REPASO DEL CAPÍTULO 4

REPASO DEL CAPÍTULO 4 Términos, símbolos y conceptos importantes 4.1 Plano cartesiano o plano xy, ejes de coordenadas, eje x, eje y, origen. Coordenadas cartesianas, abscisa o coordenada x, ordenada o coordenada y. Primero, segundo, tercero y cuarto cuadrantes. Gráfica de una ecuación. 4.2 Elevación y desplaamiento (recorrido) de P a Q. Pendiente de una recta. Fórmula punto pendiente. Fórmula pendiente ordenada al origen. Ecuación lineal general. Rectas horiontal y vertical. Rectas paralelas y perpendiculares. Graficación de una ecuación lineal utiliando las intercepciones o usando un punto y la pendiente. 4.3 Modelo lineal de costos, costos fijos, costos variables. Depreciación lineal. Tasa de sustitución. Ley de la demanda, curva de demanda. Ley de la oferta, curva de oferta. 4.4 Sistema de ecuaciones lineales. Solución de un sistema de ecuaciones. Método de sustitución. Método de la suma. Interpretación geométrica de un sistema y su solución. 4.5 Punto de equilibrio. Equilibrio del mercado, precio y cantidad de equilibrio. Impuesto a las ventas, subsidio. Fórmulas La fórmula de distancia: d (x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 ) 2 Pendiente de una recta: m y y1 x2 2 x1 Fórmula punto pendiente: y y 1 m(x x 1 ) Fórmula pendiente ordenada al origen: y mx b Recta horiontal: y b. Recta vertical: x a Ecuación lineal general: Ax By C 0 Rectas paralelas: m 1 m 2 Rectas perpendiculares: m 1 m 2 1 PROBLEMAS DE REPASO DEL CAPÍTULO 4 1. Estableca la veracidad o falsedad de cada una de las proposiciones siguientes. Cada enunciado falso cámbielo por una proposición verdadera correspondiente. a) Cada punto en el eje x tiene abscisaigual a cero. b) Cada punto en el eje y tiene coordenada y igual a cero. c) Si un punto está en el tercer cuadrante, entonces x 0 y y 0. d) Una recta horiontal tiene pendiente igual a cero. e) La pendiente de la recta que pasa por los dos puntos (x 1, y 2 y 1 y 1 ) y (x 2, y 2 ) tiene pendiente m = x2 x, para cualesquiera valores x 1 1, x 2, y 1, y 2. f) La ecuación y k, con k una constante representa una recta vertical. g) La distancia del punto (a, b) al origen (0, 0) está dada por a 2 b 2. h) Si x y 0, entonces el punto (x, y) está en el segundo o tercer cuadrante. i) Si x y 0, entonces el punto (x, y) está en el primero o tercer cuadrante. j) Si una recta asciende cuando avana de iquierda aderecha, entonces la pendiente de la recta es positiva. k) La ecuación de cualquier recta vertical es de la forma x k, con k una constante. l) Si el costo variable por unidad por producir cierto artículo es constante, entonces el artículo sigue un modelo de costo lineal. m) La ecuación Ax By C 0 representa una línea recta para cualesquiera valores de A, B y C. (2-12) Determine una ecuación para la recta que cumple conlas condiciones dadas. 2. Pasa por los puntos (1, 1) y ( 5, 10) 3. Pasa por los puntos (7, 3) y (5, 4) 4. Pasa por los puntos (2, 0) y (0, 7) 5. Pasa por los puntos (3, 0) y (5, 0) 168 CAPÍTULO 4 LÍNEAS RECTAS

6. Pasa por los puntos (0, 0) y (7, 6) 7. Pasa por los punto (0, 6) y tiene pendiente 3 8. Pasa por el punto ( 2, 3) y tiene pendiente 1 2 9. Pasa por el punto ( 2, 5) y tiene pendiente 0 10. Pasa por el punto ( 3, 8) y su pendiente no está definida. 11. Pasa por el punto de intersección de las rectas x 2y 6 0 y 3x 5y 8 0 y es paralela a la recta x 3y 1 0 12. Pasa por el punto de intersección de las rectas 3x 4y 10 0 y 7x 9y 12 0 y es perpendicular a la recta 2x 5y 10 0 13. Determine las coordenadas de las intersecciones de la recta 7x 2y 42 0 con los ejes de coordenadas. 