A C T I V I D A D E S D E L O S E P Í G R A F E S Poliedros y cuerpos redondos P A R A P R A C T I C A R 11.1 Completa la tabla. Comprueba si se verifica la igualdad: Número de caras número de vértices número de aristas Caras Vértices Aristas Tetraedro 4 4 6 Cubo 6 8 1 Octaedro 8 6 1 Dodecaedro 1 0 30 Icosaedro 0 1 30 Se cumple la igualdad, conocida como el teorema de Euler, para todos ellos. 11. Calcula el elemento que falta en los siguientes cuerpos cuyas medidas están en centímetros. a) b) a) d 6 3 3 54 7,3 b) h 7 5 4,90 cm 3 D 3 6 7 h 5 11.3 Dibuja la figura que se obtiene al girar los siguientes recintos. a) Un cuadrado al girar sobre su lado. b) Un triángulo rectángulo isósceles al girar sobre la hipotenusa. c) Un trapecio rectángulo al girar sobre la base mayor. a) eje eje b) c) eje eje eje eje
11.4 Dibuja un cono recto, sabiendo que el diámetro de la base mide 14 centímetros, y la altura, de 8. Calcula la generatriz del cono. Sea g la generatriz del cono. El radio de la base mide: r 1 4 7 cm Se forma un triángulo rectángulo con la generatriz de hipotenusa y la altura y el radio de catetos: g 8 7 113 g 113 10,63 cm 8 cm 14 cm Ejercicio resuelto 11.5 Qué figuras resultan al cortar un cono y una pirámide con un plano paralelo a la base de cada figura? Se forman un tronco de cono un cono, y un tronco de pirámide y una pirámide. 11.6 Halla el elemento que falta en los siguientes cuerpos, cuyas medidas están dadas en centímetros. a) b) h 9 14 d 9 a) h 14 9 10,7 cm b) d 9 8 1,04 cm 4 11.7 El diámetro de la base de un cono mide 15 centímetros, al igual que la altura. Halla la medida de la generatriz. g 15 7,5 16,77 cm P A R A A P L I C A R 11.8 La funda de un DVD tiene forma de ortoedro con las siguientes medidas: a) Halla la diagonal de la base. b) Halla la diagonal del ortoedro. 1 cm a) d 14 1,5 18,77 cm b) d 14 1,5 1 18,79 cm 1, 14 cm
11.9 Un barreño tiene forma de tronco de cono. Sus medidas, en centímetros, aparecen en la figura. a) Halla la altura del barreño. b) Halla la diferencia entre las áreas de las dos bases. a) h 48 16 048 h 45, b) S base mayor S base menor 40 4 1 04 3 16,99 cm h 4 40 48 Ejes y planos de simetría en poliedros y cuerpos redondos P A R A P R A C T I C A R 11.10 Representa los ejes de simetría de las siguientes figuras. a) b) Tiene 13 ejes de simetría, 3 de las rectas perpendiculares a cada par de caras paralelas por su punto medio, 6 de las rectas que unen los puntos medios de las aristas opuestas, 4 de las rectas que unen vértices opuestos en distintas caras. Tiene un eje de simetría. 11.11 Representa un eje de simetría sobre el cilindro de la figura. Puedes encontrar algún otro? Sí, también los son todas las rectas que pasan por el centro del cilindro y están contenidas en el plano paralelo a las bases y que pasa por dicho centro. 11.1 Cuántos ejes y planos de simetría puedes encontrar sobre los siguientes cuerpos redondos? a) Sólo hay un eje de simetría, la recta que pasa por el vértice y es perpendicular a la base del cono. Hay infinitos planos de simetría, todos los perpendiculares a la base del cono que pasan por el vértice. b) Cualquier recta o plano que pasa por el centro de la esfera es un eje o un plano de simetría de la esfera, respectivamente. Por tanto, hay infinitos ejes y planos de simetría.
Ejercicio resuelto 11.13 Encuentra todos los ejes y planos de simetría que puedas ver en la siguiente figura. Hay un eje de simetría y cuatro planos de simetría: 11.14 Cuántos planos de simetría se pueden encontrar en las siguientes figuras? Dibújalos a) Hay cuatro planos de simetría. b) Si la base fuera un triángulo equilátero, habría tres planos de simetría; si fuera isósceles un plano y si fuera escaleno no habría planos de simetría. P A R A A P L I C A R 11.15 La puerta giratoria de un hotel es cilíndrica. Cuántos ejes y planos de simetría tiene? Infinitos ejes de simetría, el eje de la puerta y todas las rectas que pasan por el centro del cilindro y están contenidas en el plano paralelo a las bases y que pasa por dicho centro. 11.16 Por dónde se deberá cortar una naranja totalmente esférica para obtener un plano de simetría? Cuántos planos de simetría se pueden encontrar? Por cualquier plano que pase por su centro. Infinitos.
