du dv dp dt dh dp dv dt dp dt dv dt dt p 2 p José Agüera Soriano

du d d d dh d d d c c d d d d h h ( ) c d d d d s s c ( ) d 0 d d d d d d d José Agüera Soriano 0

CÁLCULO DE LAS FUNCIONES DE ESADO GASES PERFECOS CON CAPACIDADES CALORÍFICAS VARIABLES VAPOR DE AGUA DIAGRAMA -s DIAGRAMA h-s José Agüera Soriano 0

Caacidades caloríficas En gases que no son monoatómicos, existe una ibración entre los átomos de una molécula que consume energía térmica; tanta más cuanto más eleada sea la temeratura. Por ejemlo, se necesita más energía térmica ara asar de 000 a 00 grados, que ara asar de 00 a 0. Es decir, la caacidad calorífica es una función creciente de la temeratura. Por ejemlo, ara el CO (tabla 8): c = 37, kj/kmol o C ara = 300 K c = 6,3 kj/kmol o C ara = 3000 K José Agüera Soriano 0 3

Caacidades caloríficas Gases reales c du dh c (, ) c c (, ) d d Gases erfectos c du dh c () c c ( ) d d Gases monoatómicos c, 5 R, 5 R c José Agüera Soriano 0 4

Caacidades caloríficas medias c c c c = c ( ) igualdad de Mayer c c R c c 8,343 kj/kmol K _ c José Agüera Soriano 0 5

José Agüera Soriano 0 6 Energía interna d c du ( ) c u u 0 0 c c u u Integrando Utilizando alores medios de c entre 0 K y K (tablas 0): entre dos estados y :

Entalía Integrando entre dos estados y : h h dh c c d ( ) Utilizando alores medios de c entre 0 K y K (tablas 0): h h c 0 c 0 ambién odríamos sustituir c or la corresondiente exresión de la tabla 7, y desués integrar; ero resulta más fácil resoler con alores medios de las tablas 0. José Agüera Soriano 0 7

José Agüera Soriano 0 8

tablas 0 José Agüera Soriano 0 9

tabla0.: aire tabla0.: hidrógeno H tabla0.3: oxígeno O tabla0.4: nitrógeno N tabla0.5: agua H O tabla0.6: óxido carbono CO tabla0.7: bióxido carbono CO tabla0.8: metano CH 4 tabla0.9: amoníaco NH 3 José Agüera Soriano 0 0

EJERCICIO Diferencia de entalía del aire: = 330 K y = 960 K, a) c = 3,5R b) c ariable. Solución a) h h c ( ) 3,5 8,343(960 330) 76533 kj/kmol José Agüera Soriano 0

Solución b) Interolamos entre 950 K y 3000 K (tabla 0.) José Agüera Soriano 0

Solución b) Interolamos entre 960 K y 3000 K (tabla 0.) 950 5,7870 34,03 7607,7 00598,9 73,8 6984,8 3000 5,845 34,594 77535,3 0478, 73,905 7539,6 960 950 h h950 ( h3000 h 3000 950 h h 00974,8 9603,4 950 0 00598,9 (0478,3 00598,9) 50 00974,8 kj/kmol De igual forma obtenemos, h = 9603,4 kj/kmol: ) 937,4 kj/kmol José Agüera Soriano 0 4

Entroía s s du d c d R ln s s c ln R ln Matemáticamente el rocedimiento no es del todo correcto, aunque uede asumirse el error; tanto más, cuanto menor sea el interalo de temeraturas del roblema. Puede resolerse con tablas de entroías absolutas, que luego odrían analizarse, aunque usualmente utilizaremos esta fórmula. José Agüera Soriano 0 5

En función de las resiones: s s dh d c d R ln s s c ln R ln Como antes, el sacar fuera de la integral el calor esecífico medio no es del todo correcto, aunque uede asumirse el error. José Agüera Soriano 0 6

José Agüera Soriano 0 7 ( ) c u u u u u u c Se buscan en las tablas 0 las energías internas u y u, corresondientes a y más róximas a las y del roblema, con lo cual se obtiene sin error la caacidad calorífica media entre las temeraturas reales: Caacidades caloríficas medias a olumen constante