14. Determine las intersecciones con los ejes de coordenadas de la recta que pasa por (2, 1) y es perpendicular a la recta 5x 2y 5 0 (15-30) Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones. 15. x 2y 6; 3x 5y 8 16. x 2 y 3x 2; 3 2 5 y 3 14 17. 3 x 5 y 3 1 3 5 ; 4 3 14 2 x 3 y 84 18. 3a b 1; a 2b 5 19. 2x 3y 1; 2x y 5 20. 3p q 4; 12p 4q 10 21. 6x 15y 3; 2x 5y 1 22. 2x 5y 12; 6x 15y 24 23. *24. 25. 2u 3v 8w 47 u v w 3 5u 2v w 4 2p 3q 2r 1 5p 6q r 1 17p 3q 6r 1 2 x 3 y 2 1 5 x 6 y 1 1 1 7 3 x y 6 1 (Sugerencia: Haga p 1 x, q 1 y y r 1 ) 26. *27. 1 x 1 x 1 ; xy 6 6 *28. 2x 3y 4; 6xy 21 5x 3y 2 11 3x 2y 7 26 8x y 3 *29. 2u 3v 3; 2 u 5 v 7 3 *30. pq 3; 14p 6q 9 (31-50) 31. (Distribución de materia prima) Una empresa fabrica sillas y mesas, para cada silla utilia 2 tablones de caoba y para cada mesa 5 tablones de caoba. Si se disponen de 400 tablones de caoba en la bodega, encuentre una relación entre el número de sillas y mesas que pueden fabricarse si se utilian todos los tablones de caoba. 32. (Modelo lineal de costo) Jonathan Cháve produce juguetes didácticos, para la fabricación de estos juguetes tiene costos fijos mensuales de $2000 y el costo de producir cada unidad es $25. Determine una ecuación que relacione los costos. Cuál es el costo de producir 200 juguetes? 33. (Inversiones) Ana Jimena recibió $2800 por concepto de intereses por dos inversiones, con la primera ganó 5% y con la segunda 6%. Si este año las tasas de interés se cambian y los ingresos serán de $2700, cuál es el monto de cada inversión? 34. (Mecla de nueces) Verónica Pére mecló 10 kilogramos de nueces con 20 kilogramos de pistaches para obtener una mecla de 30 kg con un valor de $420. Después elaboró otra mecla de 23 kilogramos con un valor de total de $300, ésta la obtuvo meclando 15 kilogramos de nueces con 8 kilogramos de pistaches. Cuál es el precio por kilogramo de las nueces y de los pistaches? 35. (Modelo lineal de costo) Francisco Gonále en su negocio tiene costos fijos de $2500 y costos variables de $20 por unidad. Determine una ecuación que relacione los costos con la producción. Cuál es el costo de producir 150 unidades? 36. (Modelo lineal de costo) Christian Jiméne determina que si produce 100 artículos el costo total es de $500, mientras que si produce 150 artículos el costo total es de $600. Si supone que el modelo de costo-producción es lineal, determine el costo fijo y los costos variables. Cuál será el costo de producir 200 artículos? 37. (Inversiones) Paloma Verónica tiene dos inversiones en la primera obtiene una tasa de interés de 6%, en la segunda la tasa es de 8% y el total de intereses que obtuvo por las dos inversiones fue $220. Si el monto que invirtió en la prime- PROBLEMAS DE REPASO DEL CAPÍTULO 4 169

ra fue el doble de lo que invirtió en la segunda, cuánto invirtió en cada una de ellas? 38. (Decisiones sobre fabricación) Gustavo Maldonado fabrica relojes los entrega en un estuche de madera. Cada estuche lo compra en $5. Él está considerando fabricarlos estuches con costos fijos de $2500 al año y un costo variable de $2.50 por estuche. Cuántos estuches debe requerir Gustavo al año para justificar que éllos produca? 39. (Meclas) Atenea Acosta, profesora de química, en el laboratorio tiene dos soluciones de ácido sulfúrico una al 10% y otra al 5%. Cuántos litros de cada solución debe meclar para obtener una solución de ácido al 8%? 