z 700 El número de almohadas compradas es igual al número de mantas más el número de edredones. x y + z Ordenando se obtiene un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. x + y + z 00 6x + 0y + 80z 700 x y z 0 6 0 80 : 60 0 Sistema compatible determinado ( Cramer). 00 00 700 0 80 6 700 80 x x 0 6000 y 0 00 00 x 700 60 60 60 60 x z 6 0 60 00 700 0 800 0 60 El sistema se puede resolver por cualquier método conocido, recomiendo el método de Cramer por ser el más metódico, aunque en este caso, sumando la ª y ª ecuación se puede despejar x, dejando el sistema reducido a dos ecuaciones con dos incógnitas.
Septiembre 008. Ejercicio. (Puntuación máxima: puntos) Una empresa instala casas prefabricadas de tres tipos, B y C. Cada casa de tipo necesita 0 horas de albañilería, de fontanería y de electricista. Cada casa de tipo B necesita horas de albañilería, de fontanería y de electricista. Cada casa de tipo C necesita 0 horas de albañilería, 6 de fontanería y de electricista. La empresa emplea exactamente 70 horas de trabajo al mes de albañilería, 68 de fontanería y 8 de electricista. Cuántas casas de cada tipo instala la empresa en un mes? Variables: x número de casas tipo y número de casas tipo B z número de casas tipo C Los datos se pueden reunir en un cuadro de contingencia. lbañilería Fontanería Electricista Tipo 0 Tipo B Tipo C 0 6 Totales 70 68 8 Cada tipo de trabajo permite plantear una ecuación. 0x + y + 0z 70 + y + z SIMPLIFICNDO x + y + 6z 68 x + y + z x + y + z 8 + y + z 8 Para resolver el sistema se calcula el determinante de la matriz de coeficientes, si 0, sistema compatible determinado, se resuelve por el método de Cramer. x x det 8 0 + 8 + 0 : y Solución: 0 casas tipo, 6 casas tipo B y casas tipo C. y ( 8 + + 6) 0 9 0 8 6 : z z 8 Junio 008. Ejercicio. (Puntuación máxima: puntos) Un agricultor tiene repartidas sus 0 hectáreas de terreno en barbecho, cultivo de trigo y cultivo de cebada. La superficie dedicada al trigo ocupa hectáreas más que la dedicada a la cebada, mientras que en barbecho tiene 6 hectáreas menos que la superficie total dedicada al cultivo de trigo y cebada. Cuántas hectáreas tiene dedicadas a cada uno de los cultivos y cuántas están en barbecho? Problema de tres incógnitas con tres ecuaciones. Incógnitas: - x nº de hectáreas dedicadas a barbecho. - y nº de hectáreas dedicadas a trigo - z nº de hectáreas dedicadas a cebada. Ecuaciones: Número total de hectáreas 0: x + y + z 0 La superficie dedicada al trigo ocupa hectáreas más que la dedicada a la cebada: y z + La superficie dedicada a barbecho tiene 6 hectáreas menos que la superficie total dedicada al cultivo de trigo y cebada:
x y + z 6 Ordenando se obtiene un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que al resolverlo nos da la superficie dedicada a cada cosa. + y + z 0 y z y z 6 Sumando la ª y la ª ecuación se despeja x. x + y + z 0 + x y z 6 ( ): x : x Sustituyendo n l sistema el valor de x, se reduce a dos ecuaciones con dos incógnitas, que sumando y restando permite calcar las variables que faltan. y + z 8 y + z 8 ( + ): y 0 : y ( ) : z 6 : y y z y z x ; y ; z También se puede resolver por el método de Cramer. Septiembre 00. Ejercicio B. (Puntuación máxima: puntos) Un hipermercado inicia una campaña de ofertas. En la primera de ellas descuenta un % en un cierto producto, un 6% en el producto B y un % en el producto C. las dos semanas pone en marcha la segunda oferta descontando un 8% sobre el precio inicial de, un 0% sobre el precio inicial de B y un 6% sobre el precio inicial de C. Se sabe que si un cliente compra durante la primera oferta un producto, dos B y tres C, se ahorra 6 euros respecto del precio inicial. Si compra tres productos, uno B y cinco C en la segunda oferta, el ahorro es de 9 euros. Si compra un producto, uno B y uno C, sin ningún tipo de descuento, debe abonar euros. Calcúlese el precio de cada producto antes de las ofertas. Se pide plantear y resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas. x Precio del articulo y Precio del articulo B z Precio del articulo C ª Ecuación. horro en la primera oferta: 6 x + y + 00 00 ª Ecuación. horro en la segunda oferta 8 0 x + y + 00 00 00 6 00 ª Ecuación. Gasto en la compra sin ofertas x + y + z z 6 z 9 Multiplicando las dos primera ecuaciones por cien y dividiendo la segunda por dos se obtiene el siguiente sistema: x + y + z 600 x + y + z 0 x + y + z Para resolver el sistema se estudia el determinante de la matriz de coeficientes
0 0 por ser distinto de cero, el sistema es compatible determinado, se resuelve por Cramer. 600 600 0 0 00 6060 x x 0 x 60 0 0 0 Septiembre 000. Ejercicio. (Puntuación máxima: puntos) Una empresa desea disponer de dinero en efectivo en euros, dólares y libras esterlinas. El valor total entre las tres monedas ha de ser igual a 6.000 euros. Se quiere que el valor disponible en euros sea el doble del dinero en dólares, y que el valor del dinero en libras esterlinas sea la décima parte del valor del dinero en euros. Si se supone que una libra esterlina es igual a euros y un dólar es igual a euros, se pide determinar la cantidad de euros, dólares y libras esterlinas que la empresa ha de tener disponible. x Dinero disponible en euros; y Dinero disponible en dólares; z Dinero disponible en libras Una libra esterlina es igual a euros x, z Un dólar es igual a euros x, y El valor total entre las tres monedas ha de ser igual a 6.000 euros x +,y +, z 6000 Se quiere que el valor disponible en euros sea el doble del dinero en dólares x,y 600 0 El valor del dinero en libras esterlinas sea la décima parte del valor del dinero en euros,z x/0 Las tres condiciones permiten plantear un sistema de ecuaciones lineales +,y +,z 6000 x,y x z 6000 Resolviendo por sustitución: y 7000 z 000