José Agüera Soriano 0 8 Se buscan en las tablas 0 las entalías h y h, corresondientes a y más róximas a las y del roblema, con lo cual se obtiene sin error la caacidad calorífica media entre las temeraturas reales: Caacidades caloríficas medias a resión constante ( ) c h h h h h h c

EJERCICIO Calcúlese la diferencia de entroía de aire entre los estados: = 330 K, = bar, = 960 K, = 0 bar a) c = 3,5R b) c ariable (tabla 0.). Solución a) s s s s c ln R ln 3,5 8,343 ln 38,934 kj kmol K 960 330 8,343 ln 0 José Agüera Soriano 0 9

Solución b) s ( h s 950 950 c h 350 350 ln ) ln R ln 960 330 R ln 0 00599 089 600 ln 960 330 8,343 ln 0 5,380 kj kmol K 950 5,7870 34,03 7607,7 00598,9 73,8 6984,8 350 0,7964 9,07 778,7 088,7 0,660 35,5 José Agüera Soriano 0

Exonente adiabático medio En gases que no son monoatómicos, el exonente adiabático disminuye cuando la temeratura aumenta. Por ejemlo, ara el CO (tabla 9): =,88 ara = 300 K =,54 ara = 3000 K Es ues coneniente buscar en cada caso el alor del medio que corresonda: c c h h u u c c Utilizaremos como antes las temeraturas de la tabla más róximas a las temeraturas del roblema. José Agüera Soriano 0

EJERCICIO Aire a olumen constante, desde = bar y = 305 K hasta = 8 bar, y a continuación a entroía constante hasta 3 = bar. Calcúlese, a) ariación de entroía b) exonente g medio c) la temeratura final 3 Solución 8 305 0 K s=k 3 José Agüera Soriano 0 3

a) ariación de entroía s 3 s s c ln R ln c u 00 u 300 0 ln 00 300 305 s ln s=k 3 José Agüera Soriano 0 4

a) ariación de entroía s 3 s s c ln R ln c u 00 u 300 0 ln 00 300 305 s ln s=k 3 756 63 ln 4 900 3,3 kj kmol K 00,697 30,9440 755,6 373,7 40,955 5853,4 300 0,7707 9,0850 63, 875,5 98,4,0 José Agüera Soriano 0 6

b) exonente medio El exonente adiabático medio odría acercarse más a,35 que a,4; aunque daría igual comenzar con,4: 3(arox) 3 3 0 8 0,35,35 ; 7 K s=k 3 José Agüera Soriano 0 7

h u 00 00 3733 756 h u 700 700 073 49,340 s=k 3 700,304 9,667 49,7 073,7 3,370 4607,3 00,697 30,9440 755,6 373,7 40,955 5853,4 José Agüera Soriano 0 9

c) temeratura final 3 3 3 3 0 8 0,34,34 70 K s=k 3 José Agüera Soriano 0 30

NOA DE INERÉS Puede accederse a la ágina WEB del autor or una de las tres direcciones, www.uco.es/termodinamica www.uco.es/fluidos Google: jose aguera Puede coiarse, aarte de sus libros, el rograma PROGASES ara el cálculo de las roiedades de algunos gases en estado de gas erfecto, incluidos gases de combustión. Lógicamente ara el rograma hemos utilizado entroías absolutas. En lo sucesio, muchos roblemas los resoleremos con su ayuda; aunque esto no significa que estemos obligados a utilizarlo. Cada ez que se dé un listado, entenderemos que no es otra cosa que las tablas 0, y/o con sólo los estados del roblema en cuestión. José Agüera Soriano 0 3

Para más información éase aéndice II del libro. Lo que sí oy a señalar aquí es una característica muy imortante que simlifica la introducción de los estados del roblema en cuestión. odas las roiedades con las que ueden definirse los diferentes estados, tienen en horizontal dobles entanas. Esto da la osibilidad de introducir el alor real utilizando las entanas de la izquierda; o bien, indicando en las de la derecha el número de un estado cuyo alor coincida con el que estamos introduciendo. Una ez obtenidos los resultados, sobre la antalla y con el botón derecho, aarece la oción de coiar. José Agüera Soriano 0 33