11.17 Una escultura de madera tiene forma de pirámide hexagonal como muestra la figura. a) Dibuja un eje de simetría. Cuántos ejes de simetría tiene? b) De cuántas formas podemos cortar el tarugo para obtener un plano de simetría? c) Qué condiciones tienen que cumplir los cortes para que sea un plano de simetría? a) Solo tiene un eje de simetría, la recta que pasa por el vértice superior y es perpendicular a la base. b) De seis formas. c) Coincidiendo con seis planos perpendiculares a la base y que pasan por el vértice superior: los tres que además pasan por dos vértices de la base enfrentados, y los tres que pasan por los puntos medios de las aristas de la base. Longitudes y áreas de figuras planas P A R A P R A C T I C A R 11.18 Calcula el área de estas letras cuyas medidas están dadas en centímetros. a) b) 5 3 6 1 3 3 3 3 a) Se halla el área como si fuera un rectángulo de lados 5 3 8 y 3 3 3 9 cm: A 8 9 7 cm. Ahora hallamos el área de los triángulos rectángulos que hay que quitar, que es: S 5 3 1. Se restan ambas áreas: A N 7 15 57 cm. b) Se halla el área del cuadrado: A 8 8 64 cm. Se hallan las áreas de las respectivas partes que faltan de la F: A 1 6 3 18 cm A 4 cm A 3 6 1 6 cm A 4 cm A t 18 4 6 30 cm El área total de la F será: A 64 30 34 cm 11.19 Halla el área de cada figura. a) 10 cm b) A 3 cm 3 cm 3 cm M N B 3 cm L D H 4 cm C a) Área del cuadrado mayor: A 10 100 cm. Área del cuadrado menor: A 5 Área sombreada: A A 100 5 7 b) El área pedida es igual al área del rectángulo ABCD menos el área de los triángulos MNB y LCH. A rectángulo 9 7 63 cm A MNB 6 3 9 cm A LCH 4 6 1 cm Por tanto, el área pedida es: A 63 9 1 4 cm
11.0 Cuál es la longitud del arco y el área de los siguientes sectores circulares? a) radio ; ángulo 90 b) radio 7 dm; ángulo 10 a) L 5 36 90 0,5 cm 7,8 A 5 90 3 6,5 cm 60 19,63 cm b) L 7 360 10 14,66 dm A 7 10 3 51,31 dm 60 11.1 Determina las siguientes áreas. a) El área del círculo mayor. b) El área del círculo menor. c) El área coloreada. a) A círculo mayor 6 36 113,10 cm b) A círculo menor 1,57 cm c) A coloreada 36 4 3 100,53 cm 6 cm cm Ejercicio resuelto 11. Calcula el perímetro y el área del trapecio circular de la figura. El perímetro es la suma de dos arcos de radio 3 y 5 centímetros más dos veces la diferencia de sus radios. P 5 360 110 3 110 3 (5 3) 19,36 cm 60 El área del trapecio se halla por diferencia de las áreas de los sectores de radio 3 y 5 centímetros. 3 cm 110 A 5 360 110 3 3 60 110 11 0 ( 5 3 ) 3 15,36 cm 60 11.3 Halla el área de la región coloreada en cada figura. a) b) 6 cm 6 cm a) Área coloreada 6 6 6 9 18 10,7 cm 4 b) Área coloreada 10,7 0,54 cm
P A R A A P L I C A R 11.4 Hay una plaga de hongos en el césped del estadio de un equipo de fútbol. 17 m 0 m 7 m 5 m Qué superficie de césped necesita repoblar? 15 m h 49 9 h 6,3 m A 1 0 5 100 m A 3 6, 3 9,48 m A T 100 9,48 109,48 m 11.5 Una cerrajería construye rejas uniendo sucesivamente un patrón. Cuántos metros de varilla de acero se necesitan para construir la reja de la figura? Tramos verticales: 4 50 00 cm Tramos curvos 3 semicircunferencias de radio 1: 3 15 45 cm 6 sectores circulares de radio 50 cm y amplitud 70 : 6 50 70 366,51 cm 360 30 cm 70 50 cm Por tanto, para construir la reja se necesitarán: L 00 45 366,5 707,88 cm de varilla. 11.6 Qué superficie limpia el parabrisas trasero del coche? Hemos de calcular el área de un sector circular de radio 30 cm y ángulo central 150. A 3 0 150 1 178,10 cm 360 150 30 cm 11.7 Si el radio de una moneda de euros es de 5,75 milímetros, cuál es la superficie que queda entre las tres monedas? El área pedida se corresponde con el área rayada y será igual al área del triángulo ABC menos el área de los 3 sectores circulares de radio 5,75 mm y amplitud 60. Para hallar el área del triángulo equilátero ABC de lado 5,75 51,5 tenemos que hallar previamente la altura aplicando el teorema de Pitágoras. h 51,5 5,75 44,60 mm A ABC 1 51,5 44,6 1 148,45 mm M B El área del sector AMN será: A sector. 5, 75 60 347,18 mm 360 A N C A pedida A triángulo 3 A sector 1 148,45 3 347,18 106,91 mm, que es la superficie que queda entre las tres monedas.