40. (Meclas) En su dulcería Gustavo Olivas vende caramelos y chocolates. Los caramelos los vende a $0.50 cada 100 gramos y los chocolates a $0.80 los 100 gramos. Si Gustavo hará 30 bolsitas, con una mecla de chocolates y caramelos, cada una con 100 gramos, cuántos gramos de chocolates y cuántos gramos de caramelos debe meclar para que el costo de la mecla sea de $0.70 por cada 100 gramos? 41. (Punto de equilibrio) Áurea y Manuel Ortuño determinan que el punto de equilibrio del mercado para su producto ocurre cuando el volumen de ventas alcana $70,000. Los costos fijos son $30,000 y cada unidad se vende en $140. Determine el costo variable por unidad. 42. (Punto de equilibrio, ingresos y pérdidas) Carolina Leticia vende collares en $9 cada uno, y vende todos los que pueda producir. Si los costos fijos al año son $4500 y los costos variables son $6 por collar. a) Cuántos collares debe producir y vender Carolina Leticia para que llegue al equilibrio? b) Determine elingreso total recibido por la venta de collares en el punto de equilibrio. c) Cuántos collares debe producir y vender para tener una ganancia de $30,000? d) Cuántos collares debe producir y vender para tener una pérdida de $900? 43. (Punto de equilibrio del mercado) Si las leyes de la demanda y la oferta de un producto son las siguientes: D: p 30 2x S: p 5x 2 determine el precio de equilibrio y la cantidad de equilibrio. 44. (Punto de equilibrio del mercado) Una compañía que produce fósforos vende sus cajas de cerillas a $0.50 cada una. Si x es el número de cajas producidas a la semana (en miles), entonces Samantha Omaña, la administradora, sabe que los costos de producción están dados por yc 20x 2 240x 800 Determine el nivel de producción en el que la compañía llega al punto de equilibrio. 45. (Utilidades y pérdidas) Con respecto al problema anterior, a) Determine el nivel de producción para obtener una ganancia de $6080 semanales. b) Si en una semana se tienen pérdidas por $45, cuál fue el nivel de producción? 46. (Impuesto y punto de equilibrio del mercado) La ley de la demanda para cierto artículo es 20 8x 1600 y la ley de la oferta es 3x 4p 140. a) Determine el precio y la cantidad de equilibrio. b) Determine el precio y la cantidad de equilibrio después de que se ha fijado un impuesto de $4 por unidad. c) Determine el incremento en el precio y la disminución en la cantidad demandada. 47. (Inversiones) Gerardo Villaseñor invierte un total de $10,000 en papel comercial, bonos y depósito a plao fijo, que le producen intereses a tasas de interés de 6%, 5% y 8%, respectivamente. Si el total que recibe por los intereses es $660 y recibe la misma cantidad de intereses por las inversiones en bonos y papel comercial, determine la cantidad que invirtió Gerardo en cada tipo de inversión. 48. (Decisiones sobre producción) Para la producción mensual de mochilas para viaje, Blanca Aucena puede hacerlo fabricándolas por completo en su taller, o bien encargar parte del proceso a una empresa y realiar la terminación en su taller. El costo de producir x unidades por el primer método es (8x 3500) dólares, mientras que por el segundo método cuestan (13x 700) dólares. Blanca Aucena puede vender todas las mochilas que produca a $25 cada una. Cuál método de producción deberá utiliar si las ventas proyectadas en un mes son de: a) 200 mochilas? b) 400 mochilas? c) 800 mochilas? 49. (Relación de demanda) Un súbito aumento en el costo de la plata obligó a una compañía fabricante de rollos fotográficos a incrementar el precio del rollo para 20 exposiciones de $2.25 a $2.50. Como resultado de esta decisión, las ventas mensuales cayeron de 3 a 2.6 millones de rollos. a) Determine la relación lineal (en la forma pendiente-ordenada al origen) que describa el precio p en dólares en términos de las ventas mensuales x expresadas en millones de rollos. b) Suponiendo que la relación lineal deducida se sigue cumpliendo, qué hubiese sucedido con las ventas si la compañía baja su precio a $2.00 por rollo? 