EJERCICIO Aire a olumen constante, desde = bar y = 305 K hasta = 8 bar, y a continuación a entroía constante hasta 3 = bar. Calcúlese, a) ariación de entroía b) exonente medio c) la temeratura final 3 Resolerlo ahora mediante el rograma PROGASES y comarar resultados. Solución s=k 3 José Agüera Soriano 0 35

PROPIEDADES DE ESADOS INRODUCIDOS GAS: Aire (M = 8,964 kg/kmol) Exergías referidas a t a = 0 C y a = bar u h s e bar K kj/kmol kj/kmol kj/kmolk kj/kmol m³/kmol,00 305,00 6335,8 887,7 9,846 695,4,6793 8,00 0,00 767,9 3786,4 4,30 439,9,6793 3,00 79,69 5363,9 347,6 4,30 497, 59,8373 RANSFORMACIONES ERMODINÁMICAS. GAS: Aire W= d d u h e kj/kmol kj/kmol kj/kmol kj/kmol kj/kmol - isócora 0,0 7607,6 337, 8944,7 9744,5-3 =,340 309,0 6468,8 309,0 6468,8 6468,8 José Agüera Soriano 0 36

mediante tablas s 3 s = 3,3 kj/kmol K (medio) =,340 3 = 70 K mediante rogases s 3 s = 4,30 9,846 = = 3,384 kj/kmol K (medio) =,340 3 = 79,69 Kº José Agüera Soriano 0 37

PROPIEDADES DEL VAPOR DE AGUA En motores de combustión interna, las transformaciones termodinámicas están muy or encima de la cura límite suerior (CLS) y los gases ueden considerarse erfectos. No así ara motores de combustión externa: una central térmica or ejemlo. 3 K (unto crítico) 4 K CLI CLS 4 3 José Agüera Soriano 0 38

Presión y temeratura de saturación Calentemos kg de agua a resión constante desde 0 ºC (a). En (b) alcanza la temeratura de saturación. Entre (b) y (d) se roduce la aorización, y durante la misma la temeratura no aría. A artir de (d) el aor se sobrecalienta (e). COMIENZO VAPORIZACIÓN FINAL VAPORIZACIÓN = = = = = 0 ºC t s ºC ºC t ºC t s aor saturado s aor sobrecalentado t > t s (a) (b) (c) (d) (e) José Agüera Soriano 0 39

Denominaciones: Entre (a) y (b), En (b), Entre (b) y (d), En (d), Entre (d) y (e), líquido subenfriado líquido saturado aor húmedo aor saturado aor sobrecalentado COMIENZO VAPORIZACIÓN FINAL VAPORIZACIÓN = = = = = 0 ºC t s ºC ºC t ºC t s aor saturado s aor sobrecalentado t > t s (a) (b) (c) (d) (e) José Agüera Soriano 0 40

Presión y temeratura de saturación t s = t( s ) y/o s = (t s ) Por ejemlo, ara el agua (tabla 3) ara s = bar, t s = 00 o C ara s = 0,0 bar, t s = 7 o C ara s = bar, t s = 0 o C El que ueda herir el agua a tan baja temeratura justifica el fenómeno de caitación en instalaciones hidráulicas, y el que ueda herir a 0 o C, or ejemlo, justifica la más ráida cocción de alimentos en las ollas a resión. José Agüera Soriano 0 4

siguiente ágina, desde 40 bar hasta, bar (resión crítica) José Agüera Soriano 0 4

Calor en el líquido, q Es la energía térmica necesaria ara asar a resión constante desde 0ºC (E) hasta líquido saturado (A). E A K q r QBD C B D x O o o ' '' José Agüera Soriano 0 43

Calor de aorización, r Es la energía térmica necesaria ara asar a resión constante desde A (CLI) hasta B (CLS). E q r QBD A K C B D x O o o ' '' José Agüera Soriano 0 44