Áreas de cuerpos geométricos P A R A P R A C T I C A R 11.8 Halla el área lateral y al área total de los siguientes cuerpos geométricos a) b) 10 cm 1 cm 3 cm 3 cm a) A L (5 3) 10 160 cm b) A L 3 1 7 cm 6,19 cm A T 160 15 190 cm A T 7 3 90 cm 8,74 cm Ejercicio resuelto 11.9 Calcula el área lateral y total de la pirámide. A L 6 8 1 88 cm 1 cm Para calcular el área de la base necesitamos conocer su apotema. 8 cm a 8 4 4 3 6,93 cm A T 88 (6 8) 4 3 88 166,8 454,8 cm a 4 8 11.30 Determina el área lateral y total de un cono recto de radio de la base 3 centímetros y altura 4 centímetros. En primer lugar calculamos la generatriz del cono. g 4 3 A L 3 5 15 cm 47,1 cm A T 15 3 4 cm 75,40 cm 11.31 Halla el área lateral y el área total de una pirámide regular de base triangular de lado 6 centímetros y apotema 1 centímetros. A L 3 1 6 1 108 cm Para hallar el área total necesitamos hallar el área de la base, que es un triángulo equilátero de lado 6 cm. La altura del triángulo la calculamos aplicando el teorema de Pitágoras. h 6 3 5,0 cm A base 1 6 5, 15,6 cm A T 108 15,6 13,6 cm
11.3 Cuál es el área lateral y total de estos cuerpos geométricos? a) b) 1 cm 8 cm 5,11 cm 6 cm 4 cm a) A L 5 1 6 1 31 Para hallar el área de la base calculamos la apotema de la base aplicando el teorema de Pitágoras: a 5,11 3 4,14 cm A base 5 1 6 4,14 6,0 A T 315 6,05 377,0 b) A L 4 8 3 cm 100,53 cm A T 3 16 48 cm 150,80 cm 11.33 Cuál es el área de estas esferas? a) Radio: 7 cm b) Diámetro: 19 cm a) A 4 7 615,7 b) A 4 9,5 1 134,11 cm 11.34 Calcula el área de estos cuerpos geométricos. a) 13 cm b) 3 cm 6 cm 16 cm a) Es un tronco de pirámide cuadrangular. Tenemos que calcular la altura de los trapecios isósceles laterales utilizando el teorema de Pitágoras: a 1,5 6 6,18 cm y, por tanto, A trapecio 16 13 6,18 89,61 cm El área de la figura será: A 4 A trapecio A bases 4 89,61 16 13 783,44 cm b) El cuerpo es un octante con sus 3 tapas; por tanto, su área será: A cuerpo 1 8 A esfera 3 1 4 A círculo 1 8 4 3 3 4 3 11,5 35,34 cm P A R A A P L I C A R 11.35 El Ministerio de Agricultura esta instalando en algunas ciudades una carpa para informar de los beneficios de la dieta mediterránea. Cuántos metros cuadrados de lona tiene la carpa? La carpa es un semicilindro, siendo el radio de la base 5 m, y la altura, 5 m. A 1 ( 5 5) 5 471,3 m Por tanto, se necesitarán 549,78 m de lona. 5 m 10 m
11.36 11.37 Una ONG se encarga de pintar los pisos de familias sin recursos económicos. Después de visitar un piso, elaboran un croquis con las medidas en metros. 4,7 Si la altura del techo es de,5 metros, qué superficie tienen que pintar? 3,7 A 1 4,7 3,9 18,33 m A [13 (3,9 4,1)] 1 5 m A 3 3,7 3, 11,84 m A 4 4,1 4,7 19,7 m Por tanto, el área del techo será: A techo 18,33 5 11,84 19,7 54,44 m Para hallar el área de las paredes, calcularemos el perímetro de cada pared y lo multiplicaremos por la altura, del techo,,5 m. A 1 (3,9 4,7),5 43 m A (1 5),5 30 m A 3 (3, 3,7),5 34,5 m A 4 (4,1 4,7),5 44 m A paredes 43 30 34,5 44 151,5 m A Total A techo A paredes 54,44 151,5 05,94 m La entrada del Museo del Louvre de París es conocida por su forma de pirámide. Si su base es un cuadrado de lado 35 metros y su altura mide 1,65 metros, qué superficie de cristal se necesitó para su construcción? 13 3,9 3, 4,1 Calculamos la apotema de la cara aplicando el teorema de Pitágoras. a 1,65 17,5 7,84 m A L 4 35 7,84 1 948,8 m Para su construcción se necesitaron 1 948,8 m de cristal. 11.38 Qué superficie de papel necesitamos para envolver cada caja si se pierde un 10 % del papel al envolverla? a) b) 0 cm 10 cm 1 a) A T (0 10) (10 5) (0 5) 700 cm Como hay un 10 % de pérdida se necesitarán: A papel 7 00 777,78 cm 0,9 de papel de envolver. b) A L 6 5 15 450 cm Calculamos el área de la base, que es un hexágono regular de lado. Para ello tenemos que hallar la apotema de la base aplicando el teorema de Pitágoras: a 5,5 4,33 cm A base 1 6 5 4,33 64,9 A T 450 64,95 514,9 Como hay un 10 % de pérdida en el papel, se necesitarán: A papel 51 4, 95 57,17 cm 0, 9
Volúmenes de cuerpos geométricos Ejercicio resuelto 11.39 Halla el volumen de este cuerpo geométrico. La base es un trapecio de bases 15 y 5 centímetros, y altura 7 centímetros. 1 18 cm A base 15 5 7 70 cm Como todas las secciones paralelas a la base tienen la misma área, se puede aplicar el principio de Cavalieri, y el volumen del cuerpo es A base h. V 70 18 1 60 cm 3 7 cm P A R A P R A C T I C A R 11.40 Calcula el volumen de cada cuerpo geométrico. a) 1 cm b) 1 11 cm 1 0 cm 9 cm 10 cm 4 cm a) Para calcular la base, dividimos elcuerpo en dos prismas de bases. A 1 1 4 48 cm A 11 5 5 A base 48 55 103 cm y, por tanto, el volumen del cuerpo será: V 103 0 060 cm 3 b) La base es un trapecio recto de área: A base 15 10 10,71 133,87 V 133,875 9 1 04,87 3 11.41 Halla el volumen de los siguientes prismas y cilindros. 11 cm 9 cm 3 cm Se calcula la apotema de la base del prisma: a 3,5 1,60 cm A base 6 3,6 3,4 cm y el volumen será V 3,4 11 57,4 cm 3 En el cilindro A base 5 78,54 cm V 78,54 9 706,86 cm 3
