TEMA 0: Herramientas matemáticas

1 TEMA 0: Herramientas matemáticas Tema 0: Herramientas matemáticas 1. Campos escalares y vectoriales 2. Gradiente 3. Divergencia 4. Rotacional 5. Teoremas de Gauss y de Stokes 5. Representación gráfica de los campos. 6. Coordenadas curvilíneas ortogonales 7. Delta de Dirac 8. Teorema de Helmholtz 9. Clasificación de los campos según sus fuentes Apéndice J, K y Capítulo 1 de http://maxwell.ugr.es/salvador/tercero/fundamentos-em-06.pdf

2 Campos escalares y vectoriales. Notación Escalar: Cantidad física expresable en un sistema de unidades por un solo número (su magnitud). Vector ( a ): Cantidad física que precisa, además de su magnitud o módulo (definido positivo) una dirección y un sentido en el espacio. Notaremos su módulo por Suma de vectores: Vector dado por la regla del triángulo Negativo de un vector: Resta de vectores: a b a( b)

3 Campos escalares y vectoriales. Notación Producto de un escalar por un vector: Nuevo vector de módulo el valor absoluto del escalar por el modulo del vector, de igual dirección y sentido igual/opuesto si el escalar es positivo/negativo Vector unitario: a a a Producto escalar de dos vectores: a b a b cos a a a c a b a a bb Ortogonalidad: Dos vectores son ortogonales (perpendiculares) cuando su producto escalar es nulo.

Campos escalares y vectoriales. Notación Producto vectorial: (Pseudovector) Tiene el sentido de avance de un tornillo que gira desde el primero al segunod por el camino más corto (es anticonmutativo) NOTACIÓN a b a b 4

5 Sistema coordenado ortogonal: Dados tres vectores unitarios y ortogonales, cualquier otro se puede poner como combinación lineal de estos 3 1 2 3 1 3 2 1, con,, i i i i i i i ij j i a a a a e a a a e a e e e e e La base puede ser a izquierdas o a derechas Campos escalares y vectoriales. Notación

Campos escalares y vectoriales. Notación Producto vectorial en una base a derechas: 6

Coordenadas Cartesianas 7

8 Campos escalares y vectoriales. Notación Campo escalar: Función que a cada punto del espacio le asigna un escalar. Ej. Campo de presiones atmosféricas (líneas de isocampo) Campo vectorial: ( r ) Función que a cada punto del espacio le asigna un vector. Ej. Campo de velocidades en un fluido (líneas tangentes al campo) Fr ( ) Fre ( ) F( re ) F( re ) 1 1 2 2 3 3

9 Gradiente de un Campo Escalar Supongamos que en un sistema se hace un desplazamiento elemental, y estudiemos la variación del campo escalar a lo largo del mismo d l con 3 i1 dl e i i 3 i1 e l i d i 3 i1 dl l grad i i d l Al operador diferencial se le denomina nabla y a su aplicación a un campo escalar, gradiente del campo. Si d l dl l d l d l Máximo si el gradiente es paralelo al desplamiento Nulo (equiescalaridad) si el gradiente es perpendicular al desplazamiento Las superficies equiescalares son perpendiculares al vector gradiente

10 Flujo de un Campo Vectorial: Divergencia ( a) a d S NOTACIÓN div a S Cerrada: Normal a la superficie saliente Abierta: Normal a la superficie según regla del tornillo por el giro de su contorno Si el flujo a través de una superficie CERRADA es positivo diremos que el campo tiene fuentes positivas en el volumen encerrado por la superficie y fuentes negativas si el flujo es negativo. Cabe definir la densidad de fuentes en un punto rodeándolo de un volumen, calculando el flujo a través de su superficie y hacer tender el volumen a cero: a esto se le llama divergencia del campo lim V 0 SV a d S V ds n ds n ds

11 Circulación Campo Vectorial: Rotacional C L ( a ) a d l Si la circulación a lo largo de un de una camino CERRADO es nula diremos que el campo es conservativo (irrotacional). Cabe caracterizar el comportamiento de la circulación de un campo alrededor de un punto, rodeándolo de un camino sobre n el que se apoya una superfice de vector unitario, calculando la circulación sobre el camino y haciendo tender la superficie a cero L rot a rot a a d l Ln n n lim Sn 0 Sn Proyección del vector rotacional sobre la dirección n. Si es no nulo podemos afirmar que el campo RODEA al punto. El vector rotacional en una base dada { e, e, e } será rot a 1 2 3 rot a e rot a rot 1 e a 2 e3

Teoremas de Gauss y de Stokes TEOREMA DE LA DIVERGENCIA o DE GAUSS div a dv a V TEOREMA DEL ROTACIONAL o DE STOKES rot a ds S V a S VARIANTES rot a dv d S a V S V L S d d l S grad dl d S L S L dv d S V S V grad 12