Grado de aor, x Entre A y B la resión y la temeratura no arían; se necesita otro arámetro ara definir C; el grado o título de aor: masa de aor saturado en kg de aor húmedo: K 0 x COMIENZO VAPORIZACIÓN FIN VAPORIZ E q r QBD A C B D = x = = = O o ' o '' (a) a satur x 0 ºC t s ºC t s ºC (-x) (b) (c) (d José Agüera Soriano 0 45

Volúmenes esecíficos El olumen esecífico del aor húmedo x es la suma del olumen ocuado or el aor y del ocuado or el líquido: x x COMIENZO VAPORIZACIÓN x ( x) x( ) (tabla 3) FINAL VAPORIZACIÓN = = = (a) = 0 ºC t s ºC x t s ºC t s ºC (b) = (c) aor saturado (d) aor sobrecalentado (e) t > t s José Agüera Soriano 0 46

Los olúmenes esecíficos del líquido subenfriado y del aor sobrecalentado, ueden encontrase en la tabla 4. E A K q r QBD C B D x O o o ' '' José Agüera Soriano 0 47

6 áginas líquido subenfriado aor sobrecalentado resiones (bar): 0,0-0,04-0,06-0,08-0,0---------,0---------,0------0------- 0-5-30-35-40-45-50-60-------60-80-00-0 José Agüera Soriano 0 48

Entalías omaremos un cero de entalía (unto O); y las entalias de los estados A, B, C, D, se medirán con relación a él: E A K q r QBD C B h o = 0 (t o = 0 o C, o = s = 0,006 bar) D O x o o ' '' José Agüera Soriano 0 49

Cura límite inferior (CLI) Q OEA E O A x h K A h C o B OEA q r QBD d D h A h o E O d A E d q h 0 o ( o) 0; h q o ( o ) Una ez calculadas las h, los alores de q dejan de interesar (tabla 3). o o ' '' José Agüera Soriano 0 50

Cura límite suerior (CLS) Q K AB r h q r QBD B h A B A d h h h; h r E O A x C B D Una ez calculadas las h, los alores de r dejan de interesar (tabla 3). o o ' '' José Agüera Soriano 0 5

Vaor húmedo (unto C) Haciendo el mismo razonamiento que con el olumen esecífico: K h x h x( h h ) q r QBD E A C B D x O o o ' '' José Agüera Soriano 0 5

Vaor sobrecalentado (unto D) K Q BD h h D h h B h Q BD h ; E O q r QBD A x C B D En la tabla 4 aarecen los alores de h, tanto ara el aor sobrecalentado como ara el líquido subenfriado. o o ' '' José Agüera Soriano 0 53

Entroías omaremos lógicamente el mismo cero de entroía (unto O): s o = 0 (t o = 0 o C, o = s = 0,006 bar) K q r QBD E A C B D x O o o ' '' José Agüera Soriano 0 54

Cura límite inferior (CLI) E O dq dq dq sa s0 0 OEA OE EA A x K q r QBD C B D s c d A E dq s c ln s 73 73 En la tabla 3 ueden er los alores de s. o o ' '' José Agüera Soriano 0 55

Cura límite suerior (CLS) E A K q r QBD C B D s B s A s s s AB r s dq O x o Una ez calculadas las s, los alores de r dejan de interesar (tabla 3). o ' '' José Agüera Soriano 0 56

Vaor húmedo (unto C) Haciendo el mismo razonamiento que con el olumen esecífico: K q r QBD s x s x ( s s) E A C B D x O o o ' '' José Agüera Soriano 0 57

Vaor sobrecalentado (unto D) E O o ' A x K q r QBD o '' C B s D D s B s D B dq s José Agüera Soriano 0 58 s s c c d d En la tabla 4 aarecen los alores de s, tanto ara el aor sobrecalentado como ara el líquido subenfriado.