11.4 Determina el volumen de la pirámide y el cono de la figura. a) b) 7 cm 3 cm 6 cm a) La apotema de la base será: a 3,5 1,60 cm Y la altura, h, de la pirámide: h 7,60 6, V A base h 1 6 3,60 6,5 15,1 cm3 b) V A base. h r h 3 5 45 141,37 cm 3 11.43 Di cuál es el volumen de cada esfera. a) Radio: 5 centímetros b) Diámetro: 15 centímetros a) V 4 3 r 3 4 3 53 53,60 cm 3 b) V 4 3 r 3 4 3 7,53 1 767,1 3 11.44 Averigua el volumen de estos cuerpos geométricos. a) b) 10 cm 4 cm 0 cm a) Se trata de un tronco de cono. Tenemos que calcular la altura del cono original. En el dibujo los triángulos ABC y ADE son semejantes, por tanto, x V 1 3 10 (x 5) 1 3 5 5 1 000 15 916,30 cm 3 3 B D 10 cm b) Es la octava parte de una esfera de radio 4 cm. Por tanto, V 1 8 4 3 43 33,51 cm 3 A C E 0 cm P A R A A P L I C A R 11.45 Debido a una tormenta, el aparcamiento de un edificio se ha inundado. Si el agua ha alcanzado 1,0 metros de altura, cuántos metros cúbicos de agua hay en el aparcamiento? Se divide el recinto del aparcamiento en 3 rectángulos: A 1 1 50 600 m A 13 3 39 m A 3 15 13 195 m 1 m 50 m 5 m Por tanto, el área de la planta del aparcamiento mide: A A 1 A A 3 600 39 195 834 m V A h 834 1,0 1 000,8 m 3 1 m 0 m 15 m
11.46 Si la mina del lápiz del dibujo tiene un diámetro de milímetros, qué volumen de madera tiene el lápiz? El lápiz es un prisma hexagonal de 1 de altura y lado de la base 0,. Se calcula la apotema de la base: a 0,5,5 0 0,43 cm. El área de la base es entonces, A base 6 0,5 0,43 0,64, y el volumen, 0, 1 V 0,645 15 9,67 3 Para calcular el volumen de madera, hay que restar al volumen del prisma el del cilindro que corresponde a la mina: V madera V V cilindro 9,675 0,1 15 9,675 0,471 9,04 cm 3 11.47 Un taller tiene un depósito donde almacenan el aceite usado. Después de pasar la empresa que lo recicla, el nivel de cada depósito ha bajado 30 centímetros. Cuánto aceite se han llevado del depósito? El volumen que se han llevado será el de un ortoedro con la misma base que el depósito y altura 30 centímetros, por tanto, V 1 0,3 0,6 m 3 1 m 1 m m 11.48 Una empresa especializada en pintar depósitos de gas cobra 6 euros por cada metro cuadrado. Si por el depósito de la figura nos cobran 3 141,60 euros, cuál es el volumen del depósito? Se halla el área de la superficie esférica: A 3 14 1,60 53,6 m 6 Como el área de la superficie esférica A 4 r, igualando y despejando el radio se obtiene: 4 r 53,6 r 5 3,6 41,66 m 4 r 41,66 6,45 m Entonces, el volumen del depósito es: V 4 3 6,453 1 14 m 3 La Tierra. Coordenadas geográficas P A R A P R A C T I C A R 11.49 Contesta verdadero o falso. a) Todos los meridianos tienen el mismo radio. b) Todos los paralelos tienen el mismo radio. c) Si dos ciudades son diferentes, no pueden estar en el mismo paralelo. d) Si dos ciudades son diferentes, no pueden estar en el mismo meridiano. a) Verdadero b) Falso c) Falso d) Falso
11.50 Las latitudes de algunas ciudades son las siguientes. Nueva York Sydney Pekín Toronto 4 N 33,5 S 40 N 43 N Contesta a las siguientes cuestiones: a) Qué ciudad está más cerca del Polo Norte? b) Qué ciudad está más cerca del Polo Sur? c) Qué ciudad está más cerca del ecuador? a) Toronto b) Sydney c) Sydney 11.51 Halla el dato que falta en las siguientes figuras, sabiendo que el radio medio de la Tierra mide 6371 kilómetros. a) x b) r 5 000 km R 400 km h r R a) r 6 371 0 5 00 3 948,37 km; x 6 371 5 000 1 371 km b) h 6 371 400 5 971 km; r 6 371 1 5 97 1,89 km Ejercicio resuelto 11.5 11.53 El diagrama adjunto muestra algunos paralelos y meridianos del hemisferio norte. Halla la longitud y la latitud de los lugares A, B y C. 60 N 80 N A : longitud 0 E, latitud 40 N B : longitud 80 E, latitud 30 N 0 N 40 N P C : longitud 30 O, latitud 30 N M B 0 100 E C A 60 O 80 E 40 O N 60 E 0 O 0 0 E 40 E Para el diagrama del ejercicio anterior, halla las coordenadas geográficas de los puntos M, N y P. M : longitud 40 O, latitud 40 N N : longitud 40 E, latitud 10 N P : longitud 70 E, latitud 50 N 11.54 Reykjavik es la capital de Islandia, un país que está cerca del Círculo Polar Ártico. Busca en un atlas sus coordenadas geográficas. Las coordenadas geográficas de Reykjavik son: 1 57 O, 64 09 N (latitud del Círculo Polar Ártico 66 33 N).