50. (Decisiones sobre fabricación o maquilación) Camas El Sueño Tranquilo compra las cabeceras para la cama al precio de $250 cada una. Cecilio Shamar, el administrador, está considerando fabricar sus propias cabeceras con costos fijos de $50,000 al año y un costo variable de $130 por cada cabecera. Cuántas cabeceras debe requerir al año para justificar su fabricación por la empresa misma? 170 CAPÍTULO 4 LÍNEAS RECTAS

15. En el ejemplo 4, suponga que, debido al cambio en el mercado de las viviendas, todos los departamentos están rentados cuando la renta es $240, pero aún quedará vacante un departamento por cada $5 de aumento en la renta. Entonces cuál es la renta óptima? nas habitaciones quedarán vacías. En promedio, por cada incremento de alquiler de $5, una habitación quedará vacía sin posibilidad alguna de alquilarse. Determine la relación funcional entre el ingreso mensual total y el número de habitaciones vacías. Qué alquiler mensual maximiaría el ingreso total? Cuál es este ingreso máximo? Solución Sea x el número de unidades vacías. El número de departamentos alquilados es entonces 60 x y el alquiler mensual por habitación es (200 5x) dólares. Si I denota el ingreso mensual total (en dólares), se sigue que I (Renta por unidad)(número de unidades rentadas) (200 5x) (60 x) 5x 2 100x 12,000 El ingreso mensual total I es una función cuadrática de x con a 5, b 100 y c 12,000 La gráfica de R es una parábola que se abre hacia abajo (dado que a 0) y su vértice es el punto máximo. El vértice está dado por b 100 x 2a 2( 5) 10 I 5(10) 2 100(10) 12,000 12,500 Respuesta R (240 5x)(60 x) tiene vértice cuando x 6 y la renta óptima es $270. En consecuencia, si 10 unidades están desocupadas, los ingresos son máximos. El alquiler por habitación es entonces de (200 5x) dólares o $250 y el ingreso total es de $12,500 al mes. 15 EJERCICIOS 5-2 (1-6) Determine los vértices de las siguientes parábolas. l. y 2x 2 3 2. y 1 x 2 3. y x 2 2x 2 4. y x 2 3x 3 5. y 2 x 2x 2 6. y 2x x 2 (7-10) Bosqueje las siguientes parábolas y determine sus vértices. 7. y 2x 2 3x 1 8. y 4x x 2 9. y 3 x 3x 2 10. y 4x 2 16x 4 (11-14) Determine el valor mínimo o máximo, según el caso, de las funciones siguientes. 11. f (x) x 2 3x 12. f (x) 2x 5x 2 13. f (x) 1 x x 2 14. f (x) 3x 2 x 1 15. (Ingreso máximo) El ingreso mensual por concepto de la venta de x unidades de cierto artículo está dado por R(x) 12x 0.01x 2 dólares. Determine el número de unidades que deben venderse cada mes con el propósito de maximiar el ingreso. Cuál es el correspondiente ingreso máximo? 16. (Utilidad máxima) La utilidad P(x) obtenida por fabricar y vender x unidades de cierto producto está dada por P(x) 60x x 2 Determine el número de unidades que deben producirse y venderse con el objetivo de maximiar la utilidad. Cuál es esta utilidad máxima? 17. (Ingresos y utilidad máximas) Una empresa tiene costos fijos mensuales de $2000 y el costo variable por unidad de su producto es de $25. a) Determine la función de costo. 192 CAPÍTULO 5 FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS

b) El ingreso I obtenido por vender x unidades está dado por I(x) 60x 0.01x 2. Determine el número de unidades que deben venderse al mes de modo que maximicen el ingreso. Cuál es este ingreso máximo? c) Cuántas unidades deben producirse y venderse al mes con el propósito de obtener una utilidad máxima? Cuál es esta utilidad máxima? 18. (Costo mínimo) El costo promedio por unidad (en dólares) al producir x unidades de cierto artículo es C(x) 20 0.06x 0.0002x 2. Qué número de unidades producidas minimiarían el costo promedio? Cuál es el correspondiente costo mínimo por unidad? 19. (Cercado) Un granjero tiene 500 yardas de cerca con la cual delimitará un corral rectangular. Cuál es el área máxima que puede cercar? 20. (Decisiones sobre cultivos) La producción de mananas de cada árbol en un huerto es de (500 5x) kilos, en donde x es la densidad con que se plantan los árboles (es decir, el número de árboles por acre. Determine el valor de x que haga que la producción total por acre sea máxima. 21. (Agricultura) Si las plantas de arro se siembran con una densidad de x plantas por pie cuadrado, la producción de arro en cierta plantación es de x(10 0.5x) bushels por acre. Qué valor de x maximia la producción por acre? 22. (Decisiones sobre cultivos) Si los mananos se plantan con una densidad de 30 por acre, el valor de la cosecha producida por cada árbol es de $180. Por cada árbol adicional que se planta en un acre, el valor de la cosecha disminuye en $3. Cuál es el número de árboles que deben plantarse por acre con objeto de obtener el valor máximo de la cosecha? Cuál es este valor máximo por acre de la cosecha? 23. (Fijación del precio de un libro) Si un editor fija el precio de un libro en $20 cada uno, venderá 10,000 ejemplares. Por cada dólar de incremento en el precio, las ventas bajan en 400 copias. Qué precio debería fijar a cada libro de modo que el ingreso sea máximo? Cuál es el valor de este ingreso máximo? 24. (Decisiones sobre fijación de precios) En el ejercicio 23, el costo de producir cada ejemplar es de $13. Qué precio deberá fijar el editor a cada ejemplar con el propósito de que la utilidad sea máxima? 25. (Decisiones sobre fijación de alquileres) Bienes raíces orientales ha construido una nueva unidad de 40 departamentos para rentar. Se sabe por las investigaciones de mercado que si asigna una renta de $150 al mes, se ocuparán todos los departamentos. Por cada incremento de $5 en la renta, un departamento quedará vacío. Qué renta mensual deberá asignar a cada departamento de modo que obtenga ingresos por rentas mensuales máximos? Calcule este ingreso máximo. 26. (Decisiones sobre fijación de precios) La demanda del mercado de cierto producto es de x unidades cuando el precio fijado al consumidor es de p dólares, en donde 15p 2x 720 El costo (en dólares) de producir x unidades está dado por C(x) 200 6x. Qué precio p por unidad deberá fijarse al consumidor con objeto de que la utilidad sea máxima? 27. Demuestre que el vértice de la parábola cuya ecuación es y a(x h) 2 k está en el punto (h, k). 5-3 MÁS FUNCIONES ELEMENTALES Y SUS GRÁFICAS 16. Cuál es la gráfica de f en el caso n 1? Respuesta Una línea recta que pasa por el origen con pendiente a. En esta sección, estudiaremos algunas funciones elementales de uso e interés común. Funciones potencia Una función de la forma f (x) ax n en donde a y n son constantes distintas de cero, se denomina función potencia. Consideraremos algunos casos especiales de funciones de este tipo. 1. n 2: En este caso f (x) ax 2, y tenemos un caso especial de las funciones cuadráticas expuestas en la sección 2. La gráfica de y ax 2 es una parábola con vértice en el origen, que se abre hacia arriba si a 0 y hacia abajo si a 0. 16 SECCIÓN 5-3 MÁS FUNCIONES ELEMENTALES Y SUS GRÁFICAS 193