Exergías entálicas del agua estado muerto, a = bar y t a = 0 o C ha = 84,0 kj/kg sa = 0,963 kj/kg K e e h h a a h 93,5 s ( s sa ),86 kj/kg Valores que se incluyen en las tablas 3 y 4 José Agüera Soriano 0 59

EJERCICIO Vaor de agua a 60 bar y 480 o C se exande adiabáticamente hasta a) = 30 bar b) 3 = 0,04 bar Calcúlese las entroías y las entalías finales. Solución B =60 bar = 30 bar 3 =0,04 bar 3 B3 José Agüera Soriano 0 60

EJERCICIO Vaor de agua a 60 bar y 480 o C se exande adiabáticamente hasta, a) = 30 bar b) 3 = 0,04 bar Calcúlese las entroías y las entalías finales. Solución s = s = s 3 = 6,899 kj/kg K h = 3375 kj/kg K José Agüera Soriano 0 6 B 3 =0,04 bar =60 bar = 30 bar t h s e bar C kj/kg kj/kg K dm³/kg kj/kg 60,000 480,00 3375,00 6,8990 54,870 378,6 3 B3

Estados y 3 Establezcamos en rimer lugar si se trata de aor húmedo o de aor sobrecalentado. Para ello comaremos la entroía de los untos B y B3 (tabla 3) con la entroía del estado. =60 bar B = 30 bar 3 =0,04 bar 3 B3 José Agüera Soriano 0 63

unto B3 unto B José Agüera Soriano 0 64

Estado s (unto B) = 6,838 < s (6,899 kj/kg K) aor sobrecalentado Estado 3 s 3 (unto B3) = 8,4755 > s 3 (6,899 kj/kg K) aor húmedo =60 bar B = 30 bar 3 =0,04 bar B3 3 José Agüera Soriano 0 65

Cálculo del estado Buscaremos en tabla 4, a 30 bar, las entroías or defecto y or defecto róximas a la del estado (6,899 kj/kg K), e interolaremos. =60 bar B = 30 bar 3 =0,04 bar 3 B3 José Agüera Soriano 0 66

Estado h h 380 360 h s ) 360 ( s360 s380 s360 h t h s e bar C kj/kg kj/kg K dm³/kg kj/kg 30,000 360,00 340,90 6,78440 9,380 54,9 30,000 380,00 387,00 6,8560 95,8440 79,99 José Agüera Soriano 0 68

Estado h h 380 360 h s ) 360 ( s360 s380 s360 h 387 340,9 340,90 (6,899 6,7844) 6,856 6,7844 363,7 kj/kg =60 bar t h s e = B bar C kj/kg kj/kg K dm³/kg kj/kg 30 bar 30,000 360,00 340,90 6,78440 9,380 3 =0,04 bar54,9 3 30,000 380,00 387,00 6,8560 95,8440 79,99 José Agüera Soriano 0 69 B3

Cálculo del estado 3 José Agüera Soriano 0 70

itulo de aor x 3 s 3 = s 3 + x 3 (s 3 s 3 ) 6,899 = 0,45 + x 3 (8,4755 0,45) x 3 = 0,7944 =60 bar Entalía h 3 h 3 = h 3 + x 3 (h 3 h 3 ),4 + 0,7944 (554,5,4) h 3 = 054,3 kj/kg José Agüera Soriano 0 7 B 3 =0,04 bar = 30 bar h h s s bar kj/kg kj/kg kj/kg K kj/kg K 0,040,4 554,50 0,45 8,4755 3 B3

NOA DE INERÉS Desde internet, or una de las tres direcciones, www.uco.es/termodinamica www.uco.es/fluidos Google: jose aguera uede coiarse el rograma PROPAGUA, ara el cálculo de las roiedades del aor de agua. En lo sucesio, muchos roblemas los resoleremos con su ayuda; aunque esto no significa que estemos obligados a utilizarlo. Cada ez que se dé un listado, entenderemos que no es otra cosa que las tablas 3 y 4 con sólo los estados del roblema en cuestión. José Agüera Soriano 0 7

Para más información éase aéndice II del libro. Lo que sí oy a señalar aquí es un comlemento muy interesante de rograma. Aarte de los estados de un roblema (hasta 50 a la ez), ermite calcular también los caudales en cada osición, a efectos de calcular otencias entálicas o exergéticas, imrescindibles ara balances térmico o exergético de una central térmica. José Agüera Soriano 0 74