11.55 Halla la mayor distancia que puede haber entre dos puntos de la Tierra. Si el radio mide 6 371 km aproximadamente, la mayor distancia que pueden tener dos puntos de la Tierra será: 6 371 1 74 km. P A R A A P L I C A R 11.56 Dos ciudades están sobre el mismo paralelo de radio 4 500 kilómetros. El ángulo formado por sus respectivos meridianos es de 8. Halla la distancia entre ambas ciudades. 4 500 8 68,3 km 360 11.57 Un barco se desplaza desde el punto A al punto B, situados ambos sobre el mismo meridiano. Halla la distancia recorrida, sabiendo que el ángulo es igual a 1. 6 371 1 1 334,34 km 360 B 1 A O 11.58 Un paralelo corta perpendicularmente el eje de la Tierra a 1 500 kilómetros del Polo Sur. a) Halla el área del círculo paralelo. b) Calcula la longitud del círculo paralelo. N 1 500 x 6 371 x 4 871 a) r 4 106,458 km r x 6 371 4 871 r 6 371 A círculo paralelo 4 106,458 5 976 668,45 km b) L círculo paralelo 4 106,458 5 801,637 km 6 371 km r S x 1 500 km 11.59 Busca las coordenadas geográficas de París y Nueva York en un atlas. París tiene como coordenadas 8,5 E; 48,85 N, y Nueva York, 74 O, 40 N. 11.60 Las coordenadas geográficas de Santiago de Chile son 70 4 O, 33 5 S. a) Halla la distancia de Santiago al Polo Sur medida sobre el meridiano. b) Halla la distancia de Santiago al ecuador medida sobre el meridiano. 6 371 (90 33 5 ) a) 6 37 1 56,58 6 91,41 km 360 360 b) 6 371 6 91,41 3 716,13 km 4
11.61 La ciudad de Luisiana, en los EE. UU., tiene coordenadas geográficas 90 O, 30 N, y la ciudad de El Cairo, en Egipto, 30 E, 30 N. a) Están las dos ciudades en el mismo paralelo? b) Halla la distancia entre ambas ciudades recorriendo el paralelo. a) En efecto, ya que tienen ambas la misma latitud. b) La diferencia de longitudes es 90 30 10. Necesitamos hallar el radio del paralelo 30 N. Por ser el ángulo de 30 se deduce que x R 6 3 71 3 185 km. r 6 371 5 3 18 5 517 km d 5 5 17 10 11 554,78 km 360
Matemáticas aplicadas P A R A A P L I C A R 11.6 Si en nuestra ciudad son las 1 de la mañana, qué hora será en estos países? a) Ecuador 7 horas menos; por tanto, serán las 5:00. b) Chile 6 horas menos; por tanto, serán las 6:00. c) Rumanía 1 horas más; por tanto, serán las 13:00. d) Marruecos horas menos; por tanto, serán las 10:00. 11.63 Indica el huso horario de los siguientes puntos de la superficie terrestre de los cuales se conoce su longitud geográfica. a) 15 E 9 husos horarios, 10 horas más b) 95 O 7 husos horarios, 8 horas menos c) 119 30 E 8 husos horarios, 9 horas más d) 105 13 O 8 husos horarios, 9 horas menos
Actividades finales P A R A P R A C T I C A R Y A P L I C A R 11.64 Los siguientes cuerpos se han obtenido girando una figura plana sobre un eje de giro e. Determina en cada caso la figura y el eje de giro. a) b) a) Dos rectángulos con un lado alineado. b) Un triángulo isósceles que gira sobre el lado desigual. 11.65 Cuántos planos de simetría se pueden encontrar en las siguientes figuras? Dibújalos. a) b) a) Hay infinitos planos de simetría: todos los que contienen al eje que pasa por el vértice y es perpendicular a la base. b) Hay cuatro planos de simetría: los indicados en la figura. 11.66 Calcula el radio del paralelo cuya latitud es 30 sabiendo que BO 6 371 km AO. Aplicando Pitágoras: r BO AO 6 371 5,5 3 18 5 517,45 km N A O r 30 B 11.67 Las dimensiones de la base rectangular de una pirámide son 10 y 7 centímetros. Las aristas de las caras laterales miden 8,5 centímetros. a) Calcula la altura de la pirámide. b) Halla la diagonal de la base. a) Hallamos la diagonal de la base: d 7 0 1 1,1 cm h 8,5 6,105 5,91 cm b) d 1,1 cm