Campos conservativos CONJUNTO DE AFIRMACIONES EQUIVALENTES 13

Operador Laplaciano SOBRE CAMPOS ESCALARES SOBRE CAMPOS VECTORIALES 14

Coordenadas Cartesianas ds dy dz x dz dx y dx dy z a a a grad x y z, div a a x y z x y z x y z x y z rot a a x y z a a a x y z 15

Representación gráfica de los campos. Líneas de campo (vectorial): líneas tangentes al campo en todos sus puntos 16

CAMPOS VECTORIALES DIVERGENTES 17

CAMPOS VECTORIALES ROTACIONALES 18

CAMPOS VECTORIALES DIVERGENTES Y ROTACIONALES 19

CAMPOS ESCALARES 20

21 Coordenadas Curvilíneas Ortogonales Las coordenadas (q 1, q 2, q 3 ) de un punto P pueden referirse a una base LOCAL de tres vectores tangentes a las curvas de corte de tres superficies, pertenecientes a tres familias distintas, que se corten ortogonalmente precisamente en P e e e, rotacion ciclica ( i, j, k) i j k Los vectores de la base e 1, e 2, e 3 son, pues, perpendiculares a cada una de las superficies f 1 =q 1,f 2 =q 2,f 3 =q 3 y por tanto, perpendiculares entre sí, y pueden ponerse en cada punto P como el gradiente normalizado de la función.

22 Coordenadas Curvilíneas Ortogonales El diferencial de longitud (desplazamiento elemental) es Con dl i la distancia en la dirección entre las superficies f i =q i y f i =q i +dq i. Por tanto en general se puede poner El vector diferencial de superficie viene dado por Con (i,j,k) rotación cíclica a derechas de (1,2,3) El diferencial de volumen dv dl1 dl2 dl3 h1 h2 h3 dq1 dq2 dq3 El vector de posición de un punto va desde el origen del sistema hasta el punto r r r 3 i1 r i e i

Coordenadas Curvilíneas: Operadores 23

24 Sistemas más usados CARTESIANAS 3 3 2 2 1 1 q z f q y f q x f Plano Plano Plano z z y y x x r z k e y j e x i e h h h,, 1 3 2 1 3 2 1 CILÍNDRICAS Plano Plano Cilindro 3 3 2 2 1 1 2 0, 0, q z f q f q f z z r k z e e e h h h,, 1,, 1 3 2 1 3 2 1

25 Sistemas más usados ESFÉRICAS 2 0, 0, 0, 3 3 2 2 1 1 q f q f r q r f Cono Plano Esfera r r r e e r e r h r h h,, sin, 1, 3 2 1 3 2 1

CARTESIANAS dl x dx, dl y dy, dl z dz ds dydzx dxdzy dxdyz dv dl dl dl dx dy dz x y z 26

CILÍNDRICAS Alternativamente dl d, dl d, dl z dz ds d dz d dz d d z dv d d dz 27

ESFÉRICAS Alternativamente dl r dr, dl rd, dl r sin d 2 ds r sin d d r r sin d dr rd dr dv d d dz 28

OPERADORES 29

OPERADORES 30

ALGUNAS RELACIONES UTILES 31

CONVERSIONES 2 2 x y y arctan x A Ax x Ay y Az z A A Az z 32

CONVERSIONES 2 2 2 r x y z y arctan x 2 2 x y arctan z A Ax x Ay y Az z Ar r A A 33

2 2 r z arctan z CONVERSIONES A A A A zz Ar r A A 34

DELTA DE DIRAC La Delta de Dirac es una función generalizada (distribución) f( x) ( x x ) f( x ) ( xx ) 1 0 0 0 DESPLAZAMIENTO ( x x ) ( x x) FUNCION PAR 0 0 más general 35

DELTA DE DIRAC y FUNCIÓN DE HEAVISIDE 36 0 si x 0 Funcion de Heaviside H( x) 1 si x 0 0 si x 0 H'( x) 0 si x0 No derivable en x 0 H'( xx) f( xdx ) lim f( x) f'( xdx ) f( x) H'( xx) ( xx) 0 0 0 0 x x Integrando por partes 0 0 0 x (n) En general f(x)δ (x x 0 x 0 '( xx ) f( x) dx ( xx ) f '( x) dxf '( x ) Derivada de la Delta de Dirac )dx ( 1) n f (n) (x 0 )

30 25 20 15 10 5 DELTA DE DIRAC: SUCESIÓN DE FUNCIONES lim ( x x ) ( xx ) a 0 a 0 0 a=1/2981 a=1/148 a=1/55 x 0 lim ( x x ) ( xx ) a 0 a 0 0 37