EJERCICIO Vaor de agua a 60 bar y 480 o C se exande adiabáticamente hasta, a) = 30 bar b) 3 = 0,04 bar Calcúlese las entroías y las entalías finales. Solución =60 bar Resolerlo ahora mediante el rograma PROPAGUA y comarar resultados. B = 30 bar 3 =0,04 bar 3 B3 José Agüera Soriano 0 75

Agua (líquido y/o aor): Proiedades de estados introducidos est. título resión teme- entalía entroía olumen exergía absoluta ratura esecífica esecífica esecífico entálica n x t h s e bar C kj/kg kj/kg K dm³/kg kj/kg V 60,000 480,00 3375,00 6,8990 54,870 378,6 V 30,000 369,78 363,59 6,8990 94,0496 67,9 3 0,7944 0,040 8,98 054,8 6,8990 7648,367 57,89 José Agüera Soriano 0 76

Agua (líquido y/o aor): Proiedades de estados introducidos est. título resión teme- entalía entroía olumen exergía absoluta ratura esecífica esecífica esecífico entálica n x t h s e bar C kj/kg kj/kg K dm³/kg kj/kg V 60,000 480,00 3375,00 6,8990 54,870 378,6 V 30,000 369,78 363,59 6,8990 94,0496 67,9 3 0,7944 0,040 8,98 054,8 6,8990 7648,367 57,89 mediante tablas habíamos obtenido s = s = s 3 = 6,899 kj/kg K h = 3375,0 kj/kg h = 364, kj/kg x 3 = 0,7944 h 3 = 054,3 kj/kg José Agüera Soriano 0 77

DIAGRAMA -s área AB ds Q Wr Q M N Q A ds B s A área ciclo = B SQ = SW s José Agüera Soriano 0 78

Isotermas y adiabáticas Q ciclo de Carnot 4 Q 3 s s s José Agüera Soriano 0 79

Sistema adiabático s 0 isoentróica W r = 0 Q 0 Wr > isoentróica W r Q = 0 Wr>0 exansión en tobera s comresión en difusor José Agüera Soriano 0 80

Isócoras e isobaras s = s(,) s = s(,) ' ' = K =K ' M En el diagrama -s, a la derecha del unto de intersección de las isócoras con las isobaras, éstas quedan or debajo. N s José Agüera Soriano 0 8

Diagrama -s ara gas erfecto Se dibuja una isobara, la de bar or ejemlo, y se hace una lantilla. Deslazando ésta en horizontal se obtiene la familia de isobaras reista. Lo mismo ara la familia de isócoras > bar = bar < bar isobaras 73 K R ln R ln s s =bar José Agüera Soriano 0 8

Diagrama -s ara aor de agua Con ayuda de la tabla 3, dibujamos las AB. Diidiendo éstas en artes iguales (00, or ejemlo) y uniendo sus diisiones homólogas obtenemos la familia de título constante: s A K =K K = C B =K = K D K = s x AC s x( s s) s x s x( s s) 73 K x = 0 = K x = s' x = K s s x s'' s José Agüera Soriano 0 84

Diagrama h-s Antes de nada, obtengamos una característica interesante: aliquemos el rimer rinciio a la isobara de figura: h K = ds dhd ( ds) ( dh) M dh ds tg s José Agüera Soriano 0 86

Diagrama h-s ara el gas erfecto: h=h() h > bar = bar < bar 73 K R ln R ln s =bar Sire el mismo diagrama -s, con sólo añadir otra ordenada ara las entalías h con la escala corresondiente. José Agüera Soriano 0 87 s

Diagrama h-s ara el aor de agua Para que no aríe el ángulo que forma la tangente a las isobaras, AB ha de ser una recta; y AB y BD, tangentes en B. Estados A y B, tabla 3; estados D y D, tabla 4. h h h'' h' x =0 K A =K =K = K B D D' K = las isotermas tienden a la horizontalidad (gas erfecto) x = x =K x = K s ' s'' s s José Agüera Soriano 0 89

du d d d dh d d d c c d d d d h h ( ) c d d d d s s c ( ) d 0 d d d d d d d José Agüera Soriano 0 9