11.68 En un centro escolar, con motivo de la semana cultural, se organiza una competición de escaléxtric sobre un circuito como el de la figura. a) Qué longitud recorre el coche que va por el carril exterior? b) Cuál es la longitud que recorre el coche que va por el carril interior? 10 cm a) l ext (8 5) r exterior 00 15 94, cm 1 b) l int (8 5) r interior 00 10 6,83 cm 11.69 Determina la superficie de las etiquetas de los siguientes botes de conserva. 6 cm 3, 3 cm a) A L 3,5 3 1 65,97 cm b) A L 3 5 30 94, 11.70 Calcula el volumen de estos cuerpos geométricos. 10 cm cm 3 cm 10 cm 8 cm 7 cm En ambos casos, aplicamos el principio de Cavalieri y calculamos el volumen como el producto del área de la base por la altura. a) Área base 10 0 cm Volumen área base altura 0 8 160 cm 3 b) Área base 5 3 1 Volumen área base altura 15 7 10 3
11.71 Halla el área y el volumen de estos objetos. Baúl. A lateral prisma 5 5 5 50 3 750 cm A base prisma 50 5 1 50 cm A lateral semicilindro 1,5 50 1 963,50 cm cm 3 cm A base semicilindro 1 1,5 45,44 cm A baúl 3 750 1 50 1 963,50 45,44 7 454,38 cm V prisma 50 5 5 31 50 cm 3 V semicilindro 1 1,5 50 1 71,8 3 V baúl 31 50 1 71,85 43 51,8 3 Salero. A lateral cilindro 3 5 30 cm A base cilindro 3 9 cm Calculamos la generatriz del tronco de cono: g 3 1 3,16 cm Para calcular el área y el volumen del tronco de cono necesitamos calcular tanto la altura como la generatriz del cono entero del que procede. Llamando x y g a la altura y a la generatriz del cono cortado, respectivamente, se cumplirá x 3 x g 10 x 6 cm g 3 3 g 10 cm A lateral tronco cono 3 (g 10 ) g 5 10 15,81 cm (Se puede ver fácilmente que el área lateral de un tronco de cono es igual a g (R R ), siendo R y R los radios de las bases del tronco y g su generatriz). A base superior 4 cm A salero 30 9 15,8 4 58,8 184,73 cm V cilindro 3 5 45 cm 3 V tronco de cono V cono grande V cono pequeño 1 3 3 (x 3) x 19 59,69 cm 3 V cuerpo V cilindro V tronco 45 19 64 01,06 cm 3 50 cm 3 cm 11.7 La superficie lateral de una pirámide recta de base cuadrada es de 640 centímetros cuadrados. Sabiendo que el área de la base es de 56 centímetros cuadrados, calcula su volumen. Si el área de la base es de 56 m, entonces el lado de la base mide: l 56 16 cm A L p apot ema cara ; 640 4 1 6 a a 0 cm. Calculamos la altura aplicando el teorema de Pitágoras: h 0 8 18,33 cm V 1 3 16 18,33 1 564,19 cm 3 11.73 Calcula el volumen y el área total del cuerpo geométrico que se genera al hacer girar la figura plana sobre el eje. Al girar se genera un cuerpo compuesto de una semiesfera de radio 6 cm y un cono de radio de la base igual a 6 cm y de altura h. Calculamos h 10 6 8 cm. A semiesfera 6 7 cm A cono 6 10 10 cm A figura 7 10 19 603,19 cm V semiesfera 4 6 63 144 cm 3 V cono 1 3 6 8 96 cm 3 e 6 cm 10 cm V figura 144 96 40 753,98 cm 3
11.74 Un tornero construye una pieza a partir de un cilindro de madera. 0 cm 10 cm 6 cm 6 cm Cuántos centímetros cúbicos de madera se pierden en su construcción? Volumen del cilindro inicial 10 0 000 cm 3 6 83,19 cm 3 La figura final se descompone en tres figuras: un cilindro mayor, un tronco de cono y un cilindro menor. Se calcula la altura del tronco de cono, h: h 5 4 3 cm Entonces la altura del primer cilindro, h, cumple: h 3 6 0 h 11 cm V cilindro mayor 10 11 3 455,7 3 Para hallar el volumen del tronco de cono necesitamos hallar la altura del cono mayor. 3 x x x 4, 10 6 V tronco de cono V cono mayor V cono menor 10 7,5 6 4,5 615,7 3 V cilindro menor 6 6 678,58 cm 3 V figura 3 455,75 615,75 678,58 4 750,08 cm 3 V madera perdida V cilindro inicial V figura final 6 83,18 4 750,08 1 533,1 cm 3 Por tanto, al construir la pieza se han perdido 1 533,1 cm 3 de madera.