DELTA DE DIRAC Y TRANSFORMADA DE FOURIER 38 12.5 10 7.5 5 2.5-2.5 t a=1/40 a=1/20 a=1/10 sin ( tt')/ a a( ') 2 ( tt') 1/ a 1 j ( t t') t t e d 1/ a lim ( t t') ( tt') t' t' t' 1 (' ) 1 j t t jt' jt f ( t) f(t')δ(t' t)dt' f(t') e dt' d f(t') e dt' e d 2 2 t' t' t' F f(t') F( ) -1 F F( ) transformadas directa e inversa de Fourier de la función f(t), que existe si f(t) es de cuadrado sumable. t a0 j t 1 j t F f ( t) f(t) e dt F( ) F F( ) F( ) e d f ( t) t a 1 2 t t

DELTA DE DIRAC. PROPIEDADES ( ) 39

DELTA DE DIRAC EN 3D En otros sistemas coordenados 40

41 DELTA DE DIRAC Y LAPLACIANO TRES JUEGOS DE VARIABLES r xx yyzz, r' x' x y' yz' z, Rr r' x y z, ' x y z x y z x' y' z' 1 1 1 R 1 1 1 R ( R) ' ' 4 4 4 4 2 2 3 3 R R R R 2 2 2 2 1 1 0 si R 0 ' 2 2 2 R x y z 2 2 2 ( xx') ( y y') ( zz') si R 0 O O O O

42 TEOREMA DE HELMHOLTZ Las fuentes de un campo F lo determinan unívocamente si Tomando F la forma Espacios gradiente y rotacional: DISJUNTOS Si U f no existe ningun g U f g 2 porque g, g0 f, análogamente U g f porque f, f 0 g

TEOREMA DE HELMHOLTZ: DEMOSTRACIÓN Tomemos el volumen V de la figura, puntos interiores notaremos por r, encerrando o no a parte de las fuentes (V 0 ), y encerrando al punto r ' r ( i. e. R 0) P R 0 V ' La Delta de Dirac nos permite escribir para 43

44 TEOREMA DE HELMHOLTZ: DEMOSTRACIÓN (La segunda parte la probaremos sólo para el potencial escalar) Dado que F( r ') no es función de R sino de r,' y que la integración se hace en V Donde se ha tenido en cuenta que h Como quiera que 2 2 ( R) ' h( R), R ( x x') ( y y') ( z z 1 ' F( r ') 1 F( r ') f ( r) dv' ' ' ' dv' 4 V R 4 V R Haciendo uso del T. de Gauss, con S superficie que envuelve a V F( r ') ds' S ' R Haciendo tender V a infinito la integral de superficie se anula (por hipótesis F(r ) decrece según 1/r 2, 1/R decrece según 1/r y ds crece según r 2 ), y las fuentes sólo son no nulas dentro de V 0 ') 2

45 CLASIFICACIÓN DE LOS CAMPOS SEGÚN SUS FUENTES T. Stokes F dl RdS, R= rot F L S L T. Gauss F ds DdV, D= div F S V S (a) (b) (c) (d) (a) Irrotacional, solenoidal (b) Irrotacional, no solenoidal (c) Rotacional, solenoidal (d) Rotacional, no solenoidal

46 CLASIFICACIÓN DE LOS CAMPOS SEGÚN SUS FUENTES Campo irrotacional (fuentes vectoriales nulas) y solenoidal (fuentes escalares nulas) dentro de un volumen V. Para solución no trivial debe existir alguna región con fuentes no nulas fuera de V. Líneas de campo no se cierran sobre sí en V (campo conservativo) Tantas líneas de campo entran como salen de un V. D 0

47 CLASIFICACIÓN DE LOS CAMPOS SEGÚN SUS FUENTES Campo irrotacional (fuentes vectoriales nulas) y no solenoidal (fuentes escalares NO nulas) en V. Líneas de campo no se cierran sobre sí en V (campo conservativo) D 0 Las líneas de campo nacen o mueren en V en puntos con divergencia no nula

CLASIFICACIÓN DE LOS CAMPOS SEGÚN SUS FUENTES Campo rotacional (fuentes vectoriales NO nulas) y solenoidal (fuentes escalares nulas) en V. Líneas de campo se pueden cerrar sobre sí en V. g 0 Tantas líneas de campo entran como salen de un V. No nacen ni mueren en V. D 0 48

49 CLASIFICACIÓN DE LOS CAMPOS SEGÚN SUS FUENTES Campo rotacional (fuentes vectoriales NO nulas) y NO solenoidal (fuentes escalares NO nulas) en V. D 0 CAMPO ELECTROMAGNÉTICO: ECUACIONES DE MAXWELL SOLUCIÓN GENERAL EN VACÍO g A E V t BA 1 ( r', t R/ c) V( r, t) dv ' 4 0 R V ' J( r', t R/ c) A rt 0 (, ) dv' 4 R V '

EJEMPLOS: ONDAS EM INCIDENCIA EN AVIÓN METÁLICO FOCALIZACIÓN (LENTE BICONVEXA) FIBRA ÓPTICA http://maxwell.ugr.es/innov/innova.htm 50