P A R A R E F O R Z A R 11.75 Los siguientes cuerpos se han obtenido haciendo girar un polígono sobre un eje. Determina el polígono y el eje de giro. a) b) a) En este caso el polígono es un triángulo rectángulo girando sobre un cateto (ver figura). b) La figura se obtiene a partir de un rectángulo que gira alrededor de su base (ver figura). 11.76 Dibuja en tu cuaderno un rectángulo de lados 4 y centímetros. Qué figura se obtiene al hacerlo girar sobre el lado mayor? Se obtiene un cilindro de altura 4 cm y radio de la base igual a cm. 11.77 Indica la latitud y la longitud del punto señalado en la esfera terrestre. Longitud 30 E; latitud 50 N. Meridiano de Greenwich O N A 50 30 E S 11.78 Halla el área de las siguientes figuras. a) b) 6 cm 7 cm 4,03 cm 8 cm 1 cm 1 cm 1 cm 1 cm a) Descomponemos la figura como suma de un trapecio, un rectángulo y un semicírculo. A trapecio 1 5 6 51 cm A rectángulo 8 1 96 cm A semicírculo 1 6 56,5 A 51 96 56,55 03,5 b) Descomponemos la figura como suma de un rectángulo y un triángulo rectángulo. A rectángulo 1 7 147 cm A triángulo 1 1 1 7 cm A 147 7 19 cm
11.79 Di cuál es el volumen de cada cuerpo geométrico. a) c) 1 cm 14 cm 4 cm 7 cm 10 cm b) d) 6 cm 1 cm 4 cm 9 cm a) V 1 3 7 1 196 615,7 3 b) V 1 3 5 1 100 cm 3 c) Calculamos la altura del cono mayor: 4 x x x 9,33 cm 10 7 V tronco V cono mayor V cono menor 1 3 10 13,33 1 3 7 9,33 917,167 cm 3 d) Calculamos la altura de la pirámide mayor 4 x x x 8 cm 4,5 3 V tronco V pirámide mayor V pirámide menor 1 3 9 1 1 3 6 8 8 cm 3
P A R A A M P L I A R 11.80 Dos linternas proyectan en la pared dos círculos de radio 1 metro, uno de color amarillo y otro de color azul, respectivamente. Calcula el área de la región de color verde. h 1,5 0 0,866 m El área buscada será la suma del área del sector circular de amplitud 10 y de los dos segmentos circulares iguales marcados en la figura. O h O A 1 360 10 1 60 3 1 60 0,866 1,3 m 11.81 Dibuja un tronco de pirámide de base cuadrada. Los lados de las bases miden 8 y 15 centímetros, y la altura, 7. 8 cm a) Halla la apotema de la pirámide. b) Halla el área de cada una de las bases. c) Halla el área de una cara. 7 cm d) Halla el volumen del tronco de la pirámide. a) La apotema de la pirámide se calcula usando semejanza de triángulos: a) La altura de la pirámide pequeña es: x 7 x x 8 cm 7,5 4 a) Luego la apotema de la pirámide usando el Teorema de Pitágoras es: a) a 15 7,5 16,77 cm b) El área de las bases es: A 15 15 y a 8 8 64 cm c) El área de cada cara es: Área 15 8 7,83 90 cm d) El volumen del tronco de la pirámide será: a) V pirámide mayor V pirámide menor 1 3 15 15 1 3 8 7 975,67 cm 3 11.8 Una empresa empaqueta pelotas de tenis con los siguientes envases. Si el radio de cada pelota es de 3 centímetros, qué envase deja mayor volumen sin ocupar? V pelota 4 3 33 113,1 cm 3 Cilindro: V cilindro 3 4 678,58 cm 3 V hueco V cilindro 4 V pelota 678,58 4 113,1 6,18 cm 3 Prisma: V prisma 1 1 6 864 cm 3 V hueco V prisma 4 V pelota 864 4 113,1 411,6 cm 3 Cilindro: d 6 8,48 El radio de la base del cilindro será: 1 (8,485 6) 7,4 cm V cilindro 7,4 6 988,0 3 V hueco V cilindro 4 V pelota 988,05 4 113,1 535,6 3 Por tanto, el que deja mayor volumen sin ocupar es el tercero.
11.83 Copia y completa la siguiente tabla con los volúmenes del cono, de la semiesfera y del cilindro. Qué relación existe entre ellos? Volumen Cono 1 3 R 3 R Semiesfera 3 R 3 R Cilindro R 3 V cilindro R R R 3 V semiesfera 1 4 3 R 3 4 6 R 3 cm 3 3 R 3 V cono 1 3 R R 1 3 R 3 Así pues, se verifica que: V cilindro V cono V semiesfera
P A R A I N T E R P R E T A R Y R E S O L V E R 11.84 Mantenimiento de piscinas El croquis de la figura representa una piscina cuyas dimensiones son de 10 3 metros. La altura mínima del nivel de agua es de 1,8 metros, y la altura máxima, de,5. El suelo de la piscina es horizontal en un tramo de 5 metros, a partir de los cuales comienza a descender. a) Calcula el volumen de agua que contiene la piscina en litros. b) Calcula cuántos litros de agua se deben añadir para que el nivel suba 5 centímetros. Se puede considerar que la figura es un prima cuya base está formada por un rectángulo de dimensiones 1,8 y 5 metros y un trapecio de bases 1,8 y,5 metros y altura 5 m. a) V área base altura 1,8 5 1,8,5 5 3 59,5 m 3 b) 10 3 0,05 1,5 m 3 Deberán añadirse 1 500 litros 11.85 El salón de actos. La dirección de un centro docente ha decidido construir un pequeño salón de actos, para lo cual establece las siguientes especificaciones. Debe tener capacidad para 10 personas. Los asientos se deben colocar alineados en filas y columnas formando un rectángulo. El número de filas no puede ser superior a 0. El número de columnas no puede ser superior a 1. La longitud de la sala debe ser igual a la del número de butacas de cada fila más 3 metros. La anchura de la sala debe ser igual a la del número de butacas de cada columna más 5 metros. a) Estudia de cuántas formas diferentes se pueden colocar los 10 asientos. b) Calcula la disposición con menor área total. a) Las posibles disposiciones son: 0 filas y 6 columnas: Área: (0 3) (6 5) 53 m 15 filas y 8 columnas: Área: (15 3) (8 5) 34 m 1 filas y 10 columnas: Área: (1 3) (10 5) 5 m 10 filas y 1 columnas: Área: (10 3) (1 5) 1 m b) La disposición con menor área total es de 10 filas y 1 columnas.
A U T O E V A L U A C I Ó N 11.A1 Halla la diagonal en un ortoedro de dimensiones 15,3 1,6 7,8 centímetros. 11.A 11.A3 d 15,3 1,6 7,8 1,3 cm La base de la pirámide de Keops, en Egipto, es cuadrada. La altura mide 146 metros, y el lado de la base, 30. Halla la apotema de una cara. A 146 115 185,85 m Un avión sobrevuela el paralelo 60 N. Halla la distancia recorrida sobre el paralelo si se mueve entre los puntos de longitudes 30 E y 60 O, respectivamente. El radio del paralelo es 3185 kilómetros. La distancia será la del arco de un sector circular de ángulo 90 y radio el del paralelo: d R 360 90 3 185 5 003 kilómetros 11.A4 Halla el área y el volumen de los siguientes cuerpos geométricos. a) 3 cm b) 6 cm 6 cm 10 cm a) A 5 3 5 80 51,33 cm V 5 3 75 35,6 cm 3 b) Calculamos la apotema de la cara: a 10 3 10,44 cm A 4 6 1 0,44 6 161,8 cm V 1 3 6 10 10 cm 3 11.A5 Calcula el área y el volumen de una pelota de diámetro 10 centímetros. A 4 5 100 314,16 cm V 4 3 53 53,60 cm 3 11.A6 Los técnicos del Ayuntamiento han detectado que la piscina municipal pierde agua por una fisura. La mejor solución es pintarla con una capa de fibra de vidrio. Qué superficie necesitan pintar? 0 m Descomponemos la figura del siguiente modo: A trapecio lateral 3 1 10 0 m 10 m A rectángulo lateral mayor 10 3 30 m A rectángulo lateral menor 10 1 10 m 3 m A base plana 10 100 m 10 m Para calcular el área de la base inclinada tenemos que hallar el lado x. x 10 10,0 m A base inclinada 10 10,0 10 m Por tanto, la superficie total que hay que pintar es: A total 0 3 30 10 100 10 34 m 1 m
11.A7 Determina el área total y el volumen de los siguientes cuerpos geométricos. a) 6 cm 8 cm 10 cm b) 3 cm 6 cm a) Calculamos la generatriz g del tronco de cono: g 8 4 8,94 cm A L (10 6) 8,94 449,37 cm A T 449,37 10 6 876,63 cm Para calcular el volumen hemos de hallar la altura del cono grande: 8 x x x 1 cm 10 6 V tronco V cono mayor V cono menor 1 3 10 0 1 3 6 1 1 64 cm 3 b) AL 6 5 6 3 6 144 cm Para calcular el área de las bases, tenemos que calcular las apotemas de cada base. a 5,5 4,33 cm A base mayor 6 5 4,33 64,9 a 3,5 1,6 cm A base menor 6 3,6 3,4 cm A T 144 64,95 3,4 3,3 Para calcular el volumen tenemos que hallar, en primer lugar, la altura del tronco de pirámide, y luego, la altura de la pirámide grande. h 6,73 1 5,74 5,7 45 x x x 8,63 cm 4, 33,6 V tronco de pirámide V pirámide grande V pirámide pequeña 1 3 64,95 (8,63 5,745) 1 3,4 8,63 43,90 cm3 3
E N T R E T E N I D O SIN DERRAMAR UNA GOTA El objetivo de este juego es conseguir medir exactamente 6 litros de agua con la única ayuda de dos recipientes: uno de 4 litros y otro de 7 litros de capacidad. Cuál es el menor número de maniobras que necesitas hacer para conseguirlo? Son necesarias 6 maniobras para obtener los 6 litros. Contenido del Contenido del Qué hacemos? recipiente de 7 litros recipiente de 4 litros de capacidad de capacidad Llenar el recipiente Maniobra 1. a de 7 litros 7 litros 0 litros Llenar el recipiente de Maniobra. a 4 litros con el contenido 7 4 3 litros 4 litros del de